Una dintre cele mai comune metode de prognoză este extrapolarea, adică. în prezicerea viitorului pe baza datelor din trecut.

Extrapolarea se bazează pe următoarele ipoteze:

§ dezvoltarea fenomenului poate fi caracterizată în mod rezonabil printr-o traiectorie lină - o tendință;

§ conditiile generale care determina tendinta de dezvoltare in trecut nu vor suferi modificari semnificative in viitor.

Astfel, extrapolarea oferă o descriere a unei dezvoltări generale viitoare a obiectului prognozei. Mai mult decât atât, dacă dezvoltarea în trecut a fost de natură permanent spasmodică, atunci cu o perioadă de observare suficient de lungă, salturile se dovedesc a fi „fixate” în tendința în sine, iar acestea din urmă pot fi folosite din nou în prognoză.

Să facem previziuni bazate pe extrapolare formă mai bună tendință (liniară) pentru exporturi pentru perioada 2001-2007:

Amintiți-vă că variabila curentă are 7 niveluri ale seriei, notate cu numere naturale. În consecință, prognoza dinamicii exporturilor în 2008 (t=8) va fi:

(miliard de dolari)

Să efectuăm prognoza pe baza extrapolării celei mai bune forme de tendință (liniară) pentru importuri pentru perioada 2001-2007:

Amintiți-vă că variabila curentă are 7 niveluri ale seriei, notate cu numere naturale. În consecință, prognoza dinamicii importurilor în 2008 (t=8) va fi:

(miliard de dolari)

Extrapolarea face posibilă obținerea unei valori punctuale a prognozei, care poate fi considerată satisfăcătoare doar dacă există o dependență funcțională. Fenomenele economice se caracterizează însă prin corelație, iar variabilele, de regulă, sunt continue. În consecință, indicarea valorilor punctuale ale prognozei, strict vorbind, este lipsită de conținut. De aici rezultă că prognoza trebuie dată ca un interval de valori, i.e. este necesar să se determine intervalul de încredere al prognozei.

Intervalele de încredere de prognoză

Când se face o prognoză, eroarea are următoarele surse:

§ Alegerea formei curbei care caracterizează tendinţa conţine un element de subiectivitate. În orice caz, adesea nu există o bază fermă pentru a afirma că forma aleasă a curbei este singura posibilă, cu atât mai puțin cea mai bună pentru extrapolare în condiții specifice date;

§ estimarea parametrilor curbei (cu alte cuvinte, estimarea tendinței) se bazează pe un set limitat de observații, fiecare dintre acestea conținând o componentă aleatorie. Din această cauză, parametrii curbei și, în consecință, poziția acesteia în spațiu, sunt caracterizați de o oarecare incertitudine;

§ Tendința caracterizează nivelul mediu al seriei în fiecare moment în timp. Observațiile individuale au avut tendința de a se abate de la aceasta în trecut.

Este firesc să ne așteptăm ca astfel de abateri să apară în viitor.

Există cazuri destul de posibile când forma curbei care descrie tendința este aleasă incorect sau când tendința de dezvoltare în viitor se poate schimba semnificativ și nu urmează tipul de curbă care a fost adoptat în timpul alinierii. În acest din urmă caz, ipoteza de bază a extrapolării nu corespunde situației reale. Curba găsită doar egalizează seria dinamică și caracterizează tendința doar în perioada acoperită de observație. Extrapolarea unei astfel de tendințe va duce inevitabil la un rezultat eronat, iar o eroare de acest fel nu poate fi estimată în prealabil. În acest sens, putem doar să remarcăm că, aparent, ar trebui să ne așteptăm la o creștere a unei astfel de erori (sau a probabilității apariției acesteia) cu o creștere a perioadei de plumb.

Eroarea asociată cu a doua și a treia sursă poate fi reflectată sub forma unui interval de încredere al prognozei atunci când se fac anumite ipoteze despre proprietatea seriei. Cu ajutorul unui astfel de interval, o prognoză de punct este convertită într-un interval.

În orice caz, deplasarea perioadei de observație cu un singur pas, sau adăugarea sau eliminarea unor membri ai seriei datorită faptului că fiecare membru al seriei conține o componentă aleatorie, duce la o modificare a estimărilor numerice ale parametrilor. Prin urmare, valorile calculate suportă povara incertitudinii asociată cu erorile în valoarea parametrilor.

ÎN vedere generala Intervalul de încredere pentru o tendință este definit ca:

unde este eroarea pătratică medie a tendinței;

Valoarea estimată y t ;

Valoarea t-statistică a lui Student.

În STATISTICA la calcul intervale de încredere prognoză, valoarea abaterii standard S y poate fi determinată cu ajutorul tabelului analiza variatiei. Valoarea calculată în celula Pătrate medii reziduale corespunde expresiei radicalului din formula pentru S y , adică varianței reziduale. Rămâne doar să luăm rădăcina pătrată a acestuia.

Pentru export (vezi tabelul 77), pentru import (vezi tabelul 80).

Deci, pentru export S y = 18,11, pentru import S y = 25,45.

Valoarea coeficientului de încredere t se află conform tabelului Student, luând în considerare nivel de încredere 95%. Când se utilizează liniare și funcții de putere numărul de grade de libertate este 4, respectiv, valoarea criteriului este 2,776.

Astfel, intervalul de încredere al prognozei pentru exporturi pentru anul 2008 este definit astfel:

Această prognoză poate fi interpretată astfel: volumul exporturilor japoneze în 2008 cu o probabilitate de 95% va fi de la 704,542 miliarde de dolari la 805,089 miliarde de dolari.

Intervalul de încredere al prognozei pentru importuri pentru anul 2008 este definit astfel:

Această prognoză poate fi interpretată astfel: valoarea importurilor Japoniei în 2008 cu o probabilitate de 95% va fi de la 596,072 miliarde de dolari la 737,371 miliarde de dolari.

Reprezentarea grafică a rezultatelor prognozei

Etapa finală a prognozei este construirea de imagini grafice care oferă o idee despre acuratețea prognozei și demonstrează în mod clar intervalul intervalelor de încredere.

