Az LP módszerekkel megoldott feladatok tartalmilag igen változatosak. A matematikai modelljeik azonban hasonlóak, és feltételesen három nagy problémacsoportba vannak kombinálva:

• szállítási feladatok;
• tervezési feladatok;

Tekintsünk példákat az egyes típusú gazdasági problémákra, és térjünk át részletesen az egyes problémák modelljének felépítésére.

Szállítási feladat

Két kereskedési alapon AÉs BAN BEN 30 db bútor van, mindegyikhez 15 db. Minden bútort két bútorüzletbe kell szállítani, VAL VELÉs Dés be VAL VEL 10 headsetet kell szállítania, és be D- 20. Ismeretes, hogy egy headset szállítása a bázisról A Az üzletbe VAL VEL egy pénzegységbe kerül, a boltba D- három pénzegységben. Az alap szerint BAN BEN az üzletekhez VAL VELÉs D: kettő és öt pénzegység. Készítsen szállítási tervet úgy, hogy az összes szállítás költsége a legalacsonyabb legyen.
A kényelem kedvéért ezeket a feladatokat táblázatban jelöljük. A sorok és oszlopok metszéspontjában az adott szállítás költségét jellemző számok találhatók (3.1. táblázat).

3.1. táblázat

Készítsük el a probléma matematikai modelljét.
Változókat kell megadni. A kérdés megfogalmazása szerint szállítási tervet kell készíteni. Jelölje x 1 , x 2 darab fejhallgató szállítva a bázisról A az üzletekhez VAL VELÉs D illetőleg, és azon keresztül nál nél 1 , nál nél 2 - a bázisról szállított fejhallgatók száma BAN BEN az üzletekhez VAL VELÉs D illetőleg. Ezután a raktárból eltávolított bútorok mennyisége A, egyenlő ( x 1 + x 2) kút raktárról BAN BEN - (nál nél 1 + nál nél 2). Bolti igény VAL VEL egyenlő 10 fejhallgatóval, és elhozták ( x 1 + nál nél 1) darabok, azaz x 1 + nál nél 1 = 10. Hasonlóan a bolthoz D nekünk van x 2 + nál nél 2 = 20. Vegye figyelembe, hogy az üzletek igényei pontosan megegyeznek a raktáron lévő headsetek számával, így x 1 + nál nél 2 = 15 és nál nél 1 + nál nél 2 = 15. Ha 15-nél kevesebb készletet vinne el a raktárakból, akkor az üzleteknek nem lenne elegendő bútoruk az igényeik kielégítésére.
Tehát a változók x 1 , x 2 , nál nél 1 , nál nél A 2 nem negatív a probléma értelmében, és kielégíti a kényszerrendszert:
(3.1)
keresztül jelölve F szállítási költség, számoljunk velük. egy garnitúra bútor elszállítására től A V VAL VEL eltölteni egy napot. egységek, szállításhoz x 1 szett - x 1 nap egységek Ugyanígy a szállításhoz x 2 szett A V D költség 3 x 2 nap egységek; tól től BAN BEN V VAL VEL - 2y 1 nap egységek, tól BAN BEN V D - 5y 2 nap egységek
Így,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → perc (3,2)
(azt szeretnénk, hogy a teljes szállítási költség a lehető legalacsonyabb legyen).
Fogalmazzuk meg a problémát matematikailag.
A (3.1) kényszerrendszer megoldásainak halmazán keressünk olyan megoldást, amely minimalizálja a célfüggvényt F(3.2), vagy keresse meg az optimális tervet ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) a kényszerrendszer (3.1) és a célfüggvény (3.2) határozza meg.
Az általunk vizsgált probléma egy többben ábrázolható Általános nézet, tetszőleges számú szállítóval és fogyasztóval.
Az általunk vizsgált problémában a szállítóktól származó rakomány elérhetősége (15 + 15) megegyezik a fogyasztók teljes szükségletével (10 + 20). Az ilyen modellt ún zárva, és a megfelelő feladat az kiegyensúlyozott közlekedés feladat.
A közgazdasági számításokban az ún nyitott modellek, amelyben nem tartják be a megadott egyenlőséget. Vagy a szállítók kínálata nagyobb, mint a fogyasztók kereslete, vagy a kereslet meghaladja az áruk elérhetőségét. vegye figyelembe, hogy akkor a kiegyensúlyozatlan szállítási probléma kényszerrendszere az egyenletekkel együtt egyenlőtlenségeket is tartalmaz.

Vegyünk egy példát egy kiegyensúlyozatlan szállítási problémára.
Pontokban AÉs BAN BEN téglagyárak találhatók, és ben VAL VELÉs D- A kőbányák homokkal látják el őket. a gyárak homokszükséglete kisebb, mint a kőbányák termelékenysége. Ismeretes, hogy az egyes gyáraknak mennyi homokra van szüksége, és mennyit bányásznak ki az egyes kőbányákban. Minden kőbányából 1 tonna homok gyárakba szállításának költsége is ismert (számok a nyilakon). A gyárak homokkal való ellátását úgy kell megtervezni, hogy a szállítási költség a legalacsonyabb legyen. Feladatadatok a diagramon.

Megszerkesztjük a probléma matematikai modelljét.
Mutassunk be változókat:
x 11 - a kőbányából elszállított homok tonna mennyisége VAL VEL a gyárba A;
x 12 - kőbányából VAL VEL a gyárba A;
x 21 - a benne lévő homok tonnák száma A kőbányából D;
x 22 - a kőbányából származó homok tonnák száma D a gyárba BAN BEN.
A gyárba A Mindkét külszíni aknából 40 tonnát kell szállítani, ami azt jelenti x 11 + x 21 = 40, gyári BAN BEN 50 tonnát kell szállítani, ami azt jelenti x 12 + x 22 = 50. A kőbányából VAL VEL legfeljebb 70 tonnát exportáltak, i.e. x 11 + x 12 ≤ 70, hasonló x 21 + x 22 ≤ 30. Van egy korlátozási rendszerünk:
(3.3)
És a célfüggvény F A szállítási költséget kifejező formátumú
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→min. (3.4)

A terv elkészítésének feladata

Egyes üzemeknek optimális tervet kell készíteniük kétféle termék előállítására, amelyeket négyféle gépen dolgoznak fel. Bizonyos hardverképességek és teljesítmény ismert; a növény számára nyereséget biztosító termékek ára 4 ezer rubel. az I. típusú termék esetében 6 ezer rubel. - a II. típusú termékhez. Készítsen tervet e termékek előállítására, hogy az üzem a legnagyobb haszonhoz jusson ezek értékesítéséből. A táblázat bemutatja, hogy mennyi időre van szükség a két terméktípus mindegyikének feldolgozásához mind a négy típusú berendezésen (3.2. táblázat).

3.2. táblázat

Termékek	Géptípusok
	1	2	3	4
én	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Lehetséges gépórák	18	12	12	9

Építsünk matematikai modellt.
A feladatban meg kell határozni a termékek előállításának tervét, jelöljük x az I. típusú termékek száma, a y- a II. típusú termékek száma. Ezután kiszámítjuk, hogy az első gép mennyi időt fordít az összes termelési termék feldolgozására. Egy egységnyi időt tölt egy I. típusú elemmel, ami azt jelenti x darab termékekre 1 kerül x egységek feldolgozás ideje y típusú termékek 1-be kerülnek y egységek idő. Összességében az első gép működéséhez szükséges időtartalék 18 időegység. Eszközök, x + y≤ 18. Hasonló érvelés a második, a harmadik és a negyedik géppel egy korlátozási rendszert ad:
(3.5)
A teljes nyereség mértékét fejezzük ki objektív funkció:
F = 4x + 6y → max. (3.6)
A probléma az, hogy a (3.5) rendszer megoldásainak halmazán olyan megoldást találjunk, amelyre a (3.6) célfüggvény értéke maximális lenne.

