Másodrendű és magasabb rendű differenciálegyenletek.
Másodrendű lineáris differenciálegyenletek -val állandó együtthatók.
Példák megoldásokra.

Térjünk át a másodrendű differenciálegyenletekre és a magasabb rendű differenciálegyenletekre. Ha homályos elképzelése van arról, hogy mi a differenciálegyenlet (vagy egyáltalán nem érti, mi az), akkor azt javaslom, hogy kezdje a leckével Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra. Az elsőrendű diffúzok számos megoldási elve és alapkoncepciója automatikusan kiterjed a magasabb rendű differenciálegyenletekre is, ezért nagyon fontos először megérteni az elsőrendű egyenleteket.

Sok olvasónak lehet olyan előítélete, hogy a 2., 3. és egyéb rendelések távirányítóját nagyon nehéz és elérhetetlen dolog elsajátítani. Ez rossz . Tanuld meg megoldani a diffúzokat magasabb rendű aligha bonyolultabb, mint a „közönséges” 1. rendű DE-k. És néhol még egyszerűbb is, mivel a megoldások aktívan felhasználják az iskolai tananyagot.

Legnepszerubb másodrendű differenciálegyenletek. Másodrendű differenciálegyenlethez Szükségszerűen tartalmazza a második származékot és nem tartalmazza

Megjegyzendő, hogy a babák egy része (és akár egyszerre is) hiányozhat az egyenletből, fontos, hogy az apa otthon legyen. A legprimitívebb másodrendű differenciálegyenlet így néz ki:

Harmadik rendű differenciálegyenletek in gyakorlati feladatokat Szubjektív megfigyeléseim szerint sokkal ritkábban fordulnak elő, az Állami Dumában a szavazatok 3-4 százalékát szereznék meg.

Harmadrendű differenciálegyenlethez Szükségszerűen tartalmazza a harmadik származékot és nem tartalmazza magasabb rendű származékok:

A legegyszerűbb harmadrendű differenciálegyenlet így néz ki: – apa otthon van, minden gyerek kimegy sétálni.

Hasonló módon definiálhat 4., 5. és magasabb rendű differenciálegyenleteket. A gyakorlati problémákban az ilyen vezérlőrendszerek ritkán hibáznak, azonban megpróbálok releváns példákat hozni.

A gyakorlati feladatokban javasolt magasabb rendű differenciálegyenletek két fő csoportra oszthatók.

1) Az első csoport - az ún sorrendben redukálható egyenletek. Gyerünk!

2) Második csoport – lineáris egyenletek magasabb rendek állandó együtthatókkal. Amit most elkezdünk nézni.

Másodrendű lineáris differenciálegyenletek
állandó együtthatókkal

Elméletben és gyakorlatban kétféle ilyen egyenletet különböztetnek meg: homogén egyenlet És inhomogén egyenlet.

Homogén másodrendű DE állandó együtthatókkal a következő formája van:
, ahol és a konstansok (számok), és a jobb oldalon – szigorúan nulla.

Mint látható, a homogén egyenletekkel nincs különösebb nehézség, a lényeg az helyesen dönteni másodfokú egyenlet .

Néha vannak nem szabványos homogén egyenletek, például egy egyenlet a formában , ahol a második deriváltnál van valamilyen egységtől eltérő (és természetesen nullától eltérő) állandó. A megoldási algoritmus egyáltalán nem változik, nyugodtan állítson össze egy karakterisztikus egyenletet, és keresse meg a gyökereit. Ha a karakterisztikus egyenlet két különböző valódi gyökere lesz, például: , Azt közös döntés a szokásos séma szerint lesz írva: .

Egyes esetekben az állapot elírása miatt „rossz” gyökerek keletkezhetnek, ilyesmi . Mi a teendő, a választ így kell írni:

A „rossz” konjugált összetett gyökerekkel, mint pl semmi gond, általános megoldás:

vagyis amúgy van általános megoldás. Mert minden másodfokú egyenletnek két gyöke van.

Az utolsó bekezdésben, ahogy ígértem, röviden megvizsgáljuk:

Magasabb rendű lineáris homogén egyenletek

Minden nagyon-nagyon hasonló.