Tabelul 89. Date prognozate pentru export

Orez. 63.

Tabel 90. Date prognozate pentru export

Orez. 64.

Din păcate, în cazul nostru, valorile reale au depășit intervalul de încredere al prognozei, ceea ce subliniază încă o dată dificultatea alegerii unui model de trend.

Extrapolarea bazată pe rata medie de creștere și creșterea medie absolută

În acest paragraf, luăm în considerare previziunile bazate pe rata medie de creștere. Se obțin valorile perioadelor viitoare, ghidate de formula:

unde este rata medie de creștere; - nivelul luat ca bază pentru extrapolare.

Rata medie de creștere este definită astfel:

unde y n - date pentru Anul trecut perioada și y 1 - date pentru primul an din perioada luată în considerare.

Să calculăm pentru export:

Interval de încredere:

Tabelul 91. Calcule cu formule, rata medie de creștere pentru exporturile japoneze

TEST

disciplina „Planificare și prognoză

în condițiile pieței”

pe tema: Intervalele de încredere ale prognozei

Evaluarea adecvării și acurateții modelelor

Capitol 1. Partea teoretică

Intervalele de încredere ale prognozei. Evaluarea adecvării și acurateții modelelor

1.1 Intervalele de încredere prognozate

Ultimul pas în aplicarea curbelor de creștere este extrapolarea tendinței pe baza ecuației alese. Valorile prezise ale indicatorului studiat sunt calculate prin înlocuirea valorilor de timp în ecuația curbei t corespunzător timpului de livrare. Prognoza obținută în acest fel se numește prognoză punctuală, deoarece pentru fiecare punct în timp se determină o singură valoare a indicatorului prezis.

În practică, pe lângă o prognoză punctuală, este de dorit să se determine limitele unei posibile modificări a indicatorului prezis, să se stabilească o „furcătură” a valorilor posibile ale indicatorului prezis, adică. calculați prognoza de interval.

Discrepanța dintre datele reale și prognoza punctuală obținută prin extrapolarea tendinței din curbele de creștere poate fi cauzată de:

1. eroare subiectivă a alegerii tipului de curbă;

2. eroare în estimarea parametrilor curbelor;

3. eroarea asociată cu abaterea observațiilor individuale de la tendința care caracterizează un anumit nivel mediu al seriei în fiecare moment de timp.

Eroarea asociată cu a doua și a treia sursă poate fi reflectată sub forma unui interval de încredere al prognozei. Intervalul de încredere, care ia în considerare incertitudinea asociată cu poziția tendinței și posibilitatea de abatere de la această tendință, este definit ca:

unde n este lungimea seriei de timp;

L - timpul de livrare;

y n + L -punct prognozat la momentul n+L;

t a - valoarea t-statisticilor lui Student;

S p - eroarea pătratică medie a prognozei.

Să presupunem că tendința este caracterizată de o linie dreaptă:

Deoarece estimările parametrilor sunt determinate de cadru de prelevare, reprezentate printr-o serie temporală, conțin o eroare. Eroarea parametrului a o duce la o deplasare verticală a liniei drepte, eroarea parametrului a 1 - la o modificare a unghiului de înclinare a dreptei în raport cu axa x. Luând în considerare dispersarea implementărilor specifice în raport cu liniile de tendință, varianța poate fi reprezentată ca:

(1.2.),

unde este varianța abaterilor observațiilor reale față de cele calculate;

t 1 - timpul de realizare pentru care se face extrapolarea;

t 1 = n + L ;

t- numărul de serie al nivelurilor seriei, t = 1,2,..., n;

Numărul de serie al nivelului din mijlocul rândului,

Atunci intervalul de încredere poate fi reprezentat ca:

(1.3.),

Să notăm rădăcina în expresia (1.3.) prin K. Valoarea lui K depinde numai de n și L, adică. pe lungimea rândului și timpul de trecere. Prin urmare, puteți face tabele de valori K sau K * \u003d t a K. Apoi, estimarea intervalului va arăta astfel:

(1.4.),

O expresie similară cu (1.3.) poate fi obținută pentru un polinom de ordinul doi:

(1.5.),

(1.6.),

Dispersia abaterilor observațiilor reale față de cele calculate este determinată de expresia:

(1.7.),

Unde YT- valorile reale ale nivelurilor seriei,

Valorile estimate ale nivelurilor seriei,

n- lungimea seriei temporale,

k- numărul de parametri estimaţi ai curbei de nivelare.

Astfel, lățimea intervalului de încredere depinde de nivelul de semnificație, de perioada de avans, de abaterea standard de la tendință și de gradul polinomului.

Cu cât gradul polinomului este mai mare, cu atât intervalul de încredere este mai larg pentru aceeași valoare Sy, deoarece varianța ecuației de tendință este calculată ca suma ponderată a variațiilor parametrilor corespunzători ai ecuației

Figura 1.1. Intervalele de încredere prognozate pentru o tendință liniară

Intervalele de încredere pentru predicțiile obținute folosind ecuația exponențială sunt determinate în mod similar. Diferența este că atât la calcularea parametrilor curbei, cât și la calcularea mediei eroare pătratică nu utilizați valorile nivelurilor seriei temporale în sine, ci logaritmii acestora.

Aceeași schemă poate fi utilizată pentru a determina intervalele de încredere pentru un număr de curbe cu asimptote, dacă valoarea asimptotei este cunoscută (de exemplu, pentru o exponențială modificată).

Tabelul 1.1. sunt date valori LA*în funcţie de lungimea seriei temporale nși timp de livrare L pentru linii drepte și parabole. Evident, ca lungimea seriei ( n) valori LA* scădere, cu o creștere a timpului de livrare L valorile LA* crește. În același timp, influența perioadei de plumb nu este aceeași pentru sensuri diferite n: cu cât lungimea rândului este mai mare, cu atât mai puțină influență are perioada de avans L .

Tabelul 1.1.

Valori K* pentru estimarea intervalelor de încredere prognozate pe baza unei tendințe liniare și a unei tendințe parabolice cu un nivel de încredere de 0,9 (7).