Keverési feladat

Egy másik gyakori LP probléma a keverék összetételével kapcsolatos probléma. Ilyen feladatokra példa lehet olyan kőolajtermékkeverékek összeállítása, amelyek kielégítenek bizonyos technikai követelményekés a legolcsóbbak voltak. Illetve a diétával kapcsolatos feladatok, amikor bizonyos anyagok szükséglete és ezeknek az anyagoknak a tartalma a különböző termékekben ismert. Az étrendet úgy kell összeállítani, hogy az kielégítse a szükséges anyagszükségletet, és egyben az élelmiszerkosár minimális költséggel járjon adott élelmiszerárak mellett.
Szinte hasonló feladatokat állítanak fel például bármely állattartó telepen, és nagyon széles körű alkalmazási körrel rendelkeznek.
Vegyünk egy példát. A baromfitelepen hízó csirkék táplálékának legalább 33 egységnyi anyagot kell tartalmaznia A, 23 tápanyagegység BAN BEN, 12 egység VAL VEL. Hízlaláshoz háromféle takarmányt használnak. Az egyes takarmánytípusok tápanyagtartalmára vonatkozó adatokat a táblázat tartalmazza. A takarmány költsége is ismert. A legolcsóbb étrendet kell elkészíteni (3.3. táblázat).

3.3. táblázat

Takarmánytermékek	Anyagok			1 egység ára. zord
	A	BAN BEN	VAL VEL
én	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

A probléma megértéséhez elképzelheti, hogy az anyagok A, BAN BEN, VAL VEL- ezek zsírok, fehérjék, szénhidrátok, és az I., II., III. termékek, amelyekkel a csirkéket etetik, például köles, összetett takarmány, vitamin-kiegészítők. Ekkor a táblázat első sorában a tartalom egy egységnyi kölesben látható: 4 egység. fehérje, 3 egység. zsír, egy egység szénhidrátokat. A második sor - a fehérjék, zsírok, szénhidrátok tartalma 1 egységben. II termék stb.
Ha a probléma megfogalmazása világos, akkor továbblépünk egy matematikai modell felépítéséhez.
A feladatra válaszul fel kell ajánlanunk egy diétát, vagyis jelezni kell, hogy mennyi és milyen takarmányt vegyünk, hogy a szükséges tápanyagmennyiség teljesüljön és egyben a lehető legkevesebb költséggel járjon.
Ezért jelöljük x 1 mennyiség I. típusú takarmány az étrendben, per x 2 - a II. típusú takarmány mennyisége és ennek megfelelően x 3 - a takarmány mennyisége III az étrendben. Aztán az anyagok A ha ezt a diétát eszik, a csirkék 4-et kapnak x 1 - I. típusú termékek fogyasztása esetén, 3 x 2 - II. termék fogyasztása esetén 2 x 3 - fogyasztáskor III. Összes anyag A a probléma állapotától függően legalább 33 egység felhasználása szükséges, ezért 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Hasonlóan érvelve a szubsztanciákkal BAN BENÉs VAL VEL, nekünk van:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 és x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Így egy korlátozási rendszert kapunk:
(3.7)
A változók a probléma értelmében nem negatívak. Ebben az esetben a diéta költségét a következő függvény fejezi ki:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → perc, (3,8)
mert 20, 20, 10 - egy egység költsége. I., II., III. típusú termékek és étrendjük tartalmaz x 1 , x 2 , x 3 egység.
A kényszerrendszer (3.7) a célfüggvénnyel (3.8) együtt alkotja az eredeti probléma matematikai modelljét. Megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk x 1 , x 2 , x 3 a kényszerrendszer kielégítése és a függvény értékének megfordítása F a minimumra.

Hajótípusok elrendezése a vonalak mentén

Készítsen olyan tervet kétféle hajó három vonal mentén történő elhelyezésére, amely a flotta maximális teljes teherbíró képességét biztosítaná, de nem kevesebb, mint a vonalakon meghatározott forgalom.

Hajó típusa	A hajók termelékenysége, millió tonnamérföld/nap			Működési időszak, nap
	1. sor	2. sor	3. sor
1	11. o	12. o	13. o	s 1
2	p21	p22	23. o	s2
Szállítási célmennyiség, millió tonna mérföld	V 1	V 2	V 3

A probléma gazdasági-matematikai modellje.
Működési időszak korlátozások:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Ellátási korlátozások:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

objektív funkció
p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 + p 21 x 4 + p 22 x 5 + p 23 x 6 → max

Kérdések az önkontrollhoz
1. A közlekedési probléma megfogalmazása. leírni egy matematikai modell felépítését.
2. Mi a kiegyensúlyozott és kiegyensúlyozatlan közlekedési probléma?
3. Mit számítunk a szállítási feladat célfüggvényében?
4. Mit tükröznek a tervprobléma kényszerrendszerének egyes egyenlőtlenségei?
5. Mit tükröznek a keverék probléma kényszerrendszerének egyes egyenlőtlenségei?
6. Mit jelentenek a változók a tervfeladatban és a keverési feladatban?

Matematikai modellezés

1. Mi a matematikai modellezés?

A XX. század közepe óta. széles körben használják az emberi tevékenység különböző területein matematikai módszerekés számítógép. Olyan új tudományágak jelentek meg, mint a „matematikai közgazdaságtan”, „matematikai kémia”, „matematikai nyelvészet” stb., amelyek a megfelelő tárgyak és jelenségek matematikai modelljeit, valamint e modellek tanulmányozásának módszereit tanulmányozzák.

A matematikai modell a jelenségek vagy tárgyak bármely osztályának hozzávetőleges leírása való Világ a matematika nyelvén. A modellezés fő célja ezen objektumok feltárása és a jövőbeli megfigyelések eredményeinek előrejelzése. A modellezés azonban a környező világ megismerésének módszere is, amely lehetővé teszi annak irányítását.

A matematikai modellezés és a hozzá kapcsolódó számítógépes kísérlet nélkülözhetetlen azokban az esetekben, amikor a teljes körű kísérlet elvégzése ilyen vagy olyan okból lehetetlen vagy nehéz. Például lehetetlen egy teljes körű történelemkísérletet felállítani annak ellenőrzésére, hogy „mi történne, ha...” Lehetetlen ellenőrizni ennek vagy annak a kozmológiai elméletnek a helyességét. Elvileg lehetséges, de aligha ésszerű kísérletezni valamilyen betegség, például a pestis terjedésével, vagy atomrobbanást végrehajtani, hogy tanulmányozzuk a következményeit. Mindezt azonban számítógépen is megtehetjük, miután korábban felépítettük a vizsgált jelenségek matematikai modelljeit.

2. A matematikai modellezés főbb szakaszai

1) Modellépítés. Ebben a szakaszban bizonyos "nem matematikai" objektumokat határoznak meg - természeti jelenséget, építést, gazdasági tervet, gyártási folyamatot stb. Ebben az esetben általában nehéz a helyzet egyértelmű leírása. Először a jelenség főbb jellemzőit és a köztük lévő minőségi szintű kapcsolatot azonosítjuk. Ezután a talált minőségi függőségek a matematika nyelvén megfogalmazódnak, azaz matematikai modellt építenek. Ez a modellezés legnehezebb része.

2) Megoldás matematikai probléma, amelyhez a modell elvezet. Ebben a szakaszban nagy figyelmet fordítanak a probléma számítógépen történő megoldására szolgáló algoritmusok és numerikus módszerek kidolgozására, amelyek segítségével az eredmény a kívánt pontossággal és elfogadható időn belül megtalálható.

3) A kapott konzekvenciák értelmezése a matematikai modellből. A modellből levezetett konzekvenciákat a matematika nyelvén az e területen elfogadott nyelven értelmezzük.

4) A modell megfelelőségének ellenőrzése. Ebben a szakaszban derül ki, hogy a kísérlet eredményei egy bizonyos pontosságon belül megegyeznek-e a modellből származó elméleti következményekkel.

5) Modellmódosítás. Ebben a szakaszban vagy bonyolultabbá válik a modell, hogy jobban megfeleljen a valóságnak, vagy leegyszerűsödik a gyakorlatban elfogadható megoldás érdekében.