Egy harmadrendű lineáris homogén egyenletnek a következő alakja van:
, hol vannak az állandók.
Mert adott egyenlet Egy karakterisztikus egyenletet is létre kell hoznia, és meg kell találnia a gyökereit. A karakterisztikus egyenlet, amint azt sokan sejtették, így néz ki:
, és az Akárhogyan is Megvan pontosan három gyökér

Legyen például minden gyökér valódi és különálló: , akkor az általános megoldást a következőképpen írjuk le:

Ha az egyik gyök valódi, a másik kettő pedig konjugált komplex, akkor az általános megoldást a következőképpen írjuk le:

Speciális eset, amikor mindhárom gyök többszöröse (ugyanaz). Tekintsük a 3. rendű legegyszerűbb homogén DE-t magányos apával: . A karakterisztikus egyenletnek három egybeeső nulla gyöke van. Az általános megoldást a következőképpen írjuk:

Ha a karakterisztikus egyenlet például három többszörös gyöke van, akkor az általános megoldás ennek megfelelően a következő:

9. példa

Oldjon meg egy homogén harmadrendű differenciálegyenletet!

Megoldás:Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet:

, – egy valódi gyökér és két konjugált komplex gyök keletkezik.

Válasz: közös döntés

Hasonlóképpen tekinthetjük a lineáris homogén egyenletet is negyedik rendállandó együtthatókkal: , ahol állandók.

A fizika egyes problémáinál nem lehet közvetlen kapcsolatot létesíteni a folyamatot leíró mennyiségek között. De lehetőség van a vizsgált függvények deriváltjait tartalmazó egyenlőségre. Így keletkeznek a differenciálegyenletek, és meg kell oldani őket egy ismeretlen függvény megtalálásához.

Ez a cikk azoknak szól, akik a megoldás problémájával szembesülnek differenciálegyenlet, amelyben az ismeretlen függvény egy változó függvénye. Az elmélet úgy van felépítve, hogy a differenciálegyenletek nulla ismeretével meg tudjon birkózni a feladatával.

Minden típusú differenciálegyenlethez egy megoldási módszer tartozik, amely részletes magyarázatokat és megoldásokat kínál tipikus példákra és problémákra. Csak annyit kell tennie, hogy meghatározza a probléma differenciálegyenletének típusát, keressen egy hasonló elemzett példát, és hasonló műveleteket hajtson végre.

A differenciálegyenletek sikeres megoldásához szüksége lesz arra is, hogy találjon antiderivált készleteket ( határozatlan integrálok) különféle funkciókat. Ha szükséges, javasoljuk, hogy tekintse át a részt.

Először megvizsgáljuk az elsőrendű közönséges differenciálegyenletek típusait, amelyek a deriváltra vonatkoztatva feloldhatók, majd áttérünk a másodrendű ODE-kra, majd a magasabb rendű egyenleteknél fogunk elidőzni, és befejezni a differenciál egyenletek.

Emlékezzünk vissza, hogy ha y az x argumentum függvénye.

Elsőrendű differenciálegyenletek.

Az alak legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletei.

Írjunk le néhány példát ilyen távirányítóra .

Differenciál egyenletek feloldható a deriváltra nézve, ha az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk f(x) -el. Ebben az esetben olyan egyenlethez jutunk, amely ekvivalens lesz az eredetivel, ha f(x) ≠ 0. Ilyen ODE-k például a .

Ha az x argumentumnak vannak olyan értékei, amelyeknél az f(x) és g(x) függvények egyszerre eltűnnek, akkor további megoldások jelennek meg. További megoldások az egyenlethez adott x az ezekhez az argumentumértékekhez definiált függvények. Az ilyen differenciálegyenletek példái a következők:

Másodrendű differenciálegyenletek.

Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal.

Az állandó együtthatókkal rendelkező LDE a differenciálegyenlet nagyon gyakori típusa. Megoldásuk nem különösebben nehéz. Először a gyökereket találják meg karakterisztikus egyenlet . Különböző p és q esetén három eset lehetséges: a karakterisztikus egyenlet gyöke lehet valós és különböző, valós és egybeeső vagy komplex konjugátumok. A karakterisztikus egyenlet gyökeinek értékétől függően a differenciálegyenlet általános megoldását a következőképpen írjuk fel: , vagy , ill.

Például vegyünk egy lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletet állandó együtthatókkal. Karakterisztikus egyenletének gyöke: k 1 = -3 és k 2 = 0. A gyökök valódiak és különbözőek, ezért a LOD állandó együtthatós általános megoldásának van formája


Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal.

Az y állandó együtthatójú másodrendű LDDE általános megoldását a megfelelő LDDE általános megoldásának összege formájában keressük. és az eredeti sajátos megoldása inhomogén egyenlet, vagyis . Az előző bekezdés egy állandó együtthatójú homogén differenciálegyenlet általános megoldásának a megtalálására szolgál. Egy adott megoldást pedig vagy az eredeti egyenlet jobb oldalán álló f(x) függvény bizonyos formájára vonatkozó meghatározatlan együtthatók módszere, vagy tetszőleges állandók változtatásának módszere határoz meg.

Példákként a másodrendű, állandó együtthatójú LDDE-kre adjuk meg


Az elmélet megértéséhez és a példák részletes megoldásainak megismeréséhez az oldalon lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenleteket kínálunk állandó együtthatókkal.

Lineáris homogén differenciálegyenletek (LODE) és a másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek (LNDE).

Az ilyen típusú differenciálegyenletek speciális esetei a LODE és az LDDE állandó együtthatóval.

A LODE általános megoldását egy bizonyos szakaszon az egyenlet két lineárisan független y 1 és y 2 parciális megoldásának lineáris kombinációja reprezentálja, azaz .

A fő nehézség pontosan abban rejlik, hogy egy ilyen típusú differenciálegyenletre lineárisan független parciális megoldásokat találjunk. Jellemzően bizonyos megoldásokat a következő lineárisan független függvényrendszerek közül választanak ki:


A privát megoldások azonban nem mindig jelennek meg ebben a formában.

Példa a LOD-ra .

Az LDDE általános megoldását a formában keressük, ahol a megfelelő LDDE általános megoldása, és az eredeti differenciálegyenlet konkrét megoldása. Az imént beszéltünk a megtalálásáról, de tetszőleges állandók változtatásának módszerével meghatározható.

Példa az LNDU-ra .

Magasabb rendű differenciálegyenletek.

Differenciálegyenletek, amelyek lehetővé teszik a sorrend csökkentését.

A differenciálegyenlet sorrendje , amely nem tartalmazza a kívánt függvényt és deriváltjait k-1-ig, lecserélésével n-k-ra redukálható.

Ebben az esetben az eredeti differenciálegyenlet -re redukálódik. A p(x) megoldás megtalálása után vissza kell térni a helyettesítéshez, és meghatározni az ismeretlen y függvényt.

Például a differenciálegyenlet a csere után elválasztható változókat tartalmazó egyenletté válik, sorrendje harmadikról elsőre csökken.

Gyakran csak egy említés differenciál egyenletek kényelmetlenül érzi magát a tanulókban. Miért történik ez? Leggyakrabban azért, mert az anyag alapjainak tanulmányozásakor tudáshiány keletkezik, ami miatt a difúrok további tanulmányozása egyszerűen kínzássá válik. Nem világos, mit tegyünk, hogyan döntsünk, hol kezdjem?

Megpróbáljuk azonban megmutatni, hogy a difúrok nem olyan bonyolultak, mint amilyennek látszik.

Differenciálegyenletek elméletének alapfogalmai

Az iskolából ismerjük a legegyszerűbb egyenleteket, amelyekben meg kell találnunk az ismeretlen x-et. Valójában differenciál egyenletek csak kissé különbözik tőlük – változó helyett x függvényt kell bennük találni y(x) , ami az egyenletet azonossággá alakítja.

D differenciál egyenletek nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak. Ez nem elvont matematika, aminek semmi köze a minket körülvevő világhoz. Sok valódi természeti folyamatot differenciálegyenletekkel írnak le. Például egy húr rezgései, egy harmonikus oszcillátor mozgása, differenciálegyenleteket használva a mechanikai feladatokban, találja meg a test sebességét és gyorsulását. Is DU megtalálja széles körű alkalmazás biológiában, kémiában, közgazdaságtanban és sok más tudományban.

