Milyen rangja van a mátrixnak különböző értékek esetén. Mátrix rangjának kiszámítása elemi transzformációk segítségével

Megfontoljuk a téma egy fontos gyakorlati alkalmazását is: rendszerkutatás lineáris egyenletek az összetartozásért.

Mi a mátrix rangja?

A cikk humoros epigráfiája nagy mennyiségű igazságot tartalmaz. A „rang” szót általában valamilyen hierarchiához kötjük, leggyakrabban egy karrierlétrához. Minél több tudással, tapasztalattal, képességekkel, kapcsolatokkal stb. – minél magasabb pozíciója és lehetőségei közé tartozik. Ifjúsági vonatkozásban a rang a „meredekség” általános fokára utal.

Matematikus testvéreink pedig ugyanezen elvek szerint élnek. Vegyünk egy pár véletlenszerűt sétálni nulla mátrixok:

Gondoljunk bele, ha a mátrixban csupa nulla, akkor milyen rangról beszélhetünk? Mindenki ismeri a „teljes nulla” informális kifejezést. A mátrixok társadalmában minden pontosan ugyanaz:

A nulla mátrix rangjabármely méret nulla.

jegyzet : A nulla mátrixot jelöljük görög levél"théta"

A mátrix rangjának jobb megértése érdekében a továbbiakban anyagokat használok segítségül analitikus geometria. Tekintsük nullát vektor háromdimenziós terünk, amely nem határoz meg konkrét irányt, és építésre használhatatlan affin alapon. Algebrai szempontból ennek a vektornak a koordinátái be vannak írva mátrix„egy-három” és logikus (a jelzett geometriai értelemben) Tegyük fel, hogy ennek a mátrixnak a rangja nulla.

Most nézzünk meg néhányat nem nulla oszlopvektorokÉs sorvektorok:


Minden példánynak van legalább egy nullától eltérő eleme, és ez már valami!

Bármely nem nulla sorvektor (oszlopvektor) rangja eggyel egyenlő

És általában véve - ha a mátrixban tetszőleges méretek van legalább egy nem nulla elem, akkor a rangja nem kevesebb egységek.

Az algebrai sorvektorok és oszlopvektorok bizonyos mértékig absztraktak, ezért térjünk vissza a geometriai asszociációra. Nem nulla vektor nagyon határozott irányt szab a térben és alkalmas a konstrukcióra alapján, ezért a mátrix rangját eggyel egyenlőnek tekintjük.

Elméleti információk : a lineáris algebrában a vektor egy (8 axiómán keresztül meghatározott) vektortér eleme, amely valós számok rendezett sorát (vagy oszlopát) ábrázolhatja a meghatározott valós számmal való összeadás és szorzás műveleteivel. nekik. A vektorokról részletesebb információ a cikkben található Lineáris transzformációk.

lineárisan függő(egymáson keresztül kifejezve). Geometriai szempontból a második sor a kollineáris vektor koordinátáit tartalmazza , ami egyáltalán nem vitte előre az ügyet az építésben háromdimenziós alapon, lévén ebben az értelemben felesleges. Így ennek a mátrixnak a rangja is egyenlő eggyel.

Írjuk át a vektorok koordinátáit oszlopokba ( transzponálja a mátrixot):

Mi változott a rangot tekintve? Semmi. Az oszlopok arányosak, ami azt jelenti, hogy a rang egyenlő eggyel. Egyébként vegye figyelembe, hogy mindhárom sor arányos is. A koordinátákkal azonosíthatók három a sík kollineáris vektorai, amelyek közül csak egy"lapos" alap felépítéséhez hasznos. És ez teljes mértékben összhangban van geometriai rangérzetünkkel.

A fenti példából egy fontos megállapítás következik:

A sorokban a mátrix rangja megegyezik a mátrix oszlopos rangjával. Ezt már említettem egy kicsit a hatékony leckében a determináns kiszámításának módszerei.

jegyzet : a sorok lineáris függéséből következik lineáris függőség oszlopok (és fordítva). De az idő megtakarítása érdekében és megszokásból szinte mindig a húrok lineáris függőségéről fogok beszélni.

Folytassuk szeretett házi kedvencünk képzését. Adjuk hozzá egy másik kollineáris vektor koordinátáit a harmadik sorban lévő mátrixhoz :

Segített nekünk egy háromdimenziós alap felépítésében? Természetesen nem. Mindhárom vektor ugyanazon az úton jár oda-vissza, és a mátrix rangja eggyel egyenlő. Tetszőleges számú kollineáris vektort vehetsz, mondjuk 100-at, koordinátáikat egy „százszor három” mátrixba teheted, és egy ilyen felhőkarcoló rangja továbbra is egy marad.

Ismerkedjünk meg a mátrixszal, melynek sorai lineárisan független. Egy nem-kollineáris vektorpár alkalmas háromdimenziós bázis felépítésére. Ennek a mátrixnak a rangja kettő.

Mi a mátrix rangja? Úgy tűnik, hogy a vonalak nem arányosak... szóval elméletben három. Ennek a mátrixnak a rangja azonban szintén kettő. Az első két sort hozzáadtam, és az eredményt alul írtam, i.e. lineárisan kifejezve a harmadik sor az első kettőn keresztül. Geometriailag a mátrix sorai három koordinátájának felelnek meg koplanáris vektorok, és e három között van egy pár nem kollineáris elvtárs.