3. A modellek osztályozása

A modellek különböző szempontok szerint osztályozhatók. Például a megoldandó problémák jellege szerint a modellek funkcionális és strukturális modellekre oszthatók. Az első esetben a jelenséget vagy tárgyat jellemző összes mennyiséget mennyiségileg fejezzük ki. Ugyanakkor ezek egy részét független változónak, míg másokat e mennyiségek függvényének tekintünk. A matematikai modell általában különböző típusú (differenciális, algebrai stb.) egyenletrendszer, amely mennyiségi összefüggéseket hoz létre a vizsgált mennyiségek között. A második esetben a modell egy komplex objektum szerkezetét jellemzi, amely különálló részekből áll, amelyek között bizonyos kapcsolatok vannak. Általában ezek a kapcsolatok nem számszerűsíthetők. Az ilyen modellek felépítéséhez kényelmes a gráfelmélet használata. A gráf egy matematikai objektum, amely egy síkon vagy térben lévő pontok (csúcsok) halmaza, amelyek közül néhányat vonalak (élek) kötnek össze.

A kiindulási adatok és az előrejelzési eredmények jellege szerint a modellek determinisztikusra és valószínűségi-statisztikaira oszthatók. Az első típusú modellek határozott, egyértelmű előrejelzéseket adnak. A második típusú modellek statisztikai információkon alapulnak, és a segítségével kapott előrejelzések valószínűségi jellegűek.

4. Példák matematikai modellekre

1) Problémák a lövedék mozgásával kapcsolatban.

Tekintsük a következő problémát a mechanikában.

A Földről kilőtt lövedék kezdeti sebesség v 0 = 30 m/s a felületéhez képest a = 45°-os szögben; meg kell találni a mozgásának pályáját és a pálya kezdő- és végpontja közötti S távolságot.

Ekkor, amint az az iskolai fizika tantárgyból ismeretes, a lövedék mozgását a következő képletek írják le:

ahol t - idő, g = 10 m / s 2 - szabadesési gyorsulás. Ezek a képletek adják a feladat matematikai modelljét. Ha az első egyenletből t-t x-szel fejezzük ki, és behelyettesítjük a másodikba, megkapjuk a lövedék röppályájának egyenletét:

Ez a görbe (parabola) két pontban metszi az x tengelyt: x 1 \u003d 0 (a pálya kezdete) és (az a hely, ahol a lövedék leesett). A megadott v0 és a értékeket behelyettesítve a kapott képletbe, megkapjuk

válasz: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Vegye figyelembe, hogy ennek a modellnek a felépítése során számos feltevést használtak: például feltételezik, hogy a Föld lapos, és a Föld levegője és forgása nem befolyásolja a lövedék mozgását.

2) A legkisebb felületű tartály problémája.

Meg kell találni egy V = 30 m 3 térfogatú, zárt körhenger alakú bádogtartály h 0 magasságát és r 0 sugarát, amelynél az S felülete minimális (ebben az esetben a a legkisebb mennyiségű ón kerül a gyártásba).

A következő képleteket írjuk le egy h magasságú és r sugarú henger térfogatára és felületére:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Ha az első képletből h-t r-vel és V-vel fejezzük ki, és a kapott kifejezést behelyettesítjük a másodikba, a következőt kapjuk:

Így matematikai szempontból a probléma az r értékének meghatározására redukálódik, amelynél az S(r) függvény eléri a minimumát. Keressük meg azokat az r 0 értékeit, amelyekre a derivált

nullára megy: Ellenőrizheti, hogy az S(r) függvény második deriváltja mínuszról pluszra változtatja-e az előjelet, amikor az r argumentum áthalad az r 0 ponton. Ezért az S(r) függvénynek van minimuma az r0 pontban. A megfelelő h 0 = 2r 0 érték. A megadott V értéket behelyettesítve r 0 és h 0 kifejezésbe, megkapjuk a kívánt sugarat és magasság

3) Szállítási feladat.

A városban két lisztraktár és két pékség található. Az első raktárból naponta 50, a másodikból 70 tonna lisztet exportálnak a gyárakba, ebből 40 tonnát az elsőbe, 80 tonnát a másodikba.

Jelölje a ij 1 tonna liszt szállítási költsége az i-edik raktárból ig j-edik növény(i, j = 1,2). Hadd

a 11 \u003d 1,2 p., a 12 \u003d 1,6 p., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 p.

Hogyan kell megtervezni a szállítást, hogy költségük minimális legyen?

Adjunk matematikai megfogalmazást a feladatnak. X 1-gyel és x 2-vel jelöljük azt a lisztmennyiséget, amelyet az első raktárból az első és a második gyárba kell szállítani, x 3 és x 4 pedig a második raktárból az első, illetve a második gyárba. Akkor:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Az összes szállítás teljes költségét a képlet határozza meg

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Matematikai szempontból a feladat az, hogy találjunk négy olyan x 1 , x 2 , x 3 és x 4 számot, amelyek minden adott feltételt kielégítenek, és megadják az f függvény minimumát. Oldjuk meg az (1) egyenletrendszert xi-re (i = 1, 2, 3, 4) az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével. Ezt értjük

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 = 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)

és x 4 nem határozható meg egyértelműen. Mivel x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), a (2) egyenletekből az következik, hogy 30J x 4 J 70. Ha az x 1 , x 2 , x 3 kifejezést behelyettesítjük az f képletébe, azt kapjuk

f \u003d 148 - 0,2x4.

Könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a minimumát a lehető legnagyobb x 4 értéknél érjük el, azaz x 4 = 70-nél. Az egyéb ismeretlenek megfelelő értékeit a (2) képlet határozza meg: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) A radioaktív bomlás problémája.

Legyen N(0) a radioaktív anyag kezdeti atomszáma, N(t) pedig a t időpontban el nem bomlott atomok száma. Kísérletileg megállapították, hogy ezen atomok számának változási sebessége N "(t) arányos N (t)-vel, azaz N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 adott anyag radioaktivitási állandója. A matematikai elemzés iskolai kurzusában megmutatjuk, hogy ennek a differenciálegyenletnek a megoldása N(t) = N(0)e –l t . A T időt, amely alatt a kezdeti atomok száma felére csökkent, felezési időnek nevezzük, és az anyag radioaktivitásának fontos jellemzője. A T meghatározásához be kell írni a képletet Akkor Például radon esetén l = 2,084 10-6, és így T = 3,15 nap.

5) Az utazó eladó probléma.

Az A 1 városban élő utazó eladónak meg kell látogatnia az A 2 , A 3 és A 4 városokat, mindegyik várost pontosan egyszer, majd vissza kell térnie az A 1-be. Ismeretes, hogy minden várost páronként utak kötnek össze, és az A i és A j városok közötti b ij utak hossza (i, j = 1, 2, 3, 4) a következő:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Meg kell határozni a városlátogatás sorrendjét, amelyben a megfelelő út hossza minimális.

Minden várost ábrázoljunk pontként a síkon, és jelöljük meg a megfelelő Ai címkével (i = 1, 2, 3, 4). Kössük össze ezeket a pontokat vonalszakaszokkal: a városok közötti utakat ábrázolják. Minden egyes „útnál” feltüntetjük a hosszát kilométerben (2. ábra). Az eredmény egy gráf - egy matematikai objektum, amely a síkon egy bizonyos pontkészletből (úgynevezett csúcsokból) és egy bizonyos vonalakból áll, amelyek ezeket a pontokat összekötik (úgynevezett élek). Ezenkívül ez a gráf címkézett, mivel néhány címkét csúcsaihoz és éleihez rendelnek - számok (élek) vagy szimbólumok (csúcsok). A gráf ciklusa a V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 csúcsok sorozata úgy, hogy a V 1 , ..., V k csúcsok különbözőek, és bármely V i , V csúcspár i+1 (i = 1, ..., k – 1) és a V 1 , V k pár egy éllel van összekötve. Így a vizsgált probléma az, hogy a gráfon olyan ciklust találjunk, amely mind a négy csúcson áthalad, amelyre az összes élsúlyok összege minimális. Keressük meg az összes különböző ciklust, amelyek négy csúcson haladnak át, és A 1-től kezdve:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Most keressük meg ezeknek a ciklusoknak a hosszát (km-ben): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Tehát a legkisebb hosszúságú útvonal az első.

