Azok számára, akik szeretnék megtanulni, hogyan találják meg a határokat, ebben a cikkben erről fogunk beszélni. Nem fogunk belemerülni az elméletbe, a tanárok általában előadásokon tartják. Tehát az „unalmas elméletet” fel kell jegyezni a füzetekbe. Ha ez nem így van, akkor a könyvtárból kölcsönzött tankönyveket olvashatja. oktatási intézmény vagy más internetes forrásokban.

Tehát a határ fogalma nagyon fontos a kurzus tanulmányozása során felsőbb matematika, különösen, ha találkozik az integrálszámítással, és megérti a határérték és az integrál közötti kapcsolatot. A jelenlegi anyagban megvizsgáljuk egyszerű példák, valamint ezek megoldásának módjait.

Példák megoldásokra

1. példa

Számítsa ki a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Megoldás

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Az emberek gyakran elküldik nekünk ezeket a korlátokat azzal a kéréssel, hogy segítsünk megoldani őket. Úgy döntöttünk, hogy külön példaként kiemeljük őket, és elmagyarázzuk, hogy ezekre a határokra általában csak emlékezni kell. Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. mi biztosítjuk részletes megoldás. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!

Válasz

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Mi a teendő az űrlap bizonytalanságával: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. példa

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ megoldása

Megoldás

Mint mindig, most is azzal kezdjük, hogy a határjel alatti kifejezésbe behelyettesítjük a $ x $ értéket. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Most mi következik? Mi történjen a végén? Mivel ez bizonytalan, ez még nem válasz, és folytatjuk a számítást. Mivel van egy polinom a számlálókban, ezt az iskolából mindenki által ismert képlet segítségével faktorizáljuk $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Emlékszel? Nagy! Most pedig használd a dallal :) Azt találjuk, hogy a $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ számláló Folytatjuk a megoldást a fenti átalakítás figyelembevételével: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Válasz

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Toljuk az utolsó két példában a határt a végtelenségig, és vegyük figyelembe a bizonytalanságot: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. példa

A $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ kiszámítása

Megoldás

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mit tegyek? Mit tegyek? Ne ess pánikba, mert a lehetetlen lehetséges. A számlálóból és a nevezőből is ki kell venni az x-et, majd csökkenteni kell. Ezután próbálja meg kiszámítani a határértéket. Próbáljuk meg... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ A 2. példa definícióját használva és x helyett a végtelent kapjuk: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Válasz

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmus a határértékek kiszámításához

Tehát röviden összefoglaljuk a példákat, és készítsünk egy algoritmust a határértékek megoldására:

1. Helyettesítsd be az x pontot a határjel utáni kifejezésbe. Ha egy bizonyos számot vagy végtelent kapunk, akkor a határ teljesen megoldott. Ellenkező esetben bizonytalanság áll előttünk: „nulla osztva nullával” vagy „végtelen osztva a végtelennel”, és továbblépünk az utasítások következő lépéseire.
2. A „nulla osztva nullával” bizonytalanságának kiküszöbölése érdekében figyelembe kell venni a számlálót és a nevezőt. Csökkentse a hasonlókat. Helyettesítsd be az x pontot a határjel alatti kifejezésbe.
3. Ha a bizonytalanság a „végtelen osztva a végtelennel”, akkor a számlálót és az x nevezőt is kivesszük a legnagyobb mértékben. Lerövidítjük az X-eket. A határ alatti x értékeit behelyettesítjük a fennmaradó kifejezésbe.

Ebben a cikkben megtanulta a korlátok megoldásának alapjait, amelyeket gyakran használnak a Kalkulus tanfolyamon. Természetesen ezek a vizsgáztatók által kínált problémák nem minden típusa, hanem csak a legegyszerűbb korlátok. Más típusú feladatokról a jövőbeli cikkekben fogunk beszélni, de előbb meg kell tanulnia ezt a leckét, hogy továbbléphessen. Beszéljük meg, mit tegyünk, ha vannak gyökök, fokok, tanulmányozzuk a végtelenül kicsi ekvivalens függvényeket, csodálatos határok, L'Hopital szabálya.

