Găsirea medianei într-un triunghi. Mediana triunghiului

Mediana și înălțimea unui triunghi este unul dintre cele mai fascinante și interesante subiecte din geometrie. Termenul „mediană” înseamnă o linie sau un segment care leagă vârful unui triunghi cu latura sa opusă. Cu alte cuvinte, mediana este o linie care merge de la mijlocul unei laturi a unui triunghi până la vârful opus al aceluiași triunghi. Deoarece un triunghi are doar trei vârfuri și trei laturi, pot exista doar trei mediane.

Proprietățile mediane ale triunghiului

1. Toate medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt separate de acest punct într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Astfel, dacă desenați toate cele trei mediane într-un triunghi, atunci punctul de intersecție le va împărți în două părți. Partea care este mai aproape de vârf va fi 2/3 din întreaga linie, iar partea care este mai aproape de latura triunghiului va fi 1/3 din linie. Medianele se intersectează într-un punct.
2. Trei mediane desenate într-un triunghi împart acest triunghi în 6 triunghiuri mici, a căror zonă va fi egală.
3. Cu cât latura triunghiului de la care provine mediana este mai mare, cu atât această mediană este mai mică. În schimb, partea cea mai scurtă are mediana cea mai lungă.
4. Mediana in triunghi dreptunghic are o serie de caracteristici proprii. De exemplu, dacă este descris un cerc în jurul unui astfel de triunghi, care va trece prin toate vârfurile, atunci mediana unghi drept, tras la ipotenuză, va deveni raza cercului circumscris (adică lungimea acestuia va fi distanța de la orice punct al cercului până la centrul său).

Ecuația lungimii mediane a triunghiului

Formula mediei provine din teorema lui Stewart și afirmă că mediana este Rădăcină pătrată din raportul pătratelor sumei laturilor triunghiului care formează vârful, minus pătratul laturii în care mediana este trasă la patru. Cu alte cuvinte, pentru a afla lungimea medianei, trebuie să pătrați lungimile fiecărei laturi a triunghiului și apoi să o scrieți ca o fracție, al cărei numărător va fi suma pătratelor laturilor care formează unghiul din care provine mediana, minus pătratul celei de-a treia laturi. Numitorul aici este numărul 4. Apoi, din această fracție, trebuie să extrageți rădăcina pătrată și apoi obținem lungimea medianei.

Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi

După cum am scris mai sus, toate medianele unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct se numește centrul triunghiului. Ea împarte fiecare mediană în două părți, a căror lungime este raportată ca 2:1. Centrul triunghiului este și centrul cercului circumscris în jurul lui. Si altii figuri geometrice au propriile lor centre.

Coordonatele punctului de intersecție al medianelor triunghiului

Pentru a găsi coordonatele de intersecție ale medianelor unui triunghi, folosim proprietatea centroidului, conform căreia acesta împarte fiecare mediană în segmente 2:1. Notăm vârfurile ca A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

și calculați coordonatele centrului triunghiului cu formula: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Aria unui triunghi în termeni de mediană

Toate medianele unui triunghi împart acest triunghi în 6 triunghiuri egale, iar centrul triunghiului împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1. Prin urmare, dacă sunt cunoscuți parametrii fiecărei mediane, este posibil să se calculeze aria triunghiului prin aria unuia dintre triunghiurile mici și apoi să se mărească această cifră de 6 ori.

Mediana triunghiului este un segment de linie care leagă vârful unui triunghi cu punctul de mijloc al laturii opuse a acestui triunghi.

Proprietățile mediane ale triunghiului

1. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de aceeași zonă.

2. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului (centroid).

3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Lungimea medianei trasate în lateral: ( doc prin construirea unui paralelogram și folosind egalitatea în paralelogram a de două ori suma pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor )

T1. Cele trei mediane ale triunghiului se intersectează într-un punct M, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. Dat: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 - mediane
∆ABC. Demonstrați: și

D-in: Fie M punctul de intersecție al medianelor CC 1 , AA 1 ale triunghiului ABC. Nota A 2 - mijlocul segmentului AM și C 2 - mijlocul segmentului CM. Atunci A 2 C 2 este linia de mijloc a triunghiului AMS. Mijloace, A 2 C 2|| AC

și A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. DIN 1 ȘI 1 este linia mediană a triunghiului ABC. Deci A 1 DIN 1 || AC și A 1 DIN 1 \u003d 0,5 * AC.

patrulater A 2 C 1 A 1 C 2- un paralelogram, deoarece laturile sale opuse A 1 DIN 1 și A 2 C 2 egale și paralele. Prin urmare, A 2 M = MA 1 și C2M = DOMNIȘOARĂ 1 . Aceasta înseamnă că punctele A 2și Mîmpărțiți mediana AA 2în trei părți egale, adică AM = 2MA 2. În mod similar CM = 2MC 1 . Deci, punctul M al intersecției a două mediane AA 2și CC2 triunghiul ABC împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. În mod similar, se demonstrează că punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului.