Figyeljük meg, hogy ha egy gráfnak n csúcsa van, és minden csúcs páronként élekkel össze van kötve (az ilyen gráfot teljesnek nevezzük), akkor az összes csúcson áthaladó ciklusok száma egyenlő, ezért esetünkben pontosan három ciklusról van szó. .

6) Az anyagok szerkezete és tulajdonságai közötti kapcsolat megtalálásának problémája.

Vegyünk néhány kémiai vegyületet, amelyeket normál alkánoknak neveznek. Ezek n szénatomból és n + 2 hidrogénatomból állnak (n = 1, 2 ...), amelyek a 3. ábrán látható módon kapcsolódnak egymáshoz n = 3 esetén. Legyen ismert ezeknek a vegyületeknek a forráspontjának kísérleti értéke:

y e (3) = -42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Ezeknél a vegyületeknél közelítő összefüggést kell találni a forráspont és az n szám között. Feltételezzük, hogy ennek a függőségnek megvan a formája

y » a n+b

Ahol a, b - meghatározandó állandók. A megtalálásért aés b behelyettesítjük ebbe a képletbe egymás után n = 3, 4, 5, 6 és a megfelelő forráspontértékeket. Nekünk van:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

A legjobb meghatározásához aés b sokféle módszer létezik. Használjuk ezek közül a legegyszerűbbet. A b-t kifejezéssel fejezzük ki a ezekből az egyenletekből:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Vegyük kívánt b-nek ezeknek az értékeknek a számtani középértékét, azaz b » 16 - 4,5 a. Helyettesítsük be ezt a b értéket az eredeti egyenletrendszerbe, és számoljunk a, kapunk érte a a következő értékek: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a ezeknek a számoknak az átlagértékét, vagyis feltesszük a» 34. Tehát a kívánt egyenletnek megvan a formája

y » 34n – 139.

Ellenőrizzük a modell pontosságát a kezdeti négy vegyületen, amelyek forráspontját a kapott képlet segítségével számítjuk ki:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Így ezen vegyületek számítási hibája nem haladja meg az 5°-ot. A kapott egyenlet segítségével kiszámítjuk egy n = 7 vegyület forráspontját, amely nem szerepel a kezdeti halmazban, és ebben az egyenletben n = 7-et helyettesítünk: y р (7) = 99°. Az eredmény meglehetősen pontosnak bizonyult: ismert, hogy a forráspont kísérleti értéke y e (7) = 98°.

7) Az elektromos áramkör megbízhatóságának meghatározásának problémája.

Itt egy valószínűségi modell példáját tekintjük. Először is adjunk néhány információt a valószínűségelméletből – egy olyan matematikai tudományágból, amely egy kísérlet ismételt megismétlése során megfigyelt véletlenszerű jelenségek mintázatait tanulmányozza. Nevezzünk egy véletlenszerű A eseményt valamilyen tapasztalat lehetséges kimenetelének. Az A 1 , ..., A k események teljes csoportot alkotnak, ha valamelyikük szükségszerűen bekövetkezik a kísérlet eredményeként. Az eseményeket összeférhetetlennek nevezzük, ha nem fordulhatnak elő egyszerre ugyanabban az élményben. Az A esemény m-szer forduljon elő a kísérlet n-szeres megismétlése során. Az A esemény gyakorisága a W = szám. Nyilvánvaló, hogy W értékét nem lehet pontosan megjósolni, amíg egy sor n kísérletet el nem végeztünk. A véletlenszerű események természete azonban olyan, hogy a gyakorlatban néha a következő hatás figyelhető meg: a kísérletek számának növekedésével az érték gyakorlatilag megszűnik véletlenszerű lenni, és valamilyen nem véletlenszerű P(A) szám körül stabilizálódik, ún. Az esemény valószínűsége A. Egy lehetetlen eseményre (amely soha nem fordul elő a kísérletben) P(A)=0, és egy bizonyos eseményre (ami mindig előfordul a kísérletben) P(A)=1. Ha az A 1 , ..., A k események inkompatibilis események teljes csoportját alkotják, akkor P(A 1)+...+P(A k)=1.

Legyen például az élmény abból áll, hogy dobunk egy kockakockát és figyeljük az elejtett pontok számát X. Ekkor bevezethetjük a következő véletlenszerű eseményeket: A i =(X = i), i = 1, ..., 6. inkompatibilis, egyformán valószínű események teljes csoportja, ezért P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Az A és B események összege az A + B esemény, ami abból áll, hogy ezek közül legalább az egyik előfordul a kísérletben. Az A és B események szorzata az AB esemény, amely ezen események egyidejű bekövetkezéséből áll. Az A és B független eseményekre a képletek igazak

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Fontolja meg most a következőket feladat. Tegyük fel, hogy három elem van sorba kötve egy elektromos áramkörben, és egymástól függetlenül működik. Az 1., 2. és 3. elem meghibásodási valószínűsége rendre P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Az áramkört akkor tekintjük megbízhatónak, ha annak valószínűsége, hogy az áramkörben nem lesz áram, nem nagyobb, mint 0,4. Meg kell határozni, hogy az adott lánc megbízható-e.

Mivel az elemek sorba vannak kötve, nem lesz áram az áramkörben (A esemény), ha legalább az egyik elem meghibásodik. Legyen A i az esemény i-edik elem működik (i = 1, 2, 3). Ekkor P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Nyilvánvalóan A 1 A 2 A 3 az az esemény, hogy mindhárom elem egyszerre működik, és

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0,612.

Ekkor P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, tehát P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Végezetül megjegyezzük, hogy a fenti példák matematikai modellek(amelyek között van funkcionális és strukturális, determinisztikus és valószínűségi) szemléltető jellegűek, és nyilvánvalóan nem merítik ki a természet- és humántudományokban felmerülő matematikai modellek sokféleségét.

1. Matematikai modellezés

és a matematikai modell létrehozásának folyamata.

Matematikai modellezés egy módszer a valós világ objektumainak és folyamatainak tanulmányozására, hozzávetőleges leírásaik segítségével a matematika nyelvén - matematikai modellek.

A matematikai modell létrehozásának folyamata feltételesen több fő szakaszra osztható:

1) matematikai modell felépítése;

2) a megfelelő számítási problémák megfogalmazása, kutatása és megoldása;

3) a modell minőségének gyakorlati ellenőrzése és a modell módosítása.

Fontolja meg e szakaszok fő tartalmát.

Matematikai modell felépítése. A matematikai modell egy bizonyos fizikai rendszer vagy jelenség elemzése eredményeként kapott analitikai kifejezés, amely a rendszer vagy jelenség több ismeretlen paraméterét tartalmazza, amelyeket kísérleti adatok alapján kell meghatározni. A megfigyelések és kísérletek segítségével a gyakorlatok feltárják a jelenség főbb "jellemzőit", amelyeket egyes mennyiségekkel hasonlítanak össze. Ezek a mennyiségek általában numerikus értékeket vesznek fel, azaz változók, vektorok, mátrixok, függvények stb.

A jelenség "jellemzői" között kialakult belső összefüggések egyenlőségek, egyenlőtlenségek, egyenletek és logikai struktúrák formáját kapják, amelyek összekapcsolják a matematikai modellben szereplő mennyiségeket. Így a matematikai modell a matematika nyelvén a természet törvényeinek feljegyzésévé válik.

Hangsúlyozzuk, hogy a matematikai modell elkerülhetetlenül kompromisszumot jelent a vizsgált jelenség végtelen összetettsége és leírásának kívánt egyszerűsége között.

