Rezolvarea sistemelor de ecuații de ordinul trei, regula lui Cramer. Ecuatii lineare

Fie că sistemul de ecuații liniare conține tot atâtea ecuații cât numărul de variabile independente, adică. are forma

Astfel de sisteme ecuatii lineare sunt numite pătrate. Determinantul compus din coeficienții variabilelor independente ale sistemului (1.5) se numește determinant principal al sistemului. Îl vom eticheta Literă greacă D. Deci

. (1.6)

Dacă în determinantul principal un arbitrar ( j a), înlocuiți-o cu coloana de membri liberi ai sistemului (1.5), apoi putem obține mai multe n determinanti auxiliari:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

regula lui Cramer rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații liniare este după cum urmează. Dacă determinantul principal D al sistemului (1.5) este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită prin formulele:

(1.8)

Exemplul 1.5. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer

.

Să calculăm principalul determinant al sistemului:

De la D¹0, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită folosind formulele (1.8):

În acest fel,

Acțiuni Matrice

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este definită după cum urmează.

2. Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulți toate elementele acesteia cu acest număr. Acesta este

. (1.9)

Exemplul 1.6. .

Adăugarea matricei.

Această operație este introdusă numai pentru matrice de același ordin.

Pentru a adăuga două matrice, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare ale celeilalte matrice la elementele unei matrice:

(1.10)
Operația de adunare a matricei are proprietățile asociativității și comutativității.

Exemplul 1.7. .

Înmulțirea matricei.

Dacă numărul coloanelor matricei ȘI se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei LA, atunci pentru astfel de matrici se introduce operația de înmulțire:

2

Astfel, la înmulțirea matricei ȘI dimensiuni m´ n la matrice LA dimensiuni n´ k obținem o matrice DIN dimensiuni m´ k. În acest caz, elementele matricei DIN se calculează după următoarele formule:

Problema 1.8. Găsiți, dacă este posibil, produsul matricelor ABși BA:

Decizie. 1) Pentru a găsi o muncă AB, aveți nevoie de rânduri matrice Aînmulțiți cu coloanele matricei B:

2) Opera de artă BA nu există, deoarece numărul de coloane ale matricei B nu se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei A.

Matrice inversă. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare într-un mod matricial

Matrice A- 1 se numește inversul unei matrice pătrate ȘI dacă egalitatea este valabilă:

unde prin eu denotă matricea de identitate de același ordin ca și matricea ȘI:

.

Pentru ca o matrice pătrată să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero. Matricea inversă se găsește prin formula:

, (1.13)

Unde A ij- adunări algebrice la elemente aij matrici ȘI(rețineți că adunările algebrice la rândurile matricei ȘI sunt dispuse în matrice inversă sub formă de coloane corespunzătoare).

Exemplul 1.9. Găsiți matricea inversă A- 1 la matrice

.

Găsim matricea inversă prin formula (1.13), care pentru cazul n= 3 arată astfel:

.

Să găsim det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Deoarece determinantul matricei originale este diferit de zero, atunci există matricea inversă.

1) Găsiți adunări algebrice A ij:

Pentru comoditatea găsirii matrice inversă, am plasat adunările algebrice la rândurile matricei originale în coloanele corespunzătoare.

Din adunările algebrice obținute, compunem o nouă matrice și o împărțim la determinantul det A. Astfel, vom obține matricea inversă:

Sistemele pătratice de ecuații liniare cu un determinant principal diferit de zero pot fi rezolvate folosind o matrice inversă. Pentru aceasta, sistemul (1.5) este scris sub formă de matrice:

Unde

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (1.14) din stânga cu A- 1, obținem soluția sistemului:

, Unde

Astfel, pentru a găsi o soluție sistem pătrat, trebuie să găsiți matricea inversă față de matricea principală a sistemului și să o înmulțiți în dreapta cu matricea coloanei de membri liberi.

Problema 1.10. Rezolvați un sistem de ecuații liniare

folosind o matrice inversă.