Amint látod, lineáris függőség a figyelembe vett mátrixban nem nyilvánvaló, és ma megtanuljuk, hogyan hozzuk ki a szabadba.

Szerintem sokan kitalálják, mi a mátrix rangja!

Tekintsünk egy mátrixot, amelynek sorai lineárisan független. Vektorok alkotnak affin alapon, és ennek a mátrixnak a rangja három.

Mint tudják, a háromdimenziós tér bármely negyedik, ötödik, tizedik vektorát lineárisan fejezzük ki bázisvektorokkal. Ezért ha tetszőleges számú sort ad hozzá egy mátrixhoz, akkor a rangja akkor is egyenlő lesz hárommal.

Hasonló érvelés végezhető nagyobb méretű mátrixoknál is (természetesen geometriai jelentés nélkül).

Meghatározás : A mátrix rangja a lineárisan független sorok maximális száma. Vagy: A mátrix rangja a lineárisan független oszlopok maximális száma. Igen, a számuk mindig ugyanaz.

A fentiekből egy fontos gyakorlati útmutató is következik: a mátrix rangja nem haladja meg annak minimális méretét. Például a mátrixban négy sor és öt oszlop. A minimális méret négy, ezért ennek a mátrixnak a rangja biztosan nem haladja meg a 4-et.

Megnevezések: a világelméletben és a gyakorlatban nincs általánosan elfogadott szabvány a mátrix rangjának meghatározására, leggyakrabban: - ahogy mondani szokás, az angol egyet ír, a német mást; Ezért az amerikai és orosz pokolról szóló híres vicc alapján jelöljük a mátrix rangját anyaszóval. Például: . És ha a mátrix „névtelen”, amelyből sok van, akkor egyszerűen írhat .

Hogyan lehet megtalálni a mátrix rangját kiskorúak használatával?

Ha a nagyanyánk mátrixában lenne egy ötödik oszlop, akkor egy másik 4. rendű minort kellene számolnunk ("kék", "málna" + 5. oszlop).

Következtetés: a nullától eltérő moll maximális sorrendje három, ami azt jelenti.

Talán nem mindenki értette meg teljesen ezt a mondatot: a 4. rendű moll egyenlő nullával, de a 3. rendű mollok között volt egy nem nulla - ezért a maximális sorrend nem nulla kisebb és egyenlő hárommal.

Felmerül a kérdés, miért nem számítjuk ki azonnal a determinánst? Nos, először is, a legtöbb feladatban a mátrix nem négyzet alakú, másodszor, még ha nullától eltérő értéket is kap, a feladat valószínűleg elutasításra kerül, mivel általában egy szabványos „alulról felfelé irányuló” megoldást tartalmaz. És a vizsgált példában a 4. sorrend nulla determinánsa lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy a mátrix rangja csak négynél kisebb.

Bevallom, a saját magam által elemzett problémát azért találtam ki, hogy jobban elmagyarázzam a kiskorúak határolásának módszerét. A gyakorlatban minden egyszerűbb:

2. példa

Keresse meg a mátrix rangját az él minors módszerrel

A megoldás és a válasz a lecke végén található.

Mikor működik a leggyorsabban az algoritmus? Térjünk vissza ugyanahhoz a négyszer négyes mátrixhoz. . Nyilván a „jó” esetén lesz a legrövidebb a megoldás sarki kiskorúak:

És ha , akkor , különben – .

A gondolkodás egyáltalán nem hipotetikus – számos példa van arra, hogy az egész ügy csak szögletes kiskorúakra korlátozódik.

Bizonyos esetekben azonban egy másik módszer hatékonyabb és előnyösebb:

Hogyan találjuk meg a mátrix rangját a Gauss-módszerrel?

A bekezdés azoknak az olvasóknak szól, akik már ismerik Gauss-módszerés többé-kevésbé a kezükbe került.

Technikai szempontból a módszer nem újszerű:

1) elemi transzformációk segítségével a mátrixot lépcsőzetes formára redukáljuk;

2) a mátrix rangja megegyezik a sorok számával.

Ez teljesen egyértelmű a Gauss-módszer használata nem változtatja meg a mátrix rangját, és a lényeg itt rendkívül egyszerű: az algoritmus szerint az elemi átalakítások során minden szükségtelen arányos (lineárisan függő) sort azonosítanak és eltávolítanak, ami egy „száraz maradékot” eredményez - a lineárisan független sorok maximális számát.

Alakítsuk át a régi ismerős mátrixot ezzel három koordinátái kollineáris vektorok:

(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz.

(2) A nulla vonalakat eltávolítják.

Így egy sor maradt, tehát . Mondanom sem kell, hogy ez sokkal gyorsabb, mint kilenc nulla 2. rendű mollot kiszámítani, és csak azután levonni a következtetést.

