Egyenlet Cramer képletével. Lineáris egyenletek
Tekintsünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel
Harmadik rendű determinánsok felhasználásával egy ilyen rendszer megoldása ugyanolyan formában írható fel, mint egy két egyenletrendszer esetében, azaz.
(2.4)
ha 0. Itt
Ott van Cramer szabálya megoldások a hármas rendszerre lineáris egyenletek három ismeretlennel.
2.3. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével:
Megoldás . A rendszer főmátrixának determinánsának megkeresése
Mivel 0, akkor a rendszer megoldásához alkalmazhatjuk a Cramer-szabályt, de előbb még három determinánst számítunk ki:
Vizsgálat:
Ezért helyesen találták meg a megoldást.
Cramer-szabályok származtatott lineáris rendszerek 2. és 3. rendű, azt sugallják, hogy ugyanazok a szabályok bármilyen rendű lineáris rendszerre is megfogalmazhatók. Valóban megtörténik
Cramer tétele. Lineáris egyenletrendszer másodfokú egyenletrendszere a rendszer főmátrixának nullától eltérő determinánsával (0) egy és csak egy megoldása van, és ezt a megoldást a képletek segítségével számítjuk ki
(2.5)
Ahol – a főmátrix meghatározója, én – mátrix meghatározó, a főből kapott, helyettesítveéna szabad tagok oszlopa.
Vegye figyelembe, hogy ha =0, akkor a Cramer-szabály nem érvényes. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek vagy egyáltalán nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van.
A Cramer-tétel megfogalmazása után természetesen felmerül a kérdés a magasabb rendű determinánsok kiszámításával kapcsolatban.
2.4. N-edrendű meghatározók
További kiskorú M ij elem a ij egy adottból törléssel kapott determináns én sor és j oszlop. Algebrai komplementer A ij elem a ij ennek az elemnek a (–1) jellel vett mollját nevezzük én + j, azaz A ij = (–1) én + j M ij .
Például keressük meg az elemek molljait és algebrai kiegészítéseit a 23 és a 31 selejtező
Kapunk
Az algebrai komplementer fogalmát felhasználva megfogalmazhatjuk determináns kiterjesztési tételn- sor vagy oszlop szerinti sorrend.
Tétel 2.1. Mátrix meghatározóAegyenlő egy adott sor (vagy oszlop) összes elemének algebrai komplementereinek szorzatával:
(2.6)
Ez a tétel alapozza meg a determinánsok számításának egyik fő módszerét, az ún. rendeléscsökkentési módszer. A determináns bővülésének eredményeként n sorrendben bármely sor vagy oszlop fölött, n determinánst kapunk ( n–1) sorrend. Ahhoz, hogy kevesebb ilyen determináns legyen, célszerű azt a sort vagy oszlopot kiválasztani, amelyben a legtöbb nulla található. A gyakorlatban a determináns bővítési képlete általában a következőképpen írható:
azok. Az algebrai összeadásokat kifejezetten mollokra írjuk.
Példák 2.4. Számítsa ki a determinánsokat úgy, hogy először rendezze őket valamilyen sorba vagy oszlopba. Ilyen esetekben általában azt az oszlopot vagy sort kell kiválasztani, amelyben a legtöbb nulla található. A kiválasztott sort vagy oszlopot egy nyíl jelzi.
2.5. A determinánsok alapvető tulajdonságai
A determinánst bármely sorra vagy oszlopra kiterjesztve n determinánst kapunk ( n–1) sorrend. Ezután mindegyik meghatározó ( n–1)-edik sorrend determinánsok összegére is kiterjeszthető ( n–2) sorrend. Ezt a folyamatot folytatva el lehet érni az 1. rendű determinánsokat, azaz. a mátrix azon elemeire, amelyek determinánsát számítjuk. Tehát a 2. rendű determinánsok kiszámításához két tag összegét kell kiszámítania, a 3. rendű determinánsoknál - 6 tag összegét, a 4. rendű determinánsoknál - 24 tagot. A kifejezések száma meredeken növekszik a determináns sorrendjének növekedésével. Ez azt jelenti, hogy a nagyon magas fokú determinánsok kiszámítása meglehetősen munkaigényes feladattá válik, amely meghaladja egy számítógép képességeit. A determinánsokat azonban más módon is ki lehet számítani, a determinánsok tulajdonságait felhasználva.
