Soluție matriceală prin metoda inversă online. Soluție slough prin metoda matricei inverse

Metoda matricei Solutii SLAU folosit pentru rezolvarea sistemelor de ecuații în care numărul de ecuații corespunde numărului de necunoscute. Metoda este cel mai bine utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ordin scăzut. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aplicarea proprietăților înmulțirii matriceale.

Astfel, cu alte cuvinte metodă matrice inversă, numit așa, deoarece soluția este redusă la ecuația matriceală obișnuită, pentru a cărei soluție trebuie să găsiți matricea inversă.

Metoda soluției matriceale Un SLAE cu un determinant mai mare sau mai mic decât zero este după cum urmează:

Să presupunem că există un SLE (sistem de ecuații liniare) cu n necunoscut (pe un câmp arbitrar):

Deci, este ușor să îl traduceți într-o formă de matrice:

AX=B, Unde A este matricea principală a sistemului, BȘi X- coloane de membri liberi și soluții ale sistemului, respectiv:

Înmulțiți această ecuație matriceală din stânga cu A -1- matrice inversă la matrice A: A −1 (AX)=A −1 B.

Deoarece A -1 A=E, Mijloace, X=A -1 B. Partea dreaptă a ecuației oferă o coloană de soluții sistemului inițial. Condiția pentru aplicabilitatea metodei matricei este nedegenerarea matricei A. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei A:

detA≠0.

Pentru sistem omogen de ecuații liniare, adică dacă vector B=0, este valabilă regula inversă: sistemul AX=0 este o soluție netrivială (adică nu este egală cu zero) numai atunci când detA=0. Această legătură între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativă la Fredholm.

Astfel, soluția SLAE metoda matricei produs conform formulei . Sau, soluția SLAE este găsită folosind matrice inversă A -1.

Se știe că o matrice pătrată A Ordin n pe n există o matrice inversă A -1 numai dacă determinantul său este diferit de zero. Astfel sistemul n liniar ecuații algebrice Cu n necunoscutele se rezolvă prin metoda matricei numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.

În ciuda faptului că există restricții cu privire la posibilitatea utilizării unei astfel de metode și există dificultăți de calcul pentru valori mari ale coeficienților și sistemelor ordin înalt, metoda poate fi implementată cu ușurință pe un computer.

Un exemplu de rezolvare a unui SLAE neomogen.

Mai întâi, să verificăm dacă determinantul matricei de coeficienți pentru SLAE-uri necunoscute nu este egal cu zero.

Acum găsim matricea aliantei, transpuneți-l și înlocuiți-l în formula de determinare a matricei inverse.

Inlocuim variabilele din formula:

Acum găsim necunoscutele înmulțind matricea inversă și coloana de termeni liberi.

Asa de, x=2; y=1; z=4.

Când treceți de la forma obișnuită a SLAE la forma matriceală, aveți grijă la ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului. De exemplu:

NU scrie ca:

Este necesar, mai întâi, să ordonăm variabilele necunoscute în fiecare ecuație a sistemului și numai după aceea se trece la notația matriceală:

În plus, trebuie să fii atent cu desemnarea variabilelor necunoscute, în loc de x 1, x 2 , …, x n pot exista si alte litere. De exemplu:

sub formă de matrice, scriem:

Este mai bine să rezolvați sistemele folosind metoda matricei ecuatii lineare, în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. Când există mai mult de 3 ecuații în sistem, va fi nevoie de mai mult efort de calcul pentru a găsi matricea inversă, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să folosiți metoda Gauss pentru a rezolva.

Sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei

Unde aijȘi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n- necunoscut. În notarea coeficienţilor aij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.

Coeficienții pentru necunoscute se vor scrie sub forma unei matrice , pe care o vom numi matricea sistemului.

Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor b 1 ,…,b m numit membri liberi.

Agregat n numere c 1 ,…,c n numit decizie a acestui sistem, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.

Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:

Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit incompatibil.

Luați în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.

METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane matrice de membri necunoscuți și liberi

Să găsim produsul

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi folosind definiția egalității matriceale acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt A∙X=B.

Aici matrice AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Ea trebuie găsită, pentru că. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X=X, apoi obținem soluția ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații este același cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, notația matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu este pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.

REGULA LUI CRAMER

Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:

Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți la necunoscute,

numit determinant de sistem.

Mai compunem trei determinanti astfel: inlocuim succesiv 1, 2 si 3 coloane in determinantul D cu o coloana de membri liberi

Apoi putem demonstra următorul rezultat.

Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada. Deci, luați în considerare un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație - pe A21și al 3-lea - pe A 31:

Să adăugăm aceste ecuații:

Luați în considerare fiecare dintre paranteze și partea dreapta această ecuație. Prin teorema expansiunii determinantului în ceea ce privește elementele coloanei I

În mod similar, se poate demonstra că și .

În cele din urmă, este ușor să vezi asta

Astfel, obținem egalitatea: .

Prin urmare, .

Egalitățile și sunt derivate similar, de unde urmează afirmația teoremei.

Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un set infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.

Exemple. Rezolvați un sistem de ecuații

METODA GAUSS

Metodele considerate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gaussiană este mai universală și este potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.

Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

.

Lăsăm prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a excludem termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțim a doua ecuație la A 21 și înmulțiți cu - A 11 și apoi se adună cu prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație în A 31 și înmulțiți cu - A 11 și apoi adăugați-l la primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:

Acum, din ultima ecuație, eliminăm termenul care conține x2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu , înmulțiți cu și adăugați-o la a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:

Prin urmare, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x2 si in sfarsit de la 1 - x 1.

Când se folosește metoda Gaussiană, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.

Adesea în loc să scrie sistem nou ecuațiile sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:

iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.

LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:

1. permutarea rândurilor sau coloanelor;
2. înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
3. adăugând la o linie alte linii.

Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.

Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - un tabel de elemente. Despre o masă unde m linii şi n coloane, ei spun că această matrice are dimensiunea m pe n.

Vedere generală a matricei:

Pentru soluții matriceale trebuie să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți parametrii ei principali. Elementele principale ale matricei:

• Diagonala principală formată din elemente un 11, un 22 ..... un mn.
• Diagonala laterală formată din elemente а 1n ,а 2n-1 …..а m1.

Principalele tipuri de matrice:

• Pătrat - o astfel de matrice, unde numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
• Zero - unde toate elementele matricei = 0.
• Matrice transpusă - Matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală A prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
• Unic - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
• O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat matricea de identitate.

Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate pot fi simetrice.

Metode de rezolvare a matricilor.

Aproape tot metode de soluție matriceală sunt să-i găsească determinantul n a-lea și majoritatea dintre ele sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3, există și alte moduri mai raționale.

Găsirea determinanților de ordinul 2.

Pentru a calcula determinantul matricei A Ordinul 2, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.

A simplificat regula triunghiului ca una dintre metode de soluție matriceală, poate fi reprezentat astfel:

Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii este luat cu semnul „+”; de asemenea, pentru al 2-lea determinant - produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul "-", adică conform următoarei scheme:

La rezolvarea matricilor prin regula Sarrus, în dreapta determinantului se adaugă primele 2 coloane și se iau cu semnul „+” produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și de pe diagonalele care sunt paralele cu acesta; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:

Expansiunea pe rând sau pe coloană a determinantului la rezolvarea matricilor.

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei alegeți rândul/coloana în care/allea sunt zerouri. Rândul sau coloana pe care se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Reducerea determinantului la o formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.

La rezolvarea matricilor prin reducerea determinantului la o formă triunghiulară, ele funcționează astfel: folosind cele mai simple transformări pe rânduri sau coloane, determinantul devine triunghiular și atunci valoarea lui, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul elementelor. care stau pe diagonala principală.

Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.