Emlékeztetlek erre önmagában algebrai mátrix semmit nem lehet megváltoztatni, és az átalakításokat csak a rang meghatározására hajtják végre! Apropó, időzzünk még egyszer a kérdésnél, miért ne? Forrásmátrix olyan információt hordoz, amely alapvetően különbözik a mátrix és a sor információitól. Néhány matematikai modellek(nem túlzás) az egy szám különbsége létkérdés lehet. ...Emlékezett iskolai tanárokáltalános és középosztályos matematikusok, akik kíméletlenül 1-2 ponttal csökkentik az osztályzatot a legkisebb pontatlanság vagy az algoritmustól való eltérés miatt. És rettenetesen kiábrándító volt, amikor a garantáltnak tűnő „A” helyett „jó” vagy még rosszabb lett. Sokkal később jött a megértés – hogyan lehetne másként műholdakat, nukleáris robbanófejeket és erőműveket egy emberre bízni? De ne aggódj, én nem dolgozom ezeken a területeken =)

Térjünk át az értelmesebb feladatokra, ahol többek között fontos számítási technikákkal ismerkedünk meg Gauss módszer:

3. példa

Keresse meg a mátrix rangját elemi transzformációk segítségével

Megoldás: egy „négyszer öt” mátrix van megadva, ami azt jelenti, hogy a rangja biztosan nem több 4-nél.

Az első oszlopban nincs 1 vagy –1, ezért további műveletekre van szükség legalább egy egység megszerzéséhez. Az oldal fennállása során többször is feltették velem a kérdést: „Lehetséges-e az oszlopok átrendezése elemi átalakítások során?” Itt átrendeztük az első és a második oszlopot, és minden rendben! A legtöbb olyan feladatban, ahol használják Gauss-módszer, az oszlopok valóban átrendezhetők. DE NEM SZÜKSÉGES. És a lényeg nem is a változókkal való esetleges összekeverésben van, hanem az, hogy a klasszikus tanmenetben felsőbb matematika ezt az akciót hagyományosan nem veszik számításba, így egy ilyen hitványt NAGYON ferdén fognak nézni (vagy akár mindent újra kell csinálni).

A második pont a számokra vonatkozik. A döntés meghozatalakor hasznos a következő ökölszabály alkalmazása: az elemi transzformációk lehetőleg csökkentsék a mátrixszámokat. Végül is sokkal könnyebb eggyel, kettővel, hárommal dolgozni, mint például a 23-mal, 45-tel és 97-tel. És az első akció nem csak az első oszlopban szereplő egyes megszerzésére irányul, hanem a számok kiiktatására is. 7 és 11.

Először a teljes megoldás, majd a megjegyzések:

(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –3-mal. És a kupachoz: az 1. sort hozzáadtuk a 4. sorhoz, megszorozva –1-gyel.

(2) Az utolsó három sor arányos. A 3. és 4. sor kikerült, a második sor az első helyre került.

(3) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –3-mal.

A lépcsős formára redukált mátrixnak két sora van.

Válasz:

Most rajtad a sor, hogy megkínozza a négyszer négyes mátrixot:

4. példa

Keresse meg a mátrix rangját a Gauss-módszerrel

emlékeztetlek erre Gauss-módszer nem jelent egyértelmű merevséget, és az Ön döntése nagy valószínűséggel eltér az én döntésemtől. Rövid példa egy feladatra a lecke végén.

Melyik módszert használjam egy mátrix rangjának meghatározásához?

A gyakorlatban sokszor egyáltalán nincs megmondva, hogy milyen módszerrel kell a rangot megállapítani. Ilyen helyzetben elemezni kell a feltételt - egyes mátrixok esetében ésszerűbb a kiskorúak megoldása, míg mások számára sokkal jövedelmezőbb az elemi transzformációk alkalmazása:

5. példa

Keresse meg a mátrix rangját

Megoldás: az első módszer valahogy azonnal eltűnik =)

Kicsit feljebb azt tanácsoltam, hogy ne érintsd meg a mátrix oszlopait, de ha nulla oszlop van, vagy arányos/egybeeső oszlopok, akkor is érdemes amputálni:

(1) Az ötödik oszlop nulla, távolítsa el a mátrixból. Így a mátrix rangja nem több, mint négy. Az első sort –1-gyel szoroztuk. Ez a Gauss-módszer másik jellegzetessége, amely a következő műveletet kellemes sétává varázsolja:

(2) A másodiktól kezdve minden sorhoz hozzáadtuk az első sort.

(3) Az első sort –1-gyel szoroztuk, a harmadikat 2-vel, a negyediket 3-mal. A második sort hozzáadtuk az ötödikhez, megszorozva –1-gyel.

(4) A harmadik sort hozzáadtuk az ötödikhez, megszorozva –2-vel.

(5) Az utolsó két sor arányos, az ötödik törlésre kerül.

Az eredmény 4 sor.

Válasz:

Szabványos ötszintes épület független feltáráshoz:

6. példa

Keresse meg a mátrix rangját

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Meg kell jegyezni, hogy a „mátrix rang” kifejezést nem látják olyan gyakran a gyakorlatban, és a legtöbb problémában teljesen nélkülözheti. De van egy feladat, ahol a szóban forgó fogalom a főszereplő, és a cikket ezzel a gyakorlati alkalmazással zárjuk:

Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert tanulmányozni a konzisztencia érdekében?

Gyakran a megoldás mellett lineáris egyenletrendszerek a feltétel szerint először meg kell vizsgálni a kompatibilitást, vagyis annak bizonyítását, hogy egyáltalán létezik-e megoldás. Az ilyen ellenőrzésben kulcsszerepet játszik Kronecker-Capelli tétel, amit a szükséges formában megfogalmazok:

Ha rang rendszermátrixok ranggal egyenlő kiterjesztett mátrix rendszer, akkor a rendszer konzisztens, és ha ez a szám egybeesik az ismeretlenek számával, akkor a megoldás egyedi.

