Hogyan találjuk meg a mátrix egy elemét, amely inverz egy adott elemmel. Inverz mátrix és tulajdonságai

Keresse meg az egyes 2x2 mátrixok definícióját. Bármely mátrix minden eleme, beleértve a transzponáltat is, hozzá van rendelve egy megfelelő 2x2-es mátrixhoz. Egy adott elemnek megfelelő 2x2-es mátrix megtalálásához húzza át azt a sort és oszlopot, amelyben az adott elem található, vagyis az eredeti 3x3-as mátrix öt elemét kell áthúzni. Négy elem keresztezetlen marad, amelyek a megfelelő 2x2 mátrix elemei.

• Ha például egy 2x2-es mátrixot szeretne találni a második sor és az első oszlop metszéspontjában található elemhez, húzza ki a második sorban és az első oszlopban található öt elemet. A maradék négy elem a megfelelő 2x2-es mátrix elemei.
• Keresse meg az egyes 2x2 mátrixok determinánsát! Ehhez vonjuk le a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából (lásd az ábrát).
• A 3x3-as mátrix egyes elemeinek megfelelő 2x2-es mátrixokról részletes információk találhatók az interneten.

Hozzon létre egy kofaktor mátrixot.Írja le a korábban kapott eredményeket egy új kofaktormátrix formájában! Ehhez írja fel minden 2x2-es mátrix talált determinánsát, ahol a 3x3-as mátrix megfelelő eleme volt. Például, ha egy 2x2-es mátrixot fontolgat az (1,1) elemhez, írja be a determinánsát az (1,1) pozícióba. Ezután változtassa meg a megfelelő elemek jeleit egy bizonyos séma szerint, amely az ábrán látható.

• Jelváltási séma: az első sor első elemének előjele nem változik; az első sor második elemének előjele megfordul; az első sor harmadik elemének előjele nem változik, és így soronként. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a diagramon látható „+” és „-” jelek (lásd az ábrát) nem azt jelzik, hogy a megfelelő elem pozitív vagy negatív lesz. Ebben az esetben a „+” jel azt jelzi, hogy az elem előjele nem változik, a „-” jel pedig az elem előjelének változását.
• A kofaktormátrixokról részletes információk találhatók az interneten.
• Így megtalálja az eredeti mátrix adjungált mátrixát. Néha összetett konjugált mátrixnak is nevezik. Az ilyen mátrixot adj(M)-ként jelöljük.

Osszuk el az adjunkt mátrix minden elemét a determinánsával. Az M mátrix determinánsát a legelején kiszámítottuk, hogy ellenőrizzük az inverz mátrix létezését. Most osszuk el az adjungált mátrix minden elemét ezzel a determinánssal. Írja fel minden osztási művelet eredményét, ahol a megfelelő elem található! Így megtalálja a mátrixot az eredetivel fordítottan.

• Az ábrán látható mátrix determinánsa 1. Tehát itt az adjunkt mátrix az inverz mátrix (mert ha bármely számot elosztunk 1-gyel, az nem változik).
• Egyes forrásokban az osztási műveletet az 1/det(M) szorzás művelete váltja fel. A végeredmény azonban nem változik.

Írd fel az inverz mátrixot!Írja fel a nagy mátrix jobb felében található elemeket külön mátrixként, amely az inverz mátrix!

Írja be az eredeti mátrixot a számológép memóriájába. Ehhez kattintson a Mátrix gombra, ha elérhető. Egy Texas Instruments számológép esetén előfordulhat, hogy meg kell nyomnia a 2. és a Matrix gombot.

Válassza a Szerkesztés menüt. Ehhez használja a nyílgombokat vagy a megfelelő funkciógombot, amely a számológép billentyűzetének tetején található (a gomb helye a számológép típusától függően változik).

Írja be a mátrix jelölést. A legtöbb grafikus számológép 3-10 mátrixszal tud dolgozni, amelyek kijelölhetők A-J betűk. Általában csak válassza ki az [A]-t az eredeti mátrix kijelöléséhez. Ezután nyomja meg az Enter gombot.

