Forma algebricăînregistrări număr complex................................................................
		Planul numerelor complexe............................................................. .......................................................... ............................ ...
		Numere complexe conjugate .................................................. ............................. ................................. ..........................
	Operații cu numere complexe în formă algebrică.................................................. ......... ....
		Adunarea numerelor complexe.............................................................. .......................................................... .................
		Scăderea numerelor complexe.................................................. ............................. ................................. .....................
		Înmulțirea numerelor complexe.............................................................. ..................... ................................ ..............
		Împărțirea numerelor complexe.................................................. ............................. ................................. .......................... ...
	Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex............................................. ......... ..........
	Operații cu numere complexe în formă trigonometrică.................................................. .........
		Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică.................................................. ........
		Împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică.................................................. ........ ...
		Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă.................................................. ...........
		Extragerea rădăcinii unui grad întreg pozitiv dintr-un număr complex...................................
		Ridicarea unui număr complex la o putere rațională............................................. .............. .....
		Serii complexe ................................................................ ................................................... ......... .................
		Serii de numere complexe.................................................. ............................. ................................. ..........................
		Seria de puteri în planul complex.................................................. ........................................
		Serii de putere cu două fețe în plan complex.................................. ........... ...
		Funcțiile unei variabile complexe............................................................. ....... ................................................
		Funcții elementare de bază.................................................. .......................................................... .
		Formulele lui Euler.............................................................. ................................................... ......... .................
		Forma exponențială de reprezentare a unui număr complex.................................. ...................... .
		Relația dintre funcțiile trigonometrice și hiperbolice...........................................
		Funcția logaritmică.................................................................. ................................................... ......... ...
		Funcții generale exponențiale și puteri generale.................................................. ........................
	Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe............................................. ......... ...
		Condiții Cauchy-Riemann.................................................. ............................................................. ........... ............
		Formule de calcul a derivatei.................................................................. ......................................................
		Proprietățile operației de diferențiere................................................ ...................... .................................
		Proprietățile părților reale și imaginare ale unei funcții analitice..................................................

	Reconstituirea unei funcții a unei variabile complexe din real sau imaginar al acesteia
		Metoda numărul 1. Folosind o integrală curbă................................................... ...... .......
		Metoda nr. 2. Aplicarea directă a condițiilor Cauchy-Riemann..................................
		Metoda numărul 3. Prin derivata funcției căutate.................................................. ........ ........
	Integrarea funcțiilor unei variabile complexe.................................................. ......... ..........
	Formula Cauchy integrală.................................................. ............................................................. ........... ...
	Extinderea funcțiilor în seriile Taylor și Laurent.................................................. .......... ................................
	Zerourile și punctele singulare ale unei funcții a unei variabile complexe.................................. ............. .....
		Zerourile unei funcții ale unei variabile complexe............................................. ..........................................
		Puncte singulare izolate ale unei funcții ale unei variabile complexe..................................

14.3 Un punct la infinit ca punct singular al unei funcții a unei variabile complexe

	Deduceri.................................................. ....... ................................................. ............................................................. ...
		Deducere la punctul final................................................ ...................................................... ............ ......
		Reziduul unei funcții într-un punct la infinit.................................................. ..........................
	Calculul integralelor folosind reziduuri............................................. ....... ............................
	Întrebări de autotest .................................................. ..................... ................................ .......................... .......
	Literatură................................................. .................................................. ...... ...................................
	Index de subiecte................................................... ................................................... ......... ..............

Prefaţă

Distribuirea corectă a timpului și a efortului atunci când vă pregătiți pentru părțile teoretice și practice ale unui examen sau certificare modul este destul de dificilă, mai ales că întotdeauna nu există suficient timp în timpul sesiunii. Și după cum arată practica, nu toată lumea poate face față acestui lucru. Drept urmare, în timpul examenului, unii elevi rezolvă probleme corect, dar le este greu să răspundă la cele mai simple întrebări teoretice, în timp ce alții pot formula o teoremă, dar nu o pot aplica.

Aceste instrucțiuni de pregătire pentru examenul la cursul „Teoria funcțiilor unei variabile complexe” (TFCP) reprezintă o încercare de a rezolva această contradicție și de a asigura repetarea simultană a materialului teoretic și practic al cursului. Ghidate de principiul „Teoria fără practică este moartă, practica fără teorie este oarbă”, ele conțin atât prevederi teoretice ale cursului la nivel de definiții și formulări, cât și exemple care ilustrează aplicarea fiecărei poziții teoretice date și, prin urmare, facilitează memorarea și înțelegerea acestuia.