Tendință liniară	tendinta parabolica
Lungime rând (n)	Timp de livrare (L)	lungimea rândului (p)	timp de livrare (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Capitolul 2. Partea practică

Sarcina 1.5. Utilizarea metodelor adaptative în prognoza economică

1. Calculați media exponențială pentru seria temporală a prețului acțiunilor companiei UM. Ca valoare inițială a mediei exponențiale, luați valoarea medie a primelor 5 niveluri ale seriei. Se ia valoarea parametrului de adaptare a egală cu 0,1.

Tabelul 1.2.

Prețul acțiunilor IBM

t	YT	t	YT	t	YT
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. Conform sarcinii nr. 1, calculați media exponențială cu valoarea parametrului de adaptare A egal cu 0,5. Comparați grafic seria temporală inițială și seria de medii exponențiale obținute cu A=0,1 și A=0,5. Indicați ce rând este mai neted.

3. Prognoza prețului acțiunilor IBM a fost realizată pe baza unui model polinomial adaptiv de ordinul doi

,

unde este timpul de livrare.

La ultima etapă se obțin următoarele estimări de coeficienți:

1 zi înainte (=1);

Cu 2 zile înainte (=2).

Soluția sarcinii 1.5

1. Să definim

Să găsim valorile mediei exponențiale la A =0,1.

. A=0,1 - în funcție de condiție;

; S 1 \u003d 0,1 x 510 + 0,9 x 506 \u003d 506,4;

; S 2 \u003d 0,1 x 497 + 0,9 x 506,4 \u003d 505,46;

; S 3 \u003d 0,1 x 504 + 0,9 x 505,46 \u003d 505,31 etc.

A=0,5 - conform condiției.

; S 1 \u003d 0,5 x 510 + 0,5 x 506 \u003d 508;

; S 2 \u003d 0,5 x 497 + 0,5 x 508 \u003d 502,5 etc.

Rezultatele calculului sunt prezentate în Tabelul 1.3.

Tabelul 1.3.

Medii exponențiale

t	Medie exponențială		t	Medie exponențială
	A =0,1	A =0,5		A =0,1	A =0,5
1	506,4	508	16	505,7	513,3
2	505,5	502,5	17	506,1	511,7
3	505,3	503,2	18	506,1	508,8
4	505,8	506,6	19	507,0	511,9
5	506,1	507,8	20	508,5	517
6	505,8	505,4	21	509,9	520
7	505,2	502,7	22	511,6	523,5
8	504,7	501,4	23	512,8	523,2
9	504,2	500,7	24	514,3	525,6
10	503,4	497,8	25	515,8	527,3
11	502,4	495,9	26	518,0	532,7
12	502,0	497,5	27	520,1	525,8
13	502,0	499,7	28	522,2	538,4
14	502,7	504,4	29	524,3	540,7
15	505,0	514,7	30	525,9	540,9

Figura 1.2. Netezire exponențială seria temporală a prețului acțiunilor: A - date reale; B - medie exponenţială la alfa = 0,1; C - medie exponenţială la alfa = 0,5

La A=0,1 medie exponențială are un caracter mai neted, deoarece în acest caz, fluctuațiile aleatorii ale seriei de timp sunt absorbite în cea mai mare măsură.

3. Prognoza pentru modelul polinom adaptiv de ordinul doi se formează la ultimul pas prin înlocuirea ultimelor valori ale coeficienților și a valorii timpului de trecere în ecuația modelului.

Prognoza cu 1 zi înainte (= 1):

Prognoza cu 2 zile înainte (= 2):

Bibliografie

1. Dubrova T.A. Metode de prognoză statistică în economie: Tutorial/ Moscova Universitate de stat economie, statistică și informatică. - M.: MESI, 2003. - 52p.

2. Afanasiev V.N., Yuzbashev M.M. Analiza și prognoza serii cronologice M.: Finanțe și statistică, 2001.

3. Lukashin Yu.P. Metode de regresie și prognoză adaptivă. Tutorial. – M.: MESI, 1997.

Să presupunem că dorim să extindem modelul nostru la alte valori ale variabilei independente și să punem o problemă de predicție a valorii medii la corespunzătoare unei valori date, care se poate afla atât între observațiile eșantionului din inainte de , precum și în afara acestui interval. Prognoza poate fi punct sau interval.

Prognoza punctului se calculează conform ecuaţiei
sens .

Prognoza intervalului este un interval de încredere care acoperă cu o fiabilitate dată 1-
valorea estimata :

, (3.1.13)

. (3.1.14)

Puteți construi un interval de încredere pentru parametru
, care acoperă valoarea adevărată a parametrului
cu o fiabilitate dată 1-
:

. (3.1.16)

Interval de încredere pentru coeficientul de corelație se găsesc prin formula (3.1.17):

. (3.1.18)

Pentru regresii neliniare se calculează indicele de corelație egal cu rădăcina pătrată a coeficientului de determinare calculat prin formula (3.1.10).

Fiabilitatea indicelui de corelație este evaluată folosind
-statistici calculate prin formula (3.2.19):

, (3.1.19)

Unde m este numărul de parametri din ecuația de regresie. Conform tabelelor Fisher (Anexa E) pentru o anumită fiabilitate 1-
și numărul de grade de libertate (
) Și (
) găsiți valoarea tabelului
. Dacă
, apoi cu o fiabilitate dată 1-
se poate concluziona că indicele de corelare este de încredere.

Adecvarea modelului construit la procesul studiat poate fi stabilită folosind eroarea medie de aproximare (procentul mediu de discrepanță între valorile teoretice și cele reale):

. (3.1.20)

La modelarea indicatorilor economici, este permisă cel mai adesea o eroare de 5% (uneori 7%, rareori 10%). Modelul este considerat adecvat (și deci potrivit) dacă
.

Deoarece aceeași tendință poate fi exprimată prin modele diferite, se folosesc adesea o serie de funcții, iar apoi se alege cea mai preferată. Alegerea modelului cel mai preferat se poate face pe baza abaterii standard reziduale (varianta reziduala):

, (3.1.21)

Unde
- numărul de parametri din ecuație.

Cea mai bună funcție este cea cu Mai puțin.