Adja meg a mátrix méretét. Ez a cikk a 3x3-as mátrixokról szól. De a grafikus számológépek nagy mátrixokkal is tudnak dolgozni. Adja meg a sorok számát, nyomja meg az Enter billentyűt, majd adja meg az oszlopok számát, és nyomja meg ismét az Enter billentyűt.

Adja meg az egyes mátrixelemeket. A számológép képernyőjén egy mátrix jelenik meg. Ha korábban már bevitt egy mátrixot a számológépbe, az megjelenik a képernyőn. A kurzor kiemeli a mátrix első elemét. Adja meg az első elem értékét, és nyomja meg az Enter billentyűt. A kurzor automatikusan a következő mátrixelemre ugrik.

Folytassuk a beszélgetést a mátrixokkal végzett cselekvésekről. Ennek az előadásnak a tanulmányozása során ugyanis megtanulod, hogyan kell megtalálni az inverz mátrixot. Tanul. Még ha nehéz is a matematika.

Mi az inverz mátrix? Itt analógiát vonhatunk az inverz számokkal: vegyük például az optimista 5-ös számot és annak inverz számát. E számok szorzata eggyel egyenlő: . Minden hasonló a mátrixokkal! Egy mátrix és inverz mátrixának szorzata egyenlő: identitásmátrix, amely a numerikus egység mátrixanalógja. Azonban először is – először is oldjunk meg egy fontos gyakorlati kérdést, nevezetesen, tanuljuk meg, hogyan találjuk meg ezt a nagyon inverz mátrixot.

Mit kell tudni és tudni kell az inverz mátrix megtalálásához? Tudnod kell dönteni minősítők. Meg kell értened, mi az mátrixés tudjon velük néhány műveletet végrehajtani.

Két fő módszer létezik az inverz mátrix megtalálására:
használva algebrai összeadásokÉs elemi transzformációk segítségével.

Ma az első, egyszerűbb módszert fogjuk tanulmányozni.

Kezdjük a legszörnyűbbvel és a legérthetetlenebbel. Mérlegeljük négyzet mátrix. Az inverz mátrix a következő képlettel kereshető meg:

Ahol a mátrix determinánsa, ott a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Az inverz mátrix fogalma csak négyzetmátrixokra létezik, mátrixok „kettő-kettő”, „három-három” stb.

Megnevezések: Amint azt már észrevette, az inverz mátrixot felső index jelöli

Kezdjük a legegyszerűbb esettel - egy két-két mátrixszal. Leggyakrabban természetesen „háromszor három” szükséges, de ennek ellenére erősen ajánlom egy egyszerűbb feladat tanulmányozását, hogy elsajátítsák általános elv megoldásokat.

Példa:

Keresse meg a mátrix inverzét

Döntsünk. A műveletek sorrendjét célszerű pontról pontra lebontani.

1) Először keressük meg a mátrix determinánsát.

Ha nem jól értette ezt a műveletet, olvassa el az anyagot Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Fontos! Ha a mátrix determinánsa egyenlő NULLA– inverz mátrix NEM LÉTEZIK.

A vizsgált példában, mint kiderült, , ami azt jelenti, hogy minden rendben van.

2) Keresse meg a kiskorúak mátrixát!.

Problémánk megoldásához nem szükséges tudni, mi az a kiskorú, de célszerű elolvasni a cikket Hogyan kell kiszámítani a determinánst.

A kiskorúak mátrixának mérete megegyezik a mátrixéval, vagyis ebben az esetben.
Már csak az a teendő, hogy keressen négy számot, és tegye őket csillagok helyett.

Térjünk vissza a mátrixunkhoz
Nézzük először a bal felső elemet:

Hogyan lehet megtalálni kiskorú?
És ez így történik: MENTÁLISAN húzd át azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található:

A fennmaradó szám az ennek az elemnek a kisebbik része, amit a kiskorúak mátrixába írunk:

Tekintsük a következő mátrixelemet:

Gondolatban húzza át azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem megjelenik:

Marad ennek az elemnek a mollja, amit a mátrixunkba írunk:

Hasonlóképpen figyelembe vesszük a második sor elemeit, és megkeressük a kiskorúakat:


Kész.

Ez egyszerű. A kiskorúak mátrixában, amire szüksége van VÁLTOZÁS JELEK két szám:

Ezeket a számokat karikáztam be!