Scopul recomandărilor metodologice propuse este de a ajuta studentul să se pregătească pentru examen nivel de bază. Cu alte cuvinte, a fost alcătuită o carte de referință de lucru extinsă care conține principalele puncte utilizate în cursurile cursului TFKP și necesare la efectuarea teme pentru acasăși pregătirea pentru evenimentele de control. Pe lângă asta munca independenta studenților, această publicație educațională electronică poate fi utilizată la desfășurarea orelor într-o formă interactivă folosind o tablă electronică sau pentru plasarea într-un sistem de învățământ la distanță.

Vă rugăm să rețineți că această lucrare nu înlocuiește nici manualele, nici notele de curs. Pentru un studiu aprofundat al materialului, se recomandă să consultați secțiunile relevante publicate de MSTU. N.E. Manual de bază Bauman.

La sfârșitul manualului există o listă de literatură recomandată și un index de subiecte, care include tot ce este evidențiat în text cursiv aldine termeni. Indexul constă din hyperlinkuri către secțiuni în care acești termeni sunt strict definiți sau descriși și în care sunt date exemple pentru a ilustra utilizarea lor.

Manualul este destinat studenților din anul II ai tuturor facultăților MSTU. N.E. Bauman.

1. Forma algebrică de scriere a unui număr complex

Notarea formei z = x + iy, unde x,y sunt numere reale, i este o unitate imaginară (adică i 2 = − 1)

se numește forma algebrică a scrierii unui număr complex z. În acest caz, x se numește partea reală a unui număr complex și se notează cu Re z (x = Re z), y se numește partea imaginară a unui număr complex și se notează cu Im z (y = Im z).

Exemplu. Numărul complex z = 4− 3i are o parte reală Rez = 4 și o parte imaginară Imz = − 3.

2. Planul numeric complex

ÎN sunt luate în considerare teoriile funcţiilor unei variabile complexeplanul numeric complex, care este notat cu oricare sau folosind litere care denotă numere complexe z, w etc.

Axa orizontală a planului complex se numește axa reală, pe el sunt plasate numere reale z = x + 0i = x.

Axa verticală a planului complex se numește axa imaginară;

3. Numere complexe conjugate

Se numesc numerele z = x + iy și z = x − iy conjugat complex. Pe planul complex ele corespund punctelor care sunt simetrice față de axa reală.

4. Operații cu numere complexe în formă algebrică

4.1 Adunarea numerelor complexe

Suma a două numere complexe

z 1= x 1+ iy 1

iar z 2 = x 2 + iy 2 se numește număr complex

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

operare

plus

numerele complexe este similară cu operația de adunare a binoamelor algebrice.

Exemplu. Suma a două numere complexe z 1 = 3+ 7i și z 2

= −1 +2 i

va fi un număr complex

z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i .

Evident,

valoare totală

conjuga

este

real

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 Scăderea numerelor complexe

Diferența a două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

numit

cuprinzător

numărul z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

Exemplu. Diferența a două numere complexe

z 1 =3 −4 i

și z 2

= −1 +2 i

va exista o cuprinzătoare

numărul z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i .

Prin diferenta

conjugat complex

este

z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 Înmulțirea numerelor complexe

Produsul a două numere complexe

z 1= x 1+ iy 1

și z 2= x 2+ iy 2

numit complex

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

Astfel, operația de înmulțire a numerelor complexe este similară cu operația de înmulțire a binoamelor algebrice, ținând cont de faptul că i 2 = − 1.

Pagina 2 din 3

Forma algebrică a unui număr complex.
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor complexe.

Ne-am familiarizat deja cu forma algebrică a unui număr complex - aceasta este forma algebrică a unui număr complex. De ce vorbim despre formă? Cert este că există și forme trigonometrice și exponențiale ale numerelor complexe, care vor fi discutate în paragraful următor.

Operațiile cu numere complexe nu sunt deosebit de dificile și nu diferă mult de algebra obișnuită.

Adunarea numerelor complexe

Exemplul 1

Adăugați două numere complexe,

Pentru a adăuga două numere complexe, trebuie să adăugați părțile lor reale și imaginare:

Simplu, nu-i așa? Acțiunea este atât de evidentă încât nu necesită comentarii suplimentare.

În acest mod simplu puteți găsi suma oricărui număr de termeni: însumați părțile reale și însumați părțile imaginare.

Pentru numerele complexe, regula de primă clasă este valabilă: – rearanjarea termenilor nu modifică suma.

