Lagrange-szorzó módszer. A Lagrange-szorzók gazdasági jelentése

LAGRANGE MÓDSZER

J. Lagrange által 1759-ben jelzett módszer a másodfokú alakok négyzetösszeggé való redukálására. Adott legyen

x 0 változókból , x 1 ,..., x n. mezőről származó együtthatókkal k jellemzők Ezt a formát a kanonikus formába kell vinni. elme

változók nem degenerált lineáris transzformációját használva. L. m a következőkből áll. Feltételezhetjük, hogy nem minden (1) alakú együttható egyenlő nullával.

Ezért két eset lehetséges. 1) Egyeseknek g,

átlós Akkor ahol az f 1 (x) alak nem tartalmaz változót x g . 2) Ha minden De

Hogy ahol az f 2 (x) alak nem tartalmaz két változót x g És x h .

A (4) négyzetjelek alatti formák lineárisan függetlenek. A (3) és (4) alakú transzformációk alkalmazásával az (1) alak véges számú lépés után lineárisan független lineáris formák négyzetösszegére redukálódik. Parciális deriváltakat használva a (3) és (4) képleteket formába írhatjuk Megvilágított. : G a n t m a k h e r F. R., Mátrixok elmélete, 2. kiadás, M., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11. kiadás, M., 1975; Alexandrov P. S., Előadások erről analitikus geometria ..., M., 1968.

I. V. Proszkurjakov. Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet enciklopédia

.

I. M. Vinogradov. 1977-1985. Nézze meg, mi a "LAGRANGE MÓDSZER" más szótárakban:

I. M. Vinogradov. Lagrange módszer (- A Lagrange-módszer matematikai programozási problémák számos osztályának megoldására szolgáló módszer a Lagrange-függvény nyeregpontjának (x*, λ*) megtalálásával, amelyet úgy érünk el, hogy a függvény parciális deriváltjait nullával egyenlővé tesszük. ... ..., Közgazdasági és matematikai szótár) = - Egy módszer számos matematikai programozási probléma osztályának megoldására a Lagrange-függvény nyeregpontjának (x*, ?*) megkeresésével, amelyet úgy érünk el, hogy ennek a függvénynek az xi-hez és?i-hez viszonyított parciális deriváltjait nullával egyenlővé tesszük. . Lásd Lagrangian. x y 2 C 2 És f(x, y) = C.

a repülőn

XO

Tabletizálja a (11) egyenlet megoldását az x és y változókra a kiválasztott intervallumon, vagy készítsen függvénygráfokat y 1 (- A Lagrange-módszer matematikai programozási problémák számos osztályának megoldására szolgáló módszer a Lagrange-függvény nyeregpontjának (x*, λ*) megtalálásával, amelyet úgy érünk el, hogy a függvény parciális deriváltjait nullával egyenlővé tesszük. ... ..., Közgazdasági és matematikai szótár) = C, és y 2 (x,y) = C 2 (rendszer(10)).

Lokalizálja az egyenletrendszer feltételezett gyökereit - keressen meg néhány minimális értéket a (11) egyenlet gyökereit táblázatba foglaló táblázatból, vagy határozza meg a rendszerben szereplő görbék metszéspontjait (10).

4. Keresse meg a (10) egyenletrendszer gyökereit a bővítmény segítségével Megoldás keresése.

VEL A Lagrange-módszer lényege, hogy a feltételes szélsőség problémáját egy probléma megoldására redukáljuk feltételes véglet. Tekintsük a nemlineáris programozási modellt:

(5.2)

Ahol
- ismert funkciók,

A
– adott együtthatók.

Vegyük észre, hogy a feladatnak ebben a megfogalmazásában a megszorításokat egyenlőségek határozzák meg, és nincs feltétele annak, hogy a változók ne legyenek negatívak. Ezen kívül úgy gondoljuk, hogy a funkciókat
folyamatosak az első parciális származékaikkal.

