Lucrare practică „Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare de ordinul trei prin metoda Cramer. Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare V.S.

Secțiunea 3.3 a arătat limitările semnalelor de urmărire cu frecvență diferită cu un sistem de ordinul doi. Să luăm acum în considerare posibilitatea de a atenua unele dintre aceste restricții prin introducerea unui al doilea integrator în sistem. Se pare că procesul de captare pentru sistem ordinul al treilea mai puțin stabil decât pentru un sistem de ordinul doi, dar cu ajutorul unui al doilea integrator, este posibilă extinderea domeniului de urmărire pentru un sistem care a fost deja capturat la momentul inițial. Funcția de transmisie filtrul arată acum ca

iar din (3.1) rezultă:

După substituție, această expresie se reduce la forma

Normalizând și introducând notația, obținem

Metoda obișnuită a planului de fază nu este aplicabilă ecuatii diferentiale ordinul al treilea datorita faptului ca in acest caz exista trei conditii initiale corespunzatoare a trei variabile: faza, frecventa si rata de modificare a frecventei (in sistemele mecanice - deplasarea, viteza si acceleratia). În principiu, traiectoriile definite de o ecuație de ordinul trei ar putea fi reprezentate în spațiu tridimensional. Orice încercare de a proiecta aceste traiectorii pentru J setul de condiții inițiale pe plan ar duce la o diagramă atât de complicată încât ar fi imposibil să tragem concluzii generale din aceasta.

Pe de altă parte, dacă ne limităm la un set de condiții inițiale, atunci putem obține proiecția traiectoriei pe plan. De o importanță deosebită este următorul set de condiții inițiale: Cu alte cuvinte, sistemul este inițial blocat, astfel încât erorile de frecvență și fază să fie zero atunci când referința de frecvență începe să crească.

Este ușor să schimbați structura dispozitivului de calcul analogic pentru a permite introducerea unui al doilea integrator.

Orez. 3.19. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Pe fig. 3.19 prezintă o serie de traiectorii proiectate pe un plan. În toate cazurile luate în considerare, deci . Într-un „spațiu de fază” tridimensional ipotetic, traiectorii încep într-un punct și se termină la o axă

Pe fig. 3.19, a arată comportamentul sistemului de ordinul doi în aceleași condiții inițiale. Valoarea finală, sau starea de echilibru, a fazei este aceeași ca cea prezentată în § 3.3. Introducerea celui de-al doilea integrator duce la o scădere a erorii de fază în starea staționară la zero, cu atât mai rapid, cu atât mai mult. la o creștere a erorii de fază pătrată medie (vezi Fig. 3.19, b - 3.19, g). În cele din urmă, la , sistemul devine instabil.

Îmbunătățirea obținută prin creșterea ordinii sistemului este ilustrată în Fig. 3.20. Aici, ca înainte, dar . În § 3.3, s-a arătat că la această rată sau mai mare de creștere a frecvenței, sistemul nu a putut urmări. Orez. 3.20, dar confirmă această împrejurare. Pe de altă parte, chiar și cu cel mai mic grad de influență al celui de-al doilea integrator, se obține o eroare de fază în stare constantă zero. Cea mai mare valoare instantanee a nepotrivirii de fază scade odată cu creșterea coeficientului, dar la , sistemul devine din nou instabil.

Caracteristici similare sunt văzute în Fig. 3.21-3.23, cu excepția faptului că, pe măsură ce raportul crește, sunt necesare valori din ce în ce mai mari ale coeficientului pentru a menține sistemul în stare de captare.În final, când raportul se apropie de 2 sau când, este necesar ca este cam 1/2. Dar din fig. 3,19, g - 3,23, h este clar că la această valoare sistemul este instabil. Gama de valori ale coeficientului la care sistemul rămâne în starea de captare, în funcție de raport, este prezentată în Fig. 3.24-3.26 la valori, respectiv. Zona valorilor permise ale coeficientului este umbrită.Se poate observa că, cu o schimbare liniară a frecvenței, introducerea unui sistem de ordinul trei a făcut posibilă extinderea intervalului la care se obține urmărirea, aproximativ

Orez. 3.20. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.21. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.22. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.23. Proiecții ale traiectoriilor în spațiul fazelor pentru o buclă de ordinul trei

(vezi scanare)

Orez. 3.24. Regiunea de stare de captare a unui sistem de ordinul trei

Orez. 3.25. Regiunea de stare de captare a unui sistem de ordinul trei

Orez. 3.26. Regiunea de stare de captare a unui sistem de ordinul trei

de două ori mai mult față de sistemul de ordinul doi la și chiar mai mult la valori mai mici