Scăderea numerelor complexe

Exemplul 2

Găsiți diferențele dintre numerele complexe și , dacă ,

Acțiunea este similară cu adăugarea, singura particularitate este că subtrahendul trebuie pus între paranteze, iar apoi parantezele trebuie deschise în mod standard cu o schimbare de semn:

Rezultatul nu trebuie să fie confuz, numărul rezultat are două, nu trei părți. Pur și simplu partea reală este compusul: . Pentru claritate, răspunsul poate fi rescris astfel: .

Să calculăm a doua diferență:

Aici partea reală este, de asemenea, compusă:

Pentru a evita orice subestimare, voi da un scurt exemplu cu o parte imaginară „rea”: . Aici nu te mai poți lipsi de paranteze.

Înmulțirea numerelor complexe

A sosit momentul să vă prezentăm celebra egalitate:

Exemplul 3

Aflați produsul numerelor complexe,

Evident, lucrarea ar trebui scrisă astfel:

Ce sugerează asta? Se roagă să se deschidă parantezele după regula înmulțirii polinoamelor. Asta trebuie să faci! Toate operațiile algebrice vă sunt familiare, principalul lucru este să vă amintiți asta si fii atent.

Să repetăm, omg, regula școlii pentru înmulțirea polinoamelor: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al altui polinom.

O voi scrie în detaliu:

Sper că a fost clar pentru toată lumea asta

Atenție și din nou atenție, cel mai adesea greșelile sunt făcute în semne.

Ca și suma, produsul numerelor complexe este comutabil, adică egalitatea este adevărată: .

În literatura educațională și pe Internet, este ușor să găsești o formulă specială pentru calcularea produsului numerelor complexe. Folosește-l dacă vrei, dar mi se pare că abordarea cu înmulțirea polinoamelor este mai universală și mai clară. Nu voi da formula, cred că în acest caz vă umple capul cu rumeguș.

Împărțirea numerelor complexe

Exemplul 4

Datele numere complexe, . Găsiți coeficientul.

Să facem un coeficient:

Se efectuează împărțirea numerelor prin înmulțirea numitorului și numărătorului cu expresia conjugată a numitorului.

Să ne amintim formula cu barbă și să ne uităm la numitorul nostru: . Numitorul are deja , deci expresia conjugată în acest caz este , adică

Conform regulii, numitorul trebuie înmulțit cu , iar, pentru ca nimic să nu se schimbe, numărătorul trebuie înmulțit cu același număr:

O voi scrie în detaliu:

Am ales un exemplu „bun”: dacă iei două numere „de la zero”, atunci ca urmare a împărțirii vei obține aproape întotdeauna fracții, ceva de genul .

În unele cazuri, înainte de a împărți o fracție, este indicat să o simplificați, de exemplu, luați în considerare câtul de numere: . Înainte de a împărți, scăpăm de minusurile inutile: la numărător și numitor scoatem minusurile din paranteze și reducem aceste minusuri: . Pentru cei cărora le place să rezolve probleme, iată răspunsul corect:

Rareori, dar apare următoarea sarcină:

Exemplul 5

Se dă un număr complex. Scrieți acest număr în formă algebrică (adică în formă).

Tehnica este aceeași - înmulțim numitorul și numărătorul cu expresia conjugată la numitor. Să ne uităm din nou la formulă. Numitorul conține deja , așa că numitorul și numărătorul trebuie înmulțiți cu expresia conjugată, adică cu:

În practică, ele pot oferi cu ușurință un exemplu sofisticat în care trebuie să efectuați multe operații cu numere complexe. Fara panica: atenție, urmați regulile algebrei, procedura algebrică obișnuită și amintiți-vă că .

Forma trigonometrică și exponențială a numărului complex

În această secțiune vom vorbi mai multe despre forma trigonometrică a unui număr complex. Forma demonstrativă în sarcini practice apare mult mai rar. Recomand descărcarea și, dacă este posibil, tipărirea tabelelor trigonometrice se găsește pe pagină; Formule și tabele matematice. Nu poți merge departe fără mese.

Orice număr complex (cu excepția zero) poate fi scris sub formă trigonometrică:
, unde este asta modulul unui număr complex, A - argument de număr complex. Să nu fugim, totul este mai simplu decât pare.

Să reprezentăm numărul pe planul complex. Pentru claritate și simplitate a explicației, o vom plasa în primul cadran de coordonate, i.e. credem ca:

Modulul unui număr complex este distanța de la origine până la punctul corespunzător din planul complex. Mai simplu spus, modul este lungimea vector rază, care este indicat cu roșu în desen.

Modulul unui număr complex este de obicei notat cu: sau

Folosind teorema lui Pitagora, este ușor să se obțină o formulă pentru a afla modulul unui număr complex: . Această formulă este corectă pentru orice semnificații „a” și „fi”.

