Cazul general al stării de tensiune plană. Stare de tensiune plană, deformare plană

Cursul 15

Un exemplu de structură, ale cărei toate punctele sunt într-o stare de tensiune plană, este o placă subțire încărcată la capete de forțele care se află în planul său. Deoarece suprafețele laterale ale plăcii sunt lipsite de stres, din cauza dimensiunii mici a grosimii sale, putem presupune că în interiorul plăcii pe zone paralele cu suprafața acesteia, tensiunile sunt neglijabil de mici. O situație similară apare, de exemplu, la încărcarea arborilor și grinzilor cu un profil cu pereți subțiri.

În cazul general, când vorbim despre o stare de efort plană, nu ne referim la întreaga structură, ci doar la punctul considerat al elementului său. Un semn că starea de stres într-un punct dat este plată este prezența unei platforme care trece prin el pe care nu există solicitări. Astfel de puncte vor fi, în special, puncte de pe suprafața exterioară a corpului care sunt libere de sarcini, care în cele mai multe cazuri sunt periculoase. Așa se explică atenția care este acordată analizei acestui tip de stare de stres.

Când înfățișați un paralelipiped elementar în stare de tensiune plată, este suficient să arătați una dintre fețele sale neîncărcate, aliniându-l cu planul desenului (Fig. 15.1) Apoi fețele încărcate ale elementului se vor alinia cu limitele zona afisata. În acest caz, sistemul de notație pentru tensiuni și regulile semnelor rămân aceleași - componentele stării de stres prezentate în figură sunt pozitive. Ținând cont de legea împerecherii tensiunilor tangențiale

t xy = t yx, starea de efort plană (PSS) este descrisă de trei componente independente - s X, s y, t X y. .

TENSIUNI PE PLATE INCLINATE ÎN STARE DE TENSIUNE PLANĂ

Să alegem din elementul prezentat în Fig. 15.1, o prismă triunghiulară, tăind-o mental cu o secțiune înclinată perpendiculară pe planul desenului xOy. Poziția rampei și axelor asociate X 1 , y 1 va fi setat folosind unghiul a, care va fi considerat pozitiv atunci când axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic.

În ceea ce privește cazul general descris mai sus, prezentat în Fig. 15.2, tensiunile pot fi considerate acționând la un moment dat, dar pe zone orientate diferit. Găsim tensiunile pe platforma înclinată din starea de echilibru a prismei, exprimându-le în termenii tensiunilor date s X, s y, t X y pe feţele care coincid cu planuri de coordonate. Să notăm zona feței înclinate dA, atunci zonele fețelor de coordonate se găsesc după cum urmează:

dA x = dA ca a ,

dA y = dA păcat A .

Să proiectăm forțele care acționează pe fețele prismei pe axă X 1 și y 1:

Reducerea printr-un factor comun dA, și alergând transformări elementare, primim

Având în vedere că

expresiilor (15.1) li se poate da următoarea formă finală:

În fig. 15.3, împreună cu cel original, este prezentat un element infinitezimal, orientat de-a lungul axelor X 1 ,y 1 . Tensiuni pe fețele sale normale cu axa X 1 sunt determinate prin formulele (15.2). Pentru a găsi tensiunea normală pe o față perpendiculară pe axă y 1, este necesar să înlocuiți valoarea a + 90° în loc de unghiul a:

Tensiuni tangenţiale într-un sistem de coordonate rotit X 1 y 1 respectă legea împerecherii, adică

Suma tensiunilor normale, după cum se știe din analiza stării de tensiuni volumetrice, este unul dintre invarianții săi și trebuie să rămână constantă la înlocuirea unui sistem de coordonate cu altul. Acest lucru poate fi ușor verificat prin adăugarea tensiunilor normale determinate din formulele (15.2), (15.3):

TENSURI PRINCIALE

Anterior, am stabilit că zonele în care nu există solicitări de forfecare se numesc zone principale, iar tensiunile asupra acestora se numesc tensiuni principale. Într-o stare de stres plană, poziția uneia dintre zonele principale este cunoscută dinainte - aceasta este o zonă pe care nu există solicitări, de exemplu. combinat cu planul de desen (vezi Fig. 15.1). Să găsim platformele principale perpendiculare pe acesta. Pentru a face acest lucru, stabilim efortul tangențial egal cu zero în (15.1), din care obținem

Unghiul a 0 arată direcția normalei față de locul principal, sau directia principala de aceea se numeste unghiul principal. Deoarece tangentei unui unghi dublu este functie periodica cu perioada p/2, apoi unghiul

a 0 + p/2 este, de asemenea, un unghi principal. Astfel, există trei platforme principale în total, toate fiind reciproc perpendiculare. Singura excepție este cazul când nu există trei zone principale, ci un număr infinit - de exemplu, cu compresie generală, când orice direcție aleasă este cea principală, iar tensiunile sunt aceleași pe toate zonele care trec prin punct. .

