Cum să găsești lungimea știind trei coordonate ale punctelor. Găsirea coordonatelor mijlocului unui segment: exemple, soluții

27.09.2019 | Calculatoare

Există un întreg grup de sarcini (incluse în tipurile de sarcini de examinare) asociate cu planul de coordonate. Acestea sunt sarcini care pornesc de la cele mai elementare care se rezolvă oral (determinarea ordonatei sau abscisei unui punct dat, sau a unui punct dat simetric etc.), terminând cu sarcini care necesită cunoștințe de înaltă calitate, înțelegere și bune abilități (sarcini). raportat la panta unei drepte).

Treptat, le vom lua în considerare pe toate. În acest articol, vom începe cu elementele de bază. aceasta sarcini simple a determina: abscisa si ordonata unui punct, lungimea unui segment, punctul mijlociu al unui segment, sinusul sau cosinusul unghiului de inclinare al unei drepte.Majoritatea acestor sarcini nu vor fi interesante. Dar cred că este necesar să le precizăm.

Chestia este că nu toată lumea merge la școală. Mulți oameni trec examenul la 3-4 ani sau mai mult după absolvire și își amintesc vag care sunt abscisa și ordonatele. Vom analiza și alte sarcini legate de planul de coordonate, nu-l ratați, abonați-vă la actualizarea blogului. Acum n putina teorie.

Să construim pe plan de coordonate punctul A cu coordonatele x=6, y=3.

Ei spun că abscisa punctului A este șase, ordonata punctului A este trei.

Pentru a spune simplu, axa x este axa absciselor, axa y este axa y.

Adică abscisa este un punct de pe axa x în care este proiectat un punct dat pe planul de coordonate; Ordonata este punctul de pe axa y în care este proiectat punctul specificat.

Lungimea segmentului pe planul de coordonate

Formula pentru determinarea lungimii unui segment, dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor sale:

După cum puteți vedea, lungimea segmentului este lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu

X B - X A și Y B - Y A

* * *

Mijlocul tăieturii. Coordonatele ei.

Formula pentru găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment:

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date

Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este:

unde (x 1; y 1) și (x 2; y 2 ) coordonatele punctelor date.

Înlocuind valorile coordonatelor în formulă, se reduce la forma:

y = kx + b, unde k este panta dreptei

Vom avea nevoie de aceste informații atunci când rezolvăm un alt grup de probleme legate de planul de coordonate. Va fi un articol despre asta, nu-l ratați!

Ce altceva se mai poate adăuga?

Unghiul de înclinare a unei linii drepte (sau segment) este unghiul dintre axa oX și această linie dreaptă, variind de la 0 la 180 de grade.

Să luăm în considerare sarcinile.

Din punctul (6;8) perpendiculara este coborâtă pe axa y. Aflați ordonata bazei perpendicularei.

Baza perpendicularei coborâte pe axa y va avea coordonatele (0; 8). Ordinata este opt.

Raspuns: 8

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la axa y.

Distanța de la punctul A la axa y este egală cu abscisa punctului A.

Raspuns: 6.

A(6;8) în jurul axei Bou.

Un punct simetric cu punctul A în raport cu axa oX are coordonatele (6; - 8).

Ordinata este minus opt.

Răspuns: - 8

Aflați ordonata unui punct simetric față de un punct A(6;8) relativ la origine.

Un punct simetric cu punctul A în raport cu originea are coordonate (- 6; - 8).

ordonata sa este -8.

Răspuns: -8

Găsiți abscisa punctului mijlociu al segmentului de dreaptă care leagă puncteleO(0;0) și A(6;8).

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți coordonatele mijlocului segmentului. Coordonatele extremităților segmentului nostru sunt (0;0) și (6;8).

Calculăm după formula:

Am primit (3;4). Abscisa este trei.

Raspuns: 3

* Abscisa mijlocului segmentului poate fi determinată fără calculare prin formulă prin construirea acestui segment pe planul de coordonate de pe foaia dintr-o celulă. Mijlocul segmentului va fi ușor de determinat de către celule.

Găsiți abscisa punctului mijlociu al segmentului de dreaptă care leagă punctele A(6;8) și B(–2;2).