Pe mediana AA 1, un astfel de punct este punctul M, deci punctul Mși există un punct de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1.

În acest fel, n

T2. Demonstrați că segmentele care leagă centroidul cu vârfurile triunghiului îl împart în trei părți egale. Dat: ∆ABC , sunt medianele sale.

Dovedi: S AMB =S BMC =S-AMC.Dovada. LA, au în comun. deoarece bazele lor sunt egale iar înălțimea trasă de sus M, au în comun. Apoi

În mod similar, se demonstrează că S AMB = S AMC .În acest fel, S AMB = S AMC = S CMB .n

Bisectoarea unui triunghi.Teoreme legate de bisectoarele unui triunghi. Formule pentru găsirea bisectoarelor

Bisectoarea unghiului O rază care începe la vârful unui unghi și împarte unghiul în două unghiuri egale.

Bisectoarea unui unghi este locul punctelor din interiorul unghiului care sunt echidistante de laturile unghiului.

Proprietăți

1. Teorema bisectoarei: Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente

2. Bisectoarele unghiurilor interne ale unui triunghi se intersectează într-un punct - incentrul - centrul cercului înscris în acest triunghi.

3. Dacă două bisectoare dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel (teorema Steiner-Lemus).

Calcularea lungimii unei bisectoare

l c - lungimea bisectoarei trase pe latura c,

a,b,c - laturile triunghiului față de vârfurile A,B,C, respectiv,

p - jumătate de perimetru al triunghiului,

a l ,b l - lungimile segmentelor în care bisectoarea l c împarte latura c,

α,β,γ - unghiurile interioare ale triunghiului la vârfurile A,B,C, respectiv,

h c - înălțimea triunghiului, coborâtă pe latura c.

metoda zonei.

Caracteristica metodei. Din denumire rezultă că obiectul principal al acestei metode este zona. Pentru un număr de figuri, de exemplu, pentru un triunghi, aria este pur și simplu exprimată prin diferite combinații ale elementelor figurii (triunghi). Prin urmare, o tehnică este foarte eficientă atunci când se compară diferite expresii pentru aria unei figuri date. În acest caz, apare o ecuație care conține elementele cunoscute și dorite ale figurii, rezolvând care determinăm necunoscutul. Aici se manifestă principala caracteristică a metodei zonei - dintr-o problemă geometrică „face” una algebrică, reducând totul la rezolvarea unei ecuații (și uneori a unui sistem de ecuații).

1) Metoda comparației: asociată cu un număr mare de formule S ale acelorași cifre

2) Metoda raportului S: pe baza următoarelor sarcini de referință:

teorema lui Ceva

Punctele A",B",C" se află pe liniile BC,CA,AB ale triunghiului. Dreptele AA",BB",CC" se intersectează într-un punct dacă și numai dacă

Dovada.

Se notează prin punctul de intersecție al segmentelor și . Să aruncăm perpendicularele de la punctele C și A la dreapta BB 1 până când se intersectează cu ea în punctele K și, respectiv, L (vezi figura).

Deoarece triunghiurile și au o latură comună, ariile lor sunt legate ca înălțimi trasate de această latură, adică AL și CK:

Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiurile dreptunghiulare și sunt similare în unghi ascuțit.

În mod similar, obținem și

Să înmulțim aceste trei egalități:

Q.E.D.

Cometariu. Segmentul (sau continuarea segmentului) care leagă vârful triunghiului cu un punct situat pe partea opusă sau continuarea acestuia se numește ceviana.

Teorema (teorema inversă Ceva). Fie că punctele A", B", C" se află pe laturile BC, CA și respectiv AB ale triunghiului ABC. Fie că relația este valabilă

Apoi segmentele AA", BB", CC" și se intersectează într-un punct.

Teorema lui Menelaus

Teorema lui Menelaus. Fie că o dreaptă intersectează triunghiul ABC, unde C 1 este punctul său de intersecție cu latura AB, A 1 este punctul său de intersecție cu latura BC și B 1 este punctul său de intersecție cu prelungirea laturii AC. Apoi

Dovada . Desenați o dreaptă prin punctul C paralel cu AB. Notăm cu K punctul său de intersecție cu dreapta B 1 C 1 .