Ha nem tudod magad kitalálni a határokat, ne ess pánikba. Mindig szívesen segítünk!

Ez az online matematikai számológép segít, ha szüksége van rá kiszámítja egy függvény határát. Program megoldási határok nem csak a problémára ad választ, hanem vezet is részletes megoldás magyarázatokkal, azaz megjeleníti a határérték számítási folyamatát.

Ez a program hasznos lehet az általános iskolákban tanuló középiskolásoknak a vizsgákra, vizsgákra való felkészüléskor, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat

matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Adjon meg egy függvénykifejezést

Számítsa ki a határértéket
Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.

Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.
A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.

Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.
Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent. Kérjük, várjon

mp... Ha te hibát észlelt a megoldásban
, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon. Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit.

írja be a mezőkbe

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

A függvény határértéke x->x 0

Legyen az f(x) függvény definiálva valamilyen X halmazon, és legyen az \(x_0 \in X\) vagy \(x_0 \notin X\) pont
Vegyünk X-ből egy x 0-tól eltérő pontsorozatot:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*-hez konvergál. A függvényértékek ennek a sorozatnak a pontjain szintén numerikus sorozatot alkotnak
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)

és fel lehet vetni a határa meglétének kérdését. Meghatározás

. Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük az x = x 0 pontban (vagy az x -> x 0 pontban), ha az x argumentum bármely (1) értéksorára eltér x 0-tól x 0-hoz konvergálva a megfelelő (2) értéksor függvény konvergál az A számhoz.

Az f(x) függvénynek csak egy határértéke lehet az x 0 pontban. Ez abból következik, hogy a sorrend
(f(x n)) csak egy határértékkel rendelkezik.

A függvény határának van egy másik meghatározása is.

és fel lehet vetni a határa meglétének kérdését. Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük az x = x 0 pontban, ha bármely \(\varepszilon > 0\) számhoz van olyan \(\delta > 0\) szám, hogy minden \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), kielégítve az egyenlőtlenséget \(|x-x_0| Logikai szimbólumok segítségével ez a definíció a következőképpen írható fel
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Vegye figyelembe, hogy a \(x \neq x_0) egyenlőtlenségek , \; |x-x_0 | \(\varepsilon - \delta \)”.
Egy függvény határértékének ez a két meghatározása egyenértékű, és bármelyiket használhatja attól függően, hogy melyik a kényelmesebb egy adott probléma megoldásához.

Megjegyzendő, hogy a függvény határértékének meghatározását „a sorozatok nyelvén” egy függvény határértékének is nevezik Heine szerint, és a függvény határértékének meghatározását „a \(\varepsilon - nyelven” \delta \)” egy függvény határértékének is nevezik Cauchy szerint.

A függvény határértéke x->x 0 - és x->x 0 + pontban

A következőkben egy függvény egyoldalú határértékeinek fogalmait fogjuk használni, amelyeket a következőképpen definiálunk.

és fel lehet vetni a határa meglétének kérdését. Az A számot az f(x) függvény jobb (bal) határértékének nevezzük az x 0 pontban, ha bármely x 0-hoz konvergáló (1) sorozatra, amelynek x n elemei nagyobbak (kisebbek, mint) x 0, a a megfelelő sorozat (2) konvergál A-hoz.

Szimbolikusan így van írva:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Adhatunk egy ekvivalens definíciót egy függvény egyoldalú korlátaira „a \(\varepsilon - \delta \) nyelven”:

és fel lehet vetni a határa meglétének kérdését. az A számot az f(x) függvény jobb (bal) határának nevezzük az x 0 pontban, ha bármely \(\varepszilon > 0\) esetén létezik \(\delta > 0\) úgy, hogy minden x-re kielégítő az egyenlőtlenségek \(x_0 Szimbolikus bejegyzések:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

A határok elmélete a matematikai elemzés egyik ága. A korlátok megoldásának kérdése meglehetősen kiterjedt, hiszen több tucat módszer létezik a határértékek megoldására különféle típusok. Tucatnyi árnyalat és trükk, amelyek lehetővé teszik, hogy megoldja ezt vagy azt a határt. Ennek ellenére továbbra is megpróbáljuk megérteni a gyakorlatban leggyakrabban előforduló korlátok fő típusait.

