Cum să găsiți lungimea unui segment pe planul de coordonate. Găsirea coordonatelor mijlocului unui segment: exemple, soluții

În acest articol, vom vorbi despre găsirea coordonatelor mijlocului unui segment din coordonatele capetelor acestuia. În primul rând, vom oferi conceptele necesare, apoi vom obține formule pentru găsirea coordonatelor mijlocului unui segment și, în concluzie, vom lua în considerare soluții la exemple și probleme tipice.

Navigare în pagină.

Conceptul de mijloc al unui segment.

Pentru a introduce conceptul de punct de mijloc al unui segment, avem nevoie de definiții ale unui segment și ale lungimii acestuia.

Conceptul de segment este dat la lecțiile de matematică din clasa a V-a de liceu astfel: dacă luăm două puncte arbitrare necoincidente A și B, lipim o riglă și trasăm o linie de la A la B (sau de la B). la A), atunci obținem segmentul AB(sau segmentul B A). Punctele A și B sunt numite capetele segmentului. Ar trebui să ținem cont de faptul că segmentul AB și segmentul BA sunt același segment.

Dacă segmentul AB este extins infinit în ambele direcții de la capete, atunci obținem linie dreaptă AB(sau VA direct). Segmentul AB este partea dreptei AB cuprinsă între punctele A și B. Astfel, segmentul AB este uniunea punctelor A, B și mulțimea tuturor punctelor dreptei AB situate între punctele A și B. Dacă luăm un punct arbitrar M al dreptei AB situat între punctele A și B, atunci se spune că punctul M minciuni pe segmentul AB.

Lungimea segmentului AB este distanța dintre punctele A și B la o scară dată (segment de unitate de lungime). Lungimea segmentului AB va fi notat cu .

Definiție.

Punct C se numește mijlocul segmentului AB dacă se află pe segmentul AB și se află la aceeași distanță de capetele acestuia.

Adică, dacă punctul C este punctul de mijloc al segmentului AB, atunci se află pe el și.

Mai mult, sarcina noastră va fi să găsim coordonatele mijlocului segmentului AB dacă coordonatele punctelor A și B sunt date pe linia de coordonate sau într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Coordonata punctului mijlociu al segmentului pe linia de coordonate.

Să ni se dea o dreaptă de coordonate Ox și două puncte necoincidente A și B pe ea, care corespund numerelor reale și . Fie punctul C mijlocul segmentului AB. Să găsim coordonatele punctului C.

Deoarece punctul C este mijlocul segmentului AB, atunci egalitatea este adevărată. În secțiunea despre distanța de la un punct la un punct pe o dreaptă de coordonate, am arătat că distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, deci, . Apoi sau . Din egalitate găsiți coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB pe linia de coordonate: - este egal cu jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului. Din a doua egalitate obținem , ceea ce este imposibil, deoarece am luat punctele A și B necoincidente.

Asa de, formula de aflare a coordonatei punctului mijlociu al segmentului AB cu capete si are forma .

Coordonatele punctului de mijloc al unui segment de linie.

Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Оxyz pe plan. Să ni se dau două puncte și știm că punctul C este mijlocul segmentului AB. Să găsim coordonatele și punctele C.

Prin construcție, drept paralele, precum și linii paralele , prin urmare, prin Teorema lui Thales din egalitatea segmentelor AC și CB rezultă egalitatea segmentelor și , precum și a segmentelor și . Prin urmare, punctul este punctul de mijloc al segmentului și punctul de mijloc al segmentului. Apoi, în virtutea paragrafului anterior al acestui articol și .

Conform acestor formule, este posibil să se calculeze coordonatele mijlocului segmentului AB în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre axele de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate. Să lăsăm aceste cazuri fără comentarii și să dăm ilustrații grafice.

În acest fel, punctul de mijloc al segmentului AB pe un plan cu capete în puncte și are coordonate .

Coordonatele mijlocului segmentului în spațiu.

Să fie introdus un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional și două puncte și . Obținem formule pentru găsirea coordonatelor punctului C, care este punctul de mijloc al segmentului AB.