Exemplul 3.1 Investigați dependența volumului profitului de numărul de puncte de vânzare. Faceți o prognoză presupunând că numărul de puncte de vânzare va crește la 25.

Soluţie. Pentru a găsi parametrii ecuației de regresie liniară (3.1.1) folosind sistemul ecuatii lineare Gauss (3.1.2), vom compila un tabel de calcul auxiliar 3.1.

§ 4.1. Intervalele de încredere de prognoză

Ultimul pas în aplicarea curbelor de creștere este extrapolarea tendinței pe baza ecuației alese. Valorile prezise ale indicatorului studiat sunt calculate prin înlocuirea valorilor timpului t corespunzătoare perioadei de plumb în ecuația curbei. Prognoza obținută în acest fel se numește prognoză punctuală, deoarece pentru fiecare punct în timp se determină o singură valoare a indicatorului prezis.

În practică, pe lângă o prognoză punctuală, este de dorit să se determine limitele unei posibile modificări a indicatorului prezis, să se stabilească o „furcătură” a valorilor posibile ale indicatorului prezis, adică. calculați prognoza de interval.

Discrepanța dintre datele reale și prognoza punctuală obținută prin extrapolarea tendinței din curbele de creștere poate fi cauzată de:

1) eroare subiectivă de alegere a tipului de curbă;

2) eroarea de estimare a parametrilor curbelor;

3) eroarea asociată cu abaterea observațiilor individuale de la tendința care caracterizează un anumit nivel mediu al seriei la fiecare moment de timp.

Eroarea asociată cu a doua și a treia sursă poate fi reflectată sub forma unui interval de încredere al prognozei. Intervalul de încredere, care ia în considerare incertitudinea asociată cu poziția tendinței și posibilitatea de abatere de la această tendință, este definit ca:

(4.1.),

unde n este lungimea seriei de timp;

L - timpul de livrare;

Prognoza punctului pentru moment n+L;

Valoarea t-statistică a studentului;

Eroarea pătratică medie a prognozei.

Să presupunem că tendința este caracterizată de o linie dreaptă:

Deoarece estimările parametrilor sunt determinate de populația eșantionului reprezentată de seria temporală, acestea conțin o eroare. Eroare de parametru duce la o deplasare verticală a liniei drepte, eroarea parametrului - sa modifice unghiul de inclinare al dreptei fata de axa absciselor. Luând în considerare dispersarea implementărilor specifice în raport cu liniile de tendință, varianța poate fi reprezentată ca:

(4.2.),

unde este varianța abaterilor observațiilor reale față de cele calculate;

Timpul de livrare pentru care se face extrapolarea;

N+L ;

t este numărul de serie al nivelurilor seriei, t=1,2, ... , n;

Numărul de serie al nivelului din mijlocul rândului,

=(n+1):2

Atunci intervalul de încredere poate fi reprezentat ca:

(4.3.)

Să notăm rădăcina în expresia (4.3.) prin K. Valoarea lui K depinde numai de n și L, adică. pe lungimea rândului și timpul de trecere. Prin urmare, puteți face tabele de valori K sau K * \u003d t A K. Apoi, estimarea intervalului va arăta astfel:

(4.4.)

O expresie similară cu (4.3.) poate fi obținută pentru un polinom de ordinul doi:

(4.5.)

sau

(4.6.)

Dispersia abaterilor observațiilor reale față de cele calculate este determinată de expresia:

(4.7.),

Unde - valorile reale ale nivelurilor seriei,

Valorile estimate ale nivelurilor seriei,

n este lungimea seriei temporale,

k este numărul de parametri estimați ai curbei de nivelare.

Astfel, lățimea intervalului de încredere depinde de nivelul de semnificație, de perioada de avans, de abaterea standard de la tendință și de gradul polinomului.

Cu cât gradul polinomului este mai mare, cu atât intervalul de încredere este mai larg pentru aceeași valoare , deoarece varianța ecuației de tendință este calculată ca suma ponderată a variațiilor parametrilor corespunzători ai ecuației

Figura 4.1. Intervalele de încredere prognozate pentru o tendință liniară

Intervalele de încredere pentru predicțiile obținute folosind ecuația exponențială sunt determinate în mod similar. Diferența este că atât la calcularea parametrilor curbei, cât și la calcularea erorii pătratice medii, nu se folosesc valorile nivelurilor seriei de timp în sine, ci logaritmii acestora.

Aceeași schemă poate fi utilizată pentru a determina intervalele de încredere pentru un număr de curbe cu asimptote, dacă valoarea asimptotei este cunoscută (de exemplu, pentru o exponențială modificată).

Tabelul 4.1. valorile lui K* sunt date în funcție de lungimea seriei de timp n și de perioada de plumb L pentru o linie dreaptă și o parabolă. Evident, cu o creștere a lungimii rândurilor (n), valorile lui K* scad, cu o creștere a perioadei de plumb L, valorile lui K* cresc. În același timp, efectul perioadei de plumb nu este același pentru diferite valori ale lui n: cu cât lungimea rândului este mai mare, cu atât mai puțină influență are perioada de plumb L.

Tabelul 4.1.

Valori K * pentru a estima intervalele de încredere ale prognozei pe baza unei tendințe liniare și a unei tendințe parabolice cu un nivel de încredere de 0,9 (7).

	Tendință liniară		tendinta parabolica
Lungimea rândului (n)	Timp de livrare (L)	lungimea rândului (n)	timp de livrare (L)
	2,6380 2,8748 3,1399 2,4631 2,6391 2,8361 2,3422 2,4786 2,6310 2,2524 2,3614 2,4827 2,1827 2,2718 2,3706 2,1274 2,2017 2,2836 2,0837 2,1463 2,2155 2,0462 2,1000 2,1590 2,0153 2,0621 2,1131 1,9883 2,0292 2,0735 1,9654 2,0015 2,0406 1,9455 1,9776 2,0124 1,9280 1,9568 1,9877 1,9117 1,9375 1,9654 1,8975 1,9210 1,9461 1,8854 1,9066 1,9294 1,8738 1,8932 1,9140 1,8631 1,8808 1,8998 1,8538 1,8701 1,8876		3,948 5,755 8,152 3,459 4,754 6,461 3,144 4,124 5,408 2,926 3,695 4,698 2,763 3,384 4,189 2,636 3,148 3,808 2,536 2,965 3,516 2,455 2,830 3,286 2,386 2,701 3,100 2,330 2,604 2,950 2,280 2,521 2,823 2,238 2,451 2,717 2,201 2,391 2,627 2,169 2,339 2,549 2,139 2,293 2,481 2,113 2,252 2,422 2,090 2,217 2,371 2,069 2,185 2,325 2,049 2,156 2,284

§ 4.2. Verificarea adecvării modelelor selectate

Verificarea adecvării modelelor alese la procesul real (în special, adecvarea curbei de creștere obținute) se bazează pe analiza unei componente aleatorii. Componenta reziduală aleatorie se obține în urma selecției componentei sistematice din seria studiată (tendința și componenta periodică, dacă este prezentă în seria temporală). Să presupunem că seria temporală originală descrie un proces care nu este supus fluctuațiilor sezoniere, de exemplu. acceptăm ipoteza unui model aditiv al unei serii de forma:

(4.8.)

Apoi se vor obține o serie de reziduuri ca abateri ale nivelurilor reale ale seriei de timp () de la aliniat, calculat ( ):

(4.9.)

Când se utilizează curbele de creștere sunt calculate prin înlocuirea valorilor temporale succesive corespunzătoare în ecuațiile curbelor selectate.

Este în general acceptat că modelul este adecvat procesului descris dacă valorile componentei reziduale satisfac proprietățile aleatoriei, independenței și, de asemenea, componenta aleatorie respectă legea distribuției normale.

La alegerea potrivita tip de tendință, abaterile de la aceasta vor fi aleatorii. Aceasta înseamnă că modificarea variabilei aleatoare reziduale nu este asociată cu o schimbare în timp. Astfel, conform eșantionului obținut pentru toate momentele de timp din intervalul studiat, se testează ipoteza despre dependența secvenței de valori de timp sau, ceea ce este același lucru, despre prezența unei tendințe în schimbarea acesteia. . Prin urmare, unul dintre criteriile discutate în secțiunea I, de exemplu, testul în serie, poate fi folosit pentru a testa această proprietate.

Dacă tipul funcției care descrie componenta sistematică este ales prost, atunci este posibil ca valorile succesive ale unei serii de reziduuri să nu aibă proprietăți de independență, deoarece se pot corela între ele. În acest caz, se spune că erorile sunt autocorelate.

În condiții de autocorelare, estimări ale parametrilor modelului obținute prin metodă cele mai mici pătrate, va avea proprietăți de imparțialitate și consistență (veți afla despre aceste proprietăți în cursul statisticii matematice). În același timp, eficiența acestor estimări va scădea și, în consecință, intervalele de încredere vor avea puțină semnificație din cauza nefiabilității lor.

Există mai multe tehnici pentru detectarea autocorelației. Cea mai comună este metoda propusă de D. arbi ny și Watson. Criteriul D arbi on-Watson este asociat cu ipoteza existenței autocorelației de ordinul întâi, i.e. autocorelații între termenii reziduali adiacenți ai seriei. Valoarea acestui criteriu este determinată de formula:

(4.10.)

Se poate arăta că valoarea lui d este aproximativ egală cu:

d » 2(1- ) (4.11),

unde este coeficientul de autocorelare de ordinul întâi (adică coeficient de pereche corelații între două serii și ).

Din ultima formulă se poate observa că, dacă există o puternică autocorelare pozitivă a valorilor (» 1), apoi valoarea d=0 , în cazul autocorelației negative puternice (» -1) d=4. În absența autocorelației (» 0) d=2.

Pentru acest criteriu s-au găsit limite critice care permit acceptarea sau respingerea ipotezei absenței autocorelației. Autorii criteriului au definit limitele pentru nivelurile de semnificație 1, 2,5 și 5%. Valorile criteriului D arbi pe Watson la un nivel de semnificație de 5% sunt prezentate în Tabelul 4.2. În acest tabel, și sunt, respectiv, limitele inferioare și superioare de încredere ale criteriului D arby pe Watson; - numărul de variabile din model; n este lungimea seriei temporale.

Tabelul 4.2.

Valorile criteriului D arbi pe Watson d 1 și d 2 la un nivel de semnificație de 5%.

	1,08 1,13 1,16 1,18 1,22 1,”4 1,26 1,27 1,29 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,49 1,41	1,36 1,37 1,38 1,39 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,45 1,46 1,47 1,48 1,48 1,49 1,51 1,51 1,52 1,52	0,95 0,98 1,02 1,05 1,08 1,13 1,15 1,17 1,19 1,21 1,22 1,24 1,26 1,27 1,28 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35	1,54 1,54 1,54 1,53 1,53 1,54 1,54 1,54 1,54 1,55 1,55 1,55 1,56 1,56 1,56 1,57 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59	0,82 0,86 0,93 0,97 1,03 1,05 1,08 1,12 1,14 1,16 1,18 1,21 1,23 1,24 1,26 1,27 1,28 1,29	1,75 1,73 1,71 1,69 1,68 1,68 1,67 1,66 1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65

Aplicarea în practică a criteriului D arbi on-Watson se bazează pe o comparație a valorii lui d, calculată prin formula (4.10.), cu valorile teoretice ale d 1 și d 2 luate din tabel. Rețineți că majoritatea pachetelor software pentru prelucrarea datelor statistice calculează acest criteriu (de exemplu, pachetele software Olympus, Mesozavr, Statistica etc.).

Când se compară valoarea lui d cu și sunt posibile următoarele opțiuni:

1) Dacă d< , то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) Dacă d > , atunci ipoteza independenței abaterilor aleatoare nu este respinsă;

3) Dacă £ d £ , atunci nu există temeiuri suficiente pentru luarea deciziilor, adică. valoarea se încadrează în regiunea „incertitudinii”.

Opțiunile luate în considerare se referă la cazul în care există o autocorelare pozitivă în reziduuri.

Când valoarea calculată a lui d depășește 2, atunci putem spune că există o autocorelație negativă în.

Pentru a testa autocorelația negativă cu valorile critice și nu se compară coeficientul d în sine, ci 4-d.

Pentru a determina intervalele de încredere ale modelului, proprietatea distribuției normale a reziduurilor este importantă. Deoarece seriile temporale ale indicatorilor economici sunt de obicei mici (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

Cu o distribuție normală, indicatorii de asimetrie (A) și curtoză (E) sunt egali cu zero. Deoarece presupunem că abaterile de la tendință sunt un eșantion de la o anumită populație generală, putem determina caracteristicile eșantionului de asimetrie și curtoză, precum și erorile standard ale acestora.

Dacă cel puţin una dintre inegalităţi

(4.17.),

atunci se respinge ipoteza unei distribuţii normale.

Alte cazuri necesită verificare suplimentară cu criterii mai puternice.

Exemplul 4.1.

Programul a oferit următoarele caracteristici ale unui număr de reziduuri:

lungimea rândului n=20;

coeficient de asimetrie A = 0,6;

Coeficientul de kurtoză E=0,7.

Pe baza acestor caracteristici, putem presupune că:

a) componenta aleatoare respectă legea distribuției normale;

b) componenta aleatorie nu respectă legea distribuţiei normale;

c) este necesară o verificare suplimentară a naturii distribuţiei componentei aleatorii.

Soluţie:

Să definim:

Deoarece ambele inegalități sunt valabile simultan

§ 4.3. Caracteristicile de precizie a modelului

Cele mai importante caracteristici ale calității modelului ales pentru prognoză sunt indicatori ai acurateței acestuia. Ele descriu amploarea erorilor aleatoare obținute la utilizarea modelului. Astfel, pentru a judeca calitatea modelului ales, este necesar să se analizeze sistemul de indicatori care caracterizează atât adecvarea modelului, cât și acuratețea acestuia.

În practică, eroarea relativă de prognoză este utilizată pe scară largă, exprimată ca procent față de valoarea reală a indicatorului:

(4.19.)

Erorile medii modulare (absolute și relative) sunt de asemenea utilizate:

(4.20.),

Unde n este numărul de niveluri ale seriei temporale pentru care a fost determinată valoarea de prognoză.

Din (4.18.), (4.19.) se poate observa că dacă eroarea absolută și relativă este mai mare decât 0, atunci aceasta indică o estimare de prognoză „supraestimată”, dacă - mai mică de 0, atunci prognoza a fost subestimată.

Evident, toate aceste caracteristici pot fi calculate după ce perioada de plumb s-a încheiat deja și există date reale despre indicatorul prezis sau când se ia în considerare indicatorul pe site-ul retrospectiv.

În acest din urmă caz, informațiile disponibile sunt împărțite în două părți: conform primei, parametrii modelului sunt estimați, iar datele celei de-a doua părți sunt considerate faptice. Erorile de prognoză obținute retrospectiv (în a doua secțiune) caracterizează acuratețea modelului aplicat.

În practică, atunci când se efectuează o evaluare comparativă a modelelor, pot fi utilizate caracteristici de calitate precum varianța () sau eroarea de prognoză rădăcină medie pătratică (S):

(4.21.).

Cu cât valorile acestor caracteristici sunt mai mici, cu atât precizia modelului este mai mare.

Precizia modelului nu poate fi judecată după o singură valoare a erorii de prognoză. De exemplu, dacă estimarea estimată a nivelului de producție lunar în iunie a coincis cu valoarea reală, atunci aceasta nu este o dovadă suficientă a preciziei ridicate a modelului. Trebuie avut în vedere că o singură prognoză bună poate fi obținută dintr-un model prost și invers.

În consecință, calitatea modelelor aplicate poate fi judecată doar prin totalitatea comparațiilor dintre valorile prognozate cu cele reale.

O simplă măsură a calității previziunilor poate fim-de numărul relativ de ori în care valoarea reală a fost acoperită de intervalul de prognoză:

(4.22.),

unde p este numărul de prognoze confirmate de datele reale;

q este numărul de prognoze neconfirmate de datele reale.

Când toate predicțiile sunt confirmate, q=0 și m=1.

Dacă toate predicțiile nu au fost confirmate, atunci p = 0 și m=0.

Rețineți că compararea coeficienților m poate avea sens pentru modele diferite, cu condiția ca probabilitățile de încredere să fie presupuse a fi aceleași.

Calculele și verificarea fiabilității estimărilor obținute ale coeficienților de regresie nu sunt un scop în sine, acesta este doar un pas intermediar necesar. Principalul lucru este utilizarea modelului pentru a analiza și prezice comportamentul fenomenului economic studiat. Prognoza se realizează prin înlocuirea valorii factorului Xîn formula de regresie rezultată.

Folosim ecuația de regresie obținută în Exemplul 2.1 pentru a prezice volumul comerțului. Să fie planificată deschiderea unui magazin cu numărul de angajați X\u003d 140 de persoane, atunci un volum de comerț suficient de rezonabil ar trebui stabilit prin ecuație ŷ (X)= –0,974 + 0,01924×140=1,72 miliarde de ruble

Interval de încredere pentru valoarea predictivă la(X)= a 0 + a 1 X este determinat de formula

unde t p este limita critică a distribuției Student cu n - 2 grade de libertate, corespunzătoare nivelului de semnificație R. Pentru a obține un interval de încredere, folosim expresia (5.2).

Alegem un nivel de semnificație de 5%. Numărul de grade de libertate pe care le avem este 8 - 2 = 6, apoi conform tabelului de distribuție a lui Student (Anexa 1) găsim

t 0,05 (6)=2,447,s=Ö 0,008=0,089,

prin urmare, cu o probabilitate de 95%, adevăratele valori ale volumului comerțului se vor afla în interior

1,72 - 2,447×0,048<y(X)<1,72+2,447×0,048, или 1,60<y(X)<1,84.

5.8. Bloc de practică

Exemplu. Construiți un model al relației dintre factorii indicați, verificați adecvarea acestuia, faceți o prognoză de punct și interval folosind metoda extrapolării.

1 . Construiți un scatterplot în EXCEL și faceți o concluzie preliminară despre prezența unei conexiuni.

Tabelul 5.6 Diagrama 5.1

X	Y
2,1	29,5
2,9	34,2
3,3	30,6
3,8	35,2
4,2	40,7
3,9	44,5
5,0	47,2
4,9	55,2
6,3	51,8
5,8	56,7

Concluzie: Din diagrama 5.1 se poate observa că relaţia dintre factori XȘi y

relație liniară puternică directă.

2. Calculați coeficientul de corelație liniară. Utilizând testul t al lui Student, verificați semnificația coeficientului de corelație. Faceți o concluzie despre apropierea relației dintre factori XȘi la.

Tabelul 5.7

№					X y
	2,1	29,5	4,41	870,25	61,95	27,91	1,59	0,054
	2,9	34,2	8,41	1169,64	99,18	33,46	0,74	0,022
	3,3	30,6	10,89	936,36	100,98	36,23	-5,63	0,184
	3,8	35,2	14,44	1239,04	133,76	39,69	-4,49	0,128
	4,2	40,7	17,64	1656,49	170,94	42,47	-1,77	0,043
	3,9	44,5	15,21	1980,25	173,55	40,39	4,11	0,092
	5,0	47,2		2227,84		48,01	-0,81	0,017
	4,9	55,2	24,01	3047,04	270,48	47,32	7,88	0,143
	6,3	51,8	39,69	2683,24	326,34	57,02	-5,22	0,101
	5,8	56,7	33,64	3214,89	328,86	53,55	3,15	0,056
TOTAL:	42,2		193,34	19025,04	1902,04			0,840
Valoarea medie	4,22	42,56	19,334	1902,504	190,204

2.1. Să verificăm strânsoarea relației dintre factori:

;

Concluzie: conexiune puternic.

2.2 Să verificăm semnificația statistică după criteriul Student:

1) Criteriul elevului: tselect<=tкр

2) N o: r=0 tcr=2,31

tselect=select*

Concluzie: astfel, deoarece tselect = 5,84

90% ipoteza nulă este respinsă, aceasta indică prezența conexiune liniară puternică.

3. Presupunând că relația dintre factori XȘi la poate fi descris printr-o funcție liniară, folosind procedura celor mai mici pătrate, notează sistemul de ecuații normale în raport cu coeficienții ecuației de regresie liniară. Calculați acești coeficienți în orice fel.

Substituind în mod constant în ecuația de regresie din coloana (2) din Tabelul 5.7, calculăm valorile și completăm coloana (7) din Tabelul 5.7.

4. Pentru modelul rezultat al relației dintre factorii X și Y, calculați eroarea medie de aproximare. Faceți o concluzie preliminară despre acceptabilitatea modelului rezultat.

Pentru calcul, completați coloanele a 8-a și a 9-a din Tabelul 5.7.

<Екр=12%

Concluzie: modelul trebuie considerat satisfăcător.

5 . Verificați semnificația coeficientului ecuației de regresie a 1 pe baza testului t Student.

Soluție: Tabelul 5.8

№
	2,1	29,5	27,91	2,5281	214,623	170,5636
	2,9	34,2	33,46	0,5476	82,81	69,8896
	3,3	30,6	36,23	31,6969	40,069	143,0416
	3,8	35,2	39,69	20,1601	8,237	54,1696
	4,2	40,7	42,47	3,1329	0,008	3,4596
	3,9	44,5	40,39	16,8921	4,709	3,7636
		47,2	48,01	0,6561	29,703	21,5296
	4,9	55,2	47,32	62,0944	22,658	159,7696
	6,3	51,8	57,02	27,2484	209,092	85,3776
	5,8	56,7	53,55	9,9225	120,78	199,9396
TOTAL:	42,2	425,6	426,1	174,8791	732,687	911,504
In medie	4,22	42,56

Verificare statistică:

Concluzie: Cu o probabilitate de încredere de 90%, coeficientul A 1 - semnificativ statistic, i.e. ipoteza nulă este respinsă.

6. Verificați caracterul adecvat al modelului (ecuația de regresie) în ansamblu pe baza testului F Fisher-Snedekor.

Procedura de verificare statistica:

: modelul nu este adecvat

Concluzie: pentru că Fselect>Fcr., apoi cu o probabilitate de încredere de 95% ipoteza nulă este respinsă (adică, alternativa este acceptată). Modelul studiat este adecvat și poate fi utilizat pentru prognoza și luarea deciziilor manageriale.

7. Calculați coeficientul empiric de determinare.

(tab. 3)

Afișează proporția de variație.

Concluzie: i.e. 80% din variație este explicată de un factor inclus în model, iar 20% de factori neincluși în model.

8. Calculați raportul de corelație. Comparați valoarea obținută cu valoarea coeficientului de corelație liniară.

Raportul de corelație empirică indică apropierea relației dintre doi factori pentru orice relație, dacă relația este liniară, atunci , i.e. coeficientul de corelare coincide cu coeficientul de determinare.

9 . Efectuați prognoza punctului pentru .

10-12 . Calculați intervalele de încredere pentru ecuația de regresie și pentru caracteristica rezultată la un nivel de încredere = 90%. Desenați într-un singur sistem de coordonate:

a) date inițiale,

b) linia de regresie,

c) prognoza punctuala,

d) intervale de încredere de 90%.

Formulați o concluzie generală cu privire la modelul rezultat.

- așteptarea mediei.

Pentru a efectua o prognoză pe interval, luăm în considerare două zone.

1) pentru y din zona de schimbare a factorului X limitele de încredere pentru ecuația de regresie liniară se calculează prin formula:

2) pentru valoarea prezisă, intervalul de încredere pentru este calculat prin formula:

Date inițiale:

2) t=2,31(tab.)

5) : 27,91 42,56 57,02 66,72

6) 19,334-4,22 2)=1,53.

Tabelul 5.9

№
1	2,1	-2,12	4,49	3,03	1,74	2,31	4,68	18,81	27,91	9,10	46,72
	4,22	0,00	0,00	0,1	0,32	2,31	4,68	3,46	42,56	39,10	46,02
	6,3	2,08	4,33	2,93	1,71	2,31	4,68	18,49	57,02	38,53	75,51
	7,7	3,48	12,11	9,02		2,31	4,68	32,43	66,72	34,29	99,15

Concluzie: deoarece 90% dintre punctele de observare se încadrau în intervalul de încredere de 90%, acest model și limitele sale de încredere pot fi utilizate pentru a prezice cu o încredere de 90%.

Întrebări de control

1. Modele de regresie liniară cu reziduuri heteroscedastice și autocorelate.

2. Tipuri de autocorelare și descrierea lor succintă.

3. Autocorelația în reziduuri și ordinea detectării acesteia.

4. Tipuri de autocorelare în reziduuri.

5. Procedura de utilizare a criteriului Durbin-Watson.

6. Autocorelarea în datele inițiale și procedura de determinare a prezenței acesteia.

7. Metode de eliminare a influenţei autocorelaţiei asupra rezultatelor prognozării.

8. Metoda celor mai mici pătrate generalizate (GLS).

9. Ce se înțelege prin homoscedasticitate?

10. Cum este testată ipoteza homoscedasticității unui număr de reziduuri?

11. Evaluarea calitatii regresiei. Verificarea adecvării și fiabilității modelului.

12. Semnificația coeficienților de regresie (criteriul Studentului).

13. Analiza dispersiei. Validarea modelului de relație (conform criteriului F al lui Fisher).

14. Coeficienți și indici de corelație. Multicolenialitatea.

15. Evaluarea semnificației corelației. Determinare.

16. Eroare medie de aproximare.

17. Luarea deciziilor pe baza ecuațiilor de regresie.

18. În ce probleme de econometrie se utilizează distribuția Fisher?

19. Ce tabele de distribuție sunt folosite pentru a evalua calitatea regresiei liniare?

20. Care sunt caracteristicile aplicării practice a modelelor de regresie?

21. Cum este prezisă performanța economică folosind modele de regresie liniară?

22. Cum poate fi estimată rata „naturală” a șomajului folosind un model de regresie liniară?

23. În ce cazuri este necesară rafinarea modelului de regresie liniară și cum se realizează?

24. Când este necesar să se elimine variabilele explicative nesemnificative din considerare și să se adauge noi variabile?

Sarcini și sarcini

1 . Există date despre activitățile celor mai mari companii din SUA în 2006.

Nu. p / p	Venitul net, miliarde de dolari SUA, la	Cifra de afaceri de capital, miliarde de dolari SUA, X 1	Capital angajat, miliarde USD, X 2	Numărul de angajați, mii de oameni, X 3	Capitalizarea bursieră a companiei, miliarde de dolari SUA, X 4
	0,9	31,3	18,9	43,0	40,9
	1,7	13,4	13,7	64,7	40,5
	0,7	4,5	18,5	24,0	38,9
	1,7	10,0	4,8	50,2	38,5
	2,6	20,0	21,8	106,0	37,3
	1,3	15,0	5,8	96,6	26,5
	4,1	137,1	99,0	347,0	37,0
	1,6	17,9	20,1	85,6	36,8
	6,9	165,4	60,6	745,0	36,3
	0,4	2,0	1,4	4,1	35,3
	1,3	6,8	8,0	26,8	35,3
	1,9	27,1	18,9	42,7	35,0
	1,9	13,4	13,2	61,8	26,2
	1,4	9,8	12,6	212,0	33,1
	0,4	19,5	12,2	105,0	32,7
	0,8	6,8	3,2	33,5	32,1
	1,8	27,0	13,0	142,0	30,5
	0,9	12,4	6,9	96,0	29,8
	1,1	17,7	15,0	140,0	25,4
	1,9	12,7	11,9	59,3	29,3
	-0,9	21,4	1,6	131,0	29,2
	1,3	13,5	8,6	70,7	29,2
	2,0	13,4	11,5	65,4	29,1
	0,6	4,2	1,9	23,1	27,9
	0,7	15,5	5.8	80,8	27,2

Calculați matrice de coeficienți de corelație perechi și selectați factorii informativi pentru model pe baza acestora. Construiți un model cu doar factori informativi și evaluați parametrii acestuia.

Calculați erorile și intervalul de încredere al prognozei pentru
nivel de semnificație de 5 sau 10% (γ = 0,05; γ = 0,10).

2. Există date despre activitățile celor mai mari companii din SUA în 2006.

Nu. p / p	Venit net, miliarde de dolari la	Cifra de afaceri de capital, miliarde de dolari STATELE UNITE ALE AMERICII, X 1	Capital angajat, miliarde USD X 2	Număr, mii de oameni, X 3
	6,6	6,9	83,6	222,0
	3,0	18.0	6,5	32,0
	6,5	107,9	50,4	82,0
	3,3	16,7	15,4	45,2
	0,1	79,6	29,6	299,3
	3,6	16,2	13,3	41,6
	1,5	5,9	5,9	17,8
	5,5	53,1	27,1	151,0
	2,4	18,8	11,2	82,3
	3,0	35,3	16,4	103,0
	4,2	71,9	32,5	225,4
	2,7	93,6	25,4	675,0
	1,6	10,0	6,4	43,8
	2,4	31,5	12,5	102,3
	3,3	36,7	14,3	105,0
	1,8	13,8	6,5	49,1
	2,4	64,8	22,7	50,4
	1,6	30,4	15,8	480,0
	1,4	12,1	9,3	71,0
	0,9	31,3	18,9	43,0

Calculați parametrii unei ecuații de regresie multiplă lineară cu o listă completă de factori.

Oferiți o evaluare comparativă a puterii relației dintre factori și rezultat folosind coeficienți de elasticitate.

Calculați matricele de perechi și coeficienții de corelație parțială și, pe baza acestora, selectați factorii informativi pentru model. Construiți un model cu doar factori informativi și evaluați parametrii acestuia.

Calculați valoarea estimată a rezultatului dacă valorile prezise ale factorilor sunt de 80% din valorile maxime ale acestora.

Calculați erorile de predicție și intervalul de încredere pentru un nivel de semnificație de 5 sau 10% (α = 0,05; α = 0,10).

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2016-02-16