Kezdjük a határ fogalmával. De először egy rövidet történelmi háttér. Élt egy francia, Augustin Louis Cauchy a 19. században, aki szigorúan meghatározta a matan fogalmát, és lefektette annak alapjait. Azt kell mondanunk, hogy ez a tekintélyes matematikus minden fizika és matematika szakos hallgató rémálmaiban benne volt, van és lesz, mivel a matematikai elemzés számos tételét bebizonyította, és az egyik tétel halálosabb, mint a másik. Ebben a tekintetben még nem vesszük figyelembe a Cauchy-határ meghatározása, de próbáljunk meg két dolgot tenni:

1. Értsd meg, mi a határ.
2. Tanuld meg megoldani a limitek fő típusait.

Elnézést kérek néhány tudománytalan magyarázatért, fontos, hogy teáskanna számára is érthető legyen az anyag, ami tulajdonképpen a projekt feladata.

Tehát mi a határ?

És csak egy példa arra, hogy miért a bozontos nagymamának...

Bármely limit három részből áll:

1) A jól ismert limit ikon.
2) A limit ikon alatti bejegyzések, ebben az esetben . A bejegyzés így szól: „X hajlamos egyre”. Leggyakrabban - pontosan, bár a gyakorlatban az „X” helyett más változók is vannak. IN gyakorlati feladatokat az egy helyén teljesen tetszőleges szám lehet, valamint a végtelen ().
3) A határjel alatti függvények, ebben az esetben .

Maga a felvétel így hangzik: "egy függvény határa mint x egységre hajlamos."

Nézzük a következőt fontos kérdés– mit jelent az „x” kifejezés? arra törekszik egyhez"? És mit jelent egyáltalán az, hogy „igyekszem”?
A határ fogalma úgyszólván fogalom, dinamikus. Építsünk egy sorozatot: először , majd , , …, , ….
Vagyis az „x arra törekszik egyhez” a következőképpen kell érteni: „x” következetesen felveszi az értékeket amelyek végtelenül közelítik az egységet és gyakorlatilag egybeesnek vele.

Hogyan lehet megoldani a fenti példát? A fentiek alapján csak be kell cserélni egyet a határjel alatti függvénybe:

Tehát az első szabály: Ha bármilyen korlátot adunk, először egyszerűen megpróbáljuk beilleszteni a számot a függvénybe.

A legegyszerűbb határt vettük figyelembe, de ezek a gyakorlatban is előfordulnak, és nem is olyan ritkán!

Példa a végtelennel:

Találjuk ki, mi az? Ez az a helyzet, amikor korlátlanul növekszik, azaz: először, majd, majd, majd, és így tovább a végtelenségig.

Mi történik ilyenkor a funkcióval?
, , , …

Tehát: ha , akkor a függvény mínusz végtelenbe hajlik:

Nagyjából az első szabályunk szerint az „X” helyett a végtelent behelyettesítjük a függvénybe, és megkapjuk a választ.

Egy másik példa a végtelennel:

Ismét elkezdjük a végtelenségig növelni, és megnézzük a függvény viselkedését:

Következtetés: amikor a függvény korlátlanul növekszik:

És még egy sor példa:

Kérjük, próbálja meg gondolatban elemezni a következőket, és emlékezzen a legegyszerűbb határtípusokra:

, , , , , , , , ,
Ha kétségei vannak, elővehet egy számológépet és gyakorolhat egy kicsit.
Abban az esetben, ha megpróbálja összeállítani a sorozatot, , . Ha , akkor , , .