– a mátrix megfelelő elemeinek algebrai összeadásainak mátrixa.

És csak...

4) Keresse meg az algebrai összeadások transzponált mátrixát!.

– a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

5) Válasz.

Emlékezzünk a képletünkre
Mindent megtaláltak!

Tehát az inverz mátrix:

Jobb, ha a választ úgy hagyja, ahogy van. NINCS SZÜKSÉG osszuk el a mátrix minden elemét 2-vel, ahogy kapjuk törtszámok. Ezt az árnyalatot ugyanabban a cikkben tárgyaljuk részletesebben. Műveletek mátrixokkal.

Hogyan ellenőrizhető a megoldás?

El kell végezni a mátrixszorzást ill

Vizsgálat:

A már említett érkezett identitásmátrix egy mátrix az egyesekkel by főátló más helyeken pedig nullák.

Így az inverz mátrix helyesen található.

Ha végrehajtja a műveletet, az eredmény egy identitásmátrix is ​​lesz. Ez azon kevés esetek egyike, ahol a mátrixszorzás kommutatív, erről bővebben a cikkben olvashat Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai. Mátrix kifejezések. Vegye figyelembe azt is, hogy az ellenőrzés során a konstans (tört) előre kerül és a legvégén kerül feldolgozásra - a mátrixszorzás után. Ez egy szabványos technika.

Térjünk át egy gyakoribb esetre a gyakorlatban - a háromszor három mátrixra:

Példa:

Keresse meg a mátrix inverzét

Az algoritmus pontosan ugyanaz, mint a „kettő a kettő” esetnél.

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg: , ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

1) Keresse meg a mátrix determinánsát!.

Itt kiderül a meghatározó az első sorban.

Ezt ne felejtsd el, ami azt jelenti, hogy minden rendben van - inverz mátrix létezik.

2) Keresse meg a kiskorúak mátrixát!.

A kiskorúak mátrixának dimenziója „háromszor három” , és kilenc számot kell találnunk.

Megnézek néhány kiskorút részletesen:

Tekintsük a következő mátrixelemet:

MENTÁLISAN húzd át azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található:

A maradék négy számot a „kettő-kettő” determinánsba írjuk.

Ez a kettő-kettő meghatározó és ennek az elemnek a moll része. Ki kell számolni:


Ennyi, a kiskorút megtalálták, beírjuk a kiskorúak mátrixába:

Amint azt valószínűleg kitalálta, kilenc két-két meghatározó tényezőt kell kiszámítania. A folyamat persze fárasztó, de az eset nem a legsúlyosabb, lehet rosszabb is.

Nos, hogy konszolidáljunk – újabb kiskorút találva a képeken:

Próbáld meg te magad kiszámolni a megmaradt kiskorúakat.

Végeredmény:
– a mátrix megfelelő elemeinek minor mátrixa.

Az, hogy az összes kiskorú negatívnak bizonyult, pusztán véletlen.

3) Keresse meg az algebrai összeadások mátrixát!.

A kiskorúak mátrixában ez szükséges VÁLTOZÁS JELEK szigorúan a következő elemekre:

Ebben az esetben:

Nem gondoljuk az inverz mátrix megtalálását „négyszer négyes” mátrixra, hiszen ilyen feladatot csak szadista tanár adhat (a diáknak egy „négyszer négy” determinánst és 16 „háromszor három” determinánst kell kiszámítani. ). Az én praxisomban egyetlen ilyen eset volt, és az ügyfél próba munka elég drágán fizettem a kínomért =).

Számos tankönyvben és kézikönyvben találhatunk némileg eltérő megközelítést az inverz mátrix megtalálásához, de javaslom a fent vázolt megoldási algoritmus használatát. Miért? Mert sokkal kisebb a valószínűsége annak, hogy összezavarodunk a számításokban és az előjelekben.

Az inverz mátrix megtalálása.

Ebben a cikkben megismerjük az inverz mátrix fogalmát, tulajdonságait és megtalálási módszereit. Foglalkozzunk részletesen azokkal a példákkal, amelyekben inverz mátrixot kell készíteni egy adott mátrixhoz.

Oldalnavigáció.

Inverz mátrix - definíció.

Az inverz mátrix megtalálása algebrai komplementerekből származó mátrix segítségével.