Pentru a găsi tensiunile principale, puteți folosi prima dintre formulele (15.2), înlocuind în loc de unghiul a succesiv valorile a 0 și

Se ține cont aici că

Funcțiile trigonometrice pot fi eliminate din expresiile (15.5) dacă folosim binecunoscuta egalitate

Și luați în considerare și formula (15.4). Apoi primim

Semnul plus din formulă corespunde uneia dintre tensiunile principale, semnul minus celuilalt. După calcularea acestora, puteți folosi notația acceptată pentru tensiunile principale s 1, s 2, s 3, ținând cont de faptul că s 1 este cea mai mare din punct de vedere algebric, iar s 3 este cea mai mică stres algebric. Cu alte cuvinte, dacă ambele tensiuni principale găsite din expresiile (15.6) se dovedesc a fi pozitive, obținem

Dacă ambele tensiuni sunt negative, vom avea

În cele din urmă, dacă expresia (15.6) dă valori de tensiune cu semne diferite, atunci tensiunile principale vor fi egale

CELE MAI ÎNALTE VALORI ALE TENSURILOR NORMALE ȘI ANGELANTE

Dacă rotiți mental axele X 1 y 1 și elementul asociat acestora (vezi Fig. 15.3), tensiunile de pe fețele sale se vor modifica, iar la o anumită valoare a unghiului a efortul normal va atinge un maxim. Deoarece suma tensiunilor normale pe zone reciproc perpendiculare rămâne constantă, tensiunea va fi la minim în acest moment.

Pentru a găsi această poziție a site-urilor, trebuie să examinați expresia pentru extremum, considerând-o în funcție de argumentul a:

Comparând expresia dintre paranteze cu (15.2), ajungem la concluzia că tensiunile tangenţiale sunt egale cu zero la locurile dorite. Astfel, tensiunile normale ating valori extreme tocmai la locurile principale.

Pentru a găsi cea mai mare tensiune tangenţială, luăm zonele principale ca iniţiale, aliniind axele XȘi y cu directii principale. Formulele (15.1), în care unghiul a va fi acum măsurat din direcția s 1, vor lua forma:

Din ultima expresie rezultă că efortul de forfecare ajunge cele mai mari valori pe site-uri întors la cele principale cu 45°, când

sin 2a = ±1. Valoarea lor maximă este egală cu

Rețineți că formula (15.8) este valabilă și în cazul în care

REPREZENTARE GRAFICA A O STARE DE STRESS PLAT. CERCUL DE MORA

Formulele (15.7), care determină tensiunile pe o zonă rotită cu un anumit unghi α față de cel principal, au o interpretare geometrică clară. Presupunând pentru certitudine că ambele tensiuni principale sunt pozitive, introducem următoarea notație:

Atunci expresiile (15.7) vor lua forma complet recunoscută a unei ecuații parametrice a unui cerc în coordonatele σ și τ:

Indicele „α” din notație subliniază faptul că tensiunile sunt situate pe locul întors la original în acest unghi. Magnitudinea A determină poziția centrului cercului pe axa σ; raza cercului este R. Arată în Fig. 15.5, diagrama circulară a tensiunilor este denumită în mod tradițional cercul Mohr, numit după celebrul om de știință german Otto Mohr (1835 - 1918) care a propus-o. Direcția axei verticale se alege ținând cont de semn τ α în (15.10). Fiecare valoare a unghiului α corespunde unui punct reprezentativ K (σ α, τ α ) pe un cerc ale cărui coordonate sunt egale cu tensiunile pe zona rotită. Platformele reciproc perpendiculare, în care unghiul de rotație diferă cu 90˚, corespund punctelor KȘi K’ situat la capete opuse ale diametrului.

Se ține cont aici că

întrucât formulele (15.2) și (15.7) când unghiul se modifică cu 90 0 dau semnul efortului de forfecare într-un sistem de coordonate rotit, în care una dintre axe coincide în direcția cu axa inițială, iar cealaltă este opusă ca direcție (Fig. 15.5)