! Jegyzet: Szigorúan véve ez a több számból álló sorozatok összeállításának ez a megközelítése helytelen, de a legegyszerűbb példák megértéséhez teljesen megfelelő.

Figyeljen a következő dologra is. Még akkor is, ha egy limitet nagy számmal adnak meg felül, vagy akár millióval is: , akkor is mindegy , hiszen előbb-utóbb az „X” olyan gigantikus értékeket kezd felvenni, hogy ehhez képest egymillió valódi mikroba lesz.

Mit kell emlékezned és megértened a fentiekből?

1) Ha bármilyen korlátot adunk, először egyszerűen megpróbáljuk behelyettesíteni a számot a függvénybe.

2) Meg kell értenie és azonnal meg kell oldania a legegyszerűbb korlátokat, mint pl .

Ráadásul a határnak nagyon jó geometriai jelentése van. A téma jobb megértése érdekében javaslom, hogy olvassa el a tananyagot Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. A cikk elolvasása után nemcsak végre megérti, mi a határ, hanem megismerkedhet vele érdekes esetek, amikor a függvény határa általában nem létezik!

A gyakorlatban sajnos kevés az ajándék. Ezért továbblépünk a bonyolultabb korlátok vizsgálatára. Egyébként ebben a témában van intenzív tanfolyam pdf formátumban, ami különösen akkor hasznos, ha NAGYON kevés időd van a felkészülésre. De a webhely anyagai természetesen nem rosszabbak:

Most megvizsgáljuk a határok csoportját, amikor , és a függvény egy olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinomokat tartalmaz

Példa:

Számítsa ki a határértéket

Szabályunk szerint megpróbáljuk a függvénybe behelyettesíteni a végtelent. Mit kapunk a csúcson? Végtelenség. És mi történik lent? Szintén a végtelen. Így van az úgynevezett faji bizonytalanság. Az ember azt gondolná, és kész a válasz, de általános eset Ez egyáltalán nem így van, és valamilyen megoldást kell alkalmaznia, amelyet most megfontolunk.

Hogyan lehet megoldani az ilyen típusú limiteket?

Először nézzük meg a számlálót, és keressük meg a legmagasabb hatványt:

A számlálóban a vezető hatvány kettő.

Most megnézzük a nevezőt, és megtaláljuk a legnagyobb hatványra:

A nevező legmagasabb foka kettő.

Ezután kiválasztjuk a számláló és a nevező legnagyobb hatványát: ebben a példában ezek megegyeznek és kettővel egyenlők.

Tehát a megoldási módszer a következő: a bizonytalanság feltárásához el kell osztani a számlálót és a nevezőt a legnagyobb hatványral.

Itt van a válasz, és egyáltalán nem a végtelenség.

Mi az, ami alapvetően fontos egy döntés megtervezésében?

Először is jelezzük a bizonytalanságot, ha van ilyen.

Másodszor, tanácsos megszakítani a megoldást köztes magyarázatokhoz. Általában a jelet használom, nincs matematikai jelentése, hanem azt jelenti, hogy a megoldás megszakad egy köztes magyarázat miatt.

Harmadszor, a limitben célszerű megjelölni, hogy mi hol tart. Ha a munkát kézzel készítik, kényelmesebb ezt így megtenni:

A jegyzetekhez jobb egyszerű ceruzát használni.

Természetesen ezt nem kell megtennie, de akkor talán a tanár rámutat a megoldás hiányosságaira, vagy további kérdéseket tesz fel a feladattal kapcsolatban. szükséged van rá?

2. példa

Találd meg a határt
A számlálóban és a nevezőben ismét a legmagasabb fokon találjuk:

Maximális fokozat a számlálóban: 3
Maximális fokozat a nevezőben: 4
Válasszon legnagyobbérték, jelen esetben négy.
Algoritmusunk szerint a bizonytalanság feltárásához a számlálót és a nevezőt elosztjuk -vel.
A teljes feladat így nézhet ki:

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

3. példa

Találd meg a határt
Az „X” maximális mértéke a számlálóban: 2
Az „X” maximális foka a nevezőben: 1 (írható így is)
A bizonytalanság feltárásához el kell osztani a számlálót és a nevezőt -vel. A végső megoldás így nézhet ki:

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

A jelölés nem nullával való osztást jelent (nullával nem lehet osztani), hanem végtelenül kicsi számmal való osztást.

