Mik azok a sajátértékek? A mátrix sajátértékei és sajátvektorai

Hogyan lehet matematikai képleteket beszúrni egy webhelyre?

Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a cikkben leírtak szerint teheti meg a legegyszerűbben: a matematikai képleteket könnyen beillesztheti az oldalra képek formájában, amelyeket a Wolfram Alpha automatikusan generál. . Az egyszerűség mellett ez az univerzális módszer segít javítani a webhely láthatóságát keresőmotorok. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de már erkölcsileg elavult.

Ha rendszeresen használ matematikai képleteket webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot – egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a webböngészőkben MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelölést használva.

A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverek listája); (2) töltse le a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második módszer – bonyolultabb és időigényesebb – felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és mindössze 5 percen belül a MathJax összes funkcióját használhatja webhelyén.

A MathJax könyvtár szkriptjét távoli kiszolgálóról csatlakoztathatja a MathJax fő webhelyéről vagy a dokumentációs oldalon található két kódopció használatával:

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ennyi. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket szúrjon be webhelye weboldalaiba.

Bármely fraktál egy bizonyos szabály szerint készül, amelyet következetesen korlátlan számú alkalommal alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.

A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az 1-es oldalú eredeti kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és a lapok mentén szomszédos 6 kockát eltávolítanak róla. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy 400 kisebb kockából álló készletet kapunk. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.

A www.site segítségével megtalálhatja. Az oldal elvégzi a számítást. Néhány másodpercen belül a szerver megadja a helyes megoldást. A mátrix karakterisztikus egyenlete egy algebrai kifejezés lesz, amelyet a mátrix mátrix determinánsának kiszámítási szabálya szerint találunk, míg a főátló az átlós elemek és a változó értékeinek különbsége lesz. Egy mátrix karakterisztikus egyenletének online kiszámításakor a mátrix minden eleme megszorozódik a mátrix megfelelő többi elemével. Csak négyzetmátrixhoz találja meg az interneten. Az online mátrix karakterisztikus egyenletének megtalálásának művelete a mátrix determinánsának megtalálása eredményeként a mátrixelemek szorzatának algebrai összegének kiszámítására redukálódik, csak az online karakterisztikus egyenlet meghatározásához. mátrix. Ez a művelet különleges helyet foglal el a mátrixelméletben, lehetővé teszi sajátértékek és vektorok megtalálását a gyökerek segítségével. A mátrix karakterisztikus egyenletének online megtalálásának feladata abból áll, hogy a mátrix elemeit megszorozzuk, majd ezeket a szorzatokat egy bizonyos szabály szerint összegezzük. A www.site online megtalálja egy adott dimenziójú mátrix jellemző egyenletét. A karakterisztikus egyenlet kiszámítása egy adott dimenzióhoz tartozó mátrixra online egy numerikus vagy szimbolikus együtthatós polinom megtalálása, amelyet a mátrix determinánsának számítási szabálya szerint találunk - a mátrix megfelelő elemeinek szorzatának összegeként, csak a mátrix karakterisztikus egyenletének online meghatározásához. A mátrixelméletben elterjedt polinom keresése egy négyzetes mátrix változójához, mint a mátrix karakterisztikus egyenletének meghatározása. Az online mátrix karakterisztikus egyenletpolinomjának gyökeinek értéke a mátrix sajátvektorainak és sajátértékeinek meghatározására szolgál. Sőt, ha a mátrix determinánsa egyenlő nullával, akkor a mátrix karakterisztikus egyenlete továbbra is fennáll, ellentétben inverz mátrix. Egy mátrix karakterisztikus egyenletének kiszámításához vagy több mátrix karakterisztikus egyenletének megtalálásához sok időt és erőfeszítést kell költenie, miközben szerverünk pillanatok alatt online megtalálja a mátrix karakterisztikus egyenletét. Ebben az esetben az online mátrix karakterisztikus egyenletének megtalálására adott válasz helyes és kellő pontosságú lesz, még akkor is, ha az online mátrix karakterisztikus egyenletének megtalálásakor a számok irracionálisak. A www.site weboldalon megengedett a szimbolikus bevitel mátrixelemekben, vagyis az online mátrix karakterisztikus egyenlete általános szimbolikus formában ábrázolható egy online mátrix karakterisztikus egyenletének kiszámításakor. Hasznos ellenőrizni a kapott választ egy mátrix karakterisztikus egyenletének online megkeresésekor, a www.site webhely segítségével. A polinom - a mátrix jellemző egyenlete - kiszámításának művelete során óvatosnak és rendkívül koncentráltnak kell lennie a probléma megoldása során. Oldalunk viszont segít Önnek ellenőrizni a megoldást a mátrix karakterisztikus egyenlete témakörben online. Ha nincs ideje a megoldott problémák hosszú ellenőrzésére, akkor a www.site minden bizonnyal kényelmes eszköz lesz a mátrix jellemző egyenletének online megkereséséhez és kiszámításához.