Egy inverz mátrix tulajdonságai.

Az inverz mátrix megtalálása Gauss-Jordan módszerrel.

Az inverz mátrix elemeinek megtalálása a megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Inverz mátrix - definíció.

Az inverz mátrix fogalmát csak olyan négyzetmátrixokra vezetjük be, amelyek determinánsa nem nulla, azaz nem szinguláris négyzetmátrixokra.

Meghatározás.

Mátrixmátrix inverzének nevezzük, amelynek determinánsa eltér nullától, ha az egyenlőségek igazak , Ahol E– egységrendelési mátrix n tovább n.

Az inverz mátrix megtalálása algebrai komplementerekből származó mátrix segítségével.

Hogyan találjuk meg az inverz mátrixot egy adott mátrixhoz?

Először is szükségünk van a fogalmakra transzponált mátrix, mátrix-moll és mátrixelem algebrai komplementere.

Meghatározás.

Kisebbkth rendelés mátrixok A rendelés m tovább n a sorrendi mátrix meghatározója k tovább k, amelyet a mátrixelemekből kapunk A található a kiválasztott k vonalak és k oszlopok. ( k nem haladja meg a legkisebb számot m vagy n).

Kisebb (n-1)-edik sorrend, amely az összes sor elemeiből áll, kivéve i-th, és az összes oszlop, kivéve jth, négyzetmátrix A rendelés n tovább n jelöljük úgy.

Más szóval, a moll négyzetmátrixból származik A rendelés n tovább n elemek áthúzásával i-th vonalak és jth oszlop.

Például írjuk, moll 2 sorrendben, amelyet a mátrixból kapunk második, harmadik sorának és első, harmadik oszlopának elemeinek kiválasztása . Megmutatjuk a moll-ot is, amelyet a mátrixból kapunk a második sor és a harmadik oszlop áthúzásával . Szemléltessük e kiskorúak felépítését: és .

Meghatározás.

Algebrai komplementer egy négyzetmátrix elemét minornak nevezzük (n-1)-edik sorrendben, amelyet a mátrixból kapunk A, áthúzva annak elemeit i-th vonalak és jth oszlop szorozva .

Egy elem algebrai komplementerét jelöljük. És így, .

Például a mátrixhoz egy elem algebrai komplementere .

Másodszor, szükségünk lesz a determináns két tulajdonságára, amelyeket a részben tárgyaltunk mátrix determinánsának kiszámítása:

A determináns ezen tulajdonságai alapján a definíció egy mátrix számmal való szorzásának műveleteiés az inverz mátrix fogalma igaz: , ahol egy transzponált mátrix, amelynek elemei algebrai komplementerek.

Mátrix valóban a mátrix inverze A, mivel az egyenlőségek teljesülnek . Mutassuk meg

Komponáljunk algoritmus az inverz mátrix megtalálásához egyenlőség felhasználásával .

Nézzük meg az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát egy példa segítségével.

Példa.

Adott egy mátrix . Keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás.

Számítsuk ki a mátrix determinánsát! A, a harmadik oszlop elemeire bontva:

A determináns nem nulla, tehát a mátrix A megfordítható.

Keressük az algebrai összeadások mátrixát:

Ezért

Transzponáljuk a mátrixot algebrai összeadásokból:

Most megtaláljuk az inverz mátrixot, mint :

Nézzük az eredményt:

Egyenlőség teljesülnek, ezért az inverz mátrix helyesen található.

Egy inverz mátrix tulajdonságai.

Az inverz mátrix fogalma, az egyenlőség , a mátrixokon végzett műveletek definíciói és a mátrix determinánsának tulajdonságai lehetővé teszik a következők igazolását Az inverz mátrix tulajdonságai:

Az inverz mátrix elemeinek megtalálása a megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Nézzünk egy másik módot a négyzetmátrix inverz mátrixának megtalálására A rendelés n tovább n.

Ez a módszer a megoldáson alapul n lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszerek n ismeretlen. Ezekben az egyenletrendszerekben az ismeretlen változók az inverz mátrix elemei.