Így a fajok bizonytalanságának feltárásával képesek leszünk rá végső szám, nulla vagy végtelen.

Határok a típus és a megoldási módszer bizonytalanságával

A határértékek következő csoportja némileg hasonlít az imént vizsgált határértékekhez: a számláló és a nevező polinomokat tartalmaz, de az „x” már nem a végtelen felé hajlik, hanem véges szám.

4. példa

Oldja meg a határértéket
Először próbáljuk meg -1-et behelyettesíteni a törtbe:

Ebben az esetben az úgynevezett bizonytalanságot kapjuk.

Általános szabály: ha a számláló és a nevező polinomokat tartalmaz, és az alak bizonytalan, akkor azt fel kell tárni faktoroznia kell a számlálót és a nevezőt.

Ehhez leggyakrabban másodfokú egyenletet kell megoldani és/vagy rövidített szorzóképleteket kell használni. Ha ezeket a dolgokat elfelejtette, akkor látogasson el az oldalra Matematikai képletek és táblázatokés olvassa el a tananyagot Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz. Egyébként a legjobb, ha nagyon gyakran kell kinyomtatni, és a papírról jobban felszívódik az információ.

Tehát oldjuk meg a határunkat

Tényező a számlálót és a nevezőt

A számláló faktorizálásához meg kell oldania a másodfokú egyenletet:

Először megtaláljuk a diszkriminánst:

És ennek négyzetgyöke: .

Ha a diszkrimináns nagy, például 361, akkor számológépet használunk, az extrakciós függvényt négyzetgyök elérhető a legegyszerűbb számológépen.

! Ha a gyökeret nem vonják ki teljesen (kiderül törtszám vesszővel), nagyon valószínű, hogy a diszkriminánst rosszul számították ki, vagy elírás volt a feladatban.

Ezután megtaláljuk a gyökereket:

Így:

Minden. A számláló faktorizált.

Nevező. A nevező már a legegyszerűbb tényező, és nincs mód egyszerűsíteni.

Nyilvánvalóan rövidíthető így:

Most behelyettesítjük -1-et a határjel alatt maradó kifejezésbe:

Természetesen be próbamunka, teszt vagy vizsga során soha nem írják ki ilyen részletesen a megoldást. A végső verzióban a dizájnnak valahogy így kell kinéznie:

Tényezőzzük a számlálót.

5. példa

Számítsa ki a határértéket

Először is a megoldás „befejezési” változata

Tegyük faktorba a számlálót és a nevezőt.

Számláló:
Nevező:



,

Mi a fontos ebben a példában?
Először is jól kell értenie a számláló felfedésének módját, először 2-t vettünk ki a zárójelekből, majd a négyzetek különbségének képletét használtuk. Ez az a képlet, amelyet ismerned és látnod kell.

Ajánlás: Ha egy limitben (szinte bármilyen típusú) lehet egy számot zárójelből kivenni, akkor mindig ezt tesszük.
Ezenkívül tanácsos az ilyen számokat a határérték ikonon túlra mozgatni. Minek? Igen, csak azért, hogy ne akadályozzák. A lényeg, hogy ezeket a számokat ne veszítsük el később a megoldás során.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megoldás utolsó szakaszában a limit ikonból kivettem a kettőt, majd a mínuszt.

! Fontos
A megoldás során igen gyakran előfordul típustöredék. Csökkentse ezt a törtettilos . Először meg kell változtatnia a számláló vagy nevező előjelét (a -1-et zárójelbe kell tenni).
, azaz megjelenik egy mínuszjel, amit a limit számításánál figyelembe veszünk és egyáltalán nem kell elveszíteni.

