Figyelemre méltó határértékek alkalmazása tg. Az első figyelemre méltó határ: elmélet és példák

Most nyugodt lélekkel térjünk át a mérlegelésre csodálatos határok.
úgy néz ki .

Az x változó helyett különböző függvények jelenhetnek meg, a lényeg, hogy 0-ra hajlamosak.

Szükséges a határérték kiszámítása

Mint látható, ez a határ nagyon hasonlít az első figyelemre méltó határértékhez, de ez nem teljesen igaz. Általánosságban elmondható, hogy ha bűnt észlel a határban, azonnal el kell gondolkodnia azon, hogy lehet-e használni az első figyelemre méltó határt.

Az 1. számú szabályunk szerint x helyett nullát cserélünk:

Bizonytalanságot kapunk.

Most próbáljuk meg magunk megszervezni az első csodálatos határt. Ehhez készítsünk egy egyszerű kombinációt:

Tehát a számlálót és a nevezőt úgy rendezzük, hogy kiemeljük a 7x-et. Most már megjelent az ismerős csodálatos határ. Döntéskor célszerű kiemelni:

Helyettesítsük a megoldást az első figyelemre méltó példára, és kapjuk:

A tört egyszerűsítése:

Válasz: 7/3.

Amint látja, minden nagyon egyszerű.

Úgy néz ki , ahol e = 2,718281828... egy irracionális szám.

Az x változó helyett különböző függvények is jelen lehetnek, a lényeg, hogy hajlamosak .

Szükséges a határérték kiszámítása

Itt egy fok jelenlétét látjuk a határjel alatt, ami azt jelenti, hogy lehetséges egy második figyelemre méltó határ is.

Mint mindig, most is az 1. sz. szabályt fogjuk használni – az x helyett:

Látható, hogy x helyen a fok alapja , a kitevő pedig 4x > , azaz. a forma bizonytalanságát kapjuk:

Használjuk a második csodálatos határt, hogy felfedjük bizonytalanságunkat, de először meg kell szerveznünk. Amint látható, jelenlétet kell elérni az indikátorban, amihez az alapot 3x-os, ugyanakkor 1/3x-os hatványra emeljük, hogy a kifejezés ne változzon:

Ne felejtsd el kiemelni csodálatos határunkat:

Tényleg ilyenek csodálatos határok!
Ha még kérdése van a az első és a második csodálatos határ, akkor kérdezz bátran tőlük kommentben.
Mindenkinek válaszolunk, amennyit csak tudunk.

Ebben a témában tanárral is dolgozhat.
Örömmel kínáljuk Önnek a képzett oktató kiválasztását az Ön városában. Partnereink gyorsan kiválasztanak egy jó tanárt, kedvező feltételekkel.

Nincs elég információ? - Megteheted!

Jegyzettömbökbe írhat matematikai számításokat. Sokkal kellemesebb egyénileg írni egy logóval ellátott füzetbe (http://www.blocnot.ru).

A fenti cikkből megtudhatod, hogy mi a határ, és mivel eszik - ez NAGYON fontos. Miért? Előfordulhat, hogy nem érti, mik a determinánsok, és sikeresen megoldja őket, és egyáltalán nem érti, mi az a származék, és „A”-val találja meg őket. De ha nem érti, mi a határ, akkor a gyakorlati feladatok megoldása nehéz lesz. Szintén jó ötlet lenne megismerkedni a mintamegoldásokkal és a tervezési javaslataimmal. Minden információ egyszerű és hozzáférhető formában jelenik meg.

Ennek a leckének a céljaira a következő tananyagokra lesz szükségünk: Csodálatos határok És Trigonometrikus képletek. Az oldalon megtalálhatóak. A legjobb, ha kinyomtatja a kézikönyveket - ez sokkal kényelmesebb, és emellett gyakran offline módban kell hivatkoznia rájuk.