Atunci când rezolvăm matrice folosind teorema lui Laplace, este necesar să cunoașteți teorema în sine în mod direct. Teorema lui Laplace: Fie Δ este un determinant n-a ordine. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k ordinea conținută în selectat k rânduri (coloane), adunările lor algebrice vor fi egale cu determinantul.

Soluție matriceală inversă.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

1. Aflați dacă este pătrat matricea dată. În cazul unui răspuns negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
2. Calculăm adunări algebrice.
3. Compunem matricea aliată (reciprocă, atașată). C.
4. Compunem o matrice inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea rezultată va fi matricea inversă dorită față de cea dată.
5. Verificăm munca făcută: înmulțim matricea matricelor inițiale și rezultate, rezultatul ar trebui să fie matricea identității.

Rezolvarea sistemelor matriceale.

Pentru solutii ale sistemelor matriceale cel mai des folosit este metoda Gauss.

Metoda Gauss este o metodă standard de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate succesiv, adică, cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuații este adus la un sistem echivalent de un formă triunghiulară și din ea, secvenţial, pornind de la ultimul (după număr), găsiți fiecare element al sistemului.

metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru găsirea de soluții matrice. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss implică, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, invers este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.

Atribuirea serviciului. Folosind acest calculator online, necunoscutele (x 1 , x 2 , ..., x n ) sunt calculate în sistemul de ecuații. Decizia se ia metoda matricei inverse. în care:

• se calculează determinantul matricei A;
• prin adunări algebrice se găsește matricea inversă A -1;
• se creează un șablon de soluție în Excel;

Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculelor sunt prezentate într-un raport în format Word (vezi exemplul de proiectare).

Instruire. Pentru a obține o soluție prin metoda matricei inverse, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, în noua casetă de dialog, completați matricea A și vectorul rezultat B .

Numărul de variabile 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Rezolvarea ecuațiilor matriceale.

Algoritm de rezolvare

1. Se calculează determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci sfârșitul soluției. Sistemul are un număr infinit de soluții.
2. Când determinantul este diferit de zero, matricea inversă A -1 se găsește prin adunări algebrice.
3. Vectorul de decizie X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) se obține prin înmulțirea matricei inverse cu vectorul rezultat B .

Exemplu. Găsiți soluția sistemului prin metoda matricei. Scriem matricea sub forma:
Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Examinare:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

(uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea prealabilă cu un astfel de concept precum forma matriceală de scriere SLAE. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare pentru care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, acest lucru implică faptul că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matricele pătrate). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:

1. Notează trei matrice: matricea sistemului $A$, matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$.
2. Aflați matricea inversă $A^(-1)$.
3. Folosind egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$ obțineți soluția SLAE dată.

Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice ca $A\cdot X=B$, unde $A$ este matricea sistemului, $B$ este matricea termenilor liberi, $X$ este matricea necunoscutelor. Fie matricea $A^(-1)$ să existe. Înmulțiți ambele părți ale egalității $A\cdot X=B$ cu matricea $A^(-1)$ din stânga:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Deoarece $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ este matricea identității), atunci egalitatea scrisă mai sus devine:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Deoarece $E\cdot X=X$, atunci:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Exemplul #1

Rezolvați SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ folosind matricea inversă.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. calculați $A^(-1)$. În exemplul #2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în ecuația $X=A^(-1)\cdot B$. Apoi efectuăm înmulțirea matriceală

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 și -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Deci avem $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ dreapta)$. Din această egalitate avem: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Răspuns: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Exemplul #2

Rezolvați SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ prin metoda matricei inverse.

Să notăm matricea sistemului $A$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea necunoscutelor $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Acum este timpul să găsim matricea inversă a matricei sistemului, adică. găsi $A^(-1)$. În exemplul #3 de pe pagina dedicată găsirii de matrici inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Să folosim rezultatul final și să scriem $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 și 37\end(matrice)\dreapta). $$

Acum înlocuim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, după care efectuăm înmulțirea matricei din dreapta partea acestei egalităţi.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Deci avem $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(matrice)\right)$. Din această egalitate avem: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.