A matematikai modelleket gyakran statikus és dinamikus modellekre osztják. Statikus modell jelenséget vagy helyzetet ír le teljességük, megváltoztathatatlanságuk feltételezése mellett (azaz statikában). Dinamikus modell leírja, hogyan megy végbe egy jelenség, vagy hogyan változik a helyzet egyik állapotból a másikba (azaz dinamikában). Dinamikus modellek használatakor általában beállítják a rendszer kezdeti állapotát, majd ennek az állapotnak az időbeli változását tanulmányozzák. A dinamikus modellekben a kívánt megoldás gyakran az idő függvénye y=y(t), változó t az ilyen modellekben általában megkülönböztetik és különleges szerepet játszik.

Számítási feladatok megállapítása, kutatása, megoldása. A kutatót érdeklő mennyiségek értékeinek megtalálása vagy a matematikai modellben szereplő egyéb mennyiségektől való függés természetének megismerése érdekében matematikai problémákat állítanak fel, majd megoldanak.

Mutatjuk a megoldandó problémák főbb típusait. Ehhez a matematikai modellben szereplő összes mennyiséget feltételesen három csoportra osztjuk:

1) kezdeti (bemeneti) adat x,

2) modell paramétereia,

3) kívánt megoldás (kimeneti adatok) y.

1). A legelterjedtebb megoldás az ún közvetlen feladatokat, melynek beállítása a következő: adott értéket beviteli adat x fix paraméterértékekhez a megoldást kell találni y. A közvetlen probléma megoldásának folyamata egy jelenségben rejlő ok-okozati összefüggés matematikai modellezésének tekinthető. Aztán a bemenet x jellemzi a jelenségnek a kutatás során adott és változatos "okait" és a kívánt megoldást y -"következmény".

Ahhoz, hogy a matematikai leírás ne egyetlen jelenségre, hanem a természetben közel álló jelenségek széles körére legyen alkalmazható, a valóságban nem egyetlen matematikai modellt építenek, hanem egy bizonyos parametrikus modellcsaládot. Egy adott modell kiválasztása ebből a családból a modellparaméterek értékeinek rögzítésével történik a. Például az egyenletekben szereplő együtthatók némelyike ​​ilyen paraméterként működhet.

2). Fontos szerepet játszik a megoldás az ún inverz problémák amely a bemeneti adatok meghatározásából áll x ehhez az értékhez nál nél(modell paraméterei a, mint a közvetlen problémában, rögzítve vannak). Az inverz probléma megoldása bizonyos értelemben kísérlet arra, hogy megtudjuk, mi az „ok” x a jól ismert "következményhez" vezetett y.Általában, inverz problémák nehezebb megoldani, mint a közvetleneket.

3). A két figyelembe vett feladattípuson kívül még egy típust kell megemlíteni - azonosítási feladatok. Tágabb értelemben a modell azonosításának feladata, hogy a sok lehetséges modell közül kiválasszuk azt, amelyik a legjobban írja le a vizsgált jelenséget. Ebben a megfogalmazásban ez a probléma gyakorlatilag megoldhatatlan problémának tűnik. Az azonosítási problémát gyakrabban szűk értelemben értjük, mint egy adott matematikai modell kiválasztásának problémáját egy adott parametrikus modellcsaládból (paramétereinek a megválasztásával a) annak érdekében, hogy a modell következményeit a megfigyelések eredményeivel párosítsuk. egy bizonyos kritérium értelmében optimális módon.

Ezt a három problématípust (direkt, inverz és azonosítási problémákat) hívjuk meg számítási feladatokat. A bemutatás megkönnyítése érdekében a továbbiakban a megoldandó probléma típusától függetlenül a meghatározandó mennyiségek halmazát nevezzük. kívánt megoldástés jelöli y,és az értékkészlet beviteli adatés jelöli X.

Egy számítási probléma megoldása általában nem fejezhető ki véges képlet formájában a bemenő adatokkal. Ez azonban egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy ilyen problémára ne lehetne megoldást találni. Vannak speciális módszerek, ún számszerű(vagy számítástechnika). Lehetővé teszik, hogy a megoldás számértékének fogadását a bemeneti adatok számértékein végrehajtott számtani műveletek sorozatára csökkentse. A numerikus módszereket azonban ritkán alkalmazták a problémák megoldására, mivel használatuk gigantikus mennyiségű számítás elvégzésével jár. Ezért a legtöbb esetben a számítógépek megjelenése előtt kerülni kellett az összetett matematikai modellek használatát és a jelenségek tanulmányozását a legegyszerűbb helyzetekben, amikor lehetséges analitikus megoldás. A számítástechnikai apparátus tökéletlensége hátráltatta a matematikai modellek széleskörű alkalmazását a tudományban és a technológiában.

A számítógépek megjelenése drámaian megváltoztatta a helyzetet. A részletesen tanulmányozható matematikai modellek osztálya drámaian bővült. Számos, a közelmúltig hozzáférhetetlen számítási probléma megoldása mindennapi valósággá vált.

A modell minőségének ellenőrzése a gyakorlatban és a modell módosítása. Ebben a szakaszban tisztázódik a matematikai modell alkalmassága a vizsgált jelenség leírására. A hipotetikus matematikai modellből származó elméleti következtetéseket és konkrét eredményeket összehasonlítjuk kísérleti adatokkal. Ha ezek ellentmondanak egymásnak, akkor a választott modell alkalmatlan és felül kell vizsgálni, visszatérve az első szakaszhoz. Ha az eredmények egybeesnek a jelenség leírására elfogadható pontossággal, akkor a modell megfelelőnek tekinthető. Természetesen további kutatások szükségesek a modell megbízhatósági fokának és alkalmazhatóságának korlátainak megállapításához.

Ismétlő kérdések:

1. Mi az a matematikai modell?

2. Melyek a matematikai modell felépítésének főbb szakaszai?

3. A megoldandó feladatok főbb típusai?

2. A műszaki megoldások főbb szakaszai

számítógéppel segített feladatok

Egy mérnöki probléma számítógépes megoldása több egymást követő szakaszra osztható. A következő szakaszokat emeljük ki:

1) problémafelvetés;

2) matematikai modell kiválasztása vagy felépítése;

3) a számítási probléma megfogalmazása;

4) a számítási probléma tulajdonságainak előzetes (gép előtti) elemzése;

5) numerikus módszer kiválasztása vagy felépítése;

6) algoritmizálás és programozás;

7) programhibakeresés;

8) számla a programról;

9) az eredmények feldolgozása és értelmezése;

10) az eredmények felhasználása és a matematikai modell korrekciója.

színrevitelét Problémák. Kezdetben az alkalmazott probléma a legáltalánosabb formában kerül megfogalmazásra:

Fedezzen fel valamilyen jelenséget

Adott tulajdonságokkal rendelkező készülék tervezése

Adjon előrejelzést egy objektum viselkedéséről bizonyos feltételek mellett stb.

Ebben a szakaszban történik a problémafelvetés specifikációja. Ugyanakkor elsődleges figyelmet fordítanak a vizsgálat céljának tisztázására.

Ez a nagyon fontos és felelősségteljes szakasz a probléma konkrét megfogalmazásával zárul az adott témakörben elfogadott nyelven. A számítógépek használatában rejlő lehetőségek ismerete jelentősen befolyásolhatja a probléma végső megfogalmazását.

Matematikai modell kiválasztása vagy felépítése. A vizsgált jelenség vagy tárgy utólagos elemzéséhez szükséges annak formalizált leírása a matematika nyelvén, azaz matematikai modell felépítése. A megfelelő folyamatok leírására gyakran lehet modellt választani az ismert és elfogadott modellek közül, de gyakran az ismert modell jelentős módosítására is szükség van, és esetenként egy alapvetően új modell felépítése is szükségessé válik.

A számítási probléma megfogalmazása. Az elfogadott matematikai modell alapján egy számítási probléma (vagy több ilyen probléma) megfogalmazásra kerül. Megoldásának eredményeit elemezve a kutató választ vár kérdéseire.