Mi olyan különleges a figyelemre méltó korlátokban? Ezekben a határértékekben az a figyelemreméltó, hogy a híres matematikusok legnagyobb elméi bizonyították őket, és a hálás leszármazottaknak nem kell szörnyű korlátoktól szenvedniük trigonometrikus függvények, logaritmusok, hatványok halomával. Vagyis a határok megtalálásakor elméletileg igazolt, kész eredményeket fogunk használni.

Számos csodálatos korlát létezik, de a gyakorlatban a részidős hallgatóknak az esetek 95%-ában két csodálatos korlát van: Az első csodálatos határ, Második csodálatos határ. Meg kell jegyezni, hogy ezek történelmileg kialakult nevek, és amikor például „az első figyelemre méltó határról” beszélnek, akkor ez egy nagyon konkrét dolgot ért, és nem valami, a plafonról vett véletlenszerű határt.

Az első csodálatos határ

Vegye figyelembe a következő határértéket: (a "ő" natív betű helyett fogom használni görög levél„alfa”, ez anyagbemutatás szempontjából kényelmesebb).

A határok megtalálására vonatkozó szabályunk szerint (lásd a cikket Korlátok. Példák megoldásokra) megpróbálunk nullát behelyettesíteni a függvénybe: a számlálóban nullát kapunk (a nulla szinusza nulla), a nevezőben pedig nyilván nulla is van. Így a forma bizonytalanságával állunk szemben, amit szerencsére nem kell nyilvánosságra hozni. A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy:

Ezt a matematikai tényt ún Az első csodálatos határ. Nem fogok elemző bizonyítást adni a határnak, de megvizsgáljuk annak geometriai jelentését a leckében. végtelenül kicsi függvények.

Gyakran be gyakorlati feladatokat a függvények másképp is elrendezhetők, ez nem változtat semmit:

- ugyanaz az első csodálatos határ.

De a számlálót és a nevezőt nem tudod magad átrendezni! Ha az alakban határértéket adunk meg, akkor azt ugyanabban a formában kell megoldani anélkül, hogy bármit átrendeznénk.

A gyakorlatban nem csak egy változó, hanem egy elemi függvény is működhet paraméterként, összetett funkció. Az egyetlen fontos dolog az, hogy nullára hajlamos.

Példák:
, , ,

Itt , , , , és minden rendben van - az első csodálatos határ érvényes.

De a következő bejegyzés eretnekség:

Miért? Mivel a polinom nem nullára, hanem ötre hajlik.

Egyébként egy gyors kérdés: mi a határ? ? A válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban nem minden olyan zökkenőmentes, szinte soha nem ajánlják fel egy diáknak, hogy oldjon meg egy ingyenes limitet és kapjon könnyű bérletet. Hááát... írom ezeket a sorokat, és eszembe jutott egy nagyon fontos gondolat - elvégre jobb, ha fejből emlékezünk a „szabad” matematikai definíciókra, képletekre, ez felbecsülhetetlen segítséget jelenthet a tesztben, amikor a kérdés „kettő” és „három” között kell dönteni, és a tanár úgy dönt, hogy feltesz egy egyszerű kérdést a tanulónak, vagy felajánl egy egyszerű példa megoldását („talán még tudja, mit?!”).

Térjünk át a mérlegelésre gyakorlati példák:

1. példa

Találd meg a határt

Ha szinust észlelünk a határban, akkor ennek azonnal el kell gondolkodnia az első figyelemre méltó határ alkalmazásának lehetőségéről.

Először megpróbáljuk behelyettesíteni a 0-t a határjel alatti kifejezésbe (ezt gondolatban vagy piszkozatban tesszük):

Tehát bizonytalan a forma feltétlenül jelezze döntés meghozatalában. A határjel alatti kifejezés hasonló az első csodálatos határhoz, de ez nem pontosan az, hanem a szinusz alatt van, hanem a nevezőben.