Să luăm în considerare cazul general.

Fie și proiecțiile punctelor A, B și C pe axele de coordonate Ox, Oy și, respectiv, Oz.

Prin teorema lui Thales, prin urmare, punctele sunt punctele mijlocii ale segmentelor respectiv. Apoi (vezi primul paragraf al acestui articol). Deci am primit formule pentru calcularea coordonatelor mijlocului unui segment din coordonatele capetelor acestuia în spațiu.

Aceste formule pot fi aplicate și în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre axele de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate și, de asemenea, dacă punctele A și B se află într-unul dintre planurile de coordonate sau într-un plan paralel cu una dintre axele de coordonate.plane.

Coordonatele mijlocului segmentului prin coordonatele vectorilor de rază ai capetelor acestuia.

Formulele pentru găsirea coordonatelor mijlocului unui segment sunt ușor de obținut prin referire la algebra vectorilor.

Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy pe plan și punctul C să fie punctul de mijloc al segmentului AB și și .

Conform definiției geometrice a operațiilor pe vectori, egalitatea (punctul C este punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram construit pe vectori și , adică punctul C este punctul de mijloc al diagonalei paralelogramului). În articolul coordonatele unui vector dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular, am aflat că coordonatele vectorului rază a unui punct sunt egale cu coordonatele acestui punct, prin urmare, . Apoi, după efectuarea operațiilor corespunzătoare asupra vectorilor în coordonate, avem . Cum putem concluziona că punctul C are coordonate .

Absolut similar, coordonatele mijlocului segmentului AB pot fi găsite prin coordonatele capetelor sale în spațiu. În acest caz, dacă C este punctul de mijloc al segmentului AB și , atunci avem .

Găsirea coordonatelor mijlocului segmentului, exemple, soluții.

În multe probleme, trebuie să utilizați formule pentru a găsi coordonatele punctului de mijloc al unui segment. Să luăm în considerare soluțiile celor mai caracteristice exemple.

Să începem cu un exemplu care trebuie doar să aplice o formulă.

Exemplu.

Coordonatele a două puncte sunt date pe plan . Aflați coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB.

Decizie.

Fie punctul C mijlocul segmentului AB. Coordonatele sale sunt egale cu jumătățile sumelor coordonatelor corespunzătoare ale punctelor A și B:

Astfel, punctul de mijloc al segmentului AB are coordonate.

Articolul de mai jos va acoperi problemele de a găsi coordonatele mijlocului segmentului în prezența coordonatelor punctelor sale extreme ca date inițiale. Dar, înainte de a trece la studiul problemei, introducem o serie de definiții.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

Segment de linie- o linie dreaptă care leagă două puncte arbitrare, numite capetele segmentului. De exemplu, să fie acestea punctele A și B și, respectiv, segmentul A B .

Dacă segmentul A B este continuat în ambele direcții din punctele A și B, vom obține o dreaptă A B. Atunci segmentul A B este o parte a dreptei obținute mărginită de punctele A și B . Segmentul A B unește punctele A și B , care sunt capetele sale, precum și setul de puncte aflat între ele. Dacă, de exemplu, luăm orice punct K arbitrar situat între punctele A și B , putem spune că punctul K se află pe segmentul A B .

Definiția 2

Lungimea tăiată este distanța dintre capetele segmentului la o scară dată (segment de unitate de lungime). Notăm lungimea segmentului A B astfel: A B .

Definiția 3

punct de mijloc Un punct de pe un segment de dreaptă care este echidistant de capetele acestuia. Dacă mijlocul segmentului A B este notat cu punctul C, atunci egalitatea va fi adevărată: A C \u003d C B

Date inițiale: linia de coordonate O x și puncte nepotrivite de pe ea: A și B . Aceste puncte corespund numerelor reale x A și x B . Punctul C este punctul de mijloc al segmentului A B: trebuie să determinați coordonatele x C .