1. tulajdonság . A determináns nem fog megváltozni, ha a benne lévő sorokat és oszlopokat felcseréljük, pl. mátrix transzponálásakor:
.
Ez a tulajdonság a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét jelzi. Más szóval, egy determináns oszlopaira vonatkozó bármely állítás igaz a soraira is, és fordítva.
2. tulajdonság . A determináns előjelet vált, ha két sort (oszlopot) felcserélünk.
Következmény . Ha a determinánsnak két egyforma sora (oszlopa) van, akkor egyenlő nullával.
3. tulajdonság . Bármely sorban (oszlopban) lévő összes elem közös tényezője kivehető a determináns előjelből.
Például,
Következmény . Ha egy determináns egy bizonyos sorának (oszlopának) minden eleme egyenlő nullával, akkor maga a determináns egyenlő nullával.
4. tulajdonság . A determináns nem változik, ha az egyik sor (oszlop) elemeit hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) elemeihez, tetszőleges számmal megszorozva.
Például,
5. ingatlan . A mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a mátrixok determinánsainak szorzatával:
A Cramer-módszer vagy az úgynevezett Cramer-szabály egyenletrendszerekből ismeretlen mennyiségek keresésének módszere. Csak akkor használható, ha a keresett értékek száma megegyezik a számmal algebrai egyenletek a rendszerben, vagyis a rendszerből kialakított főmátrixnak négyzet alakúnak kell lennie, és nem tartalmazhat nulla sort, és akkor is, ha a determinánsa nem lehet nulla.
1. tétel
Cramer tétele Ha az egyenletek együtthatói alapján összeállított főmátrix $D$ fődeterminánsa nem egyenlő nullával, akkor az egyenletrendszer konzisztens, és egyedi megoldása van. Egy ilyen rendszer megoldását az úgynevezett Cramer-képletek segítségével számítják ki lineáris egyenletrendszerek megoldására: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Mi az a Cramer-módszer?
Cramer módszerének lényege a következő:
- Ahhoz, hogy a Cramer-módszerrel megoldást találjunk a rendszerre, először is kiszámítjuk a $D$ mátrix fő determinánsát. Ha a főmátrix számított determinánsa a Cramer-módszerrel számolva nullával egyenlő, akkor a rendszernek nincs egyetlen megoldása, vagy végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a rendszer általános vagy valamilyen alapvető válaszának megtalálásához a Gauss-módszer használata javasolt.
- Ezután ki kell cserélni a legkülső oszlopot fő mátrix a szabad kifejezések oszlopába, és számítsa ki a $D_1$ determinánst.
- Ismételje meg ugyanezt az összes oszlopra, és megkapja a determinánsokat $D_1$ és $D_n$ között, ahol $n$ a jobb szélső oszlop száma.
- Az összes $D_1$...$D_n$ determináns megtalálása után az ismeretlen változók kiszámíthatók a $x_i = \frac(D_i)(D)$ képlettel.
A mátrix determinánsának kiszámítási technikái
A 2 x 2-nél nagyobb dimenziójú mátrix determinánsának kiszámításához többféle módszert használhat:
- A háromszögek szabálya, vagy Sarrus szabálya, amely ugyanerre a szabályra emlékeztet. A háromszög módszer lényege, hogy a determináns kiszámításakor az ábrán a jobb oldali piros vonallal összekötött összes szám szorzatát pluszjellel írjuk, a bal oldali ábrán pedig az összes hasonló módon összekötött szám szorzatát. mínuszjellel vannak írva. Mindkét szabály 3 x 3 méretű mátrixokra alkalmas. A Sarrus-szabály esetén először magát a mátrixot írjuk át, majd mellette annak első és második oszlopát is újraírjuk. A mátrixon átlókat húzunk, és a főátlón fekvő vagy azzal párhuzamosan fekvő további mátrixtagokat pluszjellel, a másodlagos átlón fekvő vagy azzal párhuzamos elemeket pedig mínuszjellel írjuk.