A számítási probléma tulajdonságainak előzetes elemzése. Ebben a szakaszban a számítási probléma tulajdonságainak előzetes (gép előtti) vizsgálata, a megoldás létezésének és egyediségének tisztázása, valamint a probléma megoldásának a bemeneti adatok hibáira való stabilitásának vizsgálata. hajtják végre.

Numerikus módszer kiválasztása vagy felépítése. Számítási feladat számítógépen történő megoldásához numerikus módszerek alkalmazása szükséges.

Egy mérnöki probléma megoldása gyakran redukálódik következetes megoldás szabványos számítási problémák, amelyekre hatékony numerikus módszereket fejlesztettek ki. Ebben a helyzetben vagy az ismert módszerek közül lehet választani, vagy azok adaptálása a megoldandó probléma jellemzőihez. Ha azonban a felmerülő számítási probléma új, akkor lehetséges, hogy nincsenek kész módszerek a megoldására.

Ugyanazon számítási probléma megoldására általában több módszer is használható. Ismerni kell ezen módszerek jellemzőit, minőségük értékelésének kritériumait, hogy olyan módszert válasszunk, amely lehetővé teszi a probléma leghatékonyabb megoldását. Itt a választás korántsem egyértelmű. Jelentősen függ a megoldás követelményeitől, a rendelkezésre álló erőforrásoktól, a használható számítástechnikától stb.

Algoritmizálás és programozás. Az előző szakaszban választott numerikus módszer általában csak kördiagramm sok részletet nem tartalmazó probléma megoldása, amely nélkül a módszer számítógépen való megvalósítása lehetetlen. A számítások minden szakaszának részletes leírása szükséges egy számítógépen megvalósított algoritmus elkészítéséhez. A program fordítása ennek az algoritmusnak a kiválasztott programozási nyelvre való lefordítására korlátozódik.

Vannak olyan könyvtárak, amelyekből a felhasználók kész modulokból készítik programjaikat, vagy extrém esetben a nulláról kell programot írniuk.

Programhibakeresés. Ebben a szakaszban számítógép segítségével észlelik és kijavítják a program hibáit.

A programozási hibák kiküszöbölése után el kell végezni a program alapos tesztelését - a működés helyességének ellenőrzését speciálisan kiválasztott tesztproblémákon ismert megoldásokkal.

Programfiók. Ebben a szakaszban a probléma megoldása számítógépen történik a lefordított program szerint automatikus módban. Ezt a folyamatot, amelynek során a bemeneti adatokat a számítógép eredménylé alakítja, ún számítási folyamat.Általában a számítást többször megismételjük különböző bemeneti adatokkal, hogy meglehetősen teljes képet kapjunk a probléma megoldásának azoktól való függéséről.

feldolgozás és eredmények értelmezése. A számítógépes számítások eredményeként kapott kimeneti adatok általában nagy számtömbök, amelyeket azután az észleléshez kényelmes formában jelenítenek meg.

Az eredmények felhasználása és a matematikai modell javítása. Az utolsó szakasz a számítási eredmények gyakorlati felhasználása, más szóval az eredmények megvalósítása.

Nagyon gyakran az eredmények feldolgozásuk és értelmezésük szakaszában végzett elemzése jelzi az alkalmazott matematikai modell tökéletlenségét és korrekciójának szükségességét. Ebben az esetben a matematikai modell módosul (ilyenkor általában bonyolultabbá válik), és egy új problémamegoldási ciklus indul.

Ismétlő kérdések:

1. Mérnöki probléma számítógépes megoldásának főbb állomásai?

3. Számítógépes kísérlet

A matematikai modellek létrehozása és a mérnöki feladatok számítógépes megoldása nagy munkát igényel. Könnyen belátható az analógia a teljes körű kísérletek megszervezésében végzett megfelelő munkával: kísérleti program összeállítása, kísérleti összeállítás létrehozása, kontrollkísérletek végzése, sorozatkísérletek végzése) kísérleti adatok feldolgozása és értelmezése stb. A számítási kísérletet azonban nem valós objektumon, hanem annak matematikai modelljén hajtják végre, és a kísérleti összeállítás szerepét egy speciálisan kifejlesztett programmal felszerelt számítógép tölti be. Ebben a tekintetben természetes, hogy megfontolandó nagy komplex számítások elvégzése a mérnöki és tudományos és műszaki problémák megoldása során számítástechnikai kísérlet,és az előző bekezdésben leírt megoldás lépéseinek sorrendje, mint annak egyik ciklusa.

Nézzünk meg néhány előnyt a számítási kísérletnek a természeteshez képest:

1. A számítási kísérlet általában olcsóbb, mint a fizikai.

2. Ez a kísérlet könnyen és biztonságosan megváltoztatható.

3. Megismételhető (ha szükséges) és bármikor megszakítható.

4. A kísérlet során olyan körülményeket szimulálhat, amelyeket a laboratóriumban nem lehet létrehozni.

Megjegyezzük, hogy számos esetben nehéz (és néha lehetetlen) teljes körű kísérletet végrehajtani, mivel gyors folyamatokat, nehezen hozzáférhető vagy általában hozzáférhetetlen objektumokat vizsgálnak. Egy teljes körű természetes kísérlet gyakran katasztrofális vagy előre nem látható következményekkel jár ( nukleáris háború, a szibériai folyók fordulata) vagy az emberek életét vagy egészségét veszélyeztető. Gyakran szükséges a katasztrófaesemények (nukleáris reaktorbaleset atomerőműben, globális felmelegedés, földrengés) eredményeinek tanulmányozása, előrejelzése. Ezekben az esetekben a számítási kísérlet válhat a kutatás fő eszközévé. Vegye figyelembe, hogy segítségével megjósolható az új, még nem létrehozott szerkezetek és anyagok tulajdonságai a tervezés szakaszában.

A számítási kísérlet jelentős hátránya, hogy eredményeinek alkalmazhatóságát az elfogadott matematikai modell korlátozza.

Egy új termék vagy technológiai folyamat létrehozása magában foglalja a nagyszámú alternatív lehetőség közötti választást, valamint számos paraméter optimalizálását. Ezért egy számítási kísérlet során a számításokat ismételten elvégezzük különböző értékeket bemeneti paraméterek. Ahhoz, hogy a kívánt eredményeket a kívánt pontossággal és elfogadható időkereten belül elérjük, szükséges, hogy az egyes opciók kiszámítására a minimális időt fordítsuk.

A mérnöki tevékenység egy meghatározott területén végzett számítási kísérlethez szükséges szoftver fejlesztése egy nagy szoftvercsomag létrehozásához vezet. Összekapcsolt alkalmazási programokból és rendszereszközökből áll, ideértve azokat az eszközöket is, amelyeket a felhasználó rendelkezésére bocsátanak a számítási kísérlet menetének kezeléséhez, az eredmények feldolgozásához és bemutatásához. Ezt a programkészletet néha úgy emlegetik problémaorientált alkalmazáscsomag.

Ismétlő kérdések:

1. A számítási kísérlet előnyei a természeteshez képest?

2. Számítógépes kísérlet hátrányai?

4. A problémamegoldás legegyszerűbb módszerei

4.1. Egy függvény gyökerének megkeresése.

A szegmens nem szerinti felosztásának módja(Willi módszer).

A szakaszt kettéosztjuk ( AC=SW). Válassza ki azt a felét, ahol a függvény metszi a tengelyt 0x, majd jelölje VAL VEL mögött BAN BEN, azaz C=Bés újra kettéosztjuk. A fél kiválasztását a termék végzi ¦( A)´¦( BAN BEN). Ha a szorzat nagyobb, mint 0, akkor nincs gyökér.

Akkordok (szekánsok) módszere.