Este posibil să se explice teoretic natura oscilativă a modificării coeficientului b la valorile sale de aproximativ sau mai mult de 1/2. Diferențiând ecuația (3.41), obținem

Gabriel Cramer - matematician, creatorul metodei cu același nume de rezolvare a sistemelor ecuatii lineare

Gabriel Cramer este un matematician celebru care s-a născut la 31 iulie 1704. Chiar și în copilărie, Gabriel a impresionat prin abilitățile sale intelectuale, mai ales în domeniul matematicii. Când Kramer avea 20 de ani, s-a angajat la Universitatea din Geneva ca lector cu normă întreagă.

În timpul călătoriei în Europa, Gabriel l-a cunoscut pe matematicianul Johann Bernoulli, care i-a devenit mentor. Numai datorită lui Johann, Kramer a scris multe articole despre geometrie, istoria matematicii și filosofie. Și în timpul liber, a studiat din ce în ce mai mult matematica.

În cele din urmă, a venit ziua în care Cramer a găsit o modalitate de a rezolva cu ușurință nu numai sisteme de ecuații liniare simple, ci și complexe.

În 1740, Cramer a publicat mai multe lucrări în care soluția matricelor pătrate a fost prezentată într-un mod accesibil și a fost descris un algoritm pentru găsirea matricei inverse. Mai mult, matematicianul a descris găsirea de ecuații liniare de complexitate variabilă, unde formulele sale pot fi aplicate. Prin urmare, tema a fost numită: „Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Cramer”.

Omul de știință a murit la vârsta de 48 de ani (în 1752). Mai avea multe planuri, dar, din păcate, nu a avut timp să le pună în aplicare.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare de această formă:

unde , , sunt variabile necunoscute, sunt coeficienți numerici, c sunt termeni liberi.

Soluția SLAE (sisteme de ecuații algebrice liniare) sunt astfel de valori necunoscute pentru care toate ecuațiile unui sistem dat sunt transformate în identități.

Dacă scriem sistemul sub formă de matrice, atunci obținem , unde

In acest matricea principală sunt găsite elemente ai căror coeficienți pentru variabile necunoscute,

Aceasta este o matrice coloană de membri liberi, dar există și o matrice coloană de variabile necunoscute:

După ce se găsesc variabilele necunoscute, matricea va fi soluția sistemului de ecuații, iar egalitatea noastră se transformă într-o identitate. . Dacă înmulțiți, atunci. Rezultă: .

Dacă matricea este nesingulară, adică determinantul său nu este egal cu zero, atunci SLAE are o singură soluție, care se găsește folosind metoda Cramer.

De regulă, pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare prin metoda Cramer, trebuie să acordați atenție două proprietăți pe care se bazează această metodă:

1. Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricăruia dintre rândurile (coloanele) și complementele lor algebrice:

Aici – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n.

2. Suma produselor elementelor unei matrice date ale oricărui rând sau al oricărei coloane și a complementelor algebrice ale anumitor elemente din al doilea rând (coloană) este egală cu zero:

unde – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n. .

Deci acum putem găsi prima necunoscută. Pentru a face acest lucru, este necesar să înmulțiți ambele părți ale primei ecuații a sistemului cu , părțile din a doua ecuație cu , ambele părți ale celei de-a treia ecuații cu , etc. Adică, fiecare ecuație a unui sistem trebuie înmulțită cu anumite complemente algebrice ale primei coloane a matricei:

Acum să adăugăm toate părțile din stânga ale ecuației, să grupăm termenii, ținând cont de variabilele necunoscute și să echivalăm aceeași sumă cu suma părților din dreapta ale sistemului de ecuații:

Ne putem referi la proprietățile de mai sus ale determinanților și apoi obținem:

Și egalitatea anterioară arată deja așa:

De unde vine.

Găsim la fel. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți ambele părți ale ecuațiilor prin adunări algebrice, care se află în a doua coloană a matricei.

Acum trebuie să adăugați toate ecuațiile sistemului și să grupați termenii cu variabile necunoscute. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă proprietățile determinantului:

De unde vine.

Toate celelalte variabile necunoscute se găsesc în mod similar.

Dacă desemnăm:

apoi se obțin formule, datorită cărora variabilele necunoscute sunt găsite prin metoda Cramer:

Cometariu.