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți coordonatele mijlocului segmentului. Coordonatele extremităților segmentului nostru sunt (–2;2) și (6;8).

Calculăm după formula:

Am primit (2;5). Abscisa este două.

Raspuns: 2

* Abscisa mijlocului segmentului poate fi determinată fără calculare prin formulă prin construirea acestui segment pe planul de coordonate de pe foaia dintr-o celulă.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele (0;0) și (6;8).

Lungimea segmentului la coordonatele date ale capetelor sale se calculează prin formula:

în cazul nostru avem O(0;0) și A(6;8). Mijloace,

*Ordinea coordonatelor la scădere nu contează. Puteți scădea abscisa și ordonata punctului A din abscisa și ordonata punctului O:

Răspuns: 10

Aflați cosinusul pantei segmentului care leagă punctele O(0;0) și A(6;8), cu axa x.

Unghiul de înclinare al unui segment este unghiul dintre acest segment și axa x.

Din punctul A coborâm perpendiculara pe axa x:

Adică, unghiul de înclinare al segmentului este unghiulSAIîn triunghi dreptunghic AVO.

Cosinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este

raportul catetei adiacente la ipotenuză

Trebuie să găsiți ipotenuzaOA.

Conform teoremei lui Pitagora:Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Astfel, cosinusul unghiului de înclinare este 0,6

Răspuns: 0,6

Din punctul (6;8) se coboară perpendiculara pe axa absciselor. Aflați abscisa bazei perpendicularei.

Se trasează o linie dreaptă prin punctul (6; 8), paralelă cu axa x. Aflați ordonata punctului său de intersecție cu axa OU.

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la axa x.

Găsiți distanța de la un punct A cu coordonatele (6;8) la origine.

Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Notă: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt rearanjate: și , dar prima opțiune este mai standard

Exemplul 3

Decizie: după formula corespunzătoare:

Răspuns:

Pentru claritate, voi face un desen

Segment de linie - nu este un vector, și nu o poți muta nicăieri, desigur. În plus, dacă completați desenul la scară: 1 unitate. \u003d 1 cm (două celule tetrade), atunci răspunsul poate fi verificat cu o riglă obișnuită, măsurând direct lungimea segmentului.

Da, soluția este scurtă, dar există câteva puncte importante pe care aș dori să le clarific:

În primul rând, în răspuns am stabilit dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, formularea generală va fi o soluție competentă din punct de vedere matematic: „unități” - abreviat ca „unități”.

În al doilea rând, să repetăm materialul școlar, care este util nu numai pentru problema luată în considerare:

fi atent la truc tehnic important – scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, am obținut rezultatul și un stil matematic bun implică scoaterea multiplicatorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Procesul arată mai detaliat astfel: . Bineînțeles, lăsarea răspunsului în formă nu va fi o greșeală - dar este cu siguranță un defect și un argument serios pentru ridicarea din partea profesorului.

Iată și alte cazuri comune:

Adesea se obține un număr suficient de mare sub rădăcină, de exemplu. Cum să fii în astfel de cazuri? Pe calculator, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4:. Da, împărțiți complet, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . În acest fel: . Ultima cifră a numărului este impară, așa că împărțirea la 4 pentru a treia oară nu este în mod clar posibilă. Încercarea de a împărți la nouă: . Ca urmare:
Gata.

Concluzie: dacă sub rădăcină obținem un număr complet neextractabil, atunci încercăm să scoatem factorul de sub rădăcină - pe calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

În cursul rezolvării diferitelor probleme se găsesc adesea rădăcini, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita un scor mai mic și probleme inutile la finalizarea soluțiilor conform observației profesorului.

Să repetăm în același timp pătrarea rădăcinilor și a altor puteri:

Reguli pentru acțiuni cu grade în vedere generala poate fi găsit într-un manual școlar de algebră, dar cred că totul sau aproape totul este deja clar din exemplele date.

Sarcina pentru o soluție independentă cu un segment în spațiu:

Exemplul 4

Puncte date și . Aflați lungimea segmentului.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Există trei sisteme principale de coordonate utilizate în geometrie, mecanică teoretică și alte ramuri ale fizicii: carteziană, polară și sferică. În aceste sisteme de coordonate, întregul punct are trei coordonate. Cunoscând coordonatele a 2 puncte, se poate determina distanța dintre aceste două puncte.