A négyzetes mátrix sajátvektora az, amelyet egy adott mátrixszal megszorozva kollineáris vektort kapunk. Egyszerű szavakkal, ha egy mátrixot megszorozunk egy sajátvektorral, az utóbbi ugyanaz marad, de megszorozzuk egy bizonyos számmal.

Meghatározás

A sajátvektor egy nullától eltérő V vektor, amely egy M négyzetmátrixszal megszorozva önmagát valamilyen λ számmal megnöveli. Algebrai jelöléssel így néz ki:

M × V = λ × V,

ahol λ az M mátrix sajátértéke.

Nézzünk egy numerikus példát. A rögzítés megkönnyítése érdekében a mátrixban szereplő számokat pontosvessző választja el. Legyen egy mátrixunk:

• M=0; 4;
• 6; 10.

Szorozzuk meg egy oszlopvektorral:

• V = -2;

Ha egy mátrixot megszorozunk egy oszlopvektorral, akkor egy oszlopvektort is kapunk. Szigorú matematikai nyelven a 2 × 2-es mátrix oszlopvektorral való szorzásának képlete a következőképpen néz ki:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

Az M11 az M mátrix első sorban és első oszlopában található elemét jelenti, az M22 pedig a második sorban és a második oszlopban található elemet. A mi mátrixunkban ezek az elemek egyenlőek: M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Oszlopvektor esetén ezek az értékek V11 = –2, V21 = 1. E képlet szerint, egy négyzetmátrix vektorral való szorzatának a következő eredményét kapjuk:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

A kényelem kedvéért írjuk az oszlopvektort egy sorba. Tehát a négyzetmátrixot megszoroztuk a (-2; 1) vektorral, így a (4; -2) vektort kaptuk. Nyilvánvaló, hogy ez ugyanaz a vektor, megszorozva λ = -2-vel. A lambda ebben az esetben a mátrix sajátértékét jelöli.

A mátrix sajátvektora egy kollineáris vektor, vagyis olyan objektum, amely nem változtatja meg a térbeli helyzetét, ha mátrixszal megszorozzuk. A vektoralgebrában a kollinearitás fogalma hasonló a geometriai párhuzamosság fogalmához. Geometriai értelmezésben a kollineáris vektorok párhuzamosan irányított, különböző hosszúságú szakaszok. Eukleidész kora óta tudjuk, hogy egy egyenesnek végtelen számú vele párhuzamos egyenese van, ezért logikus azt feltételezni, hogy minden mátrixban végtelen sok sajátvektor van.

Az előző példából jól látható, hogy a sajátvektorok lehetnek (-8; 4), és (16; -8) és (32, -16). Ezek mind kollineáris vektorok, amelyek megfelelnek a λ = -2 sajátértéknek. Ha az eredeti mátrixot megszorozzuk ezekkel a vektorokkal, akkor is olyan vektort kapunk, amely 2-szer különbözik az eredetitől. Éppen ezért a sajátvektor megtalálásának problémáinak megoldása során csak lineárisan független vektorobjektumokat kell megtalálni. Leggyakrabban egy n × n mátrixhoz n számú sajátvektor van. Számológépünk másodrendű négyzetmátrixok elemzésére készült, így az eredmény szinte mindig két sajátvektort talál, kivéve azokat az eseteket, amikor azok egybeesnek.

A fenti példában előre tudtuk az eredeti mátrix sajátvektorát, és egyértelműen meghatároztuk a lambda számot. A gyakorlatban azonban minden fordítva történik: először a sajátértékeket találják meg, és csak azután a sajátvektorokat.