Decizie. Scriem sistemul sub formă de matrice: ,

Unde este matricea principală a sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de membri liberi. Deoarece principalul determinant al sistemului , apoi matricea principală a sistemului ȘI are o matrice inversă ȘI-1 . Pentru a găsi matricea inversă ȘI-1 , se calculează complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei ȘI:

Din numerele obţinute compunem o matrice (mai mult, adunări algebrice la rândurile matricei ȘI scrieți în coloanele corespunzătoare) și împărțiți-l la determinantul D. Astfel, am găsit matricea inversă:

Soluția sistemului se găsește prin formula (1.15):

În acest fel,

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin excepții obișnuite Jordan

Să fie dat un sistem arbitrar (nu neapărat pătrat) de ecuații liniare:

(1.16)

Este necesar să se găsească o soluție la sistem, de ex. un astfel de set de variabile care satisface toate egalitățile sistemului (1.16). LA caz general sistemul (1.16) poate avea nu numai o soluție, ci și un număr infinit de soluții. De asemenea, poate să nu aibă deloc soluții.

La rezolvarea unor astfel de probleme se folosește metoda eliminării necunoscutelor, binecunoscută din cursul școlar, care se mai numește și metoda eliminărilor obișnuite de Jordan. Esența acestei metode constă în faptul că într-una din ecuațiile sistemului (1.16) una dintre variabile este exprimată în termenii altor variabile. Apoi această variabilă este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. Rezultatul este un sistem care conține o ecuație și o variabilă mai puțin decât sistemul original. Se reține ecuația din care a fost exprimată variabila.

Acest proces se repetă până când rămâne o ultimă ecuație în sistem. În procesul de eliminare a necunoscutelor, unele ecuații se pot transforma în identități adevărate, de exemplu. Astfel de ecuații sunt excluse din sistem, deoarece sunt valabile pentru orice valoare a variabilelor și, prin urmare, nu afectează soluția sistemului. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, cel puțin o ecuație devine o egalitate care nu poate fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilelor (de exemplu, ), atunci concluzionăm că sistemul nu are nicio soluție.

Dacă în cursul rezolvării ecuațiilor inconsistente nu au apărut, atunci una dintre variabilele rămase din aceasta se găsește din ultima ecuație. Dacă în ultima ecuație rămâne o singură variabilă, atunci aceasta este exprimată ca număr. Dacă în ultima ecuație rămân alte variabile, atunci ele sunt considerate parametri, iar variabila exprimată prin intermediul acestora va fi o funcție a acestor parametri. Apoi se face așa-numita „mișcare inversă”. Variabila găsită este înlocuită în ultima ecuație memorată și este găsită a doua variabilă. Apoi cele două variabile găsite sunt substituite în penultima ecuație memorată și se găsește a treia variabilă și așa mai departe, până la prima ecuație memorată.

Ca rezultat, obținem soluția sistemului. Această soluție va fi singura dacă variabilele găsite sunt numere. Dacă prima variabilă găsită și apoi toate celelalte depind de parametri, atunci sistemul va avea un număr infinit de soluții (fiecărui set de parametri îi corespunde o nouă soluție). Formulele care permit găsirea unei soluții la sistem în funcție de un anumit set de parametri se numesc soluția generală a sistemului.

Exemplul 1.11.

X

După memorarea primei ecuaţii și aducând termeni similari în a doua și a treia ecuație, ajungem la sistemul:

Expres y din a doua ecuație și înlocuiți-o în prima ecuație:

Amintiți-vă de a doua ecuație, iar din prima găsim z:

Făcând mișcarea inversă, găsim succesiv yși z. Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi în ultima ecuație memorată, din care găsim y:

.

Apoi înlocuim și în prima ecuație memorată de unde găsim X:

Problema 1.12. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

. (1.17)

Decizie. Să exprimăm variabila din prima ecuație Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

.

Amintiți-vă de prima ecuație

În acest sistem, prima și a doua ecuație se contrazic reciproc. Într-adevăr, exprimând y , obținem că 14 = 17. Această egalitate nu este satisfăcută, pentru orice valoare a variabilelor X, y, și z. În consecință, sistemul (1.17) este inconsecvent, adică nu are solutie.

Cititorii sunt invitați să verifice în mod independent dacă determinantul principal al sistemului original (1.17) este egal cu zero.

Luați în considerare un sistem care diferă de sistemul (1.17) printr-un singur termen liber.

Problema 1.13. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscute:

. (1.18)

Decizie. Ca și mai înainte, exprimăm variabila din prima ecuație Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

.