Így a rendszer kompatibilitási vizsgálatához ellenőrizni kell az egyenlőséget , Ahol - rendszermátrix(emlékezz a leckében szereplő terminológiára Gauss módszer), A - kiterjesztett rendszermátrix(azaz változók együtthatós mátrixa + szabad tagok oszlopa).

Meghatározás. Mátrix rang a vektornak tekintett lineárisan független sorok maximális száma.

1. tétel a mátrix rangjáról. Mátrix rang egy mátrix nullától eltérő moll maximális rendjének nevezzük.

A kiskorú fogalmát már tárgyaltuk a meghatározó tényezőkről szóló leckében, de most általánosítjuk. Vegyünk egy bizonyos számú sort és egy bizonyos számú oszlopot a mátrixban, és ennek a „valaminek” kisebbnek kell lennie, mint a mátrix sorainak és oszlopainak száma, és sorok és oszlopok esetén ez a „valami” legyen ugyanannyi. . Ekkor a hány sor és hány oszlop metszéspontjában lesz az eredeti mátrixunknál alacsonyabb rendű mátrix. A determináns egy mátrix, és k-edik rendű minor lesz, ha az említett „néhányat” (a sorok és oszlopok számát) k-val jelöljük.

Meghatározás. Kisebb ( r+1) sorrend, amelyen belül a kiválasztott kiskorú fekszik r-edik rendet határolásnak nevezzük adott kiskorú esetében.

A két leggyakrabban használt módszer a a mátrix rangjának megtalálása. Ez kiskorúakkal való határolás módjaÉs elemi transzformációk módszere(Gauss-módszer).

A bordering minors módszer alkalmazásakor a következő tételt használjuk.

2. tétel a mátrix rangjáról. Ha egy moll mátrixelemekből összeállítható r sorrendben, nem egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő r.

Az elemi átalakítási módszer használatakor a következő tulajdonságot használjuk:

Ha elemi transzformációkkal olyan trapézmátrixot kapunk, amely egyenértékű az eredetivel, akkor ennek a mátrixnak a rangja a benne lévő sorok száma, kivéve azokat a sorokat, amelyek teljes egészében nullákból állnak.

Mátrix rangjának meghatározása a kiskorúak szegélyezésének módszerével

Befoglaló kiskorú az adotthoz képest magasabb rendű kiskorú, ha ez a magasabb rendű kiskorú tartalmazza az adott kiskorút.

Például adott a mátrix

Vegyünk egy kiskorút

A szomszédos kiskorúak lesznek:

Algoritmus egy mátrix rangjának meghatározására következő.

1. Keressen másodrendű kisebbeket, amelyek nem egyenlők nullával! Ha minden másodrendű minor nulla, akkor a mátrix rangja eggyel lesz egyenlő ( r =1 ).

2. Ha van legalább egy másodrendű moll, amely nem egyenlő nullával, akkor összeállítjuk a harmadrendű határoló mollokat. Ha az összes határos harmadrendű kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő kettővel ( r =2 ).

3. Ha a harmadrendű határos kiskorúak közül legalább egy nem egyenlő nullával, akkor összeállítjuk a határos kiskorúakat. Ha a negyedrendű összes határos kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő hárommal ( r =2 ).

4. Folytassa így, amíg a mátrix mérete megengedi.

1. példa Keresse meg a mátrix rangját

.

Megoldás. Másodrendű minor .

Határozzuk meg. Négy szomszédos kiskorú lesz:

,

,

Így minden harmadrendű határos kiskorú egyenlő nullával, ezért ennek a mátrixnak a rangja egyenlő kettővel ( r =2 ).

2. példa Keresse meg a mátrix rangját

Megoldás. Ennek a mátrixnak a rangja egyenlő 1-gyel, mivel ennek a mátrixnak minden másodrendű kiskorúja nulla (ebben, mint a következő két példában a szomszédos kiskorúak esetében, kérjük a kedves hallgatókat, hogy ellenőrizzék, önmagukat, esetleg a determinánsok kiszámításának szabályait alkalmazva), és az elsőrendű minorok között, azaz a mátrix elemei között vannak nem nullák.

3. példa Keresse meg a mátrix rangját

Megoldás. Ennek a mátrixnak a másodrendű mollja, és ennek a mátrixnak minden harmadrendű mollja egyenlő nullával. Ezért ennek a mátrixnak a rangja kettő.

4. példa Keresse meg a mátrix rangját

Megoldás. Ennek a mátrixnak a rangja 3, mivel ennek a mátrixnak az egyetlen harmadrendű mollja a 3.

Mátrix rangjának meghatározása elemi transzformációk módszerével (Gauss-módszer)

Már az 1. példában is jól látható, hogy a kiskorúak határos módszerével egy mátrix rangjának meghatározásához nagyszámú determináns számítása szükséges. Van azonban mód arra, hogy a számítási mennyiséget minimálisra csökkentsük. Ez a módszer elemi mátrix transzformációk használatán alapul, és Gauss-módszernek is nevezik.