Dacă site-urile inițiale sunt cele principale, i.e. sunt cunoscute valorile lui σ 1 și σ 2, cercul Mohr se construiește ușor folosind punctele 1 și 2. O rază trasată din centrul cercului la un unghi de 2a față de axa orizontală, la intersecția cu cercul , va da un punct reprezentativ, ale cărui coordonate sunt egale cu tensiunile dorite pe zona rotită. Cu toate acestea, este mai convenabil să folosiți așa-numitul pol al unui cerc, direcționând fasciculul din acesta într-un unghi a. Din relația evidentă dintre raza și diametrul unui cerc, polul, desemnat în desen prin literă A, va coincide în acest caz cu punctul 2. În cazul general, polul este situat la intersecția normalelor cu locurile originale. Dacă ariile inițiale nu sunt cele principale, cercul Mohr se construiește astfel: punctele reprezentative sunt trasate pe planul σ - t K (σ X,t X y) Și K’(σ y,-t X y), corespunzătoare zonelor inițiale verticale și orizontale. Prin conectarea punctelor unei linii drepte, găsim centrul cercului la intersecția cu axa σ, după care se construiește diagrama circulară în sine. Intersecția cercului cu axa orizontală va da valoarea tensiunilor principale, iar raza va fi egală cu cea mai mare efort de forfecare. În fig. Figura 15.7 prezintă cercul lui Mohr construit din locurile inițiale care nu sunt principalele. Pol A se află la intersecția normalelor cu plăcuțele originale K.A.Și K’A. Ray A.M., trasă din pol sub un unghi a față de axa orizontală, la intersecția cu cercul va da un punct reprezentativ M(σ a ,t a), ale căror coordonate reprezintă tensiunile asupra zonei de interes pentru noi. Razele trase de la pol la punctele 1 și 2 vor arăta unghiurile principale a 0 și a 0 +90 0. Astfel, cercurile lui Mohr sunt un instrument grafic convenabil pentru analiza unei stări de stres plan.

b) Găsim tensiunea pe marginea unui element rotit cu 45 0 folosind (15.1)

Stres normal pe o zonă perpendiculară

(a = 45 0 +90 0) va fi egal cu

c) Găsim cele mai mari tensiuni tangenţiale folosind (15.8)

2. Soluție grafică.

Să construim cercul lui Mohr folosind punctele reprezentative K(160,40) și K’ (60, -40)

Stâlp cerc A vom gasi la intersectia unor normale cu zonele initiale.

Cercul va intersecta axa orizontală în punctele 1 și 2. Punctul 1 corespunde tensiunii principale σ 1 = 174 MPa, punctul 2 corespunde valorii tensiunii principale σ 2 = 46 MPa. Fascicul condus de la stâlp A prin punctele 1 și 2, va arăta valoarea unghiurilor principale. Tensiunile pe amplasament, rotite cu 45 0 fata de cea originala, sunt egale cu coordonatele punctului reprezentativ. M, situat la intersectia cercului cu raza trasa din pol A la un unghi de 45 0. După cum vedem, solutie grafica Sarcina analizei stării de stres coincide cu cea analitică.

Dacă toți vectorii de stres sunt paraleli cu același plan, starea de stres se numește plan (Fig. 1). În caz contrar: starea de tensiune este plată dacă una dintre cele trei tensiuni principale este zero.

Poza 1.

O stare de efort plană se realizează într-o placă încărcată de-a lungul conturului său cu forțe, ale căror rezultate sunt situate în planul său mijlociu (planul mijlociu este un plan care împarte grosimea plăcii în jumătate).

Direcțiile de stres din fig. 1 sunt considerate pozitive. Unghiul α este pozitiv dacă este reprezentat grafic de pe axa x la axa y. Pe un site cu n normal:

Tensiunea normală σ n este pozitivă dacă este la tracțiune. Tensiunea pozitivă este prezentată în Fig. 1. Regula semnului pentru formula (1) este aceeași ca și pentru tensiunile conform formulei (1).

Regula semnului prezentată aici se aplică platformelor înclinate. In articol „Starea de stres al volumului” a fost formulată o regulă de semn pentru componentele tensiunii într-un punct, adică pentru solicitările pe zone perpendiculare pe axele de coordonate. Această regulă semnului este acceptată în teoria elasticității.

Tensiuni principale pe zonele perpendiculare pe planul tensiunii:

(Deoarece aici sunt luate în considerare doar două tensiuni principale, ele sunt notate cu σ 1 și σ 2, deși se poate dovedi că σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Aceste tensiuni acționează asupra zonelor situate la un unghi de 45° față de prima și a doua zonă principală.

Dacă tensiunile principale σ 1 și σ 2 au același semn, atunci cea mai mare tensiune tangenţială acționează pe o zonă situată la un unghi de 45° față de planul tensiunii (planul xy). În acest caz:

În peretele unei grinzi (aici ne referim la o grindă obișnuită, nu la o grindă-perete), când este îndoită de forțe, se realizează un caz special al unei stări de stres plan. În pereții grinzii, una dintre tensiunile normale σ y este egală cu zero. În acest caz, tensiunile se vor obține după formulele (1), (2) și (4), dacă în aceste formule punem σ y =0. Poziția primei platforme principale este determinată de formula (3).

STRETCH ÎN DOUĂ DIRECȚII(Figura 2).

Fundamentele teoriei elasticității

Cursul 4

Problema plană a teoriei elasticității

Slide 2

În teoria elasticității există o clasă mare de probleme care sunt importante în ceea ce privește aplicațiile practice și permit în același timp simplificări semnificative ale laturii matematice a soluției. Simplificarea constă în faptul că în aceste probleme una dintre axele de coordonate ale corpului, de exemplu axa z, poate fi renunțată și toate fenomenele pot fi considerate ca având loc într-un plan de coordonate x0y al corpului încărcat. În acest caz, tensiunile, deformațiile și deplasările vor fi funcții a două coordonate - x și y.

O problemă considerată în două coordonate se numește problema plană a teoriei elasticității.

Sub termenul " problema plană a teoriei elasticității„combină două probleme fizic diferite, ducând la dependențe matematice foarte asemănătoare:

1) problema unei stări plane deformate (plane deformation);

2) problema unei stări de stres plan.

Aceste probleme sunt cel mai adesea caracterizate de o diferență semnificativă între o dimensiune geometrică și alte două dimensiuni ale corpurilor luate în considerare: o lungime mare în primul caz și o grosime mică în al doilea caz.

Tensiune plană

Deformația se numește plată dacă mișcările tuturor punctelor corpului pot avea loc numai în două direcții într-un singur plan și nu depind de coordonatele normale acestui plan, adică.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)

Deformarea plană are loc în corpuri prismatice sau cilindrice lungi cu o axă paralelă cu axa z, de-a lungul căreia o sarcină acționează de-a lungul suprafeței laterale, perpendicular pe această axă și care nu variază în mărime de-a lungul acesteia.

Un exemplu de deformare plană este starea de efort-deformare care apare într-un baraj drept lung și un arc lung al unui tunel subteran (Fig. 4.1).

Figura – 4.1. Deformarea plană are loc în corpul barajului și a acoperișului tunelului subteran

Slide 3

Înlocuind componentele vectorului deplasare (4.1) în formulele Cauchy (2.14), (2.15), obținem:

(4.2)

Absența deformațiilor liniare pe direcția axei z duce la apariția tensiunilor normale σ z. Din formula legii lui Hooke (3.2) pentru deformarea ε z rezultă că

din care obținem expresia pentru solicitarea σ z:

(4.3)

Înlocuind această relație în primele două formule ale legii lui Hooke, găsim:

(4.4)

Slide 4

Din analiza formulelor (4.2) − (4.4) și (3.2) mai rezultă că

Astfel, ecuațiile de bază ale teoriei tridimensionale a elasticității în cazul deformării plane sunt simplificate semnificativ.

Din cele trei ecuații diferențiale ale echilibrului Navier (2.2), rămân doar două ecuații:

(4.5)

iar al treilea se transformă în identitate.

Deoarece cosinusul direcției este peste tot pe suprafața laterală n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, atunci din cele trei condiții de pe suprafața (2.4) rămân doar două ecuații:

(4.6)

unde l, m sunt cosinusurile de direcție ale normalei externe v la suprafața de contur;

X,Y,X v, Y v– componente ale forțelor volumetrice și intensitatea sarcinilor de suprafață exterioare pe axele x și respectiv y.

Slide 5

Cele șase ecuații Cauchy (2.14), (2.15) sunt reduse la trei:

(4.7)

Din cele șase ecuații de continuitate pentru deformațiile Saint-Venant (2.17), (2.18), rămâne o ecuație:

(4.8)

iar restul se transformă în identități.

Din cele șase formule ale legii lui Hooke (3.2), ținând cont de (4.2), (4.4), rămân trei formule:

În aceste relații, au fost introduse noi constante elastice pentru forma tradițională a teoriei elasticității:

Slide 6

Stare de stres în plan

O stare de efort plană apare atunci când lungimea aceluiași corp prismatic este mică în comparație cu celelalte două dimensiuni. În acest caz se numește grosime. Tensiunile din corp acționează numai în două direcții în planul de coordonate xOy și nu depind de coordonata z. Un exemplu de astfel de corp este o placă subțire de grosime h, încărcată de-a lungul suprafeței laterale (nervatură) cu forțe paralele cu planul plăcii și distribuite uniform pe toată grosimea acesteia (Fig. 4.2).

Figura 4.2 – Placă subțire și sarcini aplicate acesteia

În acest caz, sunt posibile și simplificări similare cu cele din problema deformației plane. Componentele tensoarelor tensoare σ z, τ xz, τ yz pe ambele planuri ale plăcii sunt egale cu zero. Deoarece placa este subțire, putem presupune că acestea sunt egale cu zero în interiorul plăcii. Atunci starea tensionată va fi determinată numai de componentele σ x, σ y, τ xy, care nu depind de coordonata z, adică nu se modifică de-a lungul grosimii plăcii, ci sunt funcții doar ale lui x și y .

Astfel, într-o placă subțire apare următoarea stare de tensiune:

Slide 7

În ceea ce privește tensiunile, starea tensiunii plane diