În acest articol, vom explica cum să folosiți formule pentru a rezolva sisteme ecuatii lineare.

Iată un exemplu de sistem de ecuații liniare:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Soluția este să găsești astfel de valori Xși la, care satisfac ambele ecuații. Acest sistem de ecuații are o soluție:
x=7,5
y=-3,625

Numărul de variabile din sistemul de ecuații trebuie să fie egal cu numărul de ecuații. Exemplul anterior folosește două ecuații în două variabile. Sunt necesare trei ecuații pentru a găsi valorile a trei variabile ( X,lași z). Pașii generali pentru rezolvarea sistemelor de ecuații sunt următorii (Fig. 128.1).

1. Exprimați ecuațiile în formă standard. Dacă este necesar, utilizați algebra de bază și rescrieți ecuația astfel încât toate variabilele să apară în stânga semnului egal. Următoarele două ecuații sunt identice, dar a doua este în formă standard:
   3x - 8 = -4y
   3x + 4y = 8 .
2. Plasați coeficienții într-un interval de celule de mărime n X n, Unde n este numărul de ecuații. Pe fig. 128,1 coeficienți sunt în intervalul I2:J3.
3. Plasați constantele (numerele din dreapta semnului egal) într-un interval vertical de celule. Pe fig. 128.1 constantele sunt în intervalul L2:L3 .
4. Utilizați o serie de formule pentru a calcula matrice inversă coeficienți. Pe fig. 128.1 următoarea formulă matrice este introdusă în intervalul I6:J7 (nu uitați să apăsați Ctrl+Shift+Enter pentru a introduce o formulă matrice: =INV(I2:J3) .
5. Utilizați o formulă matrice pentru a înmulți inversul unei matrice de coeficienți cu o matrice de constante. Pe fig. 128.1 Următoarea formulă matrice este introdusă în intervalul J10:JJ11 , care conține soluția (x = 7,5 și y = -3,625): =MMULT(I6:J7;L2:L3) . Pe fig. 128.2 prezintă o foaie pregătită pentru a rezolva un sistem de trei ecuații.

LA programul Excel există un set de instrumente extins pentru rezolvare diferite feluri ecuații în moduri diferite.

Să ne uităm la câteva exemple de soluții.

Rezolvarea ecuațiilor prin metoda selectării parametrilor Excel

Instrumentul de căutare a parametrilor este utilizat într-o situație în care rezultatul este cunoscut, dar argumentele sunt necunoscute. Excel alege valori până când calculul dă totalul dorit.

Calea către comandă: „Date” - „Lucrul cu date” - „Analiza ce se întâmplă dacă” - „Selectarea parametrilor”.

Să aruncăm o privire la soluție ecuație pătratică x 2 + 3x + 2 = 0. Ordinea găsirii rădăcinii folosind Excel:

Programul folosește un proces ciclic pentru a selecta parametrul. Pentru a modifica numărul de iterații și eroarea, trebuie să mergeți la opțiunile Excel. În fila „Formule”, setați limita pentru numărul de iterații, eroare relativă. Bifați caseta „Activați calculele iterative”.



Cum se rezolvă sistemul de ecuații prin metoda matricei în Excel

Sistemul de ecuații este dat:

Se obțin rădăcinile ecuației.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda lui Cramer în Excel

Să luăm sistemul de ecuații din exemplul anterior:

Pentru a le rezolva prin metoda Cramer, calculăm determinanții matricelor obținute prin înlocuirea unei coloane din matricea A cu o matrice coloană B.

Pentru a calcula determinanții, folosim funcția MOPRED. Argumentul este un interval cu matricea corespunzătoare.

De asemenea, calculăm determinantul matricei A (matrice - intervalul matricei A).

Determinantul sistemului este mai mare decât 0 - soluția poate fi găsită folosind formula Cramer (D x / |A|).

Pentru a calcula X 1: \u003d U2 / $ U $ 1, unde U2 - D1. Pentru a calcula X 2: =U3/$U$1. etc. Obținem rădăcinile ecuațiilor:

Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda Gauss în Excel

De exemplu, să luăm cel mai simplu sistem de ecuații:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Scriem coeficienții în matricea A. Termeni liberi - în matricea B.