Ilyenkor az első figyelemre méltó határt magunknak kell megszerveznünk, mesterséges technikával. A gondolatmenet a következő lehetne: „a szinusz alatt van, ami azt jelenti, hogy a nevezőbe is be kell jutnunk.”
És ez nagyon egyszerűen történik:

Vagyis a nevezőt ebben az esetben mesterségesen megszorozzuk 7-tel, és elosztjuk ugyanazzal a héttel. Most a felvételünk ismerős formát öltött.
Ha a feladatot kézzel készítjük, célszerű egy egyszerű ceruzával megjelölni az első figyelemre méltó határt:

Mi történt? Valójában a bekarikázott kifejezésünk egységgé alakult, és eltűnt a műben:

Most már csak meg kell szabadulni a háromszintes töredéktől:

Aki elfelejtette a többszintű törtek egyszerűsítését, kérjük, frissítse a kézikönyvben található anyagot Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz .

Kész. Végső válasz:

Ha nem szeretne ceruzajeleket használni, akkor a megoldást így írhatja le:

“

Használjuk az első csodálatos határt

“

2. példa

Találd meg a határt

Ismét egy törtet és egy szinust látunk a határértékben. Próbáljuk meg nullával helyettesíteni a számlálót és a nevezőt:

Valóban van bennünk bizonytalanság, és ezért meg kell próbálnunk megszervezni az első csodálatos határt. Az osztályban Korlátok. Példák megoldásokra figyelembe vettük azt a szabályt, hogy ha bizonytalanságunk van, akkor a számlálót és a nevezőt faktorizálnunk kell. Itt ugyanaz, a fokozatokat szorzatként fogjuk ábrázolni (szorzók):

Az előző példához hasonlóan ceruzával körberajzoljuk a figyelemre méltó határokat (itt kettő van belőlük), és jelezzük, hogy ezek hajlamosak egységet alkotni:

Valójában kész a válasz:

A következő példákban nem fogok művészetet csinálni a Paintben, arra gondolok, hogyan kell helyesen elkészíteni egy megoldást egy jegyzetfüzetben - már érted.

3. példa

Találd meg a határt

A határjel alatti kifejezésben nullát cserélünk:

Bizonytalanság merült fel, amelyet nyilvánosságra kell hozni. Ha van érintő a határértékben, akkor azt szinte mindig a jól ismert trigonometrikus képlet segítségével alakítják át szinuszra és koszinuszra (egyébként a kotangenssel is nagyjából ugyanezt csinálják, lásd a módszertani anyagot Forró trigonometrikus képletek az oldalon Matematikai képletek, táblázatok és referenciaanyagok).

Ebben az esetben:

A nulla koszinusza egyenlő eggyel, és könnyű megszabadulni tőle (ne felejtsd el megjelölni, hogy egyre hajlamos):

Így ha a limitben a koszinusz SZORZÓ, akkor durván fogalmazva egységgé kell alakítani, ami eltűnik a szorzatban.

Itt minden egyszerűbbnek bizonyult, szorzások és osztások nélkül. Az első figyelemre méltó határ is eggyel változik, és eltűnik a termékben:

Ennek eredményeként a végtelent kapjuk, és ez megtörténik.

4. példa

Találd meg a határt

Próbáljuk meg nullával helyettesíteni a számlálót és a nevezőt:

A bizonytalanságot megkapjuk (a nulla koszinusza, mint emlékszünk, egyenlő eggyel)

A trigonometrikus képletet használjuk. Vedd tudomásul! Valamilyen oknál fogva nagyon gyakoriak az e képletet használó korlátok.

Vigyük át a konstans tényezőket a határ ikonon túlra:

Szervezzük meg az első csodálatos határt:

Itt csak egy figyelemre méltó határunk van, amely eggyé válik és eltűnik a termékben:

Szabaduljunk meg a háromszintes szerkezettől:

A limit valóban megoldott, jelezzük, hogy a maradék szinusz nullára hajlik:

5. példa

Találd meg a határt

Ez a példa bonyolultabb, próbálja meg kitalálni saját maga:

Egyes határok egy változó megváltoztatásával az 1. figyelemre méltó határig csökkenthetők, erről kicsit később olvashatsz a cikkben A határértékek megoldásának módszerei.

Második csodálatos határ

A matematikai elemzés elméletében bebizonyosodott, hogy:

Ezt a tényt ún második csodálatos határ.

Referencia: irracionális szám.

A paraméter nemcsak változó, hanem összetett függvény is lehet. Csak az a fontos, hogy a végtelenbe törekedjen.

6. példa

Találd meg a határt

Ha a határjel alatti kifejezés fokban van, ez az első jele annak, hogy meg kell próbálnia alkalmazni a második csodálatos határt.

De először, mint mindig, megpróbálunk egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a kifejezésbe, ennek elvét a leckében tárgyaljuk. Korlátok. Példák megoldásokra.

Könnyen észrevehető, hogy mikor fok alapja , kitevője pedig , vagyis bizonytalan a forma:

Ez a bizonytalanság pontosan megmutatkozik a második figyelemre méltó határ segítségével. De, mint gyakran megtörténik, a második csodálatos határ nem egy ezüsttálcán fekszik, és mesterségesen kell megszervezni. A következőképpen érvelhet: ebben a példában a paraméter a , ami azt jelenti, hogy az indikátorban is rendszerezni kell. Ehhez az alapot hatványra emeljük, és hogy a kifejezés ne változzon, hatványra emeljük:

Ha a feladatot kézzel végeztük, ceruzával megjelöljük:

Szinte minden készen van, az iszonyatos fokozatból szép levél lett:

Ebben az esetben magát a limit ikont mozgatjuk a jelzőre:

7. példa

Találd meg a határt

Figyelem! Ez a fajta korlátozás nagyon gyakran előfordul, kérjük, nagyon figyelmesen tanulmányozza ezt a példát.

Próbáljunk meg egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a határjel alatti kifejezésbe:

Az eredmény a bizonytalanság. De a második figyelemre méltó határ a forma bizonytalanságára vonatkozik. Mit tegyek? Átalakítanunk kell a fokozat alapját. Így okoskodunk: a nevezőben van , ami azt jelenti, hogy a számlálóban is rendszereznünk kell.

A második figyelemre méltó határ képlete: lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Egy másik írásmód így néz ki: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Amikor a második figyelemre méltó határról beszélünk, az 1 ∞ formájú bizonytalansággal kell számolnunk, azaz. végtelen mértékig.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben hasznos lesz a második figyelemre méltó határ kiszámításának képessége.

1. példa

Határozzuk meg a lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 határértéket.

Megoldás

Helyettesítsük be a szükséges képletet, és végezzük el a számításokat.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

A válaszunk egy volt a végtelenség erejével. A megoldási mód meghatározásához a bizonytalansági táblázatot használjuk. Válasszuk ki a második figyelemre méltó határt, és változtassunk a változókon.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ha x → ∞, akkor t → - ∞.

Nézzük mit kaptunk a csere után:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Válasz: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

2. példa

Számítsa ki a lim x → ∞ x - 1 x + 1 x határértéket.

Megoldás

Helyettesítsük be a végtelent, és kapjuk a következőket.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

A válaszban ismét ugyanazt kaptuk, mint az előző feladatban, ezért ismét használhatjuk a második csodálatos határt. Ezután az alapnál kell kiválasztanunk teljesítmény funkció egész rész:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Ezt követően a limit a következő formában jelenik meg:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Változók cseréje. Tegyük fel, hogy t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ha x → ∞, akkor t → ∞.

Ezt követően írjuk fel, hogy mit kaptunk az eredeti limitben:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Ennek az átalakításnak a végrehajtásához a határértékek és hatványok alapvető tulajdonságait használtuk.

Válasz: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

3. példa

Számítsa ki a határértéket x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Megoldás

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Ezt követően át kell alakítanunk a függvényt a második nagy határérték alkalmazásához. A következőket kaptuk:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Mivel most ugyanazok a kitevőink vannak a tört számlálójában és nevezőjében (hattal egyenlő), a tört határa a végtelenben egyenlő lesz ezen együtthatók arányával nagyobb hatványokon.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

A t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 helyettesítésével egy második figyelemre méltó határértéket kapunk. Ez azt jelenti, hogy:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Válasz: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