O soluție banală pentru poate exista doar dacă sistemul de ecuații este omogen. Într-adevăr, dacă toți membrii liberi sunt zero, atunci și determinanții sunt zero, deoarece conțin o coloană cu zero elemente. Desigur, atunci formulele , , vor da

Metoda lui Cramer - teoreme

Înainte de a rezolva ecuația, trebuie să știți:

1. teorema de anulare;
2. teorema substituției.

Teorema substituției

Teorema

Suma produselor adunărilor algebrice ale oricărei coloane (rânduri) prin numere arbitrare este egală cu un nou determinant în care elementele corespunzătoare ale determinantului inițial sunt înlocuite cu aceste numere, care corespund acestor adunări algebrice.

De exemplu,

unde sunt complementele algebrice ale elementelor primei coloane a determinantului inițial:

Teorema anulării

Teorema

Suma produselor elementelor unui rând (coloană) și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) este egală cu zero.

De exemplu:

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor prin metoda lui Cramer

Metoda lui Cramer este o modalitate simplă de a rezolva sisteme liniare ecuații algebrice. Această opțiune se aplică numai SLAE, care au același număr de ecuații cu numărul de necunoscute, iar determinantul este diferit de zero.

Deci, când ați învățat toți pașii, puteți trece la chiar algoritmul de rezolvare a ecuațiilor prin metoda Cramer. Să o scriem secvențial:

Pasul 1. Calculați determinantul principal al matricei

și trebuie să vă asigurați că determinantul este diferit de zero (nu este egal cu zero).

Pasul 2. Găsiți determinanții

Aceștia sunt determinanții matricilor, care au fost obținuți din matrice atunci când coloanele au fost înlocuite cu membri liberi.

Pasul 3. Calculați variabile necunoscute

Acum ne amintim formulele lui Cramer, prin care calculăm rădăcinile (variabile necunoscute):

Pasul 4. Verificare

Verificăm soluția prin înlocuirea în SLAE original. Absolut toate ecuațiile din sistem trebuie transformate în identități. De asemenea, puteți calcula produsul matricelor. Dacă rezultatul este o matrice egală cu , atunci sistemul este rezolvat corect. Dacă nu este egal cu , cel mai probabil există o eroare în una dintre ecuații.

Să luăm mai întâi în considerare un sistem de două ecuații liniare, deoarece este mai simplu și vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați corect regula lui Cramer. Dacă înțelegeți ecuații simple și scurte, atunci puteți rezolva sisteme mai complexe de trei ecuații cu trei necunoscute.

Printre altele, există sisteme de ecuații cu două variabile, care sunt rezolvate numai datorită regulii lui Cramer.

Deci, dat un sistem de două ecuații liniare:

Mai întâi, calculăm determinantul principal (determinant de sistem):

Prin urmare, dacă , atunci sistemul fie are multe soluții, fie sistemul nu are soluții. În acest caz, nu are sens să folosiți regula lui Cramer, deoarece soluția nu va funcționa și trebuie să vă amintiți metoda Gauss, cu care acest exemplu este rezolvat rapid și ușor.

Dacă , atunci sistemul are o singură soluție, dar pentru aceasta este necesar să se calculeze încă doi determinanți și să se găsească rădăcinile sistemului.

Adesea, în practică, determinanții pot fi notați nu numai cu , ci și Literă latină ceea ce ar fi si corect.

Este ușor să găsiți rădăcinile ecuației, deoarece principalul lucru este să cunoașteți formulele:

Deoarece am putut să rezolvăm un sistem de două ecuații liniare, acum putem rezolva fără probleme și Trei ecuații liniare și pentru aceasta luăm în considerare sistemul:

Aici, complementele algebrice ale elementelor sunt prima coloană. Când rezolvați, nu uitați de elementele suplimentare. Deci, într-un sistem de ecuații liniare, trebuie să găsiți trei necunoscute - cu alte elemente cunoscute.

Să creăm determinantul sistemului din coeficienții necunoscutelor:

Să înmulțim fiecare termen de ecuație cu termen, respectiv, cu , , – complemente algebrice ale elementelor primei coloane (coeficienți la ) și să adunăm toate cele trei ecuații. Primim:

Conform teoremei de descompunere, coeficientul de egal . Coeficienții pentru și vor fi egali cu zero prin teorema anihilării. Partea dreaptă egalitatea prin teorema substituției dă un nou determinant, care se numește auxiliar și se notează

După aceea, putem scrie ecuația:

Pentru a găsi și înmulți fiecare dintre ecuațiile sistemului original în primul caz, respectiv, cu , în al doilea - cu și adăugați. După transformări obținem:

Dacă , atunci ca rezultat obținem formulele lui Cramer:

Procedura de rezolvare a unui sistem omogen de ecuații

Un caz separat sunt sistemele omogene:

Printre soluțiile unui sistem omogen pot fi atât soluții zero, cât și soluții nenule.