Általánosságban azt vettem észre, hogy az ilyen típusú határok megtalálásakor leggyakrabban két másodfokú egyenletet kell megoldani, vagyis mind a számláló, mind a nevező másodfokú trinomit tartalmaz.

A számláló és a nevező konjugált kifejezéssel való szorzásának módszere

Továbbra is figyelembe vesszük a forma bizonytalanságát

A következő típusú korlátok hasonlóak az előző típushoz. Az egyetlen dolog, a polinomok mellett gyököket adunk hozzá.

6. példa

Találd meg a határt

Kezdjük el dönteni.

Először 3-at próbálunk behelyettesíteni a határjel alatti kifejezésbe
Még egyszer megismétlem – ez az első dolog, amit meg kell tennie BÁRMILYEN limithez. Ezt a műveletet általában mentálisan vagy tervezet formájában hajtják végre.

A forma bizonytalanságát kaptuk, amelyet ki kell küszöbölni.

Mint valószínűleg észrevette, a számlálónk tartalmazza a gyökök különbségét. A matematikában pedig szokás a gyökerektől megszabadulni, ha lehet. Minek? És könnyebb az élet nélkülük.

A korlátok megoldásával járó problémák között vannak gyökeres határok. Ha a függvénybe behelyettesítjük a $ x $ értéket, bizonytalanságokat kapunk három fajta:

1. $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
2. $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
3. $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Mielőtt elkezdené a megoldást, határozza meg a probléma típusát

Írja be: 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Az ilyen bizonytalanságok feltárása érdekében meg kell szorozni a tört számlálóját és nevezőjét a gyököt tartalmazó kifejezés konjugátumával.

1. példa

Keresse meg a határértéket a gyökérrel: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$

Megoldás

Helyettesítse a $ x \-t 4 $-ra a sublimit függvényben: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Megkapjuk a $ [\frac(0)(0)] $ bizonytalanságot. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a hozzá konjugált kifejezéssel, mivel ez tartalmazza a gyökét: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ A $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ négyzetek különbségének képletével csökkentjük a határt a következő alakra: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Megnyitjuk a zárójeleket a nevezőben, és leegyszerűsítjük: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Csökkentsük a függvényt a korlátban $ x-4 $-al, így van: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megtekintheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!

Válasz

$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

Írja be: 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Az ilyen típusú gyökérrel rendelkező korlátok, amikor a $ x \to \infty $ értéket az előző esettől eltérően kell kiszámítani. Meg kell határozni a számláló és a nevező kifejezések legnagyobb hatványait. Ezután vegye ki a két fok közül a legmagasabbat a zárójelekből, és rövidítse le.

Írja be: 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Ez a fajta korlát gyakran előfordul további feladatokat a vizsgán. Végül is a hallgatók gyakran nem számítják ki megfelelően az ilyen típusú határokat. Hogyan lehet limiteket megoldani az ilyen típusú gyökerekkel? Ez egyszerű. A határértékben lévő függvényt meg kell szorozni és el kell osztani a hozzá konjugált kifejezéssel.

3. példa

Számítsa ki a gyökérkorlátot $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$

Megoldás

$ x \to \infty $ esetén a korlátban a következőket látjuk: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ A konjugátummal való szorzás és osztás után megkapjuk a határt: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2) -3x)+x) = $$ Egyszerűsítsük a számlálót a négyzetek különbségi képletével: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ A zárójelek kinyitása és egyszerűsítése után a következőket kapjuk: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Ismét behelyettesítjük a $ x \to \infty $-t a limitbe, és kiszámítjuk: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$

Válasz

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

A típus- és fajbizonytalanság a leggyakoribb bizonytalanság, amelyet fel kell tárni a limitek megoldása során.

A hallgatók által tapasztalt határproblémák többsége éppen ilyen bizonytalanságot tartalmaz. Ezek feltárására, pontosabban a bizonytalanságok elkerülésére számos mesterséges technika létezik a határjel alatti kifejezéstípus átalakítására. Ezek a technikák a következők: a számláló és a nevező tagok szerinti osztása a változó legmagasabb hatványával, szorzás a konjugált kifejezéssel és faktorizálás a későbbi redukcióhoz megoldások segítségével másodfokú egyenletekés a rövidített szorzóképletek.