Az ötlet nagyon egyszerű. Jelöljük az inverz mátrixot mint x, vagyis . Mivel az inverz mátrix definíciója szerint akkor

Ha a megfelelő elemeket oszloponként egyenlővé tesszük, azt kapjuk n lineáris egyenletrendszerek

Ezeket bármilyen módon megoldjuk, és a talált értékekből inverz mátrixot képezünk.

Nézzük meg ezt a módszert egy példán keresztül.

Példa.

Adott egy mátrix . Keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás.

Fogadjuk el . Az egyenlőség három lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszert ad:

Nem írjuk le a megoldást ezekre a rendszerekre, ha szükséges, lásd a részt lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Az első egyenletrendszerből van, a másodikból - , a harmadikból - . Ezért a szükséges inverz mátrixnak van alakja . Javasoljuk, hogy ellenőrizze, hogy az eredmény helyes-e.

Összesít.

Megvizsgáltuk az inverz mátrix fogalmát, tulajdonságait és három módszert a megtalálására.

Példa megoldásokra inverz mátrix módszerrel

1. Feladat. Oldja meg az SLAE-t inverz mátrix módszerrel. 2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 2 5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 4

Az űrlap kezdete

A forma vége

Megoldás. Írjuk fel a mátrixot a következő formában: B vektor: B T = (1,2,3,4) Fődetermináns Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 (3 2-6 2) = -3 Minor (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 kisebb (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1) + 4 (3 2-3 1) = 3 kisebb a (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 A minor determinánsa ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transzponált mátrix Algebrai összeadások ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) + 2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) + 1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) + 3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverz mátrix Eredményvektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1, -0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Lásd még SLAE-k megoldásait inverz mátrix módszerrel online. Ehhez adja meg adatait, és részletes megjegyzésekkel ellátott megoldást kap.

2. feladat. Írja fel az egyenletrendszert mátrix alakban, és oldja meg az inverz mátrix segítségével! Ellenőrizze a kapott oldatot. Megoldás:xml:xls

2. példa. Írja fel az egyenletrendszert mátrix alakban, és oldja meg az inverz mátrix segítségével! Megoldás:xml:xls

Példa. Adott egy három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel. Kötelező: 1) keresse meg a megoldást a segítségével Cramer képletek; 2) írja fel a rendszert mátrix formában, és oldja meg mátrixszámítással. Irányelvek. A Cramer-féle módszerrel történő megoldás után keresse meg a "Megoldás inverz mátrix módszerrel forrásadatokhoz" gombot. Megkapja a megfelelő megoldást. Így nem kell újra kitöltenie az adatokat. Megoldás. Jelöljük A-val az ismeretlenek együtthatóinak mátrixát; X - ismeretlenek mátrixoszlopa; B - szabad tagok mátrixoszlopa:

B vektor: B T =(4,-3,-3) Ezeket a jelöléseket figyelembe véve ez az egyenletrendszer a következő mátrix alakot ölti: A*X = B. Ha az A mátrix nem szinguláris (determinánsa nem nulla , akkor van egy inverz mátrixa A -1 Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk A -1-gyel, a következőt kapjuk: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. lineáris egyenletrendszer megoldásának mátrixjelölése. Az egyenletrendszer megoldásához ki kell számítani az A -1 inverz mátrixot. A rendszernek akkor lesz megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem nulla. Keressük a fő meghatározót. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Tehát a 14-es determináns ≠ 0, tehát megoldás folytatása. Ehhez algebrai összeadásokkal keressük meg az inverz mátrixot. Legyen egy nem szinguláris A mátrixunk:

Algebrai komplementereket számolunk.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1, 1, 2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Vizsgálat. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Válasz: -1,1,2.

Legyen egy n-edrendű négyzetmátrix

Az A -1 mátrixot hívjuk inverz mátrix az A mátrixhoz viszonyítva, ha A*A -1 = E, ahol E az n-edrendű azonosságmátrix.

Identitásmátrix- egy olyan négyzetmátrix, amelyben a főátló mentén a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba átmenő összes elem egy, a többi pedig nulla, például:

inverz mátrix létezhet csak négyzetmátrixokhoz azok. azokra a mátrixokra, amelyekben a sorok és oszlopok száma egybeesik.

Tétel egy inverz mátrix létezési feltételére

Ahhoz, hogy egy mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, hogy nem szinguláris legyen.