Deoarece punctul C este mijlocul segmentului A B, egalitatea va fi adevărată: | A C | = | C B | . Distanța dintre puncte este determinată de modulul diferenței dintre coordonatele lor, adică.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Atunci sunt posibile două egalități: x C - x A = x B - x C și x C - x A = - (x B - x C)

Din prima egalitate, derivăm o formulă pentru coordonatele punctului C: x C \u003d x A + x B 2 (jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului).

Din a doua egalitate obținem: x A = x B , ceea ce este imposibil, deoarece în datele originale - puncte nepotrivite. În acest fel, formula de determinare a coordonatelor punctului mijlociu al segmentului A B cu capete A (x A) si B(xB):

Formula rezultată va sta la baza determinării coordonatelor punctului de mijloc al segmentului pe un plan sau în spațiu.

Date inițiale: sistem de coordonate dreptunghiulare pe planul O x y , două puncte arbitrare necoincidente cu coordonatele date A x A , y A și B x B , y B . Punctul C este mijlocul segmentului A B . Este necesar să se determine coordonatele x C și y C pentru punctul C .

Să luăm spre analiză cazul când punctele A și B nu coincid și nu se află pe aceeași dreaptă de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axe. A x , A y ; B x , B y și C x , C y - proiecții ale punctelor A , B și C pe axele de coordonate (drepte O x și O y).

Prin construcție, dreptele A A x , B B x , C C x sunt paralele; liniile sunt de asemenea paralele între ele. Împreună cu aceasta, conform teoremei Thales, din egalitatea A C \u003d C B, urmează egalitățile: A x C x \u003d C x B x și A y C y \u003d C y B y, iar ei, la rândul lor, indicați că punctul C x - mijlocul segmentului A x B x, iar C y este mijlocul segmentului A y B y. Și apoi, pe baza formulei obținute mai devreme, obținem:

x C = x A + x B 2 și y C = y A + y B 2

Aceleași formule pot fi folosite în cazul în care punctele A și B se află pe aceeași linie de coordonate sau pe o linie perpendiculară pe una dintre axe. Nu vom efectua o analiză detaliată a acestui caz, îl vom lua în considerare doar grafic:

Rezumând toate cele de mai sus, coordonatele mijlocului segmentului A B pe planul cu coordonatele capetelor A (x A , y A) și B(x B, y B) definit ca:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Date inițiale: sistemul de coordonate О x y z și două puncte arbitrare cu coordonatele date A (x A , y A , z A) și B (x B , y B , z B) . Este necesar să se determine coordonatele punctului C , care este mijlocul segmentului A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z și C x , C y , C z - proiecții ale tuturor punctelor date pe axele sistemului de coordonate.

Conform teoremei lui Thales, egalitățile sunt adevărate: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Prin urmare, punctele C x , C y , C z sunt punctele medii ale segmentelor A x B x , A y B y , respectiv A z B z. Apoi, pentru a determina coordonatele mijlocului segmentului în spațiu, următoarele formule sunt adevărate:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Formulele rezultate sunt aplicabile și în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre liniile de coordonate; pe o linie dreaptă perpendiculară pe una dintre axe; într-un plan de coordonate sau un plan perpendicular pe unul dintre planurile de coordonate.

Determinarea coordonatelor mijlocului unui segment prin coordonatele vectorilor de rază ai capetelor acestuia

Formula pentru aflarea coordonatelor mijlocului segmentului poate fi derivată și în funcție de interpretarea algebrică a vectorilor.

Date inițiale: sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y , puncte cu coordonatele date A (x A , y A) și B (x B , x B) . Punctul C este mijlocul segmentului A B .