A fajok bizonytalansága

1. példa

n egyenlő 2-vel. Ezért a számláló és a nevező tagját elosztjuk a következővel:

.

Megjegyzés a kifejezés jobb oldalán. A nyilak és a számok jelzik, hogy milyen törtek hajlamosak a helyettesítésre n a végtelent jelenti. Itt, mint a 2. példában, a fokozat n Több van a nevezőben, mint a számlálóban, aminek következtében a teljes tört végtelenül kicsi vagy „szuperkicsi”.

Megkapjuk a választ: ennek a függvénynek a határértéke a végtelenbe hajló változóval egyenlő.

2. példa .

Megoldás. Itt a változó legmagasabb hatványa x egyenlő 1-gyel. Ezért a számlálót és a nevezőt tagonként elosztjuk azzal x:

.

Kommentár a döntés előrehaladásáról. A számlálóban a harmadik fok gyöke alá hajtjuk az „x”-et, és úgy, hogy az eredeti foka (1) változatlan maradjon, hozzárendeljük a gyökével azonos fokozatot, vagyis a 3-at. Nincsenek nyilak vagy további számok Ebben a bejegyzésben próbálja meg gondolatban, de az előző példával analóg módon határozza meg, hogy a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezések milyenek az „x” helyett a végtelen behelyettesítése után.

Megkaptuk a választ: ennek a függvénynek a határértéke a végtelenbe hajló változóval egyenlő nullával.

A fajok bizonytalansága

3. példa Fedezze fel a bizonytalanságot, és találja meg a határt.

Megoldás. A számláló a kockák különbsége. Tényezőzzük az iskolai matematika tantárgy rövidített szorzóképletével:

A nevezőben van egy másodfokú trinom, amelyet egy másodfokú egyenlet megoldásával faktorizálunk (még egyszer egy hivatkozás a másodfokú egyenletek megoldásához):

Írjuk fel a transzformációk eredményeként kapott kifejezést, és keressük meg a függvény határát:

4. példa Oldja fel a bizonytalanságot, és találja meg a határt

Megoldás. A hányadoshatártétel itt nem alkalmazható, mivel

Ezért a törtet azonos módon alakítjuk át: a számlálót és a nevezőt megszorozzuk a binomiális konjugátummal a nevezővel, és csökkentjük x+1. Az 1. Tétel következménye szerint egy kifejezést kapunk, amelyet megoldva megtaláljuk a kívánt határt:

5. példa Oldja fel a bizonytalanságot, és találja meg a határt

Megoldás. Közvetlen értékhelyettesítés x= 0 V adott funkciót 0/0 formájú bizonytalansághoz vezet. Ennek feltárásához azonos átalakításokat hajtunk végre, és végül megkapjuk a kívánt határt:

6. példa. Számítsa ki

Megoldás: Használjuk a határértékekre vonatkozó tételeket

Válasz: 11

7. példa. Számítsa ki

Megoldás: ebben a példában a számláló és a nevező határértékei 0-val egyenlők:

; . Megkaptuk tehát, hogy a hányados határára vonatkozó tétel nem alkalmazható.

Tényezőzzük a számlálót és a nevezőt, hogy a törtet nullára hajló közös tényezővel csökkentsük, és ezáltal lehetővé váljon a 3. Tétel alkalmazása.

A számláló négyzetes trinomit a képlet segítségével bővítjük, ahol x 1 és x 2 a trinom gyöke. A faktorizálás és a nevező után a törtet (x-2) csökkentjük, majd alkalmazzuk a 3. Tételt.