Triunghiurile AC 1 B 1 și CKB 1 sunt similare (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Prin urmare,

Triunghiurile BC 1 A 1 și CKA 1 sunt de asemenea similare (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Mijloace,

Din fiecare egalitate exprimăm CK:

Unde Q.E.D.

Teorema (teorema inversă a lui Menelaus). Fie dat triunghiul ABC. Fie punctul C 1 să se afle pe latura AB, punctul A 1 pe latura BC și punctul B 1 pe prelungirea laturii AC și relația

Atunci punctele A 1 ,B 1 și C 1 se află pe aceeași dreaptă.

Mediana este segmentul tras de la vârful triunghiului până la mijlocul laturii opuse, adică îl împarte în jumătate prin punctul de intersecție. Punctul în care mediana intersectează latura opusă din care iese se numește bază. Printr-un punct, numit punct de intersecție, trece fiecare mediană a triunghiului. Formula lungimii sale poate fi exprimată în mai multe moduri.

Formule pentru exprimarea lungimii medianei

• Adesea, în problemele de geometrie, elevii trebuie să se ocupe de un astfel de segment precum mediana unui triunghi. Formula pentru lungimea sa este exprimată în termeni de laturi:

unde a, b și c sunt laturi. Mai mult, c este partea pe care cade mediana. Așa arată cea mai simplă formulă. Medianele triunghiulare sunt uneori necesare pentru calculele auxiliare. Există și alte formule.

• Dacă în timpul calculului se cunosc două laturi ale triunghiului și un anumit unghi α situat între ele, atunci lungimea medianei triunghiului, coborâtă la a treia latură, se va exprima astfel.

Proprietăți de bază

• Toate medianele au un punct comun de intersecție O și sunt, de asemenea, împărțite cu acesta într-un raport de doi la unu, dacă numărăm de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.
• Mediana împarte triunghiul în alte două, ale căror zone sunt egale. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri egale.
• Dacă desenați toate medianele, atunci triunghiul va fi împărțit în 6 cifre egale, care vor fi și triunghiuri.
• Dacă într-un triunghi toate cele trei laturi sunt egale, atunci în el fiecare dintre mediane va fi, de asemenea, o înălțime și o bisectoare, adică perpendiculară pe latura de care este desenată și bisectează unghiul din care iese.
• Într-un triunghi isoscel, mediana căzută dintr-un vârf care este opus unei laturi care nu este egală cu nicio alta va fi, de asemenea, înălțimea și bisectoarea. Medianele scăzute de la alte vârfuri sunt egale. Aceasta este, de asemenea, o condiție necesară și suficientă pentru isoscel.
• Dacă triunghiul este baza unei piramide regulate, atunci înălțimea coborâtă pe această bază este proiectată la punctul de intersecție al tuturor medianelor.

• Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată pe cea mai lungă latură are jumătate din lungime.
• Fie O punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Formula de mai jos va fi adevărată pentru orice punct M.

• O altă proprietate este mediana unui triunghi. Formula pentru pătratul lungimii sale în ceea ce privește pătratele laturilor este prezentată mai jos.

Proprietățile laturilor pe care este trasată mediana

• Dacă conectați oricare două puncte de intersecție ale medianelor cu laturile pe care sunt coborâte, atunci segmentul rezultat va fi linia mediană a triunghiului și va fi la o jumătate de latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
• Bazele înălțimilor și medianelor din triunghi, precum și punctele mijlocii ale segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctul de intersecție al înălțimilor, se află pe același cerc.

În concluzie, este logic să spunem că unul dintre cele mai importante segmente este tocmai mediana triunghiului. Formula sa poate fi folosită pentru a găsi lungimile celorlalte laturi ale sale.

Instruire

A retrage formulă pentru medianeîntr-un mod arbitrar, este necesar să ne întoarcem la corolarul teoremei cosinus pentru un paralelogram obţinut prin completarea triunghi. Formula poate fi dovedită pe aceasta, este foarte convenabil la rezolvarea dacă toate lungimile laturilor sunt cunoscute sau pot fi găsite cu ușurință din alte date inițiale ale problemei.

De fapt, teorema cosinusului este o generalizare a teoremei lui Pitagora. Sună așa: pentru un bidimensional triunghi cu lungimile laturilor a, b și c și unghiul α opus lui a, este valabilă următoarea egalitate: a² = b² + c² - 2 b c cos α.