Teorema

Dacă determinantul unui sistem omogen (3) este diferit de zero, atunci un astfel de sistem poate avea o singură soluție.

Într-adevăr, determinanți auxiliari, cum ar fi cei care au o coloană zero și, prin urmare, pentru formulele lui Cramer

Teorema

Dacă un sistem omogen are o soluție diferită de zero, atunci determinantul său este zero

Într-adevăr, una dintre necunoscute, de exemplu, să fie diferită de zero. După omogenitate Egalitatea (2) se va scrie: . De unde vine

Exemple de soluții Cramer

Luați în considerare exemplul soluției prin metoda lui Cramer și veți vedea că nu este nimic complicat, dar fiți extrem de atenți, deoarece erorile frecvente în semne duc la un răspuns incorect.

Exemplul 1

Sarcină

Soluţie

Primul lucru de făcut este să calculați determinantul matricei:

După cum puteți vedea, prin teorema lui Cramer, sistemul are o soluție unică (sistemul este consistent). În continuare, trebuie să calculați determinanții auxiliari. Pentru a face acest lucru, înlocuim prima coloană din determinant cu o coloană de coeficienți liberi. Se dovedește:

În mod similar, găsim determinanții rămași:

Și verificăm:

Răspuns

Exemplul 2

Sarcină

Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda lui Cramer:

Soluţie

Găsirea determinanților:

Răspuns

= = = = = =

Examinare

Ecuația are o soluție unică.

Răspuns

Exemplul 3

Sarcină

Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer

Soluţie

După cum înțelegeți, mai întâi găsim determinantul principal:

După cum putem vedea, determinantul principal nu este egal cu zero și, prin urmare, sistemul are o soluție unică. Acum putem calcula restul determinanților:

Folosind formulele lui Cramer, găsim rădăcinile ecuației:

Pentru a vă asigura că soluția este corectă, trebuie să verificați:

După cum puteți vedea, înlocuind rădăcinile rezolvate în ecuație, am primit același răspuns ca la începutul problemei, care indică soluția corectă a ecuațiilor.

Răspuns

Sistemul de ecuații are o soluție unică: , , .

Există exemple când ecuația nu are soluții. Acesta poate fi cazul când determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero. În acest caz, se spune că sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ne uităm la următorul exemplu pentru a vedea cum poate fi acest lucru.

Exemplul 4

Sarcină

Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie

Ca și în exemplele anterioare, găsim principalul determinant al sistemului:

În acest sistem, determinantul este egal cu zero, respectiv, sistemul este inconsecvent și definit sau inconsecvent și nu are soluții. Pentru a clarifica, trebuie să găsim determinanții pentru necunoscute așa cum am făcut mai devreme:

Am găsit determinanții pentru necunoscute și am văzut că nu sunt toți egali cu zero. Prin urmare, sistemul este inconsecvent și nu are soluții.

Răspuns

Sistemul nu are soluții.

Adesea, în problemele pe sisteme de ecuații liniare există astfel de ecuații în care nu există aceleași litere, adică pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere și ele denotă un număr real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații duc la probleme pentru a găsi proprietățile generale ale oricăror fenomene și obiecte. Adică ai inventat vreunul material nou sau un dispozitiv, iar pentru a descrie proprietățile acestuia, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul de copii, este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, unde în locul unor coeficienți pentru variabile există litere. Să aruncăm o privire la un astfel de exemplu.

Folosind formulele lui Cramer, găsim:

Răspuns

Și, în final, am trecut la cel mai complex sistem de ecuații cu patru necunoscute. Principiul soluției este același ca în exemplele anterioare, dar din cauza unui sistem mare, se poate deruta. Deci, să ne uităm la un exemplu al acestei ecuații.

În determinantul inițial, din elementele din al doilea rând, am scăzut elementele celui de-al patrulea rând, iar din elementele celui de-al treilea rând s-au scăzut elementele celui de-al patrulea rând, care au fost înmulțite cu 2. De asemenea, am scăzut elementele primului rând, înmulțite cu două, din elementele celui de-al patrulea rând. Transformările determinanților inițiali cu primele trei necunoscute se fac după aceeași schemă. Acum putem găsi determinanți pentru necunoscute:

Pentru transformările determinantului cu a patra necunoscută, am scăzut elementele celui de-al patrulea rând din elementele primului rând.