Az A = (A1, A2,...A n) mátrixot hívjuk nem degenerált, ha az oszlopvektorok lineárisan függetlenek. A mátrix lineárisan független oszlopvektorainak számát a mátrix rangjának nevezzük. Ezért azt mondhatjuk, hogy egy inverz mátrix létezéséhez szükséges és elegendő, hogy a mátrix rangja egyenlő legyen a dimenziójával, pl. r = n.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Írja be a táblázatba az A mátrixot az egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldásához, és rendelje hozzá a jobb oldali (az egyenletek jobb oldala helyett) E mátrixot!
2. Jordan-transzformációk segítségével redukálja az A mátrixot egységoszlopokból álló mátrixra; ebben az esetben az E mátrixot egyidejűleg kell átalakítani.
3. Ha szükséges, rendezzük át az utolsó tábla sorait (egyenleteit) úgy, hogy az eredeti tábla A mátrixa alatt az E identitásmátrixot kapjuk.
4. Írja fel az A -1 inverz mátrixot, amely az utolsó táblázatban található az eredeti tábla E mátrixa alatt.

Az A mátrixhoz keresse meg az A -1 inverz mátrixot

Megoldás: A mátrixot írjuk, és az E identitásmátrixot a jobb oldalra rendeljük. Az A mátrixot az E identitásmátrixra redukáljuk. A számításokat a 31.1. táblázat tartalmazza.

Ellenőrizzük a számítások helyességét az eredeti A mátrix és az A inverz mátrix -1 szorzásával.

A mátrixszorzás eredményeként megkaptuk az azonosságmátrixot. Ezért a számításokat helyesen végezték el.

Válasz:

Mátrixegyenletek megoldása

A mátrix egyenletek így nézhetnek ki:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ahol A, B, C a megadott mátrixok, X a kívánt mátrix.

A mátrixegyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az egyenletet inverz mátrixokkal megszorozzuk.

Például az egyenletből a mátrix megtalálásához meg kell szoroznia ezt az egyenletet a bal oldalon lévővel.

Ezért az egyenlet megoldásához meg kell találnia az inverz mátrixot, és meg kell szoroznia az egyenlet jobb oldalán található mátrixszal.

A többi egyenletet is hasonlóan oldják meg.

Oldja meg az AX = B egyenletet, ha

Megoldás: Mivel az inverz mátrix egyenlő (lásd az 1. példát)

Mátrix módszer a közgazdasági elemzésben

Másokkal együtt ezeket is használják mátrix módszerek . Ezek a módszerek lineáris és vektor-mátrix algebrán alapulnak. Az ilyen módszereket komplex és többdimenziós gazdasági jelenségek elemzésére használják. Ezeket a módszereket leggyakrabban akkor alkalmazzák, amikor a szervezetek és strukturális felosztásaik működésének összehasonlító értékelésére van szükség.

A mátrixelemzési módszerek alkalmazásának folyamatában több szakasz különíthető el.

Az első szakaszban kialakul a gazdasági mutatórendszer, és ennek alapján összeállítják a kiindulási adatok mátrixát, amely egy táblázat, amelyben a rendszerszámok az egyes sorokban jelennek meg. (i = 1,2,....,n), függőleges oszlopokban pedig a mutatók száma (j = 1,2,....,m).

A második szakaszban Minden függőleges oszlop esetében a rendelkezésre álló indikátorértékek közül a legnagyobb kerül azonosításra, amelyet egynek tekintünk.

Ezt követően az ebben az oszlopban szereplő összes összeget el kell osztani legmagasabb értékés mátrix keletkezik szabványosított együtthatók.

A harmadik szakaszban a mátrix összes komponense négyzetes. Ha eltérő jelentőséggel bírnak, akkor minden mátrixmutatóhoz egy bizonyos súlytényezőt rendelnek k. Ez utóbbi értékét szakértői vélemény határozza meg.

Az utolsón, negyedik szakasz talált értékelési értékeket R j növekedésük vagy csökkenésük sorrendjében vannak csoportosítva.

A felvázolt mátrixmódszereket például akkor kell alkalmazni, amikor összehasonlító elemzés különféle beruházási projektek, valamint a szervezetek egyéb gazdasági mutatóinak értékelésekor.