1. ábra: Háromszögszabály a Cramer-módszer determinánsának kiszámításához
- A Gauss-módszerként ismert módszert használva ezt a módszert néha a determináns sorrendjének csökkentésének is nevezik. Ebben az esetben a mátrixot átalakítják és háromszög alakúra redukálják, majd a főátlón lévő összes számot megszorozzák. Emlékeztetni kell arra, hogy ha ilyen módon keresünk egy determinánst, akkor nem lehet sorokat vagy oszlopokat számokkal szorozni vagy osztani anélkül, hogy kivennénk őket szorzóként vagy osztóként. Determináns keresése esetén csak akkor lehetséges a sorok és oszlopok egymáshoz való kivonása és összeadása, ha előzőleg a kivont sort egy nullától eltérő tényezővel megszoroztuk. Továbbá, amikor átrendezi a mátrix sorait vagy oszlopait, ne feledje, hogy meg kell változtatnia a mátrix végső jelét.
- Ha Cramer-módszerrel old meg egy 4 ismeretlent tartalmazó SLAE-t, akkor a legjobb a Gauss-módszer használata a determinánsok kereséséhez és megtalálásához, vagy a determináns meghatározásához kiskorúak keresésével.
Egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével
Alkalmazzuk Cramer módszerét 2 egyenletből és két szükséges mennyiségből álló rendszerre:
$\begin(esetek) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(esetek)$
A kényelem kedvéért jelenítsük meg kiterjesztett formában:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Keressük meg a főmátrix determinánsát, amit a rendszer fődeterminánsának is neveznek:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Ha a fődetermináns nem egyenlő nullával, akkor a slough Cramer-módszerrel történő megoldásához ki kell számítani még néhány determinánst két mátrixból úgy, hogy a főmátrix oszlopait szabad tagok sorával helyettesítjük:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Most keressük meg a $x_1$ és $x_2$ ismeretleneket:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
1. példa
Cramer módszere SLAE-ek megoldására 3. rendű (3 x 3) főmátrixszal és három ismeretlennel.
Oldja meg az egyenletrendszert:
$\begin(esetek) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(esetek)$
Számítsuk ki a mátrix fődeterminánsát a fent, az 1. pont alatt leírt szabály segítségével:
$D = \begin(tömb)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(tömb) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $
És most három másik meghatározó tényező:
$D_1 = \begin(array)(|cccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD
$D_2 = \begin(array)(|cccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 dollár
$D_3 = \begin(array)(|cccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 USD
Keressük meg a szükséges mennyiségeket:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(-296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = -1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
2. Egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).
3. Gauss-módszer egyenletrendszerek megoldására.
Cramer módszere.
A Cramer-módszer lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgál ( SLAU).
Képletek két változós egyenletrendszer példáján.
Adott: Oldja meg a rendszert Cramer módszerével
A változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a Determinánsok számítása rendszer együtthatóiból áll. : 
Alkalmazzuk a Cramer-képleteket, és keressük meg a változók értékeit: 
És 
.
1. példa:
Oldja meg az egyenletrendszert:
változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Cseréljük le ebben a determinánsban az első oszlopot a rendszer jobb oldali együtthatók oszlopával, és keressük meg az értékét: 
Tegyünk hasonlót, cseréljük le a második oszlopot az első determinánsban: 
Alkalmazható Cramer képleteiés keresse meg a változók értékét:
És .
Válasz: 
Megjegyzés: Ezzel a módszerrel nagyobb méretű rendszerek is megoldhatók.
Megjegyzés: Ha kiderül, hogy , de nem osztható nullával, akkor azt mondják, hogy a rendszernek nincs egyedi megoldása. Ebben az esetben a rendszernek vagy végtelen sok megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldása.
2. példa(végtelen számú megoldás):
Oldja meg az egyenletrendszert:
változókkal kapcsolatban xÉs nál nél.
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll: 
Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel. 
A rendszer egyenletei közül az első egy egyenlőség, amely a változók bármely értékére igaz (mivel a 4 mindig egyenlő 4-gyel). Ez azt jelenti, hogy már csak egy egyenlet maradt. Ez a változók közötti kapcsolat egyenlete.