Válasz:

8. példa. Számítsa ki

Megoldás: Amikor a számláló és a nevező a végtelenbe hajlik, ezért a 3. Tétel közvetlen alkalmazásakor a bizonytalanságot jelző kifejezést kapjuk. Az ilyen típusú bizonytalanság elkerülése érdekében a számlálót és a nevezőt el kell osztani az argumentum legnagyobb hatványával. Ebben a példában osztani kell vele X:

Válasz:

9. példa. Számítsa ki

Megoldás: x 3:

Válasz: 2

10. példa. Számítsa ki

Megoldás: Amikor a számláló és a nevező a végtelenbe hajlik. Osszuk el a számlálót és a nevezőt az argumentum legnagyobb hatványával, azaz! x 5:

=

A tört számlálója 1-re, nevezője 0-ra, tehát a tört a végtelenbe hajlik.

Válasz:

11. példa. Számítsa ki

Megoldás: Amikor a számláló és a nevező a végtelenbe hajlik. Osszuk el a számlálót és a nevezőt az argumentum legnagyobb hatványával, azaz! x 7:

Válasz: 0

Származék.

Az y = f(x) függvény deriváltja az x argumentumhoz képest y növekménye és az x argumentum x növekménye arányának a határát nevezzük, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik: . Ha ez a határ véges, akkor a függvény y = f(x) azt mondjuk, hogy x-ben differenciálható. Ha ez a határ létezik, akkor azt mondják, hogy a függvény y = f(x) végtelen deriváltja van az x pontban.

Az alapvető elemi függvények származékai:

1. (állandó)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

A megkülönböztetés szabályai:

a)

V)

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás: Ha a második tag származékát a törtek differenciálási szabályával találjuk meg, akkor az első tag egy összetett függvény, amelynek származékát a következő képlettel találjuk meg:

, Hol , Akkor

A megoldás során a következő képleteket használtam: 1,2,10,a,c,d.

Válasz:

21. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás: mindkét kifejezés - összetett funkciók, ahol az első , , és a második , , akkor

Válasz:

Származékos alkalmazások.

1. Sebesség és gyorsulás

Leírja az s(t) függvény pozíció objektum valamilyen koordinátarendszerben a t időpontban. Ekkor az s(t) függvény első deriváltja pillanatnyi sebesség objektum:
v=s′=f′(t)
Az s(t) függvény második deriváltja a pillanatnyi értéket jelenti gyorsulás objektum:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Érintőegyenlet
y-y0=f′(x0)(x-x0),
ahol (x0,y0) az érintőpont koordinátái, f′(x0) az f(x) függvény deriváltjának értéke az érintőpontban.

3. Normál egyenlet
y-y0=-1f′(x0)(x-x0),

ahol (x0,y0) annak a pontnak a koordinátái, ahol a normált rajzoljuk, f′(x0) az f(x) függvény deriváltjának értéke ebben a pontban.

4. Növekvő és csökkentő funkció
Ha f′(x0)>0, akkor a függvény az x0 pontban növekszik. Az alábbi ábrán a függvény x-szel növekszik x2.
Ha f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ha f′(x0)=0 vagy a derivált nem létezik, akkor ez a kritérium nem teszi lehetővé, hogy meghatározzuk a függvény monotonitásának természetét az x0 pontban.

5. Egy függvény lokális szélsőértéke
Az f(x) függvény rendelkezik helyi maximum az x1 pontban, ha van az x1 pontnak olyan környéke, hogy ebből a környékből minden x-re teljesül az f(x1)≥f(x) egyenlőtlenség.
Hasonlóképpen az f(x) függvény is rendelkezik helyi minimum az x2 pontban, ha van az x2 pontnak olyan környéke, hogy ebből a környékből minden x-re teljesül az f(x2)≤f(x) egyenlőtlenség.

6. Kritikus pontok
Az x0 pont az kritikus pont f(x) függvény, ha a benne szereplő f′(x0) derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik.

7. Az első elégséges jele a szélsőség létezésének
Ha az f(x) függvény növekszik (f′(x)>0) minden x esetén valamilyen intervallumban (a,x1] és csökken (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) minden x-re a ) intervallumból