Pentru claritate, evidențiem membrii gratuiti prin completare. Dacă prima celulă a matricei A este 0, trebuie să schimbați rândurile astfel încât să existe o altă valoare decât 0.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor prin iterație în Excel

Calculele din registrul de lucru trebuie configurate după cum urmează:

Acest lucru se face în fila „Formule” din „Opțiuni Excel”. Să găsim rădăcina ecuației x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) prin iterație folosind referințe ciclice. Formulă:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M este valoarea maximă a derivatei modulo. Pentru a găsi M, să facem calculele:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Valoarea rezultată este mai mică decât 0. Prin urmare, funcția va avea semnul opus: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

În celula A3, introduceți valoarea: a = 1. Precizie - trei zecimale. Pentru a calcula valoarea curentă a lui x în celula adiacentă (B3), introduceți formula: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

În celula C3, controlăm valoarea lui f (x): folosind formula =B3-POWER(B3;3)+1.

Rădăcina ecuației este 1,179. Introduceți valoarea 2 în celula A3. Obținem același rezultat:

Există o singură rădăcină într-un interval dat.

» Lecția 15

Lecția 15

Metoda Cramer

(SLN)
- identificator de sistem
Dacă determinantul SLE este diferit de zero, atunci soluția sistemului este determinată în mod unic de formulele Cramer:
, , ()
Unde:

	Pentru a face acest lucru, în coloana în care se află variabila x și, prin urmare, în prima coloană, în locul coeficienților de la x, punem coeficienții liberi, care în sistemul de ecuații sunt în partea dreaptă a ecuațiilor.
	Pentru a face acest lucru, în coloana în care este variabila y (coloana a 2-a), în locul coeficienților de la y, punem coeficienții liberi, care în sistemul de ecuații sunt în partea dreaptă a ecuațiilor.
	Pentru a face acest lucru, în coloana în care se află variabila z, adică a treia coloană, în locul coeficienților de la z, punem coeficienții liberi, care în sistemul de ecuații sunt în partea dreaptă a ecuațiilor.

Exercitiul 1. Rezolvați SLE cu formule Cramer în Excel

Progresul deciziei

1. Scriem ecuația sub formă de matrice:

2. Introduceți matricea A și B în Excel.

3. Aflați determinantul matricei A. Ar trebui să fie egal cu 30.

4. Determinantul sistemului este diferit de zero, prin urmare - soluția este determinată în mod unic de formulele lui Cramer.

5. Completați valorile dX, dY, dZ pe foaia Excel (a se vedea figura de mai jos).

6. Pentru a calcula valorile dX, dY, dZ în celulele F8, F12, F16, trebuie să introduceți o funcție care calculează determinantul dX, dY, respectiv dZ.

7. Pentru a calcula valoarea lui X în celula I8, trebuie să introduceți formula =F8/B5 (conform formulei lui Cramer dX/|A|).

8. Introduceți formule pentru a calcula singuri Y și Z.

Sarcina 2: găsiți independent soluția SLE prin metoda Cramer:

formulele lui Cramer și metoda matricei soluțiile sistemelor de ecuații liniare nu au aplicații practice serioase, deoarece sunt asociate cu calcule greoaie. În practică, metoda Gauss este folosită cel mai adesea pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare.

metoda Gauss

Procesul de soluție Gaussian constă din două etape.

1. Cursă dreaptă: sistemul este redus la o formă în trepte (în special, triunghiulară).

Pentru a rezolva un sistem de ecuații, se scrie matricea augmentată a acestui sistem

iar peste rândurile acestei matrice produc transformări elementare, aducând-o la forma când zerourile vor fi situate sub diagonala principală.
Este permisă efectuarea de transformări elementare pe matrici.
Cu ajutorul acestor transformări, de fiecare dată se obține matricea augmentată sistem nou, echivalent cu cel original, i.e. un sistem a cărui soluție coincide cu soluția sistemului original.

2. Revers: există o determinare secvenţială a necunoscutelor din acest sistem treptat.

Exemplu. Setați compatibilitatea și rezolvați sistemul

Decizie.
Mișcare directă: Să scriem matricea extinsă a sistemului și să schimbăm primul și al doilea rând astfel încât elementul să fie egal cu unul (este mai convenabil să efectuăm transformări de matrice în acest fel).



.

Avem Rangurile matricei sistemului și matricei sale extinse au coincis cu numărul de necunoscute. Conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul de ecuații este consistent și soluția sa este unică.
Mișcare inversă: Să notăm sistemul de ecuații, a cărui matrice extinsă am obținut-o în urma transformărilor:

Deci avem .
În plus, substituind în a treia ecuație, găsim .
Înlocuind și în a doua ecuație, obținem .
Înlocuind în prima ecuație găsită obținem .
Astfel, avem o soluție pentru sistem.

Rezolvarea SLE prin metoda Gauss în Excel:

Textul vă va solicita să introduceți o formulă de forma: (=A1:B3+$C$2:$C$3) în intervalul de celule etc., acestea sunt așa-numitele „formule matrice”. Microsoft Excelîl închide automat între acolade (( )). Pentru a introduce acest tip de formulă, selectați întregul interval în care doriți să introduceți formula, introduceți formula fără paranteze în prima celulă (pentru exemplul de mai sus - =A1:B3+$C$2:$C$3) și apăsați Ctrl +Shift+Enter.
Să avem un sistem de ecuații liniare:

1. Să scriem coeficienții sistemului de ecuații din celulele A1:D4 și coloana de termeni liberi din celulele E1:E4. Dacă într-o celulăA1este 0, trebuie să schimbați rândurile astfel încât această celulă să aibă o valoare diferită de zero. Pentru o mai mare claritate, puteți adăuga o umplere în celulele în care se află membrii liberi.

2. Este necesar să reduceți coeficientul la x1 în toate ecuațiile, cu excepția primei, la 0. Mai întâi, să facem asta pentru a doua ecuație. Copiați prima linie în celulele A6:E6 fără modificări, în celulele A7:E7 trebuie să introduceți formula: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Astfel, scădem primul rând din al doilea rând, înmulțit cu A2/$A$1, adică. raportul primilor coeficienți ai celei de-a doua și primei ecuații. Pentru comoditatea completării rândurilor 8 și 9, referințele la celulele primei rânduri trebuie să fie absolute (folosim simbolul $).

3. Copiem formula introdusă în rândurile 8 și 9, scăpând astfel de coeficienții din fața lui x1 în toate ecuațiile cu excepția primei.

4. Acum să aducem coeficienții în fața lui x2 în a treia și a patra ecuație la 0. Pentru a face acest lucru, copiați rândurile 6 și 7 rezultate (numai valorile) în rândurile 11 și 12, iar în celulele A13:E13 introduceți formula (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), pe care apoi îl copiem în celulele A14:E14. Astfel, se realizează diferența rândurilor 8 și 7, înmulțită cu coeficientul B8/$B$7. .

5. Rămâne să aducem coeficientul la x3 în a patra ecuație la 0, pentru aceasta vom face din nou același lucru: copiați rândurile 11, 12 și 13 rezultate (numai valorile) în rândurile 16-18 și introduceți formula ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Astfel, se realizează diferența dintre rândurile 14 și 13, înmulțită cu coeficientul C14/$C$13. Nu uitați să permutați liniile pentru a scăpa de 0 în numitorul fracției.

6. Măturarea Gaussiană înainte este finalizată. Să începem rularea inversă de pe ultimul rând al matricei rezultate. Este necesar să împărțiți toate elementele ultimului rând cu coeficientul de la x4. Pentru a face acest lucru, în rândul 24 introducem formula (=A19:E19/D19).

7. Să aducem toate rândurile într-o formă similară, pentru aceasta completăm rândurile 23, 22, 21 cu următoarele formule:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - scadem al patrulea rand inmultit cu coeficientul de la x4 al treilea rand din al treilea rand.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – scade a treia și a patra linie din a doua linie, înmulțită cu coeficienții corespunzători.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – scade pe al doilea, al treilea și al patrulea din prima linie, înmulțit cu coeficienții corespunzători.

Rezultatul (rădăcinile ecuației) se calculează în celulele E21:E24.

Alcătuit de: Saliy N.A.

Metoda lui Cramer este folosită pentru a rezolva sistemele liniare ecuații algebrice(SLAE), în care numărul de variabile necunoscute este egal cu numărul de ecuații, iar determinantul matricei principale este diferit de zero. În acest articol, vom analiza modul în care variabilele necunoscute sunt găsite folosind metoda Cramer și vom obține formule. După aceea, ne întoarcem la exemple și descriem în detaliu soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Navigare în pagină.

Metoda lui Cramer - derivarea formulelor.

Trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații liniare de forma

Unde x 1 , x 2 , …, x n sunt variabile necunoscute, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- coeficienți numerici, b 1 , b 2 , ..., b n - membri liberi. Soluția SLAE este un astfel de set de valori x 1 , x 2 , …, x n pentru care toate ecuațiile sistemului se transformă în identități.

Sub formă de matrice, acest sistem poate fi scris ca A ⋅ X = B , unde - matricea principală a sistemului, elementele sale sunt coeficienții variabilelor necunoscute, - matricea este o coloană de termeni liberi și - matricea este o coloană de variabile necunoscute. După găsirea variabilelor necunoscute x 1 , x 2 , …, x n , matricea devine o soluție a sistemului de ecuații și egalitatea A ⋅ X = B se transformă într-o identitate .

Vom presupune că matricea A este nedegenerată, adică determinantul ei este diferit de zero. În acest caz, sistemul de ecuații algebrice liniare are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. (Metodele de rezolvare a sistemelor pentru sunt discutate în secțiunea de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare).

Metoda lui Cramer se bazează pe două proprietăți ale determinantului matricei:

Deci, să începem să găsim variabila necunoscută x 1 . Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale primei ecuații a sistemului cu A 1 1, ambele părți ale celei de-a doua ecuații - cu A 2 1 și așa mai departe, ambele părți ale ecuației a n-a - cu A n 1 ( adică înmulțim ecuațiile sistemului cu complementele algebrice corespunzătoare ale primei coloane a matricei A ):

Adăugăm toate părțile din stânga ale ecuației sistemului, grupând termenii cu variabile necunoscute x 1, x 2, ..., x n și echivalăm această sumă cu suma tuturor părților din dreapta ale ecuațiilor:

Dacă ne întoarcem la proprietățile exprimate anterior ale determinantului, atunci avem

iar egalitatea anterioară ia forma

Unde

În mod similar, găsim x 2 . Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuațiilor sistemului cu complementele algebrice ale coloanei a doua a matricei A:

Adăugăm toate ecuațiile sistemului, grupăm termenii cu variabile necunoscute x 1, x 2, ..., x n și aplicăm proprietățile determinantului:

Unde
.

Variabilele rămase necunoscute se găsesc în mod similar.

Dacă desemnăm

Apoi primim formule pentru găsirea variabilelor necunoscute folosind metoda Cramer .

Cometariu.

Dacă sistemul de ecuații algebrice liniare este omogen, adică , atunci are doar o soluție banală (pentru ). Într-adevăr, pentru zero termeni liberi, toți determinanții vor fi nule deoarece vor conține o coloană de elemente nule. Prin urmare, formulele va da .

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Să scriem algoritm de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Găsiți o soluție la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer .

Decizie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculăm determinantul acestuia prin formula :

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, SLAE are o soluție unică și poate fi găsită prin metoda Cramer. Notăm determinanții și . Înlocuim prima coloană a matricei principale a sistemului cu o coloană de termeni liberi și obținem determinantul . În mod similar, înlocuim a doua coloană a matricei principale cu o coloană de termeni liberi și obținem .

Calculăm acești determinanți:

Găsim variabile necunoscute x 1 și x 2 folosind formulele :

Hai să facem o verificare. Inlocuim valorile obtinute x 1 si x 2 in sistemul original de ecuatii:

Ambele ecuații ale sistemului se transformă în identități, prin urmare, soluția este găsită corect.

