Rezolvarea ecuației x 1. Cum se rezolvă sistemul de ecuații? Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații

O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 înlocuim numărul 2 în loc de necunoscutul x, atunci obținem egalitatea corectă 3 2 + 7 \u003d 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 + 7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la soluția ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = – b/a .

Exemplul 1 Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Transferăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui 2 la opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Deci valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b este, de asemenea, 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată membri similari:
0x = 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată membri similari:
0x = - 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 se arată schema de rezolvare a ecuaţiei liniare

Să compunem o schemă generală pentru rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă. Luați în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4 Să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, deschideți paranteze:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată membri similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la - 22 , obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate după cum urmează:

a) aduceți ecuația într-o formă întreagă;

b) paranteze deschise;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Găsim necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare întâlnite la examenul de stat principal.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7 Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8 Rezolvați ecuația

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemplul 9 Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Noi decidem ecuație liniară x + 2 = 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a trata mai amănunțit soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

De asemenea, TutorOnline vă recomandă să vizionați un nou tutorial video de la tutorele noastre Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

În etapa de pregătire pentru proba finală, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească cu atenție teoria, să memoreze formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de sarcini, absolvenții vor putea conta pe scoruri mari la promovarea examenului la matematică.

Pregătește-te pentru examenul împreună cu Shkolkovo!

La repetarea materialelor parcurse, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare pentru rezolvarea ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm complet metoda noua pregătirea pentru proba finală. Studiind pe site-ul nostru, vei putea identifica lacunele în cunoștințe și vei fi atent tocmai acelor sarcini care provoacă cele mai mari dificultăți.

Profesorii de la „Shkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului în cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Principalele definiții și formule sunt prezentate în secțiunea „Referință teoretică”.

Pentru o mai bună asimilare a materialului, vă recomandăm să exersați temele. Aruncă o privire la exemplele de pe această pagină. ecuații exponențiale cu o soluție pentru înțelegerea algoritmului de calcul. După aceea, continuați cu sarcinile din secțiunea „Cataloguri”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți trece direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care ți-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. Așa că le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul.

Pentru a trece cu succes examenul, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

Calculatorul de fracții online vă permite să efectuați operații aritmetice simple cu fracții: adunarea fracțiilor, scăderea fracțiilor, înmulțirea fracțiilor, împărțirea fracțiilor. Pentru a face calcule, completați câmpurile corespunzătoare numărătorilor și numitorilor a două fracții.

Fracție în matematică se numește un număr care reprezintă o parte a unei unități sau mai multe părți ale acesteia.

O fracție comună este scrisă ca două numere, de obicei separate printr-o linie orizontală, indicând semnul diviziunii. Numărul de deasupra barei se numește numărător. Numărul de sub bară se numește numitor. Numitorul unei fracții arată numărul de părți egale în care este împărțit întregul, iar numărătorul fracției arată numărul acestor părți ale întregului luat.

Fracțiile sunt corecte și greșite.

• O fracție corectă este una al cărei numărător este mai mic decât numitorul.
• O fracție improprie este atunci când numărătorul este mai mare decât numitorul.

O fracție mixtă este o fracție scrisă ca un număr întreg și o fracție proprie și este înțeleasă ca suma acestui număr și a părții fracționale. În consecință, o fracție care nu are o parte întreagă se numește fracție simplă. Orice fracție mixtă poate fi convertită într-o fracție simplă improprie.

Pentru a converti o fracție mixtă într-una obișnuită, este necesar să adăugați produsul părții întregi și numitorul la numărătorul fracției:

Cum se transformă o fracție obișnuită într-una mixtă

Pentru a converti o fracție obișnuită într-una mixtă, trebuie să:

1. Împărțiți numărătorul unei fracții la numitorul ei
2. Rezultatul împărțirii va fi partea întreagă
3. Restul ramului va fi numărătorul

Cum se transformă o fracție comună într-o zecimală

Pentru a converti o fracție într-o zecimală, trebuie să împărțiți numărătorul acesteia la numitor.

Pentru a traduce zecimalîn mod obișnuit, este necesar:

Cum se transformă o fracție în procent

Pentru a converti o fracție obișnuită sau mixtă într-un procent, trebuie să o convertiți într-o fracție zecimală și să înmulțiți cu 100.