Amintiți-vă de prima ecuație și prezentăm termeni similari în a doua și a treia ecuație. Ajungem la sistem:

exprimând y din prima ecuație și înlocuind-o în a doua ecuație , obținem identitatea 14 = 14, care nu afectează soluția sistemului și, prin urmare, poate fi exclusă din sistem.

În ultima egalitate memorată, variabila z va fi considerat ca un parametru. Noi credem . Apoi

Substitui yși zîn prima egalitate memorată și găsiți X:

.

Astfel, sistemul (1.18) are un set infinit de soluții, iar orice soluție poate fi găsită din formulele (1.19) prin alegerea unei valori arbitrare a parametrului t:

(1.19)
Astfel, soluțiile sistemului, de exemplu, sunt următoarele seturi de variabile (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formulele (1.19) exprimă soluția generală (orice) a sistemului (1.18). ).

În cazul în care sistemul original (1.16) are suficient un numar mare de ecuații și necunoscute, metoda specificată a eliminărilor iordaniene obișnuite pare greoaie. Cu toate acestea, nu este. Este suficient să derivăm un algoritm pentru recalcularea coeficienților sistemului la un pas în vedere generalași formalizează rezolvarea problemei sub forma unor tabele speciale Jordan.

Fie dat un sistem de forme liniare (ecuații):

, (1.20)
Unde xj- variabile independente (dorite), aij- coeficienți constanți
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Componentele corecte ale sistemului y eu (i = 1, 2,…, m) pot fi atât variabile (dependente) cât și constante. Este necesar să se găsească soluții la acest sistem prin eliminarea necunoscutelor.

Să luăm în considerare următoarea operațiune, denumită în continuare „un pas al excepțiilor obișnuite ale Iordaniei”. Dintr-un arbitrar ( r e) egalitate, exprimăm o variabilă arbitrară ( x s) și înlocuiți în toate celelalte egalități. Desigur, acest lucru este posibil doar dacă a rs¹ 0. Coeficient a rs se numește elementul de rezolvare (uneori de ghidare sau principal).

Vom obține următorul sistem:

. (1.21)

Din s egalitatea sistemului (1.21), vom găsi ulterior variabila x s(după ce se găsesc alte variabile). S A treia linie este memorată și ulterior exclusă din sistem. Sistemul rămas va conține o ecuație și o variabilă independentă mai puțin decât sistemul original.

Să calculăm coeficienții sistemului rezultat (1.21) în funcție de coeficienții sistemului original (1.20). Sa incepem cu r ecuația, care, după exprimarea variabilei x s prin restul variabilelor va arăta astfel:

Astfel, noii coeficienți r ecuația se calculează prin următoarele formule:

(1.23)
Să calculăm acum noii coeficienți b ij(i¹ r) ecuație arbitrară. Pentru a face acest lucru, înlocuim variabila exprimată în (1.22) x sîn i a-a ecuație a sistemului (1.20):

După ce aducem condiții similare, obținem:

(1.24)
Din egalitatea (1.24) obținem formule prin care se calculează coeficienții rămași ai sistemului (1.21) (cu excepția lui r ecuația):

(1.25)
Transformarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda eliminărilor obișnuite iordaniene este prezentată sub formă de tabele (matrici). Aceste mese se numesc „mesele Jordan”.

Astfel, problema (1.20) este asociată cu următorul tabel Jordan:

Tabelul 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	A 11	A 12		A 1j		A 1s		A 1n
…………………………………………………………………..
y eu=	un i 1	un i 2		aij		a este		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		un mj		o ms		amn

Tabelul Jordan 1.1 conține coloana de cap din stânga, în care sunt scrise părțile din dreapta ale sistemului (1.20) și linia de cap de sus, în care sunt scrise variabilele independente.

Elementele rămase ale tabelului formează matricea principală a coeficienților sistemului (1.20). Dacă înmulțim matricea ȘI la matricea formată din elementele rândului antet superior, apoi obținem matricea formată din elementele coloanei antet din stânga. Adică, în esență, tabelul Jordan este o formă matriceală de scriere a unui sistem de ecuații liniare: . În acest caz, următorul tabel Jordan corespunde sistemului (1.21):

Tabelul 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b este		cos
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Element permisiv a rs vom evidenția cu caractere aldine. Amintiți-vă că pentru a implementa un pas al excepțiilor Jordan, elementul de rezolvare trebuie să fie diferit de zero. Un rând de tabel care conține un element permisiv se numește rând permisiv. Coloana care conține elementul de activare se numește coloana de activare. Când treceți de la un tabel dat la următorul tabel, o variabilă ( x s) din rândul antet de sus al tabelului este mutat în coloana antet din stânga și, invers, unul dintre membrii liberi ai sistemului ( y r) este mutat din coloana de antet din stânga a tabelului în rândul de antet de sus.