Következtetések

1 ∞ bizonytalanság, azaz. A végtelen hatványhoz való egység hatványtörvény-bizonytalanság, ezért az exponenciális hatványfüggvények határainak megtalálására vonatkozó szabályok segítségével feltárható.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Bizonyíték:

Először bizonyítsuk be a tételt a sorozat esetére

Newton binomiális képlete szerint:

Feltéve, hogy megkapjuk

Ebből az (1) egyenlőségből az következik, hogy n növekedésével a jobb oldalon lévő pozitív tagok száma nő. Ráadásul az n növekedésével a szám csökken, így az értékek is növekednek. Ezért a sorrend növekszik, és (2)*Megmutatjuk, hogy korlátos. Cserélje ki az egyenlőség jobb oldalán lévő minden zárójelet eggyel, jobb oldalon növekszik, egyenlőtlenséget kapunk

Erősítsük meg a kapott egyenlőtlenséget, a törtek nevezőiben álló 3,4,5, ... helyére cseréljük a 2-es számot: A zárójelben lévő összeget a geometriai haladás tagjainak összegének képletével találjuk meg: Ezért (3)*

Tehát a sorozat felülről korlátos, és a (2) és (3) egyenlőtlenségek teljesülnek: Ezért a Weierstrass-tétel (a sorozat konvergenciájának kritériuma) alapján a sorozat monoton növekszik és korlátozott, ami azt jelenti, hogy van egy határa, amelyet e betű jelöl. Azok.

Tudva, hogy a második figyelemre méltó határ igaz x természetes értékeire, igazoljuk a második figyelemre méltó határt valós x-re, azaz bebizonyítjuk, hogy . Nézzünk két esetet:

1. Legyen x minden értéke két pozitív egész szám közé: ,ahol az x egész része. => =>

Ha , akkor Ezért a határérték szerint megvan

A határértékek meglétének kritériuma alapján (egy köztes függvény határáról).

2. Hagyjuk . Végezzük el a − x = t behelyettesítést, akkor

Ebből a két esetből az következik valódi x-hez.

Következmények:

9 .) Infinitezimálisok összehasonlítása. A végtelen kicsinyek ekvivalensekkel való helyettesítésének tétele a határértékben és a tétel az infinitezimálisok fő részére.

Legyen az a( x) és b( x) – b.m. at x ® x 0 .

MEGHATÁROZÁSOK.

1)a( x) hívott végtelenül kicsivel több magasrendű hogyan b (x) Ha

Írd le: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) És b( x)hívják azonos rendű infinitezimálok, Ha

ahol CÎℝ és C¹ 0 .

Írd le: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) És b( x) hívják egyenértékű , Ha

Írd le: a( x) ~ b( x).

4)a( x) infinitezimális k rendű relatívnak nevezzük
teljesen végtelenül kicsi b( x), ha végtelenül kicsi a( x)És(b( x))k ugyanaz a sorrend, pl. Ha

ahol CÎℝ és C¹ 0 .

TÉTEL 6 (az infinitezimálisok ekvivalensekkel való helyettesítéséről).

Hadd a( x), b( x), egy 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. x-nél ® x 0 . Ha a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Hogy

Bizonyíték: Legyen a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Akkor

TÉTEL 7 (az infinitezimális szám fő részéről).

Hadd a( x)És b( x)– b.m. x-nél ® x 0 , és b( x)– b.m. magasabb rendű, mint a( x).

= , a mivel b( x) – magasabb rendű, mint a( x), akkor, azaz -tól világos, hogy a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Függvény folytonossága egy pontban (az epszilon-delta nyelvén, geometriai határok) Egyoldali folytonosság. Folytonosság egy intervallumon, egy szakaszon. A folytonos függvények tulajdonságai.

1. Alapvető definíciók

Hadd f(x) a pont valamely szomszédságában van meghatározva x 0 .

MEGHATÁROZÁS 1. Funkció f(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 ha az egyenlőség igaz

Megjegyzések.

1) Az 5. Tétel 3. pontja értelmében az (1) egyenlőség alakba írható

Feltétel (2) – függvény folytonosságának meghatározása egy ponton az egyoldalú határértékek nyelvén.