A következő műveletek elemi mátrix transzformációnak minősülnek:

1) a mátrix bármely sorát vagy oszlopát megszorozzuk nullától eltérő számmal;

2) a mátrix bármely sorának vagy oszlopának elemeihez hozzáadjuk egy másik sor vagy oszlop megfelelő elemeit, szorozva ugyanazzal a számmal;

3) a mátrix két sorának vagy oszlopának felcserélése;

4) a „null” sorok eltávolítása, vagyis azok, amelyeknek minden eleme nulla;

5) az összes arányos vonal törlése egy kivételével.

Tétel. Egy elemi transzformáció során a mátrix rangja nem változik. Más szóval, ha elemi transzformációkat használunk a mátrixból A a mátrixhoz ment B, Azt .

Legyen A egy m\-szer n méretű mátrix, k pedig egy természetes szám, amely nem haladja meg az m-t és az n-t: k\leqslant\min\(m;n\). Kisebb k-edik rend Az A mátrix egy k-ed rendű mátrix determinánsa, amelyet az A mátrix tetszőlegesen kiválasztott k sora és k oszlopa metszéspontjában lévő elemek alkotnak. Kiskorúak jelölésénél a kijelölt sorok számát felső indexként, a kijelölt oszlopok számát alsó indexként fogjuk feltüntetni, növekvő sorrendbe rendezve.

Példa 3.4.Írja fel a mátrix különböző rendjébe tartozó minorokat!

A=\begin(pmátrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmátrix)\!.

Megoldás. Az A mátrix mérete 3\x4 . A következőket tartalmazza: 12 elsőrendű kiskorú, például kiskorú M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 másodrendű kiskorú, pl. M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmátrix)2&1\\2&2\end(vmátrix)=2; 4 3. rendű kiskorú pl.

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmátrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmátrix)=0.

Egy m\szer n méretű A mátrixban az r-edik rendű minort hívjuk alapvető, ha nem nulla, és minden (r+1)-ro rendű minor nullával egyenlő, vagy egyáltalán nem létezik.

Mátrix rang az alap minor sorrendjének nevezzük. A nulla mátrixban nincs bázis-moll. Ezért a nulla mátrix rangja definíció szerint egyenlő nullával. Az A mátrix rangját jelöli \operátornév(rg)A.

Példa 3.5. Keresse meg az összes alap minort és mátrix rangot

A=\begin(pmátrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmátrix)\!.

Megoldás. Ennek a mátrixnak minden harmadrendű minorja nulla, mivel ezeknek a determinánsoknak nulla harmadik soruk van. Ezért csak a mátrix első két sorában található másodrendű minor lehet alap. A 6 lehetséges kiskorú áthaladásával nem nullát választunk

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmátrix)1&2\\0&2 \end( vmátrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmátrix) 2&0\\2&3\end(vmátrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmátrix)\!.

Ez az öt kiskorú mindegyike alapvető. Ezért a mátrix rangja 2.

Megjegyzések 3.2

1. Ha egy mátrixban minden k-rendű moll egyenlő nullával, akkor a több mint magasrendű. Valójában a (k+1)-ro rend mollját bármely sorra kiterjesztve megkapjuk e sor elemeinek k-edik rendű mollok szorzatainak összegét, és ezek nullával egyenlők.

2. Egy mátrix rangja megegyezik a mátrix nullától eltérő molljának legmagasabb rendjével.

3. Ha egy négyzetmátrix nem szinguláris, akkor a rangja megegyezik a sorrendjével. Ha egy négyzetmátrix szinguláris, akkor a rangja kisebb, mint a sorrendje.

4. A megnevezéseket a rangra is használják \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rang)A.

5. Blokkmátrix rang egy reguláris (numerikus) mátrix rangjaként van definiálva, azaz. blokkszerkezetétől függetlenül. Ebben az esetben a blokkmátrix rangja nem kisebb, mint a blokkjainak rangja: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)AÉs \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, mivel az A mátrix (vagy B ) minden mollja egyben a blokkmátrix (A\mid B) mollja is.

Tételek a moll és a mátrix rangja alapján

Tekintsük a mátrix oszlopainak (sorainak) lineáris függésének és lineáris függetlenségének tulajdonságait kifejező fő tételeket.

3.1. Tétel a moll alapján. Egy tetszőleges A mátrixban minden oszlop (sor) azoknak az oszlopoknak (soroknak) lineáris kombinációja, amelyekben az alap minor található.

Valójában az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy egy m\szer n méretű A mátrixban a bázis-moll az első r sorban és az első r oszlopban található. Tekintsük a meghatározót

D=\begin(vmátrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmátrix),

amelyet az A mátrix bázismolljához rendelve kapunk a megfelelő sth elemek sorok és k-edik oszlop. Vegye figyelembe, hogy bármely 1\leqslant s\leqslant més ez a determináns egyenlő nullával. Ha s\leqslant r vagy k\leqslant r, akkor a D determináns két egyforma sort vagy két azonos oszlopot tartalmaz. Ha s>r és k>r, akkor a D determináns nulla, mivel (r+l)-ro rendű moll. A determinánst az utolsó sor mentén kiterjesztve azt kapjuk

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

ahol D_(r+1\,j) az utolsó sor elemeinek algebrai komplementerei. Jegyezze meg, hogy D_(r+1\,r+1)\ne0, mivel ez egy alap-moll. Ezért

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Ahol \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Az s=1,2,\ldots,m utolsó egyenlőségét felírva megkapjuk

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

azok. k. oszlop (bármelyikhez 1\leqslant k\leqslant n) az alap-moll oszlopainak lineáris kombinációja, amit bizonyítanunk kellett.

Az alap-moll tétel a következő fontos tételek bizonyítására szolgál.

Feltétel, hogy a determináns nulla legyen

3.2. Tétel (szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a determináns nulla legyen). Ahhoz, hogy egy determináns nullával egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy az egyik oszlopa (egyik sora) a fennmaradó oszlopok (sorok) lineáris kombinációja legyen.

Valójában az alap-moll tételből következik a szükségszerűség. Ha egy n rendű négyzetmátrix determinánsa egyenlő nullával, akkor a rangja kisebb, mint n, azaz. legalább egy oszlop nem szerepel a base minorban. Ekkor ez a kiválasztott oszlop a 3.1. Tétel szerint azoknak az oszlopoknak a lineáris kombinációja, amelyekben a bázis-moll található. Ha ehhez a kombinációhoz szükség esetén további nulla együtthatójú oszlopokat adunk hozzá, azt kapjuk, hogy a kiválasztott oszlop a mátrix többi oszlopának lineáris kombinációja. Az elegendőség a determináns tulajdonságaiból következik. Ha például a determináns utolsó A_n oszlopa \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineárisan kifejezve a többivel

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

majd hozzáadjuk az A_n-hez az A_1 oszlopot szorozva (-\lambda_1), majd az A_2 oszlopot a (-\lambda_2) szorozva stb. oszlop A_(n-1) szorozva (-\lambda_(n-1)) kapjuk a determinánst \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) nullával egyenlő nulloszloppal (a determináns 2. tulajdonsága).

A mátrix rangjának invarianciája elemi transzformációk alatt

3.3. Tétel (a rang invarianciájáról elemi transzformációknál). A mátrix oszlopainak (sorainak) elemi átalakítása során a rangja nem változik.

Valóban, legyen. Tegyük fel, hogy az A mátrix oszlopainak egy elemi transzformációja eredményeként megkaptuk az A mátrixot". Ha I. típusú transzformációt végeztünk (két oszlop permutációja), akkor a mátrix nagyságrendjének bármely kisebb (r+l)-ro A" vagy egyenlő az A mátrix rendjének megfelelő moll (r+l )-ro értékével, vagy előjelben különbözik tőle (a determináns 3. tulajdonsága). Ha II-es típusú transzformációt hajtottak végre (az oszlopot megszorozva a \lambda\ne0 számmal), akkor az A" mátrix nagyságrendjének bármely kisebb (r+l)-ro vagy egyenlő a megfelelő molldal (r+l). -ro az A mátrix rendjének megfelelő vagy attól eltérő faktor \lambda\ne0 (a determináns 6-os tulajdonsága) Ha egy III-as típusú transzformációt végeztünk (egy oszlophoz hozzáadunk egy másik oszlopot, megszorozva a \Lambda számmal), akkor bármely. az A" mátrix (r+1)-edik rendjének moll vagy egyenlő az A mátrix megfelelő moll (r+1)-edik rendjével (a determináns 9. tulajdonsága), vagy egyenlő két moll (r+l)-ro az A mátrix rendjéből (a determináns 8. tulajdonsága). Ezért bármilyen típusú elemi transzformáció esetén az A" mátrix rendjének minden minor (r+l)-ro egyenlő nullával, mivel az A mátrix rendjének minden minor (r+l)-ro nullával egyenlő. Így bebizonyosodott, hogy az oszlopok elemi transzformációinál a rangmátrix nem tud növekedni, mivel az elemiekkel fordított transzformációk elemiek, ezért a mátrix rangja az oszlopok elemi transzformációinál nem csökkenhet, azaz hasonló. bebizonyította, hogy a mátrix rangja nem változik a sorok elemi transzformációi során.

Következmény 1. Ha egy mátrix egy sora (oszlopa) a többi sor (oszlop) lineáris kombinációja, akkor ez a sor (oszlop) törölhető a mátrixból anélkül, hogy megváltoztatná a rangját.

Valójában egy ilyen karakterlánc nullává tehető elemi transzformációkkal, és a nulla karakterlánc nem szerepelhet az alap-mollban.

Következmény 2. Ha a mátrixot a legegyszerűbb formára redukáljuk (1.7), akkor

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Valójában a legegyszerűbb (1.7) alakú mátrixnak van r-edrendű alapmollja.

Következmény 3. Bármely nem szinguláris négyzetmátrix elemi, más szóval minden nem szinguláris négyzetmátrix egyenértékű egy azonos sorrendű identitásmátrixszal.

Valóban, ha A egy nem szinguláris négyzetmátrix n-edik rendű, akkor \operátornév(rg)A=n(lásd a 3.2. megjegyzés 3. bekezdését). Ezért elemi transzformációkkal az A mátrixot a legegyszerűbb (1.7) alakra hozva a \Lambda=E_n azonosságmátrixot kapjuk, mivel \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(lásd a 2. következményt). Ezért az A mátrix ekvivalens az E_n identitásmátrixszal, és véges számú elemi transzformáció eredményeként nyerhető belőle. Ez azt jelenti, hogy az A mátrix elemi.