Corolarul generalizator al teoremei cosinusului definește una dintre cele mai importante proprietăți ale unui patrulater: suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor sale: d1² + d2² = a² + b² + c² + d² .

Completați triunghiul la paralelogramul ABCD adăugând drepte paralele cu a și c. astfel cu laturile a și c și diagonala b. Cel mai convenabil mod de a construi este următorul: pe linia dreaptă căreia îi aparține mediana, un segment MD de aceeași lungime, conectați vârful său la vârfurile A și C rămase.

Conform proprietății paralelogramului, diagonalele sunt împărțite la punctul de intersecție în părți egale. Aplicați corolarul teoremei cosinusului, conform căruia suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma dublului pătratelor laturilor sale: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Deoarece BK = 2 BM și BM este mediana lui m, atunci: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², deci: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

ai scos afară formulă unul dintre triunghi pentru latura b: mb = m. În mod similar, există mediane celelalte două laturi ale sale: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Surse:

• formula mediană
• Formule pentru mediana unui triunghi [video]

Median triunghi se numește segment care leagă orice vârf triunghi cu mijlocul laturii opuse. Trei mediane se intersectează într-un punct întotdeauna în interior triunghi. Acest punct împarte fiecare medianîntr-un raport de 2:1.

Instruire

Problema găsirii medianei poate fi rezolvată prin construcții suplimentare triunghi la un paralelogram si prin teorema pe diagonalele unui paralelogram.Sa extindem laturile triunghiși median, construindu-le până la un paralelogram. Deci mediana triunghi va fi jumătate din diagonala paralelogramului rezultat, două laturi triunghi- latura sa (a, b) și a treia latură triunghi, la care s-a trasat mediana, este a doua diagonală a paralelogramului rezultat. Conform teoremei, suma pătratelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor laturilor sale.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
Unde
d1, d2 - diagonalele paralelogramului rezultat;
de aici:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Mediana este segmentul de dreaptă care leagă vârful triunghi iar mijlocul laturii opuse. Cunoscând lungimile tuturor celor trei laturi triunghi, puteți găsi medianele sale. În cazuri particulare de isoscel și echilateral triunghi, evident, este suficient sa stii, respectiv, doua (nu egale intre ele) si o latura triunghi.

Vei avea nevoie

• Rigla

Instruire

Considera caz general triunghi ABC cu un prieten inegal petreceri. Lungimea AE mediană a acesteia triunghi poate fi calculat folosind formula: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Restul medianelor sunt exact aceleași. Aceasta este derivată prin teorema Stewart sau prin completare triunghi la un paralelogram.

Dacă ABC este isoscel și AB = AC, atunci mediana AE va fi ambele acestea triunghi. Prin urmare, triunghiul BEA va fi un triunghi dreptunghic. După teorema lui Pitagora, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Din lungimea totală a medianei triunghi, pentru medianele BO și СP este adevărat: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Surse:

• Medianele și nesectoarele unui triunghi

Mediana este segmentul de dreaptă care leagă vârful unui triunghi și punctul de mijloc al laturii opuse. Cunoscând lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi, îl puteți găsi mediane. În cazurile particulare ale unui triunghi isoscel și echilateral, este evident suficient să cunoaștem, respectiv, două (nu egale între ele) și o latură a triunghiului. Mediana poate fi găsită și din alte date.

Vei avea nevoie

• Lungimile laturilor triunghiului, unghiurile dintre laturile triunghiului

Instruire

Luați în considerare cazul cel mai general al unui triunghi ABC cu trei laturi inegale. Lungime mediane AE al acestui triunghi poate fi calculat folosind formula: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Odihnă mediane sunt exact la fel. Aceasta este derivată prin teorema lui Stewart sau prin completarea unui triunghi la un paralelogram.

Dacă ABC este isoscel și AB = AC, atunci AE va fi în același timp acest triunghi. Prin urmare, triunghiul BEA va fi un triunghi dreptunghic. După teorema lui Pitagora, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Din lungimea totală mediane triunghi, pentru BO și CP este adevărat: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Mediana unui triunghi poate fi găsită și din alte date. De exemplu, dacă sunt date lungimile a două laturi, se trasează o mediană pentru una dintre ele, de exemplu, lungimile laturilor AB și BC, precum și unghiul x dintre ele. Apoi lungimea mediane poate fi găsită prin teorema cosinusului: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Surse:

• Medianele și bisectoarele unui triunghi
• cum se află lungimea medianei