Conform definiției geometrice a acțiunilor asupra vectorilor, următoarea egalitate va fi adevărată: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punctul C în acest caz este punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului construit pe baza vectorilor O A → și O B → , adică. punctul din mijlocul diagonalelor.Coordonatele vectorului raza punctului sunt egale cu coordonatele punctului, atunci egalitățile sunt adevărate: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B). Să efectuăm câteva operații pe vectori în coordonate și să obținem:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin urmare, punctul C are coordonatele:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin analogie, o formulă este definită pentru a găsi coordonatele punctului mijlociu al unui segment în spațiu:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Exemple de rezolvare a problemelor pentru găsirea coordonatelor mijlocului unui segment

Printre sarcinile care presupun folosirea formulelor obtinute mai sus se numara atat cele in care intrebarea este direct de a calcula coordonatele mijlocului segmentului, cat si cele care presupun aducerea conditiilor date la aceasta intrebare: termenul „mediana” este adesea folosit, scopul este de a găsi coordonatele unuia de la capetele segmentului, precum și probleme de simetrie, a căror soluție, în general, nu ar trebui să provoace dificultăți după studierea acestui subiect. Să luăm în considerare exemplele tipice.

Exemplul 1

Date inițiale: pe plan - puncte cu coordonatele date A (- 7, 3) și B (2, 4) . Este necesar să găsiți coordonatele punctului mijlociu al segmentului A B.

Decizie

Să notăm mijlocul segmentului A B cu punctul C . Coordonatele sale vor fi determinate ca jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului, i.e. punctele A și B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Răspuns: coordonatele mijlocului segmentului A B - 5 2 , 7 2 .

Exemplul 2

Date inițiale: se cunosc coordonatele triunghiului A B C: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Este necesar să găsiți lungimea mediei A M.

Decizie

1. După condiția problemei, A M este mediana, ceea ce înseamnă că M este punctul de mijloc al segmentului B C . În primul rând, găsim coordonatele mijlocului segmentului B C , adică. M puncte:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Deoarece acum cunoaștem coordonatele ambelor capete ale medianei (punctele A și M), putem folosi formula pentru a determina distanța dintre puncte și pentru a calcula lungimea medianei A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Răspuns: 58

Exemplul 3

Date inițiale: un paralelipiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 este dat în sistemul de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional. Sunt date coordonatele punctului C 1 (1 , 1 , 0) și se definește și punctul M, care este mijlocul diagonalei B D 1 și are coordonatele M (4 , 2 , - 4) . Este necesar să se calculeze coordonatele punctului A.

Decizie

Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct, care este punctul de mijloc al tuturor diagonalelor. Pe baza acestei afirmații, putem reține că punctul M cunoscut de condițiile problemei este mijlocul segmentului А С 1 . Pe baza formulei de găsire a coordonatelor mijlocului segmentului în spațiu, găsim coordonatele punctului A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Răspuns: coordonatele punctului A (7, 3, - 8) .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Există un întreg grup de sarcini (incluse în tipurile de sarcini de examinare) asociate cu planul de coordonate. Acestea sunt sarcini care pornesc de la cele mai elementare care se rezolvă oral (determinarea ordonatei sau abscisei unui punct dat, sau a unui punct dat simetric etc.), terminând cu sarcini care necesită cunoștințe de înaltă calitate, înțelegere și bune abilități (sarcini). raportat la panta unei drepte).

Treptat, le vom lua în considerare pe toate. În acest articol, vom începe cu elementele de bază. Acestea sunt sarcini simple pentru determinarea: abscisa și ordonata unui punct, lungimea unui segment, punctul de mijloc al unui segment, sinusul sau cosinusul unghiului de înclinare al unei drepte.Majoritatea acestor sarcini nu vor fi interesante. Dar cred că este necesar să le precizăm.

Chestia este că nu toată lumea merge la școală. Mulți oameni trec examenul la 3-4 ani sau mai mult după absolvire și își amintesc vag care sunt abscisa și ordonatele. Vom analiza și alte sarcini legate de planul de coordonate, nu-l ratați, abonați-vă la actualizarea blogului. Acum n putina teorie.

Să construim un punct A pe planul de coordonate cu coordonatele x=6, y=3.

Ei spun că abscisa punctului A este șase, ordonata punctului A este trei.

Pentru a spune simplu, axa x este axa absciselor, axa y este axa y.

Adică abscisa este un punct de pe axa x în care este proiectat un punct dat pe planul de coordonate; Ordonata este punctul de pe axa y în care este proiectat punctul specificat.