Alakítsuk át az (5.2) feltételeket úgy, hogy az egyenlőségek bal vagy jobb oldalán legyen nulla:

(5.3)

Állítsuk össze a Lagrange függvényt. Tartalmazza a célfüggvényt (5.1) és a megszorítások (5.3) jobb oldalát, az együtthatókkal együtt
. Annyi Lagrange-együttható lesz, ahány megszorítás van a feladatban.

Az (5.4) függvény szélsőpontjai az eredeti probléma szélsőpontjai és fordítva: az (5.1)-(5.2) feladat optimális terve a Lagrange-függvény globális szélsőpontja.

Valóban, legyen megoldás
(5.1)-(5.2) feladatokat, akkor az (5.3) feltételek teljesülnek. Cseréljük ki a tervet
függvénybe (5.4), és ellenőrizze az egyenlőség (5.5) érvényességét.

Így az eredeti probléma optimális tervének megtalálásához meg kell vizsgálni a Lagrange-függvényt az extrémumra. A függvény szélsőértékekkel rendelkezik azokon a pontokon, ahol a parciális deriváltjai egyenlők nulla. Az ilyen pontokat ún állandó.

Határozzuk meg az (5.4) függvény parciális deriváltjait!

,

.

Egyenlítés után nulla származékaiból kapjuk a rendszert m+n egyenleteket m+n ismeretlen

,(5.6)

IN általános eset rendszerben (5.6)-(5.7) több megoldásunk lesz, amelyek a Lagrange függvény összes maximumát és minimumát tartalmazzák. A globális maximum vagy minimum azonosítása érdekében a célfüggvény értékeit minden talált pontban kiszámítják. Ezen értékek közül a legnagyobb a globális maximum, a legkisebb pedig a globális minimum. Bizonyos esetekben lehetséges használni elégséges feltételek a szigorú szélsőséghez folyamatos függvények (lásd az alábbi 5.2. feladatot):

hagyjuk működni
folytonos és kétszer differenciálható stacionárius pontjának valamely szomszédságában (azok.
)). Majd:

A ) Ha
, (5.8)

Hogy – a funkció szigorú maximumának pontja
;

b) Ha
, (5.9)

Hogy – a funkció szigorú minimumának pontja
;

G ) Ha
,

akkor az extrémum jelenlétének kérdése nyitva marad.

Ezenkívül az (5.6)-(5.7) rendszer egyes megoldásai negatívak is lehetnek. Ami nem egyeztethető össze a változók gazdasági jelentésével. Ebben az esetben érdemes megfontolni a negatív értékek nulla értékekkel való helyettesítését.

A Lagrange-szorzók gazdasági jelentése. Optimális szorzóérték
megmutatja, hogy a feltétel értéke mennyit fog változni Z amikor az erőforrás növekszik vagy csökken j egy egységgel, mivel



A Lagrange-módszer használható abban az esetben is, ha a megszorítások egyenlőtlenségek. Így a függvény szélsőértékének megtalálása
feltételek mellett

,

több szakaszban történik:

1. Határozza meg a célfüggvény stacionárius pontjait, amelyekre egyenletrendszert old meg!

.

2. Az állópontok közül válassza ki azokat, amelyek koordinátái megfelelnek a feltételeknek



3. Oldja meg a feladatot a Lagrange-módszerrel egyenlőségi kényszerekkel (5.1)-(5.2).

4. Vizsgálja meg a második és harmadik szakaszban talált pontokat a globális maximumra: hasonlítsa össze az értékeket! célfüggvény ezeken a pontokon – a legmagasabb érték az optimális tervnek felel meg.

Probléma 5.1 Oldjuk meg az első részben tárgyalt 1.3. feladatot a Lagrange módszerrel. A vízkészletek optimális eloszlását egy matematikai modell írja le

.