Răspuns:

.

Unele elemente ale matricei SLAE principale pot fi egale cu zero. În acest caz, nu vor exista variabile necunoscute corespunzătoare în ecuațiile sistemului. Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Găsiți o soluție la un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer .

Decizie.

Să rescriem sistemul în formă pentru a vedea matricea principală a sistemului . Găsiți determinantul său după formula

Avem

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare are o soluție unică. Să-l găsim prin metoda lui Cramer. Calculați determinanții :

În acest fel,

Răspuns:

Denumirile variabilelor necunoscute din ecuațiile sistemului pot diferi de x 1 , x 2 , …, x n . Acest lucru nu afectează procesul decizional. Dar ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului este foarte importantă la compilarea matricei principale și a determinanților necesari ai metodei Cramer. Să explicăm acest punct cu un exemplu.

Exemplu.

Folosind metoda lui Cramer, găsiți o soluție la un sistem de trei ecuații algebrice liniare în trei necunoscute .

Decizie.

În acest exemplu, variabilele necunoscute au o denumire diferită (x , y și z în loc de x 1 , x 2 și x 3 ). Acest lucru nu afectează cursul soluției, dar aveți grijă la notarea variabilelor. NU luați ca matrice principală a sistemului . Mai întâi trebuie să ordonați variabilele necunoscute în toate ecuațiile sistemului. Pentru a face acest lucru, rescriem sistemul de ecuații ca . Acum matricea principală a sistemului este clar vizibilă . Să calculăm determinantul acestuia:

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică. Să-l găsim prin metoda lui Cramer. Să notăm determinanții (atenție la notație) și calculează-le:

Rămâne să găsiți variabile necunoscute folosind formulele :

Hai să facem o verificare. Pentru a face acest lucru, înmulțim matricea principală cu soluția rezultată (dacă este necesar, vezi secțiunea ):

Ca rezultat, am obținut o coloană de termeni liberi ai sistemului original de ecuații, astfel încât soluția a fost găsită corect.

Răspuns:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare prin metoda lui Cramer , unde a și b sunt numere reale.

Decizie.

Răspuns:

Exemplu.

Găsiți o soluție a sistemului de ecuații Metoda lui Cramer este un număr real.

Decizie.

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului: . expresiile au un interval, deci pentru orice valoare reală. Prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. Calculăm și:

Sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi de asemenea rezolvat folosind add-in „Căutați o soluție”. Când utilizați acest add-on, se construiește o secvență de aproximări , i=0,1,...n.

Hai sa sunăm vector rezidual următorul vector:

Treaba lui Excel este să găsiți o astfel de aproximare , la care vectorul rezidual ar deveni zero, adică pentru a realiza coincidența valorilor părților din dreapta și din stânga ale sistemului.

Ca exemplu, luați în considerare SLAE (3.27).

Secvențiere:

1. Să facem un tabel, așa cum se arată în Figura 3.4. Să introducem coeficienții sistemului (matricea A) în celulele A3:C5.

Fig.3.4. Rezolvarea SLAE utilizând suplimentul „Căutați o soluție”

2. În celulele A8:C8 se va forma soluția sistemului (x 1, x 2, x 3). Inițial, acestea rămân goale, adică. zero. În cele ce urmează, le vom numi schimbarea celulelor.. Cu toate acestea, pentru a controla corectitudinea formulelor introduse mai jos, este convenabil să introduceți orice valori în aceste celule, de exemplu, unități. Aceste valori pot fi considerate ca o aproximare zero a soluției sistemului, = (1, 1, 1).

3. În coloana D introducem expresii pentru calcularea părților din stânga sistemului original. Pentru a face acest lucru, în celula D3, introduceți și apoi copiați formula până la sfârșitul tabelului:

D3=SUMAPRODUS(A3:C3;$A$8:$C$8).

Funcția utilizată SUMPRODUS aparține categoriei Matematic.