Acum, folosind formulele lui Cramer, trebuie să găsiți:

Răspuns

Deci, am găsit rădăcinile sistemului de ecuații liniare:

Rezumând

Folosind metoda lui Cramer, este posibil să se rezolve sisteme de ecuații algebrice liniare în cazul în care determinantul nu este egal cu zero. Această metodă vă permite să găsiți determinanții matricilor de acest ordin, ca datorită formulelor lui Cramer, atunci când trebuie să găsiți variabile necunoscute. Dacă toți termenii liberi sunt zero, atunci determinanții lor sunt zero, deoarece conțin o coloană cu zero elemente. Și, desigur, dacă determinanții sunt egali cu zero, este mai bine să rezolvi sistemul folosind metoda Gauss Metoda lui Cramer în Excel din 2007 (XLSX)

Metoda lui Cramer - teoremă, exemple de soluții actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Matrici. Acțiuni asupra matricelor. Proprietăți ale operațiilor pe matrice. Tipuri de matrice.

Matrici (și în consecință secțiunea matematică - algebră matricială) sunt importante în matematica aplicată, deoarece ne permit să scriem într-o formă destul de simplă o parte semnificativă modele matematice obiecte și procese. Termenul „matrice” a apărut în 1850. Matricele au fost menționate pentru prima dată în China antică, mai târziu de către matematicienii arabi.

Matrice A=Amn se numește ordinea m*n tabel dreptunghiular de numere care conține m - rânduri și n - coloane.

Elemente de matrice aij, pentru care i=j se numesc diagonală și formă diagonala principală.

Pentru o matrice pătrată (m=n), diagonala principală este formată din elementele a 11 , a 22 ,..., a nn .

Egalitatea matricei.

A=B, dacă matricea comandă AȘi B sunt la fel și a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Acțiuni asupra matricelor.

1. Adunarea matricei - operație în funcție de elemente

Scăderea matricei - operație în funcție de elemente

3. Produsul unei matrice cu un număr este o operație element cu element

4. Înmulțirea A*B matrice conform regulii rând pe coloană(numărul de coloane ale matricei A trebuie să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei B)

A mk *B kn =C mnși fiecare element cu ij matrici Cmn este egală cu suma produselor elementelor rândului i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a matricei B.

Să arătăm operația de înmulțire a matricei folosind un exemplu:

6. Transpunerea unei matrice A. O matrice transpusă se notează A T sau A"

Rândurile și coloanele sunt schimbate

Exemplu

Proprietăți ale operațiilor pe matrice

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Tipuri de matrice

1. Dreptunghiular: mȘi n- numere întregi pozitive arbitrare

2. Pătrat: m=n

3. Rând matrice: m=1. De exemplu, (1 3 5 7) - în multe probleme practice o astfel de matrice se numește vector

4. Coloana Matrice: n=1. De exemplu

5. Matricea diagonală: m=nȘi a ij =0, Dacă i≠j. De exemplu

6. Matricea de identitate: m=nȘi

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice triunghiulară: toate elementele de sub diagonala principală sunt 0.

9. Matrice pătrată: m=nȘi aij=aji(adică există elemente egale pe locuri care sunt simetrice față de diagonala principală) și, prin urmare, A"=A

De exemplu,

Matrice inversă este o astfel de matrice A -1, atunci când este înmulțit cu care matricea originală A dă matricea identităţii E:

O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară, adică determinantul său nu este egal cu zero. Pentru matricele nepătrate și matricele degenerate nu există matrici inverse. Cu toate acestea, este posibil să se generalizeze acest concept și să se introducă matrici pseudoinverse care sunt similare cu inversele în multe proprietăți.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare metoda matricei.

Luați în considerare metoda matricei cu exemple. În unele exemple, nu vom descrie în detaliu procesul de calcul al determinanților matricei.

Exemplu.

Prin utilizarea matrice inversă găsiți soluția sistemului de ecuații liniare

.

Soluţie.

Sub formă de matrice, sistemul original poate fi scris ca, unde . Să calculăm determinantul matricei principale și să ne asigurăm că este diferit de zero. În caz contrar, nu vom putea rezolva sistemul prin metoda matricei. Avem , prin urmare, pentru matrice A se poate găsi matricea inversă. Astfel, dacă găsim matricea inversă, atunci soluția dorită a SLAE va fi definită ca . Deci, sarcina a fost redusă la construcția matricei inverse. Să o găsim.

Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

, unde este determinantul matricei A, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Coordonate polare. În sistemul de coordonate polare, poziția punctului M

M

COORDONATE DREPTUNGULARE ÎN SPAȚIU

DREPT

1. Ecuația generală a unei drepte. Orice ecuație de gradul întâi în raport cu x și y, adică o ecuație de forma:

(1) Ax+By+C=0 nav. comunități prin ecuația dreaptă (+ ≠0),A,B,C-COEFICIENȚI CONSTANTE.

CURBELE DE ORDINUL A DOILEA

1. Cercul. Un cerc este un set de puncte dintr-un plan, echidistant -

echidistant de un punct dat (centru). Dacă r este raza cercului, iar punctul C (a; b) este centrul acestuia, atunci ecuația cercului are forma:

Hiperbolă. O hiperbola este un set de puncte dintr-un plan, un absolut

valoarea diferenței dintre distanțe dintre care la două puncte date, numite fo-

Prin urmare, există o valoare constantă (se notează cu 2a), iar această constantă este mai mică decât distanța dintre focare. Dacă plasăm focarele hiperbolei în punctele F1 (c; 0) și F2 (- c; 0), atunci obținem ecuația canonică a hiperbolei

GEOMETRIA ANALITĂ ÎN SPAȚIU

AVION ȘI DREPT

plan, numit vector normal.

Suprafata de ordinul doi

Suprafata de ordinul doi este locul punctelor din spațiul tridimensional ale căror coordonate dreptunghiulare satisfac o ecuație de formă

în care cel puțin unul dintre coeficienți , , , , , este diferit de zero.

Tipuri de suprafețe de ordinul doi

Suprafețe cilindrice

Suprafața se numește suprafata cilindrica cu generatoare, dacă pentru orice punct al acestei suprafeţe linia care trece prin acest punct paralel cu generatricea aparţine în întregime suprafeţei .

Teoremă (pe ecuația unei suprafețe cilindrice).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața are ecuația, atunci este o suprafață cilindrică cu o generatrică paralelă cu axa.

Se numește curba dată de ecuație în plan ghid suprafata cilindrica.

Dacă ghidajul unei suprafețe cilindrice este dat de o curbă de ordinul doi, atunci o astfel de suprafață se numește suprafata cilindrica de ordinul doi .

Cilindru eliptic:	Cilindru parabolic:	Cilindru hiperbolic:
Pereche de linii potrivite:	Pereche de avioane potrivite:	O pereche de plane care se intersectează:

Suprafețe conice

suprafata conica.

Articolul principal:suprafata conica

Suprafața se numește suprafata conica cu varful intr-un punct, dacă pentru orice punct al acestei suprafețe linia care trece prin și aparține în întregime acestei suprafețe.

Funcția este numită ordine omogenă dacă următoarele sunt adevărate:

Teoremă (pe ecuația unei suprafețe conice).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața este dată de ecuație , unde este o funcție omogenă, atunci este o suprafață conică cu un vârf la origine.

Dacă suprafața este dată de o funcție care este un polinom algebric omogen de ordinul doi, atunci se numește suprafata conica de ordinul doi .

· Ecuația canonică conul de ordinul doi are forma:

Suprafețe de revoluție]

Suprafața se numește suprafata de revolutie in jurul unei axe, dacă pentru orice punct această suprafață este un cerc care trece prin acest punct într-un plan cu centru la și rază , aparține în întregime acestei suprafețe.

Teorema (cu privire la ecuația suprafeței de revoluție).
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene suprafața este dată de ecuație, atunci este suprafața de revoluție în jurul axei.

Elipsoid:	Hiperboloid cu o singură foaie:	Hiperboloid cu două foi:	Paraboloid eliptic:

Dacă , suprafețele enumerate mai sus sunt suprafețe de revoluție.

Paraboloid eliptic

Ecuația unui paraboloid eliptic are forma

Dacă , atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația unei parabole al cărei parametru este , în jurul unei axe verticale care trece prin vârful și focarul parabolei date.

Intersecția unui paraboloid eliptic cu un plan este o elipsă.

Intersecția unui paraboloid eliptic cu un plan sau este o parabolă.

Paraboloid hiperbolic]

Paraboloid hiperbolic.

Ecuația unui paraboloid hiperbolic are forma

Intersecția unui paraboloid hiperbolic cu un plan este o hiperbolă.

Intersecția unui paraboloid hiperbolic cu un plan sau este o parabolă.

Datorită asemănării lor geometrice, un paraboloid hiperbolic este adesea denumit „șa”.

Suprafețe centrale

Dacă centrul suprafeței de ordinul doi există și este unic, atunci coordonatele sale pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Astfel, semnul, care în acest caz este atribuit minorului elementului corespunzător al determinantului, este determinat de următorul tabel:

În ecuația de mai sus care exprimă determinantul de ordinul trei,

în partea dreaptă se află suma produselor elementelor din primul rând al determinantului și a complementelor algebrice ale acestora.

Teorema 1. Determinantul de ordinul trei este egal cu suma produselor

elemente ale oricăruia dintre rândurile sau coloanele sale la complementele lor algebrice.

Această teoremă vă permite să calculați valoarea determinantului, extinzându-l în funcție de

elemente ale oricăruia dintre rândurile sau coloanele sale.

Teorema 2. Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană)

determinant pentru complementele algebrice ale elementelor unui alt rând (coloană) este egal cu zero.

Proprietățile determinanților.

1°. Determinantul nu se modifică dacă rândurile determinantului sunt înlocuite cu coloane

tsami și coloane - rândurile corespunzătoare.

2°. Factorul comun al elementelor oricărui rând (sau coloană) poate

fi scos din semnul determinantului.

3°. Dacă elementele unui rând (coloană) a determinantului, respectiv

sunt egale cu elementele altui rând (coloană), atunci determinantul este egal cu zero.

4°. Când două rânduri (coloane) sunt schimbate, determinantul schimbă semnul în

opus.

5°. Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană)

se adună elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) înmulțite cu același număr (teoremă pe o combinație liniară de rânduri paralele ale determinantului).

Rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

se găseşte prin formulele lui Cramer

Se presupune că D ≠ 0 (dacă D = 0, atunci sistemul original este fie nedeterminat, fie inconsecvent).

Dacă, sistemul este omogen, adică are forma

iar determinantul său este diferit de zero, atunci are o soluție unică x=0,

Dacă determinantul unui sistem omogen este egal cu zero, atunci sistemul se reduce

fie la două ecuații independente (a treia este consecința lor), fie la

o ecuație (celelalte două sunt consecințele ei). Primul caz

are loc atunci când printre minorii determinantului sistemului omogen există

cel puțin unul este diferit de zero, al doilea este atunci când toți minorii acestui determinant sunt egali cu zero. În ambele cazuri sistem omogen are un număr infinit de soluții.

Calculați determinantul de ordinul trei

FILIALA KOSTROMA A UNIVERSITĂȚII MILITARE DE PROTECȚIE RCHB

Departamentul „Automatizarea comenzii și controlului”

Doar pentru profesori

"Sunt de acord"

Șef Departament Nr.9

Colonelul YAKOVLEV A.B.

„____” ______________ 2004

Conf. univ. A.I. Smirnova

„DETERMINATORI.

SOLUȚIONAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE”

PRELARE № 2 / 1

Discutate în ședința departamentului nr.9

„____” ___________ 2004

Protocol nr. ___________

Kostroma, 2004.

Introducere

1. Determinanți de ordinul doi și al treilea.

2. Proprietăţi ale determinanţilor. Teorema de descompunere.

3. Teorema lui Cramer.

Concluzie

Literatură

1. V.E. Schneider și alții Curs scurt matematică superioară, volumul I, cap. 2, punctul 1.

2. V.S. Şchipaciov, Matematică superioară, cap.10, p.2.

INTRODUCERE

Prelegerea tratează determinanții de ordinul doi și trei, proprietățile acestora. La fel și teorema lui Cramer, care permite rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind determinanți. Determinanții sunt utilizați și mai târziu în subiectul „Algebră vectorială” atunci când se calculează produs vectorial vectori.

Prima întrebare de studiu CALIFICAREA CELUI AL DOILEA ȘI AL TREILEA

ORDIN

Luați în considerare un tabel cu patru numere de formă

Numerele din tabel sunt notate printr-o literă cu doi indici. Primul index indică numărul rândului, al doilea index indică numărul coloanei.

DEFINIȚIA 1.Determinant de ordinul doi numitexpresiedrăguț:

(1)

Numerele A 11, …, A 22 se numesc elemente ale determinantului.

Diagonală formată din elemente A 11 ; A 22 se numește principală, iar diagonala formată din elemente A 12 ; A 21 - pe lateral.

Astfel, determinantul de ordinul doi este egal cu diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Rețineți că răspunsul este un număr.

EXEMPLE. Calculati:

Luați în considerare acum un tabel cu nouă numere scrise pe trei rânduri și trei coloane:

DEFINIȚIA 2. Determinant de ordinul trei se numește expresie a formei:

Elemente A 11; A 22 ; A 33 - formează diagonala principală.

Numerele A 13; A 22 ; A 31 - formați o diagonală laterală.

Să descriem, schematic, cum se formează termenii cu plus și minus:

" + " " – "

Plusul include: produsul elementelor de pe diagonala principală, ceilalți doi termeni sunt produsul elementelor situate la vârfurile triunghiurilor cu baze paralele cu diagonala principală.

Termenii cu minus sunt formați în același mod față de diagonala secundară.

Această regulă pentru calcularea determinantului de ordinul trei se numește

dreapta

EXEMPLE. Calculați după regula triunghiurilor:

COMETARIU. Determinanții se mai numesc și determinanți.

a 2-a întrebare de studiu PROPRIETĂȚILE DETERMINATORILOR.

TEOREMA DE EXPANSIUNE

Proprietatea 1. Valoarea determinantului nu se va schimba dacă rândurile sale sunt schimbate cu coloanele corespunzătoare.

.

Lărgând ambii determinanți, suntem convinși de validitatea egalității.

Proprietatea 1 stabilește egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Prin urmare, toate proprietățile suplimentare ale determinantului vor fi formulate atât pentru rânduri, cât și pentru coloane.

Proprietatea 2. Atunci când două rânduri (sau coloane) sunt schimbate, determinantul schimbă semnul opus, păstrând valoarea absolută..

.

Proprietatea 3. Multiplicator comun al elementelor de rând(sau coloană)poate fi scos din semnul determinantului.

.

Proprietatea 4. Dacă determinantul are două rânduri (sau coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Această proprietate poate fi dovedită prin verificare directă sau poate fi utilizată proprietatea 2.

Notați determinantul prin D. Când două rânduri identice primul și al doilea sunt interschimbate, acesta nu se va schimba, iar prin a doua proprietate trebuie să schimbe semnul, adică.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Proprietatea 5. Dacă toate elementele unui șir(sau coloană)sunt zero, atunci determinantul este zero.

Această proprietate poate fi considerată ca un caz special al proprietății 3 cu

Proprietatea 6. Dacă elementele a două rânduri(sau coloane)determinanții sunt proporționali, atunci determinantul este zero.

.

Se poate dovedi prin verificare directă sau prin utilizarea proprietăților 3 și 4.

Proprietatea 7. Valoarea determinantului nu se modifică dacă elementele oricărui rând (sau coloană) sunt adăugate elementelor corespunzătoare ale altui rând (sau coloane), înmulțite cu același număr.

.

Se dovedeste prin verificare directa.

Utilizarea acestor proprietăți poate facilita în unele cazuri procesul de calcul al determinanților, în special de ordinul trei.

Pentru ceea ce urmează, avem nevoie de conceptele de complement minor și algebric. Luați în considerare aceste concepte pentru a defini al treilea ordin.

DEFINIȚIA 3. Minor a unui element dat al unui determinant de ordinul trei se numește determinant de ordinul doi obținut de la unul dat prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul dat.

Element minor Aij notat Mij. Deci pentru element A 11 minor

Se obține prin ștergerea primului rând și a primei coloane din determinantul de ordinul trei.

DEFINIȚIA 4. Complement algebric al elementului determinant numiți-o minor înmulțit cu(-1)k, Undek- suma numerelor de rând și coloane la intersecția cărora se află elementul dat.

Adunarea elementelor algebrice Aij notat Aij.

Prin urmare, Aij =

.

Să scriem complementele algebrice pentru elemente A 11 și A 12.

. .

Este util să ne amintim regula: complementul algebric al unui element al unui determinant este egal cu minorul său cu semn la care se adauga, dacă suma numerelor rândurilor și coloanelor în care se află elementul, chiar, si cu semn minus dacă această sumă ciudat.

EXEMPLU. Găsiți minore și complemente algebrice pentru elementele din primul rând al determinantului:

Este clar că minorele și complementele algebrice pot diferi doar în semn.

Să considerăm fără dovezi o teoremă importantă - teorema expansiunii determinante.

TEOREMA DE EXPANSIUNE

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând sau coloană și a complementelor lor algebrice.

Folosind această teoremă, scriem expansiunea determinantului de ordinul trei în primul rând.

.

Extins:

.

Ultima formulă poate fi utilizată ca principală la calcularea determinantului de ordinul trei.

Teorema de descompunere ne permite să reducem calculul determinantului de ordinul trei la calculul a trei determinanți de ordinul doi.

Teorema de descompunere oferă o a doua modalitate de a calcula determinanții de ordinul trei.

EXEMPLE. Calculați determinantul folosind teorema de descompunere.