(B-A)/2£ En³ log 2((B-A)/2)

(y-y 0)(x-x 1)=(y-y 1)(x-x 0)

y=0; y 0(x-x 1)=y 1(x-x 0)

A matematikai modell fogalma

Képzelj el egy repülőgépet: szárnyak, törzs, farok, mindez együtt – egy igazi hatalmas, hatalmas, egész repülőgép. És készíthetsz egy repülőgépmodellt, kicsi, de minden valódi, ugyanazok a szárnyak stb., de kompakt. Ilyen a matematikai modell is. Szöveges probléma van, nehézkes, meg lehet nézni, elolvasni, de nem egészen érteni, és még inkább nem világos, hogyan kell megoldani. De mi van akkor, ha egy nagy verbális problémából készítünk belőle egy kis modellt, egy matematikai modellt? Mit jelent a matematikai ? Tehát a szabályokat és törvényeket alkalmazva matematikai jelölés, konvertálja a szöveget logikailag helyes ábrázolássá számok és számtani előjelek segítségével. Így, A matematikai modell egy valós helyzet matematikai nyelven történő megjelenítése.

Kezdjük egyszerűen: A szám nagyobb, mint a szám. Szavak használata nélkül kell leírnunk, csak a matematika nyelvén. Ha több, akkor kiderül, hogy ha kivonjuk, akkor ezeknek a számoknak a különbsége egyenlő marad. Azok. vagy. Érted a lényeget?

Most már bonyolultabb, most lesz egy szöveg, amit meg kell próbálnod matematikai modell formájában bemutatni, amíg el nem olvasod, hogyan fogom csinálni, próbáld ki te is! Négy szám van: , és. Egy termék és még több termék és kétszer.

Mi történt?

Matematikai modell formájában ez így fog kinézni:

Azok. a termék kettő az egyhez kapcsolódik, de ez tovább egyszerűsíthető:

Nos, az egyszerű példákkal, azt hiszem, érted a lényeget. Térjünk át a teljes értékű feladatokra, amelyekben ezeket a matematikai modelleket is meg kell oldani! Itt a feladat.

Matematikai modell a gyakorlatban

1. feladat

Eső után a kút vízszintje emelkedhet. A fiú megméri az apró kavicsok kútba ejtésének idejét, és kiszámítja a víztől való távolságot a képlet segítségével, ahol a távolság méterben és a zuhanás ideje másodpercben. Eső előtt a kavicsok lehullásának ideje s. Mennyivel kell emelkednie a vízszintnek eső után, hogy a mért idő s-re változzon? Válaszát fejezze ki méterben!

Ó Istenem! Milyen képletek, milyen kút, mi történik, mit kell tenni? Olvastam a gondolataidban? Nyugodj meg, az ilyen típusú feladatoknál még szörnyűbbek a körülmények, a legfontosabb, hogy ne feledd, hogy ebben a feladatban a képletek és a változók közötti kapcsolatok érdekelnek, és hogy mindez mit jelent a legtöbb esetben, az nem túl fontos. Mit látsz itt hasznosnak? én személy szerint látom. E problémák megoldásának elve a következő: vegyünk minden ismert mennyiséget, és helyettesítsük azokat.De néha gondolkodni kell!

Az első tanácsomat követve, és az összes ismertet behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk:

Én voltam az, aki behelyettesítettem a másodperc idejét, és megtaláltam azt a magasságot, amellyel a kő az eső előtt repült. És most eső után kell számolnunk, és meg kell találnunk a különbséget!

Most hallgassa meg a második tanácsot, és gondolja át, a kérdés megadja, hogy "mennyit kell emelkednie a vízszintnek eső után, hogy a mért idő s-vel megváltozzon". Azonnal rá kell jönni, húúú, az eső után a vízszint megemelkedik, ami azt jelenti, hogy a kőnek kevesebb az ideje, hogy a vízszintre essen, és itt a díszes „hogy megváltozzon a mért idő” kifejezés. konkrét jelentéssel: az esési idő nem növekszik, hanem csökken a megadott másodpercekkel. Ez azt jelenti, hogy eső utáni dobás esetén csak c-t kell kivonnunk a kezdeti c időpontból, és megkapjuk az egyenletet arra a magasságra, amelyet a kő eső után repül:

És végül, hogy megtudja, mennyit emelkedjen a vízszint az eső után, hogy a mért idő s-vel változzon, csak le kell vonni a másodikat az esés első magasságából!

Azt a választ kapjuk: méterenként.

Amint látja, nincs semmi bonyolult, ami a legfontosabb, ne törődj azzal, hogy egy ilyen érthetetlen és néha összetett egyenlet honnan származik a feltételek között, és mit jelent minden, ami benne van, fogadd el a szót, ezek az egyenletek többsége fizikából vettük, és ott a dzsungel rosszabb, mint az algebrában. Néha úgy tűnik számomra, hogy ezeket a feladatokat azért találták ki, hogy megfélemlítsék a hallgatót a vizsgán rengeteg összetett képlettel és kifejezéssel, és a legtöbb esetben szinte semmilyen tudást nem igényelnek. Csak figyelmesen olvassa el a feltételt, és helyettesítse be az ismert értékeket a képletben!

Itt van egy másik probléma, már nem a fizika, hanem a gazdaságelmélet világából, bár a matematikán kívüli tudományok ismerete itt megint nem szükséges.

2. feladat

A monopolvállalkozás termékei iránti kereslet mennyiségének (havi egység) függőségét az ártól (ezer rubel) a képlet adja meg

A cég havi bevételét (ezer rubelben) a képlet segítségével számítják ki. Határozza meg a legmagasabb árat, amelyen a havi bevétel legalább ezer rubel lesz. Adja meg a választ ezer rubelben.

Találd ki, mit csináljak most? Igen, elkezdem helyettesíteni azzal, amit tudunk, de még egyszer, még gondolkodnia kell egy kicsit. Menjünk a végétől, meg kell találnunk, melyiknél. Tehát van, ami egyenlő némelyikkel, megtaláljuk, hogy mi mással egyenlő, és egyenlő, és felírjuk. Amint látja, nem különösebben törődöm ezen mennyiségek jelentésével, csak a feltételekből nézem, hogy mi az, amivel egyenlő, ezt kell tennie. Térjünk vissza a feladathoz, már megvan, de mint emlékszel, egy két változós egyenletből egyik sem található, mit kell tenni? Igen, még mindig van egy fel nem használt részecske az állapotban. Itt már két egyenlet és két változó van, ami azt jelenti, hogy most mindkét változó megtalálható – remek!

Meg lehet oldani egy ilyen rendszert?

Behelyettesítéssel oldjuk meg, már kifejeztük, ami azt jelenti, hogy behelyettesítjük az első egyenletbe és egyszerűsítjük.

Kiderült, hogy itt van egy ilyen másodfokú egyenlet: , megoldjuk, a gyökök ilyenek, . A feladatban meg kell találni azt a legmagasabb árat, amelyen minden feltétel teljesül, amit a rendszer összeállításakor figyelembe vettünk. Ó, kiderült, ez volt az ára. Menő, így megtaláltuk az árakat: és. A legmagasabb ár, azt mondod? Oké, a legnagyobb közülük nyilván válaszként írjuk. Nos, nehéz? Szerintem nem, és nem is kell nagyon elmélyedni benne!

És itt van egy ijesztő fizika számodra, vagy inkább egy másik probléma:

3. feladat

A csillagok effektív hőmérsékletének meghatározására a Stefan–Boltzmann törvényt használják, amely szerint hol van a csillag sugárzási ereje, egy állandó, a csillag felülete és a hőmérséklet. Ismeretes, hogy egy bizonyos csillag felülete egyenlő, és sugárzási ereje W-val egyenlő. Keresse meg ennek a csillagnak a hőmérsékletét Kelvin-fokban.