Állítsuk össze a Lagrange függvényt

Keressük meg ennek a függvénynek a feltétlen maximumát. Ehhez kiszámítjuk a parciális deriváltokat, és egyenlővé tesszük őket nullával

,



Így egy alakú lineáris egyenletrendszert kaptunk









Az egyenletrendszer megoldása optimális tervet jelent a vízkészletek öntözött területek közötti elosztására

, .

Mennyiségek
százezer köbméterben mérve.
- százezer köbméter öntözővízre jutó nettó bevétel mértéke. Ezért 1 m 3 öntözővíz határára egyenlő
den. egységek

Az öntözésből származó többlet nettó bevétel maximuma lesz

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. egység)

Probléma 5.2 Nemlineáris programozási feladat megoldása





Képzeljük el a korlátozást a következőképpen:

.

Állítsuk össze a Lagrange-függvényt és határozzuk meg parciális deriváltjait





.

A Lagrange-függvény stacionárius pontjainak meghatározásához a parciális deriváltjait nullára kell állítani. Ennek eredményeként egy egyenletrendszert kapunk





.

Az első egyenletből az következik

. (5.10)

Kifejezés behelyettesítjük a második egyenletbe

,

ami két megoldást foglal magában :

És
. (5.11)

Ha ezeket a megoldásokat behelyettesítjük a harmadik egyenletbe, azt kapjuk

,
.

A Lagrange-szorzó és az ismeretlen értékei Számítsuk ki az (5.10)-(5.11) kifejezésekkel:

,
,
,
.

Így két szélsőséges pontot kaptunk:

;
.

Annak megállapítására, hogy ezek a pontok maximum vagy minimum pontok-e, elégséges feltételeket alkalmazunk a szigorú szélsőséghez (5.8)-(5.9). Előkifejezés a számára , amelyet a matematikai modell kényszeréből kapunk, behelyettesítjük a célfüggvénybe

,

. (5.12)

A szigorú szélsőség feltételeinek ellenőrzéséhez meg kell határoznunk a függvény (5.11) második deriváltjának előjelét az általunk talált szélsőpontokban
És
.

,
;

.

Így (·)
az eredeti probléma minimumpontja (
), A (·)
– maximum pont.

Optimális terv:

,
,
,

.

Szorzó módszerLagrange(az angol szakirodalomban „LaGrange's method of undetermined multiplikers”) ˗ egy numerikus módszer optimalizálási feladatok megoldására, amely lehetővé teszi a célfüggvény „feltételes” szélsőértékének (minimális vagy maximális érték) meghatározását.

ha a változóira meghatározott korlátozások vonatkoznak egyenlőségek formájában (azaz a megengedett értékek tartománya meg van határozva)



˗ ezek a függvényargumentum (vezérelhető paraméterek) értékei azon a valós tartományon, ahol a függvényérték szélsőértékre hajlik. A „feltételes” szélsőség elnevezés használata annak köszönhető, hogy a változók alá vannak vetve további feltétel, amely korlátozza az elfogadható értékek tartományát egy függvény szélsőértékének keresésekor.

A Lagrange-szorzó módszer lehetővé teszi, hogy egy célfüggvény feltételes szélsőértékének keresésének problémáját egy elfogadható értékek halmazán problémává alakítsuk anélkül, hogy feltételes optimalizálás funkciókat.

Abban az esetben, ha a funkciókat x g folytonosak a parciális deriváltjaikkal együtt, akkor vannak olyan λ változók, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, amelyek mellett a következő feltétel teljesül:

Így a Lagrange-szorzó módszerének megfelelően a célfüggvény extrémumának megtalálásához a megengedett értékek halmazán összeállítom az L(x, λ) Lagrange-függvényt, amelyet tovább optimalizálunk:

ahol λ ˗ további változók vektora, amelyet meghatározatlan Lagrange-szorzóknak nevezünk.