Cum se transformă procentele în fracții

Pentru a converti procentele în fracții, este necesar să obțineți o fracție zecimală din procente (împărțirea la 100), apoi să convertiți fracția zecimală rezultată într-una obișnuită.

Adunarea fracțiilor

Algoritmul de adunare a două fracții este următorul:

1. Adăugați fracții adunând numărătorii lor.

Scăderea fracțiilor

Algoritmul acțiunilor la scăderea a două fracții:

1. Convertiți fracțiile mixte în fracții comune (scăpați de partea întreagă).
2. Aduceți fracțiile la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și să înmulțiți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei fracții.
3. Scădeți o fracție din alta scăzând numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei.
4. Găsiți cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului și reduceți fracția împărțind numărătorul și numitorul la MCD.
5. Dacă numărătorul fracției finale este mai mare decât numitorul, atunci selectați întreaga parte.

Înmulțirea fracțiilor

Algoritmul acțiunilor la înmulțirea a două fracții:

1. Convertiți fracțiile mixte în fracții comune (scăpați de partea întreagă).
2. Găsiți cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului și reduceți fracția împărțind numărătorul și numitorul la MCD.
3. Dacă numărătorul fracției finale este mai mare decât numitorul, atunci selectați întreaga parte.

Împărțirea fracțiilor

Algoritmul acțiunilor la împărțirea a două fracții:

1. Convertiți fracțiile mixte în fracții comune (scăpați de partea întreagă).
2. Pentru a împărți fracțiile, trebuie să convertiți a doua fracție schimbând numărătorul și numitorul, apoi înmulțiți fracțiile.
3. Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua.
4. Găsiți cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului și reduceți fracția împărțind numărătorul și numitorul la MCD.
5. Dacă numărătorul fracției finale este mai mare decât numitorul, atunci selectați întreaga parte.

Calculatoare și convertoare online:

Vom analiza două tipuri de sisteme de rezolvare de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Din orice ecuație, exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate, valoarea rezultata.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen trebuie sa:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuațiile, ca rezultat obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvăm ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, deci rezultă că este mai ușor să exprimăm variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2. După exprimare, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (paranteze deschise)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul paragraf unde am exprimat înlocuim y acolo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând, scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm prin adunare (scădere) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Selectați o variabilă, să presupunem că selectăm x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțiți prima ecuație cu 2 și a doua cu 3 pentru a obține raportul general 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Din prima ecuație, scădeți a doua pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fara gluma.

pentru a rezolva matematica. Găsiți repede soluție de ecuație matematicăîn mod pe net. Site-ul www.site permite rezolva ecuatia aproape orice dat algebric, trigonometric sau ecuația transcendentală online. Când studiezi aproape orice secțiune de matematică în diferite etape, trebuie să te decizi ecuații online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc www.site rezolva ecuatii online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvăm matematică ecuații online- este viteza și acuratețea răspunsului emis. Site-ul este capabil să rezolve orice ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, ecuații transcendentale online, și ecuații cu parametri necunoscuți în modul pe net. Ecuații servesc ca un puternic aparat matematic solutii sarcini practice. Cu ajutor ecuatii matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea la prima vedere confuze și complexe. cantități necunoscute ecuații poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă ecuațiiȘi decide sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice ecuație algebrică, ecuație trigonometrică sau ecuații conținând transcendental te prezintă cu ușurință decide online și obțineți răspunsul corect. Studiind științele naturii, se întâlnește inevitabil nevoia rezolvarea ecuatiilor. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie primit imediat în modul pe net. Prin urmare, pentru rezolva ecuatii matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră indispensabil pentru solutii ecuații algebrice pe net, ecuații trigonometrice pe net, și ecuații transcendentale online sau ecuații cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de găsire a rădăcinilor diverselor ecuatii matematice resursa www.. Rezolvarea ecuații online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluție online ecuații pe site-ul www.site. Este necesar să scrieți corect ecuația și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparăm răspunsul cu soluția ta la ecuație. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, suficient rezolva ecuația onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie si corecteaza raspunsul la timp rezolvarea de ecuații online fie algebric, trigonometric, transcendent sau ecuația cu parametri necunoscuți.