Să descriem algoritmul de recalculare a coeficienților în trecerea de la tabelul Jordan (1.1) la tabelul (1.2), care rezultă din formulele (1.23) și (1.25).

1. Elementul de activare se înlocuiește cu numărul invers:

2. Elementele rămase ale liniei permisive sunt împărțite la elementul permisiv și schimbă semnul invers:

3. Elementele rămase ale coloanei de activare sunt împărțite în elementul de activare:

4. Elementele care nu sunt incluse în rândul de rezolvare și coloana de rezolvare sunt recalculate după formulele:

Ultima formulă este ușor de reținut dacă observi că elementele care compun fracția , sunt la intersecție i-Oh si r-lea rânduri și j th și s-coloanele (rândul de rezoluție, coloana de rezolvare și rândul și coloana la intersecția cărora se află elementul de recalculat). Mai exact, la memorarea formulei puteți folosi următorul grafic:

-21 -26 -13 -37

Efectuând primul pas al excepțiilor iordaniene, orice element din Tabelul 1.3 situat în coloane X 1 ,…, X 5 (toate elementele specificate nu sunt egale cu zero). Nu ar trebui să selectați doar elementul de activare din ultima coloană, deoarece trebuie să găsiți variabile independente X 1 ,…, X cinci . Alegem, de exemplu, coeficientul 1 cu o variabilă X 3 din al treilea rând al tabelului 1.3 (elementul de activare este prezentat cu caractere aldine). Când treceți la tabelul 1.4, variabila X 3 din rândul antetului de sus este schimbat cu constanta 0 a coloanei antet din stânga (al treilea rând). În același timp, variabila X 3 este exprimat în termenii variabilelor rămase.

şir X 3 (Tabelul 1.4) poate fi exclus din Tabelul 1.4. Tabelul 1.4 exclude, de asemenea, a treia coloană cu un zero în linia de antet superioară. Ideea este că indiferent de coeficienți coloana dată b i 3 toți termenii corespunzători fiecărei ecuații 0 b i 3 sisteme vor fi egale cu zero. Prin urmare, acești coeficienți nu pot fi calculați. Eliminarea unei variabile X 3 și amintindu-ne una dintre ecuații, ajungem la un sistem corespunzător tabelului 1.4 (cu linia tăiată X 3). Alegerea din tabelul 1.4 ca element de rezolvare b 14 = -5, mergeți la tabelul 1.5. În tabelul 1.5, ne amintim primul rând și îl excludem din tabel împreună cu a patra coloană (cu zero în partea de sus).

Tabelul 1.5 Tabelul 1.6

Din ultimul tabel 1.7 găsim: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Substituind secvenţial variabilele deja găsite în liniile memorate, găsim variabilele rămase:

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții. variabil X 5, puteți atribui valori arbitrare. Această variabilă acționează ca un parametru X 5 = t. Am dovedit compatibilitatea sistemului și am găsit-o decizie comună:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dând parametru t diverse sensuri, obținem un număr infinit de soluții la sistemul original. Deci, de exemplu, soluția sistemului este următorul set de variabile (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează foarte mult procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție; dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție. Determinantul, compus din coeficienții necunoscutelor, se numește determinant al sistemului și se notează cu (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților la necunoscutele corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

Teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o singură soluție, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul este determinantul sistemului, iar numărătorul este determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților cu necunoscutul prin termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1 Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

Conform Teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda soluției Cramer.

Trei cazuri în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum reiese din teoremele lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: sistemul de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: sistemul de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și nedeterminat)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistem inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n variabile este numită incompatibil dacă nu are soluții, și comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul incert.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin metoda Cramer

Lasă sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

identificatorul de sistem. Restul determinanților se obțin prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu membri liberi:

Exemplul 2

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Dacă în sistemul de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare acestora sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

.

Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

În problemele pe sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea un număr real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații duc la probleme pentru a găsi proprietățile generale ale oricăror fenomene și obiecte. Adică ai inventat vreunul material nou sau un dispozitiv, iar pentru a descrie proprietățile acestuia, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul de copii, este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, unde în locul unor coeficienți pentru variabile există litere. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un număr real crește.

Exemplul 8 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute

Cu numărul de ecuații același cu numărul de necunoscute cu determinantul principal al matricei, care nu este egal cu zero, coeficienții sistemului (există o soluție pentru astfel de ecuații și este doar una).

teorema lui Cramer.

Când determinantul matricei unui sistem pătrat este diferit de zero, atunci sistemul este compatibil și are o singură soluție și poate fi găsit prin formulele lui Cramer:

unde Δ - determinant al matricei sistemului,

Δ i- determinant al matricei sistemului, în care în loc de i a-a coloană este coloana părților din dreapta.

Când determinantul sistemului este zero, atunci sistemul poate deveni consistent sau inconsecvent.

Această metodă este de obicei utilizată pentru sistemele mici cu calcule de volum și dacă atunci când este necesar să se determine 1 dintre necunoscute. Complexitatea metodei este că este necesar să se calculeze mulți factori determinanți.

Descrierea metodei lui Cramer.

Există un sistem de ecuații:

Un sistem de 3 ecuații poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer, care a fost discutată mai sus pentru un sistem de 2 ecuații.

Compunem determinantul din coeficienții necunoscutelor:

Asta va calificativ de sistem. Când D≠0, deci sistemul este consistent. Acum vom compune 3 determinanți suplimentari:

,,

Rezolvăm sistemul prin formulele lui Cramer:

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații prin metoda lui Cramer.

Exemplul 1.

Sistemul dat:

Să rezolvăm prin metoda lui Cramer.

Mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei sistemului:

pentru că Δ≠0, prin urmare, din teorema lui Cramer, sistemul este compatibil și are o singură soluție. Calculăm determinanți suplimentari. Determinantul Δ 1 se obține din determinantul Δ prin înlocuirea primei sale coloane cu o coloană de coeficienți liberi. Primim:

În același mod, se obține determinantul Δ 2 din determinantul matricei sistemului, înlocuind a doua coloană cu o coloană de coeficienți liberi:

În prima parte am luat în considerare un material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Tuturor celor care au venit pe site prin această pagină, le recomand să citiți prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în cursul rezolvării sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de observații și concluzii foarte importante cu privire la soluție. probleme de matematicăîn general.

Și acum vom analiza regula lui Cramer, precum și soluția unui sistem de ecuații liniare folosind matricea inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar, aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.

Mai întâi luăm în considerare regula lui Cramer în detaliu pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? - Dupa toate acestea cel mai simplu sistem poate fi rezolvată prin metoda școlii, prin adăugare de termen!

Faptul este că, chiar dacă uneori, dar există o astfel de sarcină - să rezolvi un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

In plus, exista sisteme de ecuatii liniare cu doua variabile, pe care este indicat sa le rezolvi exact dupa regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul , se numește principalul determinant al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă doi determinanți:
și

În practică, se pot nota și determinanții de mai sus Literă latină.

Rădăcinile ecuației se găsesc prin formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Decizie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari, în partea dreaptă există zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți obține cu siguranță fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta doar îngrozitor. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea aici.

Ce sa fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Nu sunt necesare comentarii aici, deoarece sarcina este rezolvată conform formulelor gata făcute, totuși, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Fragmentul sarcinii este următorul fragment: „deci sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru nerespectarea teoremei lui Cramer.

Nu va fi de prisos să verificați, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să se obțină numerele care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Exprimați-vă răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (exemplu de design fin și răspuns la sfârșitul lecției).

Ne întoarcem la considerarea regulii lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta, trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat prin formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”, coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Decizie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, astfel încât sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, nu este nimic special de comentat din nou aici, având în vedere că decizia se ia după formule gata făcute. Dar există câteva note.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu există computer la îndemână, facem acest lucru:

1) Poate fi o greșeală în calcule. De îndată ce întâlniți o lovitură „rea”, trebuie să verificați imediat dacă este condiția rescrisă corect. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu au fost găsite erori în urma verificării, atunci cel mai probabil a fost făcută o greșeală de scriere în starea sarcinii. În acest caz, rezolvați cu calm și ATENȚIE sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși întocmește-l pe o copie curată după hotărâre. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să pună un minus pentru orice lucru rău ca. Cum să tratați fracțiile este detaliat în răspunsul pentru Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a-l verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai avantajos este să folosești programul imediat (chiar înainte de a începe soluția), vei vedea imediat pasul intermediar la care ai greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerouri sunt puse în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (finalizarea eșantionului și răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu live în lecția Proprietăți determinante. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți matricea inversă și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi date pe măsură ce explicația progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul cu metoda matricei

Decizie: Scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matricele. După ce principiu scriem elemente în matrice, cred că toată lumea înțelege. Singurul comentariu: dacă unele variabile lipsesc în ecuații, atunci ar trebui puse zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă prin formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

Mai întâi, să ne ocupăm de determinantul:

Aici determinantul este extins cu prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul prin metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin eliminarea necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculați 9 minori și să le scrieți în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei pe care element dat. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul se află în primul rând, a treia coloană, în timp ce, de exemplu, elementul este în al treilea rând, a doua coloană

Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute

Folosind determinanți de ordinul trei, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.

(2.4)

dacă 0. Aici

Este regula lui Cramer rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.

Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

Decizie . Aflarea determinantului matricei principale a sistemului

Deoarece 0, atunci pentru a găsi o soluție la sistem, puteți aplica regula lui Cramer, dar mai întâi calculați încă trei determinanți:

Examinare:

Prin urmare, soluția este găsită corect. 

Regulile lui Cramer derivate pentru sisteme liniare Ordinul 2 și 3, sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Chiar are loc

teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție, iar această soluție se calculează prin formule

(2.5)

Unde  – determinant principal al matricei,  i – determinant matriceal, derivat din principal, înlocuitoricoloana coloana membrii liberi.

Rețineți că dacă =0, atunci regula lui Cramer nu este aplicabilă. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.

După ce am formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordin superior.

2.4. determinanți de ordinul al n-lea

Minor suplimentar M ij element A ij se numeste determinant obtinut din data prin stergere i-a linia și j-a coloană. Adunarea algebrică A ij element A ij se numește minorul acestui element, luat cu semnul (–1) i + j, adică A ij = (–1) i + j M ij .

De exemplu, să găsim minore și complemente algebrice ale elementelor A 23 și A 31 de factori determinanți

Primim



Folosind conceptul de complement algebric, putem formula teorema expansiunii determinanten-a ordinea după rând sau coloană.

Teorema 2.1. Determinant de matriceAeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui rând (sau coloane) și a complementelor lor algebrice:

(2.6)

Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calculare a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii. Ca urmare a extinderii determinantului n ordinul a treia din orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n–1)-a ordin. Pentru a avea mai puțini astfel de determinanți, este indicat să alegeți rândul sau coloana care are cele mai multe zerouri. În practică, formula de expansiune pentru determinant este de obicei scrisă ca:

acestea. adaosurile algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.

Exemple 2.4. Calculați determinanții extinzându-i mai întâi în orice rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, alegeți coloana sau rândul care are cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi marcată cu o săgeată.



2.5. Proprietățile de bază ale determinanților

Extinderea determinantului în orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n–1)-a ordin. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n–1)-al-lea ordin poate fi, de asemenea, descompus într-o sumă de determinanți ( n– 2) ordinul. Continuând acest proces, se poate ajunge la determinanții de ordinul I, adică. la elementele matricei al cărei determinant se calculează. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, va trebui să calculați suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calculul determinanților de ordine foarte mare devine o sarcină destul de laborioasă, dincolo de puterea chiar și a unui computer. Totuși, determinanții pot fi calculați într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.

Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele sunt schimbate în el, de exemplu. la transpunerea unei matrice:

.

Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele unui determinant este adevărată pentru rândurile sale și invers.

Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul când două rânduri (coloane) sunt schimbate.

Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi scos din semnul determinantului.

De exemplu,

Consecinţă . Dacă toate elementele unui rând (coloană) a determinantului sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană) sunt adăugate elementelor altui rând (coloană) înmulțite cu un număr.

De exemplu,

Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricei este egal cu produsul determinanților matricei: