A Lagrange-szorzók módszere. A Lagrange-szorzók gazdasági jelentése

A módszer leírása

Ahol .

Indoklás

A Lagrange-szorzó módszer alábbi indoklása nem szigorú bizonyítéka. Heurisztikus érvelést tartalmaz, amely segít megérteni a módszer geometriai jelentését.

2D tok

Szintvonalak és görbe.

Meg kell találni két változó valamelyik függvényének szélsőértékét az egyenlet által megadott feltétel mellett . Feltételezzük, hogy minden függvény folyamatosan differenciálható, és adott egyenlet sima görbét határoz meg S a felszínen. Ekkor a probléma a függvény szélsőértékének megtalálására redukálódik f a görbén S. Azt is feltételezzük S nem megy át olyan pontokon, ahol a gradiens f 0-ra fordul.

Rajzolja fel a síkra a függvény szintvonalait f(azaz görbék). Geometriai megfontolások alapján látható, hogy a függvény szélsőértéke f a görbén S csak olyan pontok lehetnek, ahol az érintők Sés a megfelelő szintvonal azonos. Valóban, ha a görbe Sátlépi a szintvonalat f egy pontban keresztirányban (azaz valamilyen nullától eltérő szögben), majd a görbe mentén haladva S pontból mindkettőt eljuthatunk a nagyobb értéknek megfelelő szintvonalakig f, és kisebb. Ezért egy ilyen pont nem lehet szélsőpont.

Így az extrémum szükséges feltétele esetünkben az érintők egybeesése lesz. Ha analitikus formában szeretné megírni, vegye figyelembe, hogy ez ekvivalens a függvények gradienseinek párhuzamosságával fés ψ ezen a ponton, mivel a gradiens vektor merőleges a szintvonal érintőjére. Ez a feltétel a következő formában fejeződik ki:

ahol λ egy nem nulla szám, ami a Lagrange-szorzó.

Most fontolja meg Lagrange funkcióés λ-tól függően:

Az extrémumának szükséges feltétele a nulla gradiens. A megkülönböztetés szabályainak megfelelően úgy írják, hogy

Olyan rendszert kaptunk, amelynek első két egyenlete ekvivalens a szükséges feltétellel helyi extrémum(1), a harmadik pedig az egyenlethez . Abból meg lehet találni. Ebben az esetben, mivel egyébként a függvény gradiense f egy ponton eltűnik , ami ellentmond feltételezéseinknek. Megjegyzendő, hogy az így talált pontok nem feltétlenül a kívánt feltételes szélsőpontok – a figyelembe vett feltétel szükséges, de nem elégséges. Feltételes szélsőérték keresése segédfüggvény segítségével Lés az itt alkalmazott Lagrange-szorzó módszer alapját képezi két változó legegyszerűbb esetére. Kiderül, hogy a fenti okfejtés tetszőleges számú, a feltételeket meghatározó változó és egyenlet esetére általánosítható.

A Lagrange-szorzók módszere alapján egy feltételes szélsőséghez is bizonyítható néhány elégséges feltétel, amely a Lagrange-függvény második deriváltjának elemzését igényli.

Alkalmazás

• A Lagrange-szorzók módszerét nem a problémák megoldására használják lineáris programozás számos területen felmerülnek (például a közgazdaságtanban).
• A fő módszer az audio- és videoadatok kódolási minőségének optimalizálásának problémájának megoldására egy adott átlagos bitsebesség mellett (torzításoptimalizálás - angol. Sebesség-torzítás optimalizálása).

Lásd még

Linkek

• Zorich V. A. Matematikai elemzés. 1. rész – szerk. 2., rev. és további - M.: FAZIS, 1997.

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mik a "Lagrange-szorzók" más szótárakban:

Lagrange-szorzók- további tényezők, amelyek átalakítják a konvex programozás (különösen a lineáris programozás) extrém problémájának célfüggvényét, ha azt a klasszikus módszerek egyikével a tényezők feloldásának módszerével oldják meg ... ... Közgazdasági és matematikai szótár

Lagrange-szorzók- További tényezők, amelyek átalakítják a konvex programozás (különösen a lineáris programozás) extrém problémájának célfüggvényét, ha azt valamelyik klasszikus módszerrel a faktorfeloldó módszerrel (Lagrange-módszer) oldják meg. Műszaki fordítói kézikönyv

Mechanika. 1) 1. típusú Lagrange-egyenletek, egy mechanika mozgási differenciálegyenletei. rendszerek, amelyek téglalap alakú koordinátatengelyekre vetítésben vannak megadva és tartalmazzák az ún. Lagrange-szorzók. J. Lagrange kapta 1788-ban. Egy holonomikus rendszerhez ... ... Fizikai Enciklopédia

Közönséges mechanika differenciál egyenletek 2. rendű, a mechanikus mozgását leíró. rendszerek a rájuk ható erők hatása alatt. L. at. által megállapított J. Lag tartomány két formában: L. at. 1. fajta, vagy egyenletek derékszögű koordinátákkal ... ... Matematikai Enciklopédia

1) a hidromechanikában a folyadék (gáz) mozgásának egyenlete Lagrange-változókban, amelyek a közeg koordinátái. Franciát kapott. tudós J. Lagrange (J. Lagrange; 1780 körül). L.-től at. a h c közeg mozgástörvényét függőségek formájában határozzuk meg ... ... Fizikai Enciklopédia

Lagrange szorzómódszer, egy módszer az f(x) függvény feltételes szélsőértékének megtalálására, ahol m megszorításra tekintettel i egytől m-ig változik. Tartalom 1 A módszer leírása ... Wikipédia

Feladatok megoldására használt függvény feltételes véglet több változó és funkcionális függvényei. L. f. segítségével. rögzítik a szükséges feltételeket a feltételes szélsőség problémáinak optimálissága. Nem kell csak változókat kifejezni... Matematikai Enciklopédia

A feltételes szélsőség problémáinak megoldási módja; Az L. m. m. abban áll, hogy ezeket a problémákat problémákra redukáljuk az ún. Lagrange függvények. Az f (x1, x2,..., xn) függvény extrémumának feladatához ... ...

Változók, amelyek segítségével a Lagrange-függvény megalkotásra kerül a feltételes szélsőségek problémáinak vizsgálatában. Az L. m. és a Lagrange függvény használata lehetővé teszi a szükséges optimalitási feltételek egységes megszerzését a feltételes szélsőséges feladatokban ... Matematikai Enciklopédia

1) a hidromechanikában egy folyékony közeg mozgásegyenlete Lagrange-változókba írva, amelyek a közeg részecskéinek koordinátái. L.-től at. a közeg részecskéinek mozgástörvényét a koordináták időfüggőségei formájában határozzák meg, és ezek szerint ... ... Nagy szovjet enciklopédia

LAGRANGE MÓDSZER

J. Lagrange által 1759-ben jelzett módszer a másodfokú alakok négyzetek összegére való redukálására. Adott legyen

x 0 változókból , x 1 ,..., x n. mezőről származó együtthatókkal k jellemzők Ezt a formát kanonikusra kell hozni. ész

változók nem degenerált lineáris transzformációját használva. L. m. a következőkből áll. Feltételezhetjük, hogy nem minden (1) alakú együttható egyenlő nullával. Ezért két eset lehetséges.

1) Egyeseknek g,átlós Akkor

ahol az f 1 (x) alak nem tartalmaz változót x g . 2) Ha minden De Hogy

ahol az f 2 (x) alak nem tartalmaz két változót xgÉs x h . A (4) négyzetjelek alatti formák lineárisan függetlenek. A (3) és (4) alakú transzformációk alkalmazásával az (1) alak véges számú lépés után lineárisan független lineáris formák négyzetösszegére redukálódik. Parciális deriváltakat használva a (3) és (4) képleteket így írhatjuk fel

Megvilágított.: G a n t m a h e r F. R., Mátrixok elmélete, 2. kiadás, Moszkva, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11. kiadás, M., 1975; Alexandrov P. S., Előadások erről analitikus geometria..., M., 1968. I. V. Proszkurjakov.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi a "LAGRANGE MÓDSZER" más szótárakban:

Lagrange módszer- Lagrange-módszer - matematikai programozási problémák számos osztályának megoldására szolgáló módszer a Lagrange-függvény nyeregpontjának (x *, λ *) megtalálásával, amelyet úgy érünk el, hogy a függvény parciális deriváltjait nullával egyenlővé tesszük. .. ... Közgazdasági és matematikai szótár

Lagrange módszer- Egy módszer matematikai programozási problémák számos osztályának megoldására a Lagrange-függvény nyeregpontjának (x*,?*) megtalálásával, amelyet úgy érünk el, hogy a függvény parciális deriváltjait nullával egyenlővé tesszük xi és?i függvényében. . Lásd Lagrangian. )