Trigonometrikus azonosságok és transzformációk. Sin x = a egyenlet Mi a cos 2

08.11.2021 | Technika

Ezen az oldalon megtalálja az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek segítenek megoldani számos gyakorlatot, jelentősen leegyszerűsítve magát a kifejezést.

A trigonometrikus képletek a trigonometrikus függvények matematikai egyenlőségei, amelyek minden érvényes argumentumértékre érvényesek.

A képletek beállítják a fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő, kotangens - közötti kapcsolatot.

A szög szinusza az egységkörön lévő pont (az ordináta) y-koordinátája. A szög koszinusza egy pont x-koordinátája (abszcissza).

Az érintő és a kotangens a szinusz és a koszinusz aránya, és fordítva.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

És kettő, amit ritkábban használnak - szekáns, koszekáns. Az 1-es koszinuszhoz és szinuszhoz viszonyított arányát jelölik.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

A trigonometrikus függvények definícióiból láthatja, hogy az egyes negyedekben milyen előjeleik vannak. A függvény előjele csak attól függ, hogy az argumentum melyik kvadránsban van.

Ha az argumentum előjelét "+"-ról "-"-ra változtatja, akkor csak a koszinusz függvény nem változtatja meg az értékét. Párosnak hívják. Grafikája szimmetrikus az y tengelyre.

A többi függvény (szinusz, érintő, kotangens) páratlan. Ha az argumentum előjelét „+”-ról „-”-ra változtatjuk, az értékük is negatívra változik. A grafikonjaik szimmetrikusak az origóra.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan képletek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög trigonometrikus függvényei között (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`), és amelyek lehetővé teszik a ezen függvények mindegyikének értéke bármely ismert másikon keresztül.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Képletek trigonometrikus függvények szögeinek összegére és különbségére

Az argumentumok összeadására és kivonására szolgáló képletek két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényeit fejezik ki e szögek trigonometrikus függvényében.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Kettős szög képletek

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)".
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` "\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)"
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2

Háromszög képletek

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Félszög képletek

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)"
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

A fél, dupla és hármas argumentumképletek kifejezik ezen argumentumok `sin, \cos, \tg, \ctg` függvényeit (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) ugyanazon függvények feltételei: `\alpha`.

Kimenetüket az előző csoportból kaphatjuk meg (argumentumok összeadása és kivonása). Például a dupla szög azonosságokat könnyen megszerezheti a `\beta` helyére `\alpha`.

Redukciós képletek

A trigonometrikus függvények négyzetek (kockák stb.) képletei lehetővé teszik, hogy 2,3, ... fokról az elsőfokú trigonometrikus függvényekre lépjen, de több szöget (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` vagy `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A képletek különböző argumentumok trigonometrikus függvényei összegének és különbségének szorzattá történő transzformációi.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Itt egy argumentum függvényeinek összeadása és kivonása szorzattá alakul.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

A következő képletek egy egység és egy trigonometrikus függvény összegét és különbségét konvertálják szorzattá.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2
"1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)"
"1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)"
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)"
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Függvénykonverziós képletek

Képletek az "\alpha" és "\beta" argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvények szorzatának ezen argumentumok összegévé (különbségévé) konvertálására.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)'
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ béta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ béta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ béta))".

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Ezek a képletek a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével fejezik ki.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Öntött képletek

Redukciós képleteket kaphatunk a trigonometrikus függvények olyan tulajdonságainak felhasználásával, mint a periodicitás, a szimmetria, az adott szög szerinti eltolási tulajdonság. Lehetővé teszik tetszőleges szögfüggvények olyan függvényekké alakítását, amelyek szöge 0 és 90 fok között van.

Szög esetén (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Szög (`\pi \pm \alpha`) vagy (`180^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Szög esetén (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Szög (`2\pi \pm \alpha`) vagy (`360^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Egyes trigonometrikus függvények kifejezése másokkal

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)".
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)".

A trigonometria szó szerinti fordítása "háromszögek mérése". Tanulmányozni kezdik az iskolában, és részletesebben az egyetemeken folytatódik. Ezért a trigonometria alapképletei már 10. osztálytól szükségesek, valamint a sikeres vizsgához is. A függvények közötti kapcsolatokat jelölik, és mivel sok ilyen kapcsolat létezik, jó néhány képlet létezik. Mindannyiukra emlékezni nem könnyű, és nem is szükséges – ha kell, mind ki lehet következtetni.

A trigonometrikus képleteket az integrálszámításban, valamint a trigonometrikus egyszerűsítéseknél, számításoknál és transzformációknál használják.

A szinuszértékek a [-1; 1], azaz -1 ≤ sin α ≤ 1. Ezért ha |a| > 1, akkor a sin x = a egyenletnek nincs gyöke. Például a sin x = 2 egyenletnek nincs gyöke.

Térjünk rá néhány feladatra.

Oldja meg a sin x = 1/2 egyenletet.

Megoldás.

Vegyük észre, hogy sin x az egységkör pontjának ordinátája, amelyet az Р (1; 0) pont origó körüli x szöggel való elforgatásának eredményeként kapunk.