Azt találtuk, hogy a rendszer megoldása bármely olyan változó értékpár, amely az egyenlőséggel kapcsolódik egymáshoz.
Közös döntésígy lesz írva: 
Konkrét megoldásokat úgy határozhatunk meg, hogy y tetszőleges értékét választjuk, és ebből a kapcsolategyenlőségből x-et számítunk. 
stb.
Végtelenül sok ilyen megoldás létezik.
Válasz: közös döntés
Privát megoldások:
3. példa(nincs megoldás, a rendszer nem kompatibilis):
Oldja meg az egyenletrendszert:
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll: 
A Cramer-képletek nem használhatók. Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel 
A rendszer második egyenlete egy egyenlőség, amely nem igaz a változók egyik értékére sem (persze, mivel a -15 nem egyenlő 2-vel). Ha a rendszer egyik egyenlete nem igaz a változók egyik értékére sem, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: nincsenek megoldások
Mód KramerÉs Gauss- az egyik legnépszerűbb megoldási mód SLAU. Ezenkívül bizonyos esetekben célszerű speciális módszereket alkalmazni. A munkamenet lezárult, és itt az ideje, hogy megismételje vagy elsajátítsa őket a semmiből. Ma a megoldást Cramer módszerével nézzük meg. Hiszen egy lineáris egyenletrendszer Cramer-módszerrel történő megoldása nagyon hasznos készség.
Lineáris algebrai egyenletrendszerek
A lineáris algebrai egyenletrendszer a következő alakú egyenletrendszer:
Értékkészlet x , amelyben a rendszer egyenletei azonosságokká alakulnak, a rendszer megoldásának nevezzük, a És b valós együtthatók. Egy egyszerű rendszer, amely két egyenletből áll, két ismeretlennel, megoldható fejben vagy úgy, hogy az egyik változót a másikkal fejezzük ki. De egy SLAE-ben kettőnél több változó (x) is lehet, és itt az egyszerű iskolai manipulációk nem elegendőek. Mit kell tenni? Például oldja meg az SLAE-ket Cramer módszerével!
Tehát álljon a rendszer a következőkből n egyenleteket n ismeretlen.
Egy ilyen rendszer átírható mátrix formában
Itt A – a rendszer fő mátrixa, x És B , illetve ismeretlen változók oszlopmátrixai és szabad kifejezések.
SLAE megoldása Cramer módszerével
Ha a fő mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (a mátrix nem szinguláris), a rendszer Cramer módszerével megoldható.
Cramer módszere szerint a megoldást a következő képletekkel találjuk meg:
Itt delta a fő mátrix meghatározója, és delta x n-edik – a főmátrix determinánsából nyert determináns, ha az n-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.
Ez a Cramer-módszer lényege. A kapott értékek behelyettesítése a fenti képletekkel x a kívánt rendszerbe, meggyõzõdünk megoldásunk helyességérõl (vagy fordítva). Annak érdekében, hogy gyorsabban megértse a lényeget, mutassunk egy példát az alábbiakban. részletes megoldás SLAE Cramer módszerrel:
Még ha elsőre nem is sikerül, ne csüggedj! Egy kis gyakorlással elkezdi feltörni a SLAU-kat, mint a diót. Sőt, most már végképp nem szükséges egy notebook fölött pórul járni, nehézkes számításokat megoldani és a magot feltölteni. Könnyedén megoldhatja az SLAE-ket a Cramer módszerével online, csak az együtthatók behelyettesítésével a kész formába. Próbáld ki online számológép A Cramer-módszert alkalmazó megoldások megtalálhatóak például ezen a weboldalon.
És ha a rendszer makacsnak bizonyul, és nem adja fel, mindig fordulhat szerzőinkhez segítségért, például. Ha legalább 100 ismeretlen van a rendszerben, azt biztosan korrektül és időben megoldjuk!
Az első részben megnéztük néhány elméleti anyagot, a helyettesítési módszert, valamint a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának módszerét. Mindenkinek ajánlom, aki ezen az oldalon keresztül jutott el az oldalra, hogy olvassa el az első részt. Talán néhány látogató túl egyszerűnek találja az anyagot, de a lineáris egyenletrendszerek megoldása során számos nagyon fontos megjegyzést és következtetést tettem a megoldással kapcsolatban. matematikai problémákatáltalában.