3.4. Tétel (a mátrix rangjáról). Egy mátrix rangja megegyezik a mátrix lineárisan független sorainak maximális számával.

Sőt, hadd \operátornév(rg)A=r. Ekkor az A mátrixnak r lineárisan független sora van. Ezek azok a sorok, amelyekben az alap-moll található. Ha lineárisan függőek lennének, akkor ez a kisebb a 3.2. Tétel szerint nullával egyenlő, és az A mátrix rangja nem egyenlő r-rel. Mutassuk meg, hogy r a lineárisan független sorok maximális száma, azaz. bármely p sor lineárisan függ p>r-re. Valójában ezekből a p sorokból alkotjuk meg a B mátrixot. Mivel a B mátrix az A mátrix része, akkor \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Ez azt jelenti, hogy a B mátrix legalább egy sora nem szerepel ennek a mátrixnak a bázis-molljában. Ekkor a bázis-moll tétel alapján egyenlő azoknak a soroknak a lineáris kombinációjával, amelyekben a bázismoll található. Ezért a B mátrix sorai lineárisan függőek. Így az A mátrixnak legfeljebb r lineárisan független sora van.

Következmény 1. A mátrixban a lineárisan független sorok maximális száma megegyezik a lineárisan független oszlopok maximális számával:

\operátornév(rg)A=\operátornév(rg)A^T.

Ez az állítás a 3.4 Tételből következik, ha egy transzponált mátrix soraira alkalmazzuk, és figyelembe vesszük, hogy a minorok nem változnak a transzponálás során (a determináns 1. tulajdonsága).

Következmény 2. Mátrixsorok elemi transzformációival, lineáris függéssel (ill lineáris függetlenség) a mátrix bármely oszloprendszeréből megmarad.

Valójában válasszuk ki egy adott A mátrix tetszőleges k oszlopát, és állítsuk össze belőlük a B mátrixot. Legyen az A" mátrix az A mátrix sorainak elemi transzformációi eredményeként, a B" mátrix pedig a B mátrix sorainak azonos transzformációi eredményeként. A 3.3. tétel szerint \operátornév(rg)B"=\operátornév(rg)B. Ezért ha a B mátrix oszlopai lineárisan függetlenek lennének, pl. k=\operátornév(rg)B(lásd 1. Következmény), akkor a B" mátrix oszlopai is lineárisan függetlenek, hiszen k=\operátornév(rg)B". Ha a B mátrix oszlopai lineárisan függőek lennének (k>\operátornév(rg)B), akkor a B" mátrix oszlopai is lineárisan függenek (k>\operátornév(rg)B"). Következésképpen az A mátrix bármely oszlopa esetén a lineáris függőség vagy a lineáris függetlenség megmarad az elemi sortranszformációk során.

Megjegyzések 3.3

1. A 3.4. Tétel 1. Következménye értelmében az oszlopok 2. következményben jelzett tulajdonsága minden mátrixsorrendszerre is igaz, ha csak az oszlopain hajtunk végre elemi transzformációt.

2. A 3.3. Tétel 3. következménye a következőképpen finomítható: bármely nem szinguláris négyzetmátrix, amely csak a sorainak (vagy csak az oszlopainak) elemi transzformációit használja, redukálható egy azonos sorrendű identitásmátrixra.

Valójában csak elemi sortranszformációk használatával bármely A mátrix leegyszerűsített \Lambda alakra redukálható (1.5. ábra) (lásd 1.1. Tétel). Mivel az A mátrix nem szinguláris (\det(A)\ne0), oszlopai lineárisan függetlenek. Ez azt jelenti, hogy a \Lambda mátrix oszlopai is lineárisan függetlenek (a 3.4. Tétel 2. következtetése). Ezért egy nem szinguláris A mátrix \Lambda egyszerűsített alakja egybeesik legegyszerűbb alakjával (1.6. ábra), és a \Lambda=E azonosságmátrix (lásd a 3.3. Tétel 3. következményét). Így egy nem szinguláris mátrixnak csak a sorait transzformálva redukálható az identitásmátrixra. Hasonló érvelés érvényes egy nem szinguláris mátrix oszlopainak elemi transzformációira is.

A szorzat rangsora és a mátrixok összege

3.5. Tétel (a mátrixok szorzatának rangjáról). A mátrixok szorzatának rangja nem haladja meg a tényezők rangját:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Valóban, legyen az A és B mátrixok mérete m\x p és p\x n . Az A mátrixhoz rendeljük a mátrixot C=AB\kettőspont\,(A\közép C). Persze hogy \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), mivel C a mátrix része (A\mid C) (lásd a 3.2 megjegyzés 5. bekezdését). Vegye figyelembe, hogy a mátrixszorzási művelet szerint minden C_j oszlop oszlopok lineáris kombinációja A_1,A_2,\ldots,A_p mátrixok A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Egy ilyen oszlop a rangja megváltoztatása nélkül törölhető a mátrixból (A\mid C) (3.3. Tétel 1. Következménye). A C mátrix összes oszlopát áthúzva a következőket kapjuk: \operátornév(rg)(A\mid C)=\operátornév(rg)A. Innen, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Hasonlóképpen bizonyíthatjuk, hogy a feltétel egyidejűleg teljesül \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, és vonjon le következtetést a tétel érvényességére vonatkozóan.

Következmény. Ha A tehát egy nem szinguláris négyzetmátrixÉs \operátornév(rg)(AB)= \operátornév(rg)B, azaz egy mátrix rangja nem változik, ha balról vagy jobbról megszorozzuk egy nem szinguláris négyzetmátrixszal.

3.6. Tétel a mátrixösszegek rangjáról. A mátrixok összegének rangja nem haladja meg a kifejezések rangsorainak összegét:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Valóban, hozzunk létre egy mátrixot (A+B\közép A\közép B). Vegye figyelembe, hogy az A+B mátrix minden oszlopa az A és B mátrixok oszlopainak lineáris kombinációja. Ezért \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Figyelembe véve, hogy a mátrixban a lineárisan független oszlopok száma (A\mid B) nem haladja meg \operátornév(rg)A+\operátornév(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(lásd a 3.2. megjegyzés 5. szakaszát), megkapjuk a bizonyított egyenlőtlenséget.

Alapvető A következő mátrixtranszformációkat nevezzük:

1) bármely két sor (vagy oszlop) permutációja,

2) egy sor (vagy oszlop) szorzása nullától eltérő számmal,

3) egy sor (vagy oszlop) hozzáadása egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), megszorozva egy bizonyos számmal.

A két mátrixot ún egyenértékű, ha az egyiket a másikból egy véges elemi transzformáció segítségével kapjuk meg.

Az ekvivalens mátrixok általában nem egyenlőek, de rangjuk egyenlő. Ha az A és B mátrixok ekvivalensek, akkor a következőképpen írjuk: A ~ B.

Kánoni A mátrix egy olyan mátrix, amelyben a főátló elején több egy van egy sorban (amelyek száma nulla lehet), és az összes többi elem nulla, például

A sorok és oszlopok elemi transzformációival bármely mátrix kanonikusra redukálható. A kanonikus mátrix rangja megegyezik a főátlóján lévő egyesek számával.

2. példa Keresse meg a mátrix rangját

A=

és hozd kanonikus formába.

Megoldás. A második sorból vonja ki az elsőt, és rendezze át ezeket a sorokat:

.

Most a második és a harmadik sorból kivonjuk az elsőt, megszorozva 2-vel, illetve 5-tel:

;

vonjuk ki az elsőt a harmadik sorból; mátrixot kapunk

B = ,

ami ekvivalens az A mátrixszal, mivel abból nyerjük elemi transzformációk véges halmazának felhasználásával. Nyilvánvaló, hogy a B mátrix rangja 2, ezért r(A)=2. A B mátrix könnyen kanonikusra redukálható. Ha kivonjuk az első, megfelelő számokkal megszorzott oszlopot az összes következőből, az első sor összes elemét nullára fordítjuk, kivéve az elsőt, és a többi sor elemei nem változnak. Ezután kivonva a megfelelő számokkal megszorzott második oszlopot az összes következőből, nullára fordítjuk a második sor összes elemét, kivéve a másodikat, és megkapjuk a kanonikus mátrixot:

.

Kronecker - Capelli tétel- lineáris rendszer kompatibilitási kritériuma algebrai egyenletek:

Azért, hogy lineáris rendszer kompatibilis volt, szükséges és elegendő, hogy e rendszer kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával.

Bizonyíték (rendszerkompatibilitási feltételek)

Szükségesség

Hadd rendszer közös Aztán vannak a számok ilyenek

, Mit . Ezért az oszlop a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Abból, hogy egy mátrix rangja nem változik, ha törlünk vagy hozzáadunk egy sort (oszlopot) a sorai (oszlopai) rendszeréből, ami más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, ebből következik, hogy .

Megfelelőség Hadd . Vegyünk néhány alapvető minort a mátrixban. Azóta ez lesz a mátrix alapmollja is. Ekkor az alaptétel szerint

kiskorú

, a mátrix utolsó oszlopa az alaposzlopok, azaz a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja lesz. Ezért a rendszer szabad tagok oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Következmények A fő változók száma

rendszerek rendszer egyenlő a rendszer rangjával.

Közös

akkor lesz definiálva (megoldása egyedi), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.15 . 2 Homogén egyenletrendszer

Ajánlat

Homogén egyenletrendszer mindig közös.

Bizonyíték

akkor lesz definiálva (megoldása egyedi), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.15 . 3 . Ennél a rendszernél a , , , számhalmaz a megoldás.

Homogén egyenletrendszer Ebben a részben a rendszer mátrixjelölését fogjuk használni: .

Egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak összege ennek a rendszernek a megoldása. A számmal szorzott megoldás is megoldás.

. Hadd szolgáljanak megoldásként a rendszer számára. Aztán és. Hadd .

Egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak összege ennek a rendszernek a megoldása. A számmal szorzott megoldás is megoldás.

Akkor15 . 1 Azóta - a megoldás. Legyen tetszőleges szám, . Akkor Következmény

Valóban, ha egy nem nulla megoldást megszorozunk különböző számokkal, különböző megoldásokat kapunk.

Meghatározás15 . 5 Azt mondjuk, hogy a megoldások rendszerek formálódnak alapvető megoldási rendszer, ha oszlopok lineárisan független rendszert alkotnak, és a rendszer bármely megoldása ezen oszlopok lineáris kombinációja.