Az M 1 és M 2 kör két pontjában ½ ordináta található.

Mivel 1/2 \u003d sin π / 6, akkor az M 1 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 1 \u003d π / 6 szögön, valamint az x \u003d π szögeken keresztül. / 6 + 2πk, ahol k \u003d +/-1, +/-2, …

Az M 2 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 2 = 5π/6 szögön átfordítás eredményeként, valamint az x = 5π/6 + 2πk szögeken keresztül, ahol k = +/- 1, +/-2, ... , azaz. x = π – π/6 + 2πk szögeknél, ahol k = +/-1, +/-2, ….

Tehát a sin x = 1/2 egyenlet összes gyöke megtalálható az x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk képletekkel, ahol k € Z.

Ezeket a képleteket egybe lehet kombinálni: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, ahol n € Z (1).

Valóban, ha n páros szám, azaz. n = 2k, akkor az (1) képletből х = π/6 + 2πk kapjuk, és ha n páratlan szám, azaz. n = 2k + 1, akkor az (1) képletből х = π – π/6 + 2πk kapjuk.

Válasz. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, ahol n € Z.

Oldja meg a sin x = -1/2 egyenletet.

Megoldás.

A -1/2 ordinátának van az M 1 és M 2 egységkör két pontja, ahol x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Ezért a sin x = -1/2 egyenlet összes gyöke megtalálható az x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z képletekkel.

Ezeket a képleteket egyesíthetjük: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).

Valóban, ha n = 2k, akkor a (2) képlet alapján x = -π/6 + 2πk, és ha n = 2k – 1, akkor a (2) képlet alapján x = -5π/6 + 2πk.

Válasz. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

Így a sin x = 1/2 és sin x = -1/2 egyenletek mindegyikének végtelen számú gyöke van.

A -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon ezen egyenleteknek csak egy gyöke van:
x 1 \u003d π / 6 - a sin x \u003d 1/2 és x 1 \u003d -π / 6 egyenlet gyökere - a sin x egyenlet gyöke \u003d -1/2.

A π/6 számot az 1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin 1/2 = π/6; a -π/6 számot a -1/2 szám arcszinuszának nevezik, és ezt írják: arcsin (-1/2) = -π/6.

Általában a sin x \u003d a egyenletnek, ahol -1 ≤ a ≤ 1, a -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 szakaszon csak egy gyöke van. Ha a ≥ 0, akkor a gyökér az intervallumban van; Ha egy< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Így az a szám arcszinusza € [–1; 1] egy ilyen számot € [–π/2; π/2], melynek szinusza a.

arcsin a = α, ha sin α = a és -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

Például arcsin √2/2 = π/4, mivel sin π/4 = √2/2 és – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, mivel sin (-π/3) = -√3/2 és – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Hasonlóan az 1. és 2. feladat megoldásához, kimutatható, hogy a sin x = a egyenlet gyökei, ahol |a| ≤ 1 értékét a képlet fejezi ki

x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).

Azt is bebizonyíthatjuk, hogy bármely € [-1; 1] érvényes az arcsin (-a) = -arcsin a képlet.

A (4) képletből az következik, hogy az egyenlet gyökei
sin x \u003d a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 esetén egyszerűbb képletekkel is megtalálható:

sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)

sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

|BD| - ívhossz középpontjában az A pont.
α a radiánban kifejezett szög.

Érintő ( tgα) egy trigonometrikus függvény, amely a hipotenusz és a láb közötti α szögtől függ derékszögű háromszög, megegyezik a szemközti láb hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .

Tangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.

Az érintőfüggvény grafikonja, y = tg x

Kotangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelölést is elfogadták:
;
;
.

A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x

Az érintő és a kotangens tulajdonságai

Periodikaság

y= függvények tg xés y= ctg xπ periódusúak.

Paritás

Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.

Definíciók és értékek tartományai, növekvő, csökkenő

A tangens és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd. folytonossági bizonyíték). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész szám).

	y= tg x	y= ctg x
Hatály és folytonosság
Értéktartomány	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Emelkedő		-
Csökkenő	-
Extrémek	-	-
Nullák, y= 0
Metszéspontok az y tengellyel, x = 0	y= 0	-

Képletek

Kifejezések szinuszban és koszinuszban

; ;
; ;
;

Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete

A többi képlet például könnyen beszerezhető

Érintők szorzata

Az érintők összegének és különbségének képlete

Ez a táblázat az érvelés egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja.

Kifejezések komplex számokkal

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

;
;

Származékok

; .

.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
A > > > érintő képletei származtatása ; kotangensre >>>

Integrálok

Bővítések sorozatokká

Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xÉs osztjuk fel ezeket a polinomokat egymásra, . Ez a következő képleteket eredményezi.

Nál nél .

nál nél .
Ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározzák vagy attól visszatérő kapcsolat:
;
;
Ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint:

Inverz függvények

Az érintő és a kotangens inverz függvényei a következők arctangens és arctangens, ill.

Arctangens, arctg

, Ahol n- egész.

Ív érintő, arcctg