Vei avea nevoie

Coordonatele carteziene, polare și sferice ale capetelor unui segment

Instruire

1. Să începem cu un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Locația unui punct în spațiu în acest sistem de coordonate este determinată de coordonate x,y și z. Un vector rază este trasat de la originea coordonatelor până la punct. Proiecțiile acestui vector rază pe axele de coordonate vor fi coordonate acest punct.Să presupunem că acum aveți două puncte cu coordonate x1,y1,z1 și x2,y2 și respectiv z2. Desemnați pentru r1 și, respectiv, r2, vectorii cu rază ai primului și al doilea punct. Aparent, distanța dintre aceste două puncte va fi egală cu modulul vectorului r = r1-r2, unde (r1-r2) este diferența vectorială.Coordonatele vectorului r, aparent, vor fi următoarele: x1- x2, y1-y2, z1-z2. Atunci modulul vectorului r sau distanța dintre două puncte va fi: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

2. Să considerăm acum sistemul de coordonate polare, în care coordonata punctului va fi dată de coordonata radială r (vector rază în planul XY), coordonata unghiulară? (unghiul dintre vectorul r si axa X) si coordonata z, asemanatoare coordonatei z in sistemul cartezian.Coordonatele polare ale punctului pot fi convertite in carteziene in felul urmator: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Apoi distanța dintre două puncte cu coordonate r1, ?1 ,z1 și r2, ?2, z2 va fi egal cu R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

3. Acum luați în considerare sistemul de coordonate sferice. În ea, locația punctului este dată de trei coordonate r, ? și?. r este distanța de la origine la punct, ? și? sunt unghiurile azimut și, respectiv, zenit. Colţ? similar cu unghiul cu aceeași denumire în sistemul de coordonate polare, nu? este unghiul dintre vectorul rază r și axa Z, cu 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с coordonate r1, ?1, ?1 și r2, ?2 și ?2 vor fi egale cu R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Videoclipuri asemănătoare

segment numiți partea unei linii drepte formată din toate punctele acestei linii care sunt situate între cele două puncte date - se numesc capete ale segmentului.

Să luăm în considerare primul exemplu. Fie dat un anumit segment în planul de coordonate prin două puncte. În acest caz, putem găsi lungimea ei prin aplicarea teoremei lui Pitagora.

Deci, în sistemul de coordonate, desenați un segment cu coordonatele date ale capetelor sale(x1; y1) și (x2; y2) . pe osie X și Y scăpați perpendiculare de la capetele segmentului. Marcați cu roșu segmentele care sunt proiecții față de segmentul original pe axa de coordonate. După aceea, transferăm segmentele de proiecție paralele cu capetele segmentelor. Obținem un triunghi (dreptunghiular). Ipotenuza acestui triunghi va fi însuși segmentul AB, iar catetele sale sunt proiecțiile transferate.

Să calculăm lungimea acestor proiecții. Deci pe axa Y lungimea proiecției este y2-y1 , și pe axă X lungimea proiecției este x2-x1 . Să aplicăm teorema lui Pitagora: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . În acest caz |AB| este lungimea segmentului.

Dacă utilizați această schemă pentru a calcula lungimea unui segment, atunci nici măcar nu puteți construi un segment. Acum calculăm care este lungimea segmentului cu coordonatele (1;3) și (2;5) . Aplicând teorema lui Pitagora, obținem: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Și asta înseamnă că lungimea segmentului nostru este egală cu 5:1/2 .

Luați în considerare următoarea metodă pentru a afla lungimea unui segment. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem coordonatele a două puncte dintr-un sistem. Luați în considerare această opțiune folosind un sistem de coordonate carteziene bidimensional.