Megoldási algoritmus

Nézzük meg újra az eredeti M mátrixot, és próbáljuk megtalálni mindkét sajátvektorát. Tehát a mátrix így néz ki:

• M=0; 4;
• 6; 10.

Először meg kell határoznunk a λ sajátértéket, amihez ki kell számítani a következő mátrix determinánsát:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ez a mátrixúgy kapjuk, hogy a főátló elemeiből kivonjuk az ismeretlen λ-t. A determinánst a standard képlet segítségével határozzuk meg:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Mivel a vektorunknak nullától eltérőnek kell lennie, a kapott egyenletet lineárisan függőnek fogadjuk el, és a detA determinánsunkat nullával egyenlővé tesszük.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Nyissuk ki a zárójeleket és kapjuk meg a mátrix karakterisztikus egyenletét:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ez szabvány másodfokú egyenlet, amit a diszkriminánson keresztül kell megoldani.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

A diszkrimináns gyöke sqrt(D) = 14, ezért λ1 = -2, λ2 = 12. Most minden lambda értékhez meg kell találnunk a sajátvektort. Adjuk meg a rendszeregyütthatókat λ = -2 esetén.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Ebben a képletben E az azonosságmátrix. A kapott mátrix alapján lineáris egyenletrendszert készítünk:

2x + 4y = 6x + 12y,

ahol x és y a sajátvektor elemek.

Gyűjtsük össze az összes X-et a bal oldalon és az összes Y-t a jobb oldalon. Nyilvánvalóan - 4x = 8 év. Osszuk el a kifejezést -4-gyel, és kapjuk x = –2y. Most meghatározhatjuk a mátrix első sajátvektorát az ismeretlenek tetszőleges értékével (emlékezzünk a lineárisan függő sajátvektorok végtelenjére). Tegyük fel, hogy y = 1, majd x = –2. Ezért az első sajátvektor így néz ki: V1 = (–2; 1). Vissza a cikk elejére. Ezzel a vektorobjektummal szoroztuk meg a mátrixot, hogy bemutassuk a sajátvektor fogalmát.

Most keressük meg a λ = 12 sajátvektorát.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Hozzuk létre ugyanazt a lineáris egyenletrendszert;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6 év
• 3x = y.

Most x = 1, tehát y = 3. Így a második sajátvektor így néz ki, mint V2 = (1; 3). Ha az eredeti mátrixot megszorozzuk egy adott vektorral, az eredmény mindig ugyanaz a vektor lesz szorozva 12-vel. Itt ér véget a megoldási algoritmus. Most már tudja, hogyan kell manuálisan meghatározni egy mátrix sajátvektorát.

• döntő;
• trace, azaz a főátlón lévő elemek összege;
• rang, azaz a lineárisan független sorok/oszlopok maximális száma.

A program a fenti algoritmus szerint működik, lehetőség szerint lerövidítve a megoldási folyamatot. Fontos kiemelni, hogy a programban a lambdát a „c” betű jelöli. Nézzünk egy numerikus példát.

Példa a program működésére

Próbáljuk meg meghatározni a sajátvektorokat a következő mátrixhoz:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Írjuk be ezeket az értékeket a számológép celláiba, és kapjuk meg a választ a következő formában:

• Mátrix rang: 2;
• Mátrix determináns: 18;
• Mátrix nyom: 19;
• A sajátvektor számítása: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteregyenlet);
• Sajátvektor számítás: 18 (első lambda érték);
• Sajátvektor számítás: 1 (második lambda érték);
• Egyenletrendszer az 1. vektorhoz: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Egyenletrendszer a 2. vektorhoz: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• 1. sajátvektor: (1; 1);
• 2. sajátvektor: (-3,25; 1).

Így két lineárisan független sajátvektort kaptunk.

Következtetés

Lineáris algebra és analitikus geometria- standard tantárgyak bármely pályakezdő számára műszaki szakterületen. Nagy mennyiségben a vektorok és a mátrixok félelmetesek, és az ilyen nehézkes számításokban könnyű hibázni. Programunk lehetővé teszi a diákok számára, hogy ellenőrizzék számításaikat, vagy automatikusan megoldják a sajátvektor megtalálásának problémáját. Katalógusunkban más lineáris algebrai számológépek is találhatók, amelyeket tanulmányaiban vagy munkájában használhat.