Így az f(x) függvény feltételes szélsőértékének megtalálásának problémája az L(x, λ) függvény feltétel nélküli szélsőértékének megtalálásának problémájára redukálódott.

x g

A Lagrange-függvény szélsőértékének szükséges feltételét egy egyenletrendszer adja meg (a rendszer „n + m” egyenletekből áll):



Ennek az egyenletrendszernek a megoldása lehetővé teszi, hogy meghatározzuk az (X) függvény azon argumentumait, amelyeknél az L(x, λ) függvény értéke, valamint az f(x) célfüggvény értéke megfelel a szélsőségnek.

A Lagrange-szorzók (λ) nagysága gyakorlati szempontból érdekes, ha a megszorításokat az egyenletben szabad taggal (konstans) tartalmazó formában adjuk meg. Ebben az esetben továbbgondolhatjuk (növelhetjük/csökkenthetjük) a célfüggvény értékét úgy, hogy az egyenletrendszerben az állandó értékét megváltoztatjuk. A Lagrange-szorzó tehát a célfüggvény maximumának változási sebességét jellemzi a korlátozó állandó változása esetén.

Az eredményül kapott függvény extrémumának természetét többféleképpen is meghatározhatjuk:

Első módszer: Legyen a szélsőpont koordinátái, és a célfüggvény megfelelő értéke. A ponthoz közeli pontot veszünk, és kiszámítjuk a célfüggvény értékét:

Ha , akkor a ponton van maximum.

Ha , akkor a ponton van egy minimum.

Második módszer: A Lagrange-függvény második differenciáljának előjele elegendő feltétel, amelyből az extrémum természete meghatározható. A Lagrange-függvény második differenciáljának meghatározása a következő:



Ha egy adott ponton minimális, ha , akkor az f(x) célfüggvénynek van feltétele maximális.

Harmadik módszer: A függvény szélsőértékének természete is meghatározható a Lagrange-függvény Hessianusának figyelembevételével. A Hess-mátrix egy függvény második parciális deriváltjainak szimmetrikus négyzetmátrixa egy olyan pontban, ahol a mátrix elemei szimmetrikusak a főátlóra.



Az extrémum típusának (a függvény maximuma vagy minimuma) meghatározásához használhatja Sylvester szabályát:

1. Ahhoz, hogy a Lagrange-függvény második differenciája pozitív előjelű legyen szükséges, hogy a függvény szögmolljai pozitívak legyenek. Ilyen körülmények között a függvény ezen a ponton minimális.

2. Ahhoz, hogy a Lagrange-függvény második differenciája negatív előjelű legyen , szükséges, hogy a függvény szögmolljai váltakoznak, és a mátrix első elemének negatívnak kell lennie. Ilyen körülmények között a függvénynek ezen a ponton van maximuma.

Angular moll alatt az eredeti mátrix első k sorában és k oszlopában található moll-ot értjük.



A Lagrange módszer fő gyakorlati jelentősége, hogy lehetővé teszi a feltételes optimalizálásról a feltétel nélküli optimalizálásra való áttérést, és ennek megfelelően az arzenál bővítését. elérhető módszerek a probléma megoldása. Az egyenletrendszer megoldásának problémája azonban, amelyre ez a módszer redukál, általában nem egyszerűbb, mint a szélsőség megtalálásának eredeti problémája. Az ilyen módszereket indirektnek nevezzük. Használatuk azzal magyarázható, hogy egy extrém problémára analitikus formában kell megoldást találni (például bizonyos elméleti számításokhoz). Konkrét gyakorlati problémák megoldása során általában direkt módszereket alkalmaznak, amelyek az optimalizált függvények értékeinek iteratív számítási és összehasonlítási folyamatain alapulnak.

Számítási módszer

1 lépés: Az adott célfüggvényből és kényszerrendszerből meghatározzuk a Lagrange-függvényt:

Előre

Ha megjegyzését szeretné hozzáfűzni a cikkhez, kérjük, regisztráljon az oldalon.