4. În coloana E notăm valorile părților din dreapta ale sistemului (matricea B).

5. În coloana F introducem reziduuri conform formulei (3.29), adică. introduceți formula F3=D3-E3 și copiați-o până la sfârșitul tabelului.

6. Nu va fi de prisos să verificăm corectitudinea calculelor pentru cazul = (1, 1, 1).

7. Alegeți o echipă Date\Analiză\Căutați o soluție.

Orez. 3.5. Fereastra de completare Solver

La fereastră Găsirea unei soluții(fig.3.5) în câmp Celulele schimbabile specifica un bloc 8 USD: 8 USD, iar în câmp Restricții – $F$3:$F$5=0. Apoi, faceți clic pe butonul Adăugași introduceți aceste restricții. Și apoi butonul Alerga

Soluția rezultată a sistemelor (3.28) X 1 = 1; X 2 = –1X 3 = 2 este scris în celulele A8:C8, Fig.3.4.

Implementarea metodei Jacobi folosind MS Excel

Ca exemplu, luați în considerare sistemul de ecuații (3.19), a cărui soluție a fost obținută mai sus prin metoda Jacobi (Exemplul 3.2)

Aducem acest sistem la aspect normal:

Secvențierea

1. Să facem un tabel, așa cum se arată în Fig. 3.6.:

Introducem matrice și (3.15) în celulele B6:E8.

Sens e– în H5.

Număr de iterație k vom forma în coloana A a tabelului folosind autocompletare.

Ca aproximare zero, alegem vectorul

= (0, 0, 0) și introduceți-l în celulele B11:D11.

2. Folosind expresiile (3.29), în celulele B12:D12 scriem formule pentru calcularea primei aproximări:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Aceste formule pot fi scrise diferit folosind Funcția Excel SUMPRODUS

În celula E12, introduceți formula: E12=ABS(B11-B12) și copiați-o la dreapta, în celulele F12:G12.

Fig.3.6. Schema de rezolvare a SLAE prin metoda Jacobi

3. În celula H12, introduceți formula de calcul M(k), folosind expresia (3.18): H12 = MAX(E12:G12). Funcția MAX este în categorie statistic.

4. Selectați celulele B12:H12 și copiați-le până la sfârșitul tabelului. Astfel, primim k aproximări ale soluției SLAE.

5. Determinați soluția aproximativă a sistemului și numărul de iterații necesare pentru a obține acuratețea dată e.

Pentru a face acest lucru, estimăm gradul de apropiere a două iterații învecinate folosind formula (3.18). Să folosim formatarea condiționalăîn celulele coloanei.

Rezultatul unei astfel de formatări este vizibil în Figura 3.6. Celulele coloanei H ale căror valori satisfac condiția (3.18), adică mai mica e=0,1, colorat.

Analizând rezultatele, luăm a patra iterație ca o soluție aproximativă a sistemului original cu o precizie dată e=0,1, i.e.

Explorând natura procesului iterativ. Pentru a face acest lucru, selectați un bloc de celule A10:D20 și, folosind diagrama master, vom construi grafice ale modificărilor în fiecare componentă a vectorului soluție în funcție de numărul de iterație,

Graficele prezentate (Fig. 3.7) confirmă convergența procesului iterativ.

Orez. 3.7. Ilustrarea unui proces iterativ convergent

Schimbarea valorii eîn celula H5, obținem o nouă soluție aproximativă a sistemului original cu o nouă precizie.

Implementarea metodei sweep folosind Excel

Luați în considerare soluția următorului sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda „sweep”, folosind tabelele excela.

Vectori:

Secvențierea

1. Să facem un tabel, așa cum se arată în Figura 3.8. Datele inițiale ale matricei extinse a sistemului (3.30), i.e. vectorii vor fi introduși în celulele B5:E10.

2. Despre cote de curse U 0 =0 și V 0 =0 intră în celulele G4 și respectiv H4.

3. Calculați coeficienții de baleiaj L i , U i , V i. Pentru a face acest lucru, în celulele F5, G5, H5 calculăm L1, U1, V1. prin formula (3.8). Pentru a face acest lucru, introducem formulele:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, apoi copiați-le.