Hol világos? Igen, a feltétel azt mondja, hogy mi egyenlő azzal. Korábban azt javasoltam, hogy minden ismeretlent azonnal helyettesítsünk, de itt jobb, ha először a keresett ismeretlent fejezzük ki. Nézd, milyen egyszerű minden: van egy képlet, és abban ismertek, és (ez a görög "szigma" betű. Általában a fizikusok szeretik Görög betűk, hozzászokik). A hőmérséklet nem ismert. Fejezzük ki képlet formájában. Hogyan kell csinálni, remélem tudod? Az ilyen feladatok a 9. osztályban a GIA számára általában a következőket adják:

Most a jobb oldalon lévő betűk helyett számokat kell helyettesíteni, és egyszerűsíteni:

Íme a válasz: Kelvin-fok! És milyen szörnyű feladat volt!

Továbbra is kínozzuk a fizika problémáit.

4. feladat

A feldobott labda talaj feletti magassága a törvény szerint változik, ahol a magasság méterben, a dobás óta eltelt idő másodpercben. Hány másodpercig lesz a labda legalább három méteres magasságban?

Ez volt az összes egyenlet, de itt meg kell határozni, hogy mennyi volt a labda legalább három méteres magasságban, ami azt jelenti, hogy magasságban van. Mit fogunk készíteni? Egyenlőtlenség, igen! Van egy függvényünk, ami leírja, hogyan repül a labda, ahol pontosan ugyanaz a magasság méterben, szükségünk van a magasságra. Eszközök

És most csak oldja meg az egyenlőtlenséget, ami a legfontosabb, ne felejtse el megváltoztatni az egyenlőtlenség jelét nagyobbról vagy egyenlőről kisebbre vagy egyenlőre, amikor megszorozza az egyenlőtlenség mindkét részével, hogy megszabaduljon a mínusztól.

Itt vannak a gyökerek, intervallumokat építünk az egyenlőtlenséghez:

Érdekel bennünket az az intervallum, ahol az előjel mínusz, mivel az egyenlőtlenség negatív értékeket vesz fel, ez től-től mindkettőig. És most bekapcsoljuk az agyat, és alaposan átgondoljuk: az egyenlőtlenséghez egy egyenletet használtunk, ami leírja a labda repülését, az valahogy egy parabola mentén repül, pl. felszáll, elér egy csúcsot és leesik, hogyan lehet megérteni, hogy meddig lesz legalább méteres magasságban? 2 fordulópontot találtunk, i.e. azt a pillanatot, amikor méterek fölé szárnyal, és azt a pillanatot, amikor zuhanás közben eléri ugyanazt a jelet, ez a két pont a mi alakunkban az idő alakjában fejeződik ki, azaz. tudjuk, hogy a repülés melyik másodpercében lépett be a számunkra érdekes zónába (méter felett) és melyikbe hagyta el (a méteres jel alá esett). Hány másodpercig volt ebben a zónában? Logikus, hogy a zónából való kilépés idejét vesszük, és levonjuk belőle a zónába való belépés idejét. Ennek megfelelően: - ennyit volt a méter feletti zónában, ez a válasz.

Olyan szerencsés vagy, hogy ebben a témában a legtöbb példa a fizika feladatok kategóriájából vehető, úgyhogy fogj még egyet, az a végső, hát erőld meg magad, már nagyon kevés van hátra!

5. feladat

Egy bizonyos készülék fűtőeleme esetében kísérletileg megkaptuk a hőmérséklet-függést az üzemidőtől:

Hol van az idő percekben. Ismeretes, hogy a fűtőelem feletti hőmérsékleten a készülék elromolhat, ezért ki kell kapcsolni. Keresse meg a maximális időt a munka megkezdése után a készülék kikapcsolásához. Mondja ki válaszát percek alatt.

Egy jól bevált séma szerint járunk el, mindent, ami adott, először kiírunk:

Most vesszük a képletet, és egyenlővé tesszük azzal a hőmérsékleti értékkel, amelyre a készüléket a lehető legnagyobb mértékben fel lehet melegíteni, amíg ki nem ég, azaz:

Most a betűk helyett számokat cserélünk, ahol ismertek:

Amint látja, a készülék működése közbeni hőmérséklet leírása másodfokú egyenlet, ami azt jelenti, hogy egy parabola mentén oszlik el, azaz. a készülék egy bizonyos hőmérsékletre felmelegszik, majd lehűl. Válaszokat kaptunk, és ezért percenkénti fűtés alatt és alatt a hőmérséklet kritikus, de perc között még a határértéknél is magasabb!

Tehát egy perc múlva ki kell kapcsolnia a készüléket.

MATEMATIKAI MODELLEK. RÖVIDEN A FŐRŐL

Leggyakrabban matematikai modelleket használnak a fizikában: végül is valószínűleg több tucat fizikai képletet kellett megjegyeznie. A képlet pedig a helyzet matematikai ábrázolása.

Az OGE-n és az Egységes Államvizsgán éppen ebben a témában vannak feladatok. A USE-ban (profil) ez a 11-es feladat (korábban B12). Az OGE-ben - 20. számú feladat.

A megoldási séma nyilvánvaló:

1) A feltétel szövegéből „el kell különíteni” a hasznos információkat - amit a fizikai feladatokban az „Adott” szó alatt írunk. Ez hasznos információ vannak:

• Képlet
• Ismert fizikai mennyiségek.

Vagyis a képlet minden betűjéhez hozzá kell rendelni egy bizonyos számot.

2) Vegye ki az összes ismert mennyiséget, és cserélje be a képletbe. Az ismeretlen érték betűként marad. Most már csak meg kell oldania az egyenletet (általában meglehetősen egyszerű), és kész a válasz.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sok minden megnyílik előttük. több lehetőségés az élet fényesebb lesz? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - 499 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot

Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.

Hasonló dokumentumok

A matematika jelentősége az életünkben. A fiók előzményei. A számítási matematika módszereinek fejlődése napjainkban. A matematika felhasználása más tudományokban, a matematikai modellezés szerepe. A matematikai oktatás helyzete Oroszországban.

cikk, hozzáadva: 2010.01.05


A matematikai modellezés alapfogalmai, a termeléstervezési feladatok és a szállítási feladatok modellalkotási szakaszainak jellemzői; elemző és programszerű megközelítések megoldásukra. Simplex módszer a problémák megoldására lineáris programozás.

szakdolgozat, hozzáadva 2011.12.11


A modell kiválasztásának vagy felépítésének folyamata az eredeti példány bizonyos tulajdonságainak bizonyos feltételek melletti vizsgálatára. A modellezési folyamat szakaszai. Matematikai modellek és típusaik. A matematikai modellek megfelelősége. Nem egyezik az eredeti és a modell.

teszt, hozzáadva: 2016.10.09


A matematikai modellezés lényege. Analitikai és szimulációs matematikai modellek. Emelőcsuklós szerkezetek mechanizmusainak geometriai, kinematikai és teljesítményelemzése. Mobil mezőgazdasági egység stabilitásának számítása.

szakdolgozat, hozzáadva 2015.12.18


A kereskedelmi tevékenység problémáinak matematikai modellezése a termékválasztás folyamatának modellezésének példáján. A lineáris programozás módszerei és modelljei (az értékesítésből származó maximális bevételt biztosító termékek előállításának napi tervének meghatározása).

teszt, hozzáadva 2011.02.16


A matematika, mint rendkívül hatékony és rugalmas eszköz a világ tanulmányozásában. A matematika szerepe az ipari szférában, az építőiparban, az orvostudományban és az emberi életben. A matematikai modellezés helye a különféle építészeti modellek létrehozásában.

bemutató, hozzáadva 2015.03.31


A matematikai modellezés főbb szakaszai - a való világ jelenségeinek vagy tárgyainak egy osztályának hozzávetőleges leírása a matematika nyelvén. Információk kódolási módszerek. Olyan eszköz létrehozása, amely lehetővé teszi a Morse-kód gépi kódra fordítását.

szakdolgozat, hozzáadva 2011.06.28


A MathCAD rendszer alkalmazása technikai jellegű alkalmazott problémák megoldásában. A matematikai modellezés alapvető eszközei. Megoldás differenciál egyenletek. A MathCad rendszer használata elektromos áramkörök matematikai modelljeinek megvalósításához.

szakdolgozat, hozzáadva 2016.11.17