Differenciálegyenlet (DU) egy egyenlet, amely az y(x) függvény származékait, magát a függvényt, független változókat és egyéb paramétereket tartalmazza különféle kombinációkban.

Sokféle differenciálegyenlet létezik: közönséges differenciálegyenletek, lineáris és nemlineáris, homogén és inhomogén, első és magasabb rendű differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek stb.

A differenciálegyenlet megoldása egy függvény, amely azonossággá alakítja. Vannak általános és speciális megoldások a távirányítóra.

A differenciálegyenlet általános megoldása olyan általános megoldáskészlet, amely az egyenletet azonossággá alakítja. A differenciálegyenlet részleges megoldása olyan megoldás, amely kielégíti további feltételek, kezdetben megadva.

A differenciálegyenlet sorrendjét a deriváltjainak legmagasabb rendje határozza meg.

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek egy független változót tartalmazó egyenletek.

Tekintsük a legegyszerűbb, elsőrendű közönséges differenciálegyenletet. Úgy néz ki:

Ez az egyenlet egyszerűen megoldható a jobb oldalának integrálásával.

Példák az ilyen egyenletekre:

Elválasztható egyenletek

BAN BEN Általános nézet ez a fajta egyenlet így néz ki:

Íme egy példa:

Egy ilyen egyenlet megoldása során el kell választani a változókat, és formába kell hozni:

Ezt követően marad mindkét alkatrész integrálása és a megoldás megszerzése.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az ilyen egyenletek így néznek ki:

Itt p(x) és q(x) a független változó néhány függvénye, és y=y(x) a kívánt függvény. Íme egy példa egy ilyen egyenletre:

Egy ilyen egyenlet megoldása során leggyakrabban egy tetszőleges állandó változtatásának módszerét alkalmazzák, vagy a kívánt függvényt két másik függvény szorzataként ábrázolják: y(x)=u(x)v(x).

Az ilyen egyenletek megoldásához bizonyos előkészületekre van szükség, és meglehetősen nehéz lesz „egy pillantásra” átvenni őket.

Példa elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet megoldására

Megnéztük tehát a távirányítók legegyszerűbb típusait. Most nézzük meg az egyik megoldását. Legyen ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet.

Először is írjuk át a származékot egy ismertebb formában:

Ezután felosztjuk a változókat, vagyis az egyenlet egyik részében összegyűjtjük az összes „én”-t, a másikban pedig az „X-et”:

Most a két rész integrálása van hátra:

Integráljuk és általános megoldást kapunk erre az egyenletre:

Természetesen a differenciálegyenletek megoldása egyfajta művészet. Képesnek kell lennie megérteni, hogy egy egyenlet milyen típushoz tartozik, és meg kell tanulnia látni, hogy milyen átalakításokat kell végrehajtania vele ahhoz, hogy egyik vagy másik formához vezessen, nem beszélve egyszerűen a megkülönböztetés és az integráció képességéről. A DE megoldásához pedig gyakorlat kell (mint mindenben). És ha van Ebben a pillanatban nincs ideje kitalálni, hogyan oldják meg a differenciálegyenleteket, vagy a Cauchy-probléma csontként ragadt a torkodon, vagy nem tudja, forduljon szerzőinkhez. Rövid időn belül kész és részletes megoldás, amelynek részleteit az Ön számára megfelelő időben bármikor megértheti. Addig is javasoljuk, hogy nézzen meg egy videót a „Differenciálegyenletek megoldása” témában:

A: alakú egyenletet magasabb rendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük, ahol a 0 , a 1 , ... a n egy x változó vagy egy állandó függvényei, valamint a 0 , a 1 , ... a n és f függvényei (x) folyamatosnak minősülnek.

Ha a 0 =1 (ha
akkor oszthatod rá)
az egyenlet a következő formában lesz:

Ha
az egyenlet inhomogén.

az egyenlet homogén.

n rendű lineáris homogén differenciálegyenletek

Az alábbi alakú egyenletek: lineáris homogén differenciálegyenleteknek nevezzük.