Fig.3.8. Schema de proiectare a metodei „maturare”.

4. În celula I10 calculăm x6 prin formula (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. Folosind formula (3.7), calculăm toate celelalte necunoscute x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 . Pentru a face acest lucru, în celula I9 calculăm x5 prin formula (3.6): I9=G9*I10+H9. Și apoi copiați această formulă.

întrebări de testare

1. Sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE). Care este soluția SLAE. Când există o soluție SLAE unică.

2. caracteristici generale metode directe (exacte) pentru rezolvarea SLAE. Metode Gauss și măturări.

3. Caracteristici generale ale metodelor iterative de rezolvare a SLAE-urilor. metode Jacobi ( iterații simple) și Gauss-Seidel.

4. Condiții pentru convergența proceselor iterative.

5. Ce se înțelege prin termenii condiționalității sarcinilor și calculelor, corectitudinea problemei de rezolvare a SLAE.

capitolul 4

Integrare numerică

Când rezolvați o gamă suficient de mare de probleme tehnice, trebuie să faceți față nevoii de a calcula o anumită integrală:

calcul zone, delimitat de curbe, muncă, momente de inerție, multiplicarea diagramelor conform formulei lui Mohr etc. se reduce la calculul unei integrale definite.

Dacă este continuă pe intervalul [ a, b] funcția y = f(x) are un antiderivat pe acest segment F(x), adică F' (x) = f(x), atunci integrala (4.1) poate fi calculată folosind formula Newton-Leibniz:

Cu toate acestea, numai pentru o clasă restrânsă de funcții y=f(x) antiderivat F(x) poate fi exprimat în funcţii elementare. În plus, funcția y=f(x) poate fi specificat grafic sau tabular. În aceste cazuri, aplicați diverse formule pentru calculul aproximativ al integralelor.

Astfel de formule sunt numite formule de cuadratura sau formule de integrare numerică.

Formulele de integrare numerică sunt bine ilustrate grafic. Se știe că valoarea integralei definite (4.1) proporţional aria trapezului curbiliniu format de integrand y=f(x), Drept x=a și x=b, axă OH(fig.4.1).

Problema calculării integralei definite (4.1) este înlocuită cu problema calculării ariei acestui trapez curbiliniu. Cu toate acestea, problema găsirii zonei unui curbiliniu nu este una simplă.

De aici va fi ideea integrării numerice la înlocuirea unui trapez curbiliniu cu o figură, aria care este calculată destul de simplu.

y=f(x)

y

X

xi

xi+1

xn=b

xo=a

Si

Fig.4.1. Interpretarea geometrică a integrării numerice

Pentru aceasta, intervalul de integrare [ a, b] împărțit în n egal segmente elementare (i=0, 1, 2, …..,n-1), pas cu pas h=(b-a)/n.În acest caz, trapezul curbiliniu va fi împărțit în n trapeze curbilinii elementare cu bazele egale h(fig.4.1).

Fiecare trapez curbiliniu elementar este înlocuit cu o cifră, aria care este calculată destul de simplu. Să desemnăm această zonă Si. Se numește suma tuturor acestor zone suma integralăși se calculează prin formula

Atunci formula aproximativă de calcul a integralei definite (4.1) are forma

Precizia calculului prin formula (4.4) depinde de pas h, adică asupra numărului de partiții n. Odată cu creșterea n suma integrală se apropie de valoarea exactă a integralei

Acest lucru este bine ilustrat în Figura 4.2.

Fig.4.2. Dependența preciziei calculării integralei

asupra numărului de partiții

La matematică se dovedește teorema: daca functia y=f(x) este continua pe , atunci limita sumei integrale b n exista si nu depinde de modul in care segmentul este impartit in segmente elementare.

Formula (4.4) poate fi utilizată dacă gradul de precizie al acestora aproximări. Există diverse formule pentru estimarea erorii de exprimare (4.4), dar, de regulă, sunt destul de complicate. Vom estima acuratețea aproximării (4.4) prin metoda jumătate de pas.