És most elemezzük Cramer szabályát, valamint egy lineáris egyenletrendszer megoldását a segítségével inverz mátrix(mátrix módszer). Az összes anyagot egyszerűen, részletesen és áttekinthetően mutatjuk be, szinte minden olvasó képes lesz megtanulni a rendszerek megoldását a fenti módszerekkel.
Először is közelebbről megvizsgáljuk a Cramer-szabályt két ismeretlenben lévő két lineáris egyenletrendszerre. Miért? - Végül a legegyszerűbb rendszer iskolamódszerrel, a tanévenkénti összeadás módszerével oldható meg!
A helyzet az, hogy bár néha, de előfordul egy ilyen feladat - két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer képleteivel. Másodszor, egy egyszerűbb példa segít megérteni, hogyan kell használni a Cramer-szabályt egy bonyolultabb esetre – egy három egyenletrendszerre három ismeretlennel.
Ezen kívül vannak két változós lineáris egyenletrendszerek, amelyeket Cramer-szabály segítségével célszerű megoldani!
Tekintsük az egyenletrendszert
Első lépésben kiszámítjuk a determinánst, ezt ún a rendszer fő meghatározója.
Gauss módszer.
Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökök megtalálásához további két determinánst kell kiszámítanunk:
És
A gyakorlatban a fenti minősítők is jelölhetők latin betű.
Az egyenlet gyökereit a következő képletekkel keressük meg:
,
7. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert! 
Megoldás: Látjuk, hogy az egyenlet együtthatói elég nagyok, a jobb oldalon ott vannak tizedesjegyek vesszővel. A vessző meglehetősen ritka vendég gyakorlati feladatokat a matematikában ezt a rendszert egy ökonometriai feladatból vettem át.
Hogyan lehet megoldani egy ilyen rendszert? Megpróbálhatja az egyik változót egy másikkal kifejezni, de ebben az esetben valószínűleg szörnyű díszes törteket kap, amelyekkel rendkívül kényelmetlen a munka, és a megoldás kialakítása egyszerűen borzasztóan fog kinézni. A második egyenletet megszorozhatja 6-tal, és tagonként kivonhatja, de itt is ugyanazok a törtek keletkeznek.
Mit kell tenni? Ilyen esetekben a Cramer-féle képletek segítenek.
;
;
Válasz: ,
Mindkét gyökérnek végtelen a vége, és megközelítőleg megtalálható, ami meglehetősen elfogadható (sőt közhely) ökonometriai problémák esetén.
Itt nincs szükség megjegyzésekre, mivel a feladatot kész képletekkel oldják meg, azonban van egy figyelmeztetés. Ennek a módszernek a használatakor kötelező A feladatterv egy töredéke a következő részlet: „Ez azt jelenti, hogy a rendszernek egyedi megoldása van”. Ellenkező esetben a bíráló megbüntetheti Önt Cramer tételének figyelmen kívül hagyása miatt.
Nem lenne felesleges ellenőrizni, ami kényelmesen elvégezhető egy számológépen: a közelítő értékeket behelyettesítjük a rendszer minden egyenlete bal oldalába. Ennek eredményeként egy kis hibával olyan számokat kell kapnia, amelyek a jobb oldalon vannak.
8. példa
Adja meg a választ közönséges helytelen törtekkel! Csinálj egy ellenőrzést.
Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (példa a végső tervre és a válaszra a lecke végén).
Térjünk át a Cramer-szabályra egy három egyenletrendszerre, három ismeretlennel: 
Megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját: 
Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens (nincs megoldása). Ebben az esetben a Cramer-szabály nem segít, a Gauss-módszert kell használni.
Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökök megtalálásához további három determinánst kell kiszámítanunk: 
, 
, 
És végül a választ a következő képletekkel számítjuk ki: 
Amint láthatja, a „háromszor három” eset alapvetően nem különbözik a „kettő-kettő” esettől, a szabad kifejezések oszlopa egymás után balról jobbra „sétál” a fődetermináns oszlopai mentén.
9. példa
Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel! 
Megoldás: Oldjuk meg a rendszert Cramer képleteivel. 
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.
Válasz: 
.
Igazából itt sincs semmi különösebb kommentár, ami abból adódik, hogy a megoldás kész képleteket követ. De van egy-két megjegyzés.
Előfordul, hogy a számítások eredményeként „rossz” irreducibilis törteket kapunk, például: .
A következő „kezelési” algoritmust ajánlom. Ha nincs kéznél számítógép, tegye a következőket:
1) Hiba lehet a számításokban. Amint „rossz” törttel találkozik, azonnal ellenőriznie kell Helyesen van átírva a feltétel?. Ha a feltételt hibák nélkül írják át, akkor a determinánsokat újra kell számolni egy másik sor (oszlop) bővítésével.
2) Ha az ellenőrzés eredményeként nem találunk hibát, akkor valószínűleg elírás történt a feladat feltételeiben. Ilyenkor nyugodtan és ÓVATOSAN dolgozd végig a feladatot a végéig, majd feltétlenül ellenőrizzeés a döntés után tiszta lapra felvonjuk. Természetesen a töredékes válasz ellenőrzése kellemetlen feladat, de lefegyverző érv lesz a tanár számára, aki nagyon szeret mínuszt adni minden olyan marhaságért, mint a . A törtek kezelésének módját a 8. példa válasza írja le részletesen.
Ha van kéznél számítógép, akkor az ellenőrzéshez használjon egy automata programot, amely a lecke elején ingyenesen letölthető. Egyébként a legjövedelmezőbb a program azonnali használata (még a megoldás elindítása előtt azonnal megjelenik a közbenső lépés, ahol hibázott); Ugyanez a számológép automatikusan kiszámítja a megoldást a rendszer számára mátrix módszer.
Második megjegyzés. Időről időre vannak olyan rendszerek, amelyek egyenletéből hiányzik néhány változó, például: 
Itt az első egyenletben nincs változó, a másodikban nincs változó. Ilyen esetekben nagyon fontos, hogy helyesen és Óvatosan írjuk le a fő meghatározót: 
– a hiányzó változók helyére nullák kerülnek.
Egyébként ésszerű a determinánsokat nullákkal nyitni aszerint, hogy melyik sorban (oszlopban) van a nulla, mivel észrevehetően kevesebb a számítás.
10. példa
Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel! 
Ez egy példa egy független megoldásra (minta a végső tervből és a válasz a lecke végén).
Egy 4 egyenletből és 4 ismeretlennel rendelkező rendszer esetében a Cramer-képleteket hasonló elvek szerint írják fel. Élő példát láthat a Determinánsok tulajdonságai című leckében. A determináns sorrendjének csökkentése - öt 4. rendű determináns eléggé megoldható. Bár a feladat már nagyon emlékeztet egy professzor cipőjére egy szerencsés diák mellkasán.
Rendszer megoldása inverz mátrix segítségével
Az inverz mátrix módszer lényegében egy speciális eset mátrix egyenlet(Lásd a megadott lecke 3. példáját).
A szakasz tanulmányozásához képesnek kell lennie a determinánsok kiterjesztésére, a mátrix inverzének megkeresésére és a mátrixszorzás végrehajtására. A magyarázatok előrehaladtával a releváns linkeket megadjuk.
11. példa
Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel! 
Megoldás: Írjuk fel a rendszert mátrix formában:
, Ahol 
Kérjük, nézze meg az egyenlet- és mátrixrendszert. Szerintem mindenki érti azt az elvet, amivel elemeket írunk mátrixokba. Az egyetlen megjegyzés: ha néhány változó hiányzik az egyenletekből, akkor a mátrix megfelelő helyeire nullákat kell tenni.
Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.
Először nézzük a meghatározót:
Itt a determináns az első sorban bővül.
Figyelem! Ha , akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel megoldhatatlan. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere (Gauss-módszer) oldja meg.
Most ki kell számítanunk 9 kiskorút, és be kell írnunk a minors mátrixba 
Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy annak a sornak a száma, amelyben a ezt az elemet. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található: 
Azaz a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, és például az elem a 3 sorban, 2 oszlopban van.