Deci, într-un sistem de coordonate bidimensional, sunt date coordonatele punctelor extreme ale segmentului. Dacă tragem linii drepte prin aceste puncte, acestea trebuie să fie perpendiculare pe axa de coordonate, atunci obținem un triunghi dreptunghic. Segmentul inițial va fi ipotenuza triunghiului rezultat. Catele triunghiului formează segmente, lungimea lor este egală cu proiecția ipotenuzei pe axele de coordonate. Pe baza teoremei lui Pitagora, concluzionăm: pentru a găsi lungimea unui segment dat, trebuie să găsiți lungimile proiecțiilor pe două axe de coordonate.

Găsiți lungimile proiecției (X și Y) segmentul original la axele de coordonate. Le calculăm găsind diferența în coordonatele punctelor de-a lungul unei axe separate: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Calculați lungimea segmentului ȘI , pentru aceasta găsim rădăcina pătrată:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Dacă segmentul nostru este situat între puncte ale căror coordonate 2;4 și 4;1 , atunci lungimea sa, respectiv, este egală cu √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Dacă atingeți o foaie de caiet cu un creion bine ascuțit, va rămâne o urmă care dă o idee despre rost. (Fig. 3).

Pe o coală de hârtie notăm două puncte A și B. Aceste puncte pot fi conectate prin diferite linii ( fig. 4). Și cum se conectează punctele A și B cu cea mai scurtă linie? Acest lucru se poate face folosind o riglă ( fig. 5). Linia rezultată este numită segment.

Punct și linie - Exemple forme geometrice.

Punctele A și B sunt numite capetele segmentului.

Există un singur segment ale cărui capete sunt punctele A și B. Prin urmare, un segment este notat prin notarea punctelor care sunt capetele sale. De exemplu, segmentul din figura 5 este desemnat într-unul din două moduri: AB sau BA. Citiți: „segment AB” sau „segment BA”.

Figura 6 prezintă trei segmente. Lungimea segmentului AB este egală cu 1 cm.Se așează exact de trei ori în segmentul MN și exact de 4 ori în segmentul EF. Vom spune asta lungimea segmentului MN este de 3 cm, iar lungimea segmentului EF este de 4 cm.

De asemenea, se obișnuiește să se spună: „segmentul MN este de 3 cm”, „segmentul EF este de 4 cm”. Ei scriu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Am măsurat lungimile segmentelor MN și EF un singur segment, a cărui lungime este de 1 cm. Pentru a măsura segmente, puteți alege altele unități de lungime, de exemplu: 1 mm, 1 dm, 1 km. În figura 7, lungimea segmentului este de 17 mm. Se măsoară printr-un singur segment, a cărui lungime este de 1 mm, folosind o riglă cu diviziuni. De asemenea, folosind o riglă, puteți construi (desena) un segment de o lungime dată (vezi fig. 7).

În general, a măsura un segment înseamnă a număra câte segmente unitare încap în el.

Lungimea unui segment are următoarea proprietate.

Dacă punctul C este marcat pe segmentul AB, atunci lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC și CB(Fig. 8).

Ei scriu: AB = AC + CB.

Figura 9 prezintă două segmente AB și CD. Aceste segmente vor coincide atunci când sunt suprapuse.

Două segmente sunt numite egale dacă coincid atunci când sunt suprapuse.

Prin urmare, segmentele AB și CD sunt egale. Ei scriu: AB = CD.

Segmentele egale au lungimi egale.

Dintre cele două segmente inegale, îl vom considera mai mare pe cel cu lungimea mai mare. De exemplu, în Figura 6, segmentul EF este mai mare decât segmentul MN.

Se numește lungimea segmentului AB distanţăîntre punctele A și B.

Dacă mai multe segmente sunt aranjate așa cum se arată în Figura 10, atunci se va obține o figură geometrică, care se numește linie frântă. Rețineți că toate segmentele din Figura 11 nu formează o linie întreruptă. Se crede că segmentele formează o linie întreruptă dacă sfârșitul primului segment coincide cu sfârșitul celui de-al doilea, iar celălalt capăt al celui de-al doilea segment coincide cu sfârșitul celui de-al treilea etc.

Punctele A, B, C, D, E − vârfuri de polilinie ABCDE, punctele A și E − capete de linie întreruptă, iar segmentele AB, BC, CD, DE sunt ale acestuia link-uri(vezi fig. 10).

Lungimea liniei întrerupte este suma lungimilor tuturor legăturilor sale.