Lungimea segmentului pe planul de coordonate

Formula pentru determinarea lungimii unui segment, dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor sale:

După cum puteți vedea, lungimea segmentului este lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu

X B - X A și Y B - Y A

* * *

Mijlocul tăieturii. Coordonatele ei.

Formula pentru găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment:

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date

Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este:

unde (x 1; y 1) și (x 2; y 2 ) coordonatele punctelor date.

Înlocuind valorile coordonatelor în formulă, se reduce la forma:

y = kx + b, unde k este panta dreptei

Vom avea nevoie de aceste informații atunci când rezolvăm un alt grup de probleme legate de planul de coordonate. Va fi un articol despre asta, nu-l ratați!

Ce altceva se mai poate adăuga?

Unghiul de înclinare a unei linii drepte (sau segment) este unghiul dintre axa oX și această linie dreaptă, variind de la 0 la 180 de grade.

Să luăm în considerare sarcinile.

Din punctul (6;8) perpendiculara este coborâtă pe axa y. Aflați ordonata bazei perpendicularei.

Baza perpendicularei coborâte pe axa y va avea coordonatele (0; 8). Ordinata este opt.

Raspuns: 8

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la axa y.

Distanța de la punctul A la axa y este egală cu abscisa punctului A.

Raspuns: 6.

A(6;8) în jurul axei Bou.

Punct punct simetricȘi în raport cu axa oX, are coordonatele (6; - 8).

Ordinata este minus opt.

Răspuns: - 8

Aflați ordonata unui punct simetric față de un punct A(6;8) relativ la origine.

Un punct simetric cu punctul A în raport cu originea are coordonate (- 6; - 8).

ordonata sa este -8.

Răspuns: -8

Găsiți abscisa punctului mijlociu al segmentului de dreaptă care leagă puncteleO(0;0) și A(6;8).

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți coordonatele mijlocului segmentului. Coordonatele extremităților segmentului nostru sunt (0;0) și (6;8).

Calculăm după formula:

Am primit (3;4). Abscisa este trei.

Raspuns: 3

* Abscisa mijlocului segmentului poate fi determinată fără calculare prin formulă prin construirea acestui segment pe planul de coordonate de pe foaia dintr-o celulă. Mijlocul segmentului va fi ușor de determinat de către celule.

Găsiți abscisa punctului mijlociu al segmentului de dreaptă care leagă punctele A(6;8) și B(–2;2).

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți coordonatele mijlocului segmentului. Coordonatele extremităților segmentului nostru sunt (–2;2) și (6;8).

Calculăm după formula:

Am primit (2;5). Abscisa este două.

Raspuns: 2

* Abscisa mijlocului segmentului poate fi determinată fără calculare prin formulă prin construirea acestui segment pe planul de coordonate de pe foaia dintr-o celulă.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele (0;0) și (6;8).

Lungimea segmentului la coordonatele date ale capetelor sale se calculează prin formula:

în cazul nostru avem O(0;0) și A(6;8). Mijloace,

*Ordinea coordonatelor la scădere nu contează. Puteți scădea abscisa și ordonata punctului A din abscisa și ordonata punctului O:

Răspuns: 10

Aflați cosinusul pantei segmentului care leagă punctele O(0;0) și A(6;8), cu axa x.

Unghiul de înclinare al unui segment este unghiul dintre acest segment și axa x.

Din punctul A coborâm perpendiculara pe axa x:

Adică, unghiul de înclinare al segmentului este unghiulSAIîn triunghi dreptunghic AVO.

Cosinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este

raportul catetei adiacente la ipotenuză

Trebuie să găsiți ipotenuzaOA.

Conform teoremei lui Pitagora:Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Astfel, cosinusul unghiului de înclinare este 0,6

Răspuns: 0,6

Din punctul (6;8) se coboară perpendiculara pe axa absciselor. Aflați abscisa bazei perpendicularei.

Se trasează o linie dreaptă prin punctul (6; 8), paralelă cu axa x. Aflați ordonata punctului său de intersecție cu axa OU.

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la axa x.

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la origine.

Dacă atingeți o foaie de caiet cu un creion bine ascuțit, va rămâne o urmă care dă o idee despre rost. (Fig. 3).

Pe o coală de hârtie notăm două puncte A și B. Aceste puncte pot fi conectate prin diferite linii ( fig. 4). Și cum se conectează punctele A și B cu cea mai scurtă linie? Acest lucru se poate face folosind o riglă ( fig. 5). Linia rezultată este numită segment.

Punct și linie - Exemple forme geometrice.

Punctele A și B sunt numite capetele segmentului.

Există un singur segment ale cărui capete sunt punctele A și B. Prin urmare, un segment este notat prin notarea punctelor care sunt capetele sale. De exemplu, segmentul din figura 5 este desemnat într-unul din două moduri: AB sau BA. Citiți: „segment AB” sau „segment BA”.

Figura 6 prezintă trei segmente. Lungimea segmentului AB este egală cu 1 cm.Se așează exact de trei ori în segmentul MN și exact de 4 ori în segmentul EF. Vom spune asta lungimea segmentului MN este de 3 cm, iar lungimea segmentului EF este de 4 cm.

De asemenea, se obișnuiește să se spună: „segmentul MN este de 3 cm”, „segmentul EF este de 4 cm”. Ei scriu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Am măsurat lungimile segmentelor MN și EF un singur segment, a cărui lungime este de 1 cm. Pentru a măsura segmente, puteți alege altele unități de lungime, de exemplu: 1 mm, 1 dm, 1 km. În figura 7, lungimea segmentului este de 17 mm. Se măsoară printr-un singur segment, a cărui lungime este de 1 mm, folosind o riglă cu diviziuni. De asemenea, folosind o riglă, puteți construi (desena) un segment de o lungime dată (vezi fig. 7).

În general, a măsura un segment înseamnă a număra câte segmente unitare încap în el.

Lungimea unui segment are următoarea proprietate.

Dacă punctul C este marcat pe segmentul AB, atunci lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC și CB(Fig. 8).

Ei scriu: AB = AC + CB.

Figura 9 prezintă două segmente AB și CD. Aceste segmente vor coincide atunci când sunt suprapuse.

Două segmente sunt numite egale dacă coincid atunci când sunt suprapuse.

Prin urmare, segmentele AB și CD sunt egale. Ei scriu: AB = CD.

Segmentele egale au lungimi egale.

Dintre cele două segmente inegale, îl vom considera mai mare pe cel cu lungimea mai mare. De exemplu, în Figura 6, segmentul EF este mai mare decât segmentul MN.

Se numește lungimea segmentului AB distanţăîntre punctele A și B.

Dacă mai multe segmente sunt aranjate așa cum se arată în Figura 10, atunci obținem figură geometrică, Care e numit linie frântă. Rețineți că toate segmentele din Figura 11 nu formează o linie întreruptă. Se crede că segmentele formează o linie întreruptă dacă sfârșitul primului segment coincide cu sfârșitul celui de-al doilea, iar celălalt capăt al celui de-al doilea segment coincide cu sfârșitul celui de-al treilea etc.

Punctele A, B, C, D, E − vârfuri de polilinie ABCDE, punctele A și E − capete de linie întreruptă, iar segmentele AB, BC, CD, DE sunt ale acestuia link-uri(vezi fig. 10).

Lungimea liniei întrerupte este suma lungimilor tuturor legăturilor sale.

Figura 12 prezintă două linii întrerupte, ale căror capete coincid. Astfel de linii întrerupte sunt numite închis.

Exemplu 1 . Segmentul BC este cu 3 cm mai mic decât segmentul AB, a cărui lungime este de 8 cm (Fig. 13). Aflați lungimea segmentului AC.

Decizie. Avem: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Folosind proprietatea lungimii unui segment, putem scrie AC = AB + BC. Prin urmare, AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Raspuns: 13 cm.

Exemplu 2 . Se știe că MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Aflați lungimea segmentului NK.

Decizie. Avem: MN = MP − NP.

Prin urmare MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Avem: NK = MK − MN.

Prin urmare, NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Raspuns: 6 cm.