2) Az egyenlőség (1) így is írható:

Azt mondják: „ha egy függvény folytonos egy ponton x 0, akkor a határ előjele és a függvény felcserélhető."

2. DEFINÍCIÓ (e-d nyelven).

Funkció f(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 Ha"e>0 $d>0 ilyen, Mi

ha xОU( x 0 , d) (azaz | x – x 0 | < d),

majd f(x)ÎU( f(x 0), e) (azaz | f(x) – f(x 0) | < e).

Hadd x, x 0 Î D(f) (x 0 – rögzített, x –önkényes)

Jelöljük: D x= x – x 0 – argumentumnövekmény

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – függvény növekedése az x pontban 0

3. DEFINÍCIÓ (geometriai).

Funkció f(x) bekapcsolva hívott folyamatos egy ponton x 0 ha ezen a ponton az argumentum egy végtelen kis növekménye megfelel a függvény végtelen kicsi növekményének, azaz

Hagyja a függvényt f(x) a [ x 0 ; x 0 + d) (a intervallumon ( x 0 – d; x 0 ]).

MEGHATÁROZÁS. Funkció f(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 jobbra (balra ), ha az egyenlőség igaz

Ez nyilvánvaló f(x) folyamatos a pontban x 0 Û f(x) folyamatos a pontban x 0 jobbra és balra.

MEGHATÁROZÁS. Funkció f(x) hívott intervallumig folyamatos e ( a; b) ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos.

Funkció f(x) folytonosnak nevezzük a szakaszon [a; b] ha az intervallumon folyamatos (a; b) és a határpontokon egyirányú folytonossága van(azaz folyamatos a ponton a a jobb oldalon, a ponton b- balra).

11) Töréspontok, besorolásuk

MEGHATÁROZÁS. Ha f függvény(x) az x pont valamelyik szomszédságában definiálva 0 , de ezen a ponton nem folyamatos f(x) az x pontban nem folytonosnak nevezzük 0 , és maga a lényeg x 0 töréspontnak nevezik függvények f(x) .

Megjegyzések.

1) f(x) a pont hiányos környezetében definiálható x 0 .

Ezután vegyük figyelembe a függvény megfelelő egyoldalú folytonosságát.

2) Þ pont definíciójából x 0 a függvény töréspontja f(x) két esetben:

a) U( x 0 , d)О D(f), hanem azért f(x) az egyenlőség nem áll fenn

b) U * ( x 0 , d)О D(f) .

Az elemi függvényeknél csak a b) eset lehetséges.

Hadd x 0 – a függvény töréspontja f(x) .

MEGHATÁROZÁS. x pont 0 hívott töréspont én egyfajta ha f függvény(x)véges határértékei vannak a bal és a jobb oldalon ezen a ponton.

Ha ezek a határértékek egyenlőek, akkor x pont 0 hívott kivehető töréspont , különben – ugráspont .

MEGHATÁROZÁS. x pont 0 hívott töréspont II egyfajta ha az f függvény legalább egyik egyoldali határértéke(x)ezen a ponton egyenlő¥ vagy nem létezik.

12) Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai (Weierstrass (bizonyítás nélkül) és Cauchy tételei

Weierstrass tétele

Legyen tehát az f(x) függvény folytonos az intervallumon

1)f(x) erre korlátozódik

2)f(x) az és intervallumon veszi fel a legkisebb értékét legmagasabb érték

Meghatározás: Az m=f függvény értékét a legkisebbnek nevezzük, ha m≤f(x) bármely x€ D(f) esetén.

Az m=f függvény értékét akkor mondjuk a legnagyobbnak, ha m≥f(x) bármely x € D(f) esetén.

A függvény a szakasz több pontján felveheti a legkisebb/legnagyobb értéket.

f(x 3)=f(x 4)=max

Cauchy-tétel.

Legyen az f(x) függvény folytonos a szakaszon, x pedig az f(a) és f(b) között található szám, akkor van legalább egy x 0 € pont úgy, hogy f(x 0)= g