Nota: Modulul unui număr complex este o generalizare a conceptului modulul unui număr real, ca distanța de la un punct la origine.

Argumentul unui număr complex numit colţîntre semiaxă pozitivă axa reală și vectorul rază trasate de la origine până la punctul corespunzător. Argument nu este definit pentru singular: .

Principiul în cauză este de fapt similar cu coordonate polare, unde raza polară și unghiul polar definesc în mod unic punctul.

Argumentul unui număr complex este notat standard: sau

Din considerente geometrice, obținem următoarea formulă pentru găsirea argumentului:
. Atenţie! Această formulă funcționează numai în semiplanul drept! Dacă numărul complex nu este situat în cadranul de coordonate 1 sau 4, atunci formula va fi ușor diferită. Vom analiza și aceste cazuri.

Dar mai întâi, să ne uităm la cele mai simple exemple când numerele complexe sunt situate pe axele de coordonate.

Exemplul 7

Să facem desenul:

De fapt, sarcina este orală. Pentru claritate, voi rescrie forma trigonometrică a unui număr complex:

Să ne amintim cu fermitate, modulul – lungime(care este întotdeauna nenegativ), argumentul este colţ.

1) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul. Este evident că. Calcul formal folosind formula: .
Este evident că (numărul se află direct pe semiaxa pozitivă reală). Deci numărul în formă trigonometrică este: .

Acțiunea de verificare inversă este clară ca ziua:

2) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul. Este evident că. Calcul formal folosind formula: .
Evident (sau 90 de grade). În desen, colțul este indicat cu roșu. Deci numărul în formă trigonometrică este: .

Folosind un tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice, este ușor să obțineți înapoi forma algebrică a numărului (în timp ce efectuați și o verificare):

3) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul. Este evident că. Calcul formal folosind formula: .
Evident (sau 180 de grade). În desen colțul este indicat cu albastru. Deci numărul în formă trigonometrică este: .

Examinare:

4) Și al patrulea caz interesant. Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul. Este evident că. Calcul formal folosind formula: .

Argumentul poate fi scris în două moduri: Primul mod: (270 de grade) și, în consecință: . Examinare:

Cu toate acestea, următoarea regulă este mai standard: Dacă unghiul este mai mare de 180 de grade, apoi se scrie cu semnul minus și orientarea opusă („defilare”) unghiului: (minus 90 de grade), în desen unghiul este marcat cu verde. Este ușor de văzut că și sunt în același unghi.

Astfel, intrarea ia forma:

Atenţie!În niciun caz nu trebuie să utilizați paritatea cosinusului, neobișnuirea sinusului și să „simplificați” în continuare notația:

Apropo, este util să ne amintim aspectși proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse, materialele de referință sunt în ultimele paragrafe ale paginii Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare de bază. Și numerele complexe vor fi învățate mult mai ușor!

În proiectarea celor mai simple exemple, se scrie: „este evident că modulul este egal... este evident că argumentul este egal cu...”. Acest lucru este cu adevărat evident și ușor de rezolvat verbal.

Să trecem la luarea în considerare a cazurilor mai frecvente. După cum am observat deja, nu există probleme cu modulul, ar trebui să utilizați întotdeauna formula. Dar formulele pentru găsirea argumentului vor fi diferite, depinde de sfertul de coordonate în care se află numărul. În acest caz, sunt posibile trei opțiuni (este util să le copiați în notebook):

1) Dacă (1 și 4 sferturi de coordonate, sau semiplanul drept), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula.

2) Dacă (al doilea trimestru de coordonate), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula .

3) Dacă (al treilea trimestru de coordonate), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula .

Exemplul 8

Reprezentați numere complexe în formă trigonometrică: , , , .

Deoarece există formule gata făcute, nu este necesar să finalizați desenul. Dar există un punct: atunci când vi se cere să reprezentați un număr în formă trigonometrică Este mai bine să faci desenul oricum. Faptul este că o soluție fără desen este adesea respinsă de profesori, absența unui desen este un motiv serios pentru un minus și eșec.

Eh, nu am desenat nimic manual de o sută de ani, iată:

Ca întotdeauna, s-a dovedit puțin murdar =)

Voi prezenta numerele și în formă complexă, primul și al treilea număr vor fi pentru soluție independentă.

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul.

Planul de lecție.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea mulțimii numerelor reale constă în adăugarea de noi numere (imaginare) la numerele reale. Introducerea acestor numere se datorează imposibilității extragerii rădăcinii unui număr negativ din mulțimea numerelor reale.

Introducere în conceptul de număr complex.

Numerele imaginare, cu care completăm numerele reale, sunt scrise sub formă bi, Unde i este o unitate imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiţie. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde oŞi b- numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iŞi a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde O– parte reală, bi este partea imaginară și b– număr real.

Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a = b = 0

Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi la fel cu un număr real o: a + 0i = a.

Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biŞi = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

Puteți efectua următoarele operații pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiţie. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iŞi z 2 = a 2 + b 2 i se numește număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z 1Şi z 2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z 1Şi z 2, adică z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numerele z 1Şi z 2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex –a –bi numit opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex, opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zŞi -z egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1: Efectuați adăugarea (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiţie. Scăderea dintr-un număr complex z 1 număr complex z 2 z, Ce z + z 2 = z 1.

Teorema. Diferența dintre numerele complexe există și este unică.

Exemplul 2: Efectuați o scădere (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Înmulțirea.

Definiţie. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iŞi z 2 =a 2 +b 2 i se numește număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numerele z 1Şi z 2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- număr real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii unei sume cu o sumă și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, vom lua în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu sumă.

Exemplul 3: Faceți înmulțirea (2 + 3i) (5 – 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiţie. Împărțiți un număr complex z 1 la un număr complex z 2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, Ce z · z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z 2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lasă z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Atunci

.

În exemplul următor, vom efectua împărțirea folosind formula și regula înmulțirii cu numărul conjugat la numitor.

Exemplul 4. Aflați coeficientul .

5) Ridicarea la o putere totală pozitivă.

a) Puterile unitatii imaginare.

Profitând de egalitate i 2 = -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Avem:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n– un număr întreg pozitiv, repetat periodic pe măsură ce indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere totală pozitivă, trebuie să împărțim exponentul la 4 și construiește i la o putere al cărei exponent este egal cu restul diviziunii.

Exemplul 5: Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii de ridicare a unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complexi identici.

Exemplul 6: Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Numerele complexe sunt o extensie a mulțimii numerelor reale, de obicei notate cu . Orice număr complex poate fi reprezentat ca o sumă formală, unde și sunt numere reale și este unitatea imaginară.

Scrierea unui număr complex sub forma , , se numește forma algebrică a unui număr complex.

Proprietățile numerelor complexe. Interpretarea geometrică a unui număr complex.

Acțiuni asupra numerelor complexe date în formă algebrică:

Să luăm în considerare regulile prin care se efectuează operațiile aritmetice pe numere complexe.

Dacă sunt date două numere complexe α = a + bi și β = c + di, atunci

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (11)

Aceasta rezultă din definiția operațiilor de adunare și scădere a două perechi ordonate de numere reale (vezi formulele (1) și (3)). Am primit regulile de adunare și scădere a numerelor complexe: pentru a adăuga două numere complexe, trebuie să adunăm separat părțile lor reale și, în consecință, părțile lor imaginare; Pentru a scădea altul dintr-un număr complex, este necesar să le scădem părțile reale și, respectiv, imaginare.

Numărul – α = – a – bi se numește opusul numărului α = a + bi. Suma acestor două numere este zero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Pentru a obține regula de înmulțire a numerelor complexe, folosim formula (6), adică faptul că i2 = -1. Tinand cont de aceasta relatie, gasim (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Această formulă corespunde formulei (2), care a determinat înmulțirea perechilor ordonate de numere reale.

Rețineți că suma și produsul a două numere conjugate complexe sunt numere reale. Într-adevăr, dacă α = a + bi, = a – bi, atunci α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, adică.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Când împărțim două numere complexe în formă algebrică, ar trebui să ne așteptăm ca câtul să fie exprimat și printr-un număr de același tip, adică α/β = u + vi, unde u, v R. Să derivăm regula pentru împărțirea numerelor complexe . Să fie date numerele α = a + bi, β = c + di și β ≠ 0, adică c2 + d2 ≠ 0. Ultima inegalitate înseamnă că c și d nu dispar simultan (cazul este exclus când c = 0). , d = 0). Aplicând formula (12) și a doua a egalităților (13), găsim:

Prin urmare, câtul a două numere complexe este determinat de formula:

corespunzător formulei (4).

Folosind formula rezultată pentru numărul β = c + di, puteți găsi numărul său invers β-1 = 1/β. Presupunând a = 1, b = 0 în formula (14), obținem

Această formulă determină inversul unui număr complex dat, altul decât zero; acest număr este de asemenea complex.

De exemplu: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

55. Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex (derivare).

Arg.com.numbers. – între direcția pozitivă a axei X reale și vectorul reprezentând numărul dat.

Formula trigonului. Numere: ,