Ezekre az egyenletekre a következő tételek érvényesek:

1. tétel: Ha
- megoldás , majd az összeget
- megoldás is

Bizonyítás: cseréljük be az összeget

Mivel egy összeg tetszőleges sorrendjének deriváltja megegyezik származékainak összegével, a zárójelek megnyitásával csoportosíthat újra:

mert y 1 és y 2 a megoldás.

0=0 (helyes)
az összeg is döntés.

a tétel bebizonyosodott.

2. tétel: Ha y 0 megoldás , Azt
- megoldás is .

Bizonyítás: Cseréljük
az egyenletbe

mivel a C-t kivesszük a származékjelből, akkor

mert megoldás, 0=0 (helyes)
Сy 0 is megoldás.

a tétel bebizonyosodott.

Következmény a T1-ből és a T2-ből: Ha
- megoldások (*)
A lineáris kombináció is megoldás (*).

Lineárisan független és lineárisan függő függvényrendszerek. Wronski-determináns és tulajdonságai

Meghatározás: Funkciórendszer
- lineárisan függetlennek nevezzük, ha az együtthatók lineáris kombinációja
.

Meghatározás: A funkciók rendszere
- lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak együtthatók
.

Vegyünk két lineárisan függő függvény rendszerét
mert
vagy
- feltétel lineáris függetlenség két funkciót.

1)
lineárisan független

2)
lineárisan függő

3) lineárisan függő

Meghatározás: Adott egy függvényrendszer
- az x változó függvényei.

Döntő
-Wronski-determináns függvényrendszerre
.

Két függvényből álló rendszer esetén a Wronski-determináns így néz ki:

A Wronsky-determináns tulajdonságai:

Tétel: Egy 2. rendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásáról.

Ha y 1 és y 2 lineáris független megoldások 2. rendű lineáris homogén differenciálegyenlet, akkor

az általános megoldás:

Bizonyíték:
- döntés a T1 és T2 következményei alapján.

Ha adottak a kezdeti feltételek akkor És egyértelműen meg kell találni.

- kezdeti feltételek.

Hozzunk létre egy rendszert, hogy megtaláljuk És . Ehhez a kezdeti feltételeket behelyettesítjük az általános megoldásba.

ennek a rendszernek a meghatározója:
- Az x 0 pontban számított Wronski-determináns

mert És lineárisan független
(mindegyik 20)

mivel a rendszer determinánsa nem egyenlő 0-val, akkor a rendszernek egyedi megoldása van és És egyedileg megtalálhatók a rendszerben.

Egy n rendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása

Megmutatható, hogy az egyenletnek n lineárisan független megoldása van

Meghatározás: n lineárisan független megoldás
n rendű lineáris homogén differenciálegyenletet nevezzük alapvető megoldási rendszer.

Egy n rendű, azaz (*) lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása az alapvető megoldási rendszer lineáris kombinációja:

Ahol
- alapvető megoldási rendszer.

Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatóval

Ezek a következő alakú egyenletek:
, aholp és g számok(*)

Meghatározás: Az egyenlet
- hívott karakterisztikus egyenlet differenciálegyenlet (*) – közönséges másodfokú egyenlet, amelynek megoldása D-től függ, a következő esetek lehetségesek:

1)D>0
- két érvényes különböző megoldás.

2) D=0
- a multiplicitás egy valódi gyöke 2.

3)D<0
- két összetett konjugált gyök.

Ezen esetek mindegyikére megadunk egy alapvető megoldási rendszert, amely 2 függvényből áll És .

Megmutatjuk, hogy:

1) És - LNZ

2) És - megoldás (*)

Tekintsünk 1 esetet D>0
- 2 igazi különböző gyökér.

x
karakterisztikus egyenlet:

Vegyük FSR-nek:

a) mutasd meg az LNZ-t

b) megmutatjuk - megoldás (*), helyettesítő

+p
+g
=0

igazi egyenlőség

megoldás (*)

hasonlóan ábrázolva y 2-re.

Következtetés:
- FSR (*)
közös döntés

Nézzük a 2. esetet: D=0
- 1 valódi gyöke 2 többszörösének.

Vegyük FSR-nek:

LNZ:
Van LNZ.

-az egyenlet megoldása (lásd 1. eset). Mutassuk meg
- megoldás.

tegye be a távirányítóba

-megoldás.

Következtetés: FSR

Példa:

3. eset: D<0
- 2 összetett konjugált gyökér.

helyettesítsük
szereplőben az egyenlet

Egy komplex szám akkor 0, ha a valós és a képzetes rész 0.

- használni fogjuk.

Mutassuk meg
- alkotják az FSR-t.

A) LNZ:

B)
- távirányítós megoldás

igazi egyenlőség
- az ellenőrzési rendszer döntése.

Hasonlóképpen látható, hogy megoldás is.

Következtetés: FSR:

Közös döntés:

Ha a sz.

- akkor először találjon általános megoldást
, származéka:
, majd behelyettesítik a n.u-t ebbe a rendszerbe, és megtalálják És .

Jól:

A számítástechnika elmélete inhomogén differenciálegyenletek(DU) ebben a kiadványban nem adunk meg, akkor elegendő információt találhat a kérdésre "Hogyan lehet megoldani egy inhomogén differenciálegyenletet?" Az inhomogén differenciálegyenletek mértéke itt nem játszik nagy szerepet, nincs sok olyan módszer, amely lehetővé teszi az ilyen differenciálegyenletek megoldását. A példákban szereplő válaszok könnyebb elolvasása érdekében a fő hangsúlyt csak a számítási módszerre és tippekre helyezzük, amelyek megkönnyítik a végső függvény levezetését.

1. példa Differenciálegyenlet megoldása
Megoldás: Adott harmadrendű homogén differenciálegyenlet, Sőt, csak a második és harmadik származékot tartalmazza, és nincs függvénye és első deriváltja. Ilyen esetekben alkalmazza a fokozatcsökkentés módszerét differenciálegyenlet. Ehhez adjunk meg egy paramétert - jelöljük a második deriváltot a p paraméteren keresztül

akkor a függvény harmadik deriváltja egyenlő

Az eredeti homogén DE a formára lesz egyszerűsítve

Akkor differenciálokban írjuk redukáljuk egy elválasztott változó egyenletreés integrálással találja meg a megoldást

Ne feledje, hogy a paraméter a függvény második deriváltja

ezért magának a függvénynek a képletének megtalálásához kétszer integráljuk a talált differenciális függést

A függvényben a C 1 , C 2 , C 3 értékek tetszőleges értékekkel egyenlőek.
Így néz ki a séma egyszerűen: keressük meg egy homogén differenciálegyenlet általános megoldását paraméter bevezetésével. A következő feladatok összetettebbek, és belőlük tanul meg harmadrendű inhomogén differenciálegyenleteket megoldani. Van némi különbség a homogén és heterogén szabályozási rendszerek között a számítások tekintetében, amint azt most látni fogja.

2. példa megtalálja
Megoldás: Harmadik rendelésünk van. Ezért a megoldását kettő összege formájában kell keresni - egy homogén egyenlet megoldása és egy inhomogén egyenlet konkrét megoldása.

Először döntsük el

Mint látható, csak a függvény második és harmadik deriváltját tartalmazza, magát a függvényt nem. Ez a fajta diff. Az egyenleteket egy paraméter bevezetésével oldjuk meg, amely a viszont csökkenti és leegyszerűsíti az egyenlet megoldásának megtalálását. A gyakorlatban ez így néz ki: legyen a második derivált egyenlő egy bizonyos függvénnyel, akkor a harmadik deriváltnak formálisan a jelölése lesz

A tekintett 3. rendű homogén differenciálegyenletet az elsőrendű egyenletté alakítjuk

ahonnan a változókat elosztva megtaláljuk az integrált
x*dp-p*dx=0;

Javasoljuk a képletek számozását az ilyen feladatoknál, mivel a 3. rendű differenciálegyenlet megoldása 3, a negyedrendű 4 állandó, és így tovább analógia alapján. Most visszatérünk a bevezetett paraméterhez: mivel a második deriváltnak van alakja, akkor integrálva, ha egyszer függőséget kapunk a függvény deriváltjára

és ismételt integrációval azt találjuk egy homogén függvény általános formája

Az egyenlet részleges megoldásaÍrjuk fel változóként, szorozva logaritmussal. Ez abból a tényből következik, hogy a DE jobb (inhomogén) része egyenlő -1/x-szel, és ezzel egyenértékű jelölést kapunk

formában kell keresni a megoldást

Keressük meg az A együtthatót, ehhez kiszámítjuk az első és másodrendű deriváltokat

Helyettesítsük be a talált kifejezéseket az eredeti differenciálegyenletbe, és egyenlítsük ki az együtthatókat x azonos hatványai mellett:

Az acél értéke egyenlő -1/2, és alakja

Differenciálegyenlet általános megoldásaírja le a találtak összegeként

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók, amelyek a Cauchy-probléma segítségével finomíthatók.

3. példa Keresse meg a DE harmadrendű integrálját
Megoldás: Egy harmadrendű inhomogén differenciálegyenlet általános integrálját keressük homogén és parciális inhomogén egyenlet megoldásainak összege formájában. Először is, bármilyen típusú egyenletnél kezdjük homogén differenciálegyenlet elemzése

A jelenleg ismeretlen függvénynek csak a második és harmadik származékát tartalmazza. Bevezetjük a változók (paraméter) változását: jelöljük a második deriváltot

Ekkor a harmadik derivált egyenlő

Ugyanezeket az átalakításokat végeztük el az előző feladatban is. Ez lehetővé teszi redukáljunk egy harmadrendű differenciálegyenletet a forma elsőrendű egyenletére

Az integrációval azt találjuk

Emlékeztetünk arra, hogy a változók változásának megfelelően ez csak a második derivált

és egy homogén harmadrendű differenciálegyenlet megoldásához kétszer kell integrálni

A jobb oldal típusa alapján (nem egységes rész =x+1), Az egyenletre részmegoldást keresünk a formában

Hogyan lehet tudni, hogy milyen formában keressünk részmegoldást? A differenciálegyenletek tantárgy elméleti részében kellett volna tanítani. Ha nem, akkor csak azt tudjuk javasolni, hogy a függvénynek olyan kifejezést válasszunk, hogy az egyenletbe behelyettesítéskor a legmagasabb deriváltot tartalmazó vagy annál fiatalabb tag az egyenlet inhomogén részéhez hasonló rendű (hasonló) legyen.

Azt hiszem, most már egyértelműbb számodra, honnan származik a privát megoldás típusa. Keressük meg az A, B együtthatókat, ehhez számítsuk ki a függvény második és harmadik deriváltját

és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. A hasonló tagok csoportosítása után megkapjuk a lineáris egyenletet

amelyből a változó azonos hatványaira egyenletrendszert alkotni

és találj ismeretlen acélokat. Helyettesítésük után a függőség fejezi ki

Differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén és a részleges összegével, és alakja van

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók.

4. példa P differenciálegyenlet megoldása
Megoldás: Van egy megoldásunk, amelyet az összegen keresztül fogunk megtalálni. Ismeri a számítási sémát, ezért nézzük tovább homogén differenciálegyenlet

A szabványos módszer szerint írja be a paramétert
A kezdeti differenciálegyenlet olyan alakot ölt, ahonnan a változókat elosztva találjuk

Ne feledje, hogy a paraméter megegyezik a második deriválttal
A DE integrálásával megkapjuk a függvény első deriváltját

Ismételt integrációval keresse meg a homogén differenciálegyenlet általános integrálját

Az egyenletre részmegoldást keresünk a formában, mivel a jobb oldal egyenlő
Keressük meg az A együtthatót - ehhez cseréljük be y*-ot a differenciálegyenletbe, és egyenlősítsük az együtthatót a változó azonos hatványai mellett

A kifejezések behelyettesítése és csoportosítása után megkapjuk a függőséget

ebből az acél egyenlő A=8/3.
Így tudunk írni a DE részleges megoldása

Differenciálegyenlet általános megoldása megegyezik a találtak összegével

ahol C 1, C 2, C 3 tetszőleges állandók. Ha a Cauchy feltétel adott, akkor nagyon könnyen definiálhatjuk őket.

Úgy gondolom, hogy az anyag hasznos lesz számodra a gyakorlati órákra, modulokra vagy tesztekre való felkészülés során. A Cauchy-problémát itt nem tárgyaltuk, de a korábbi leckékből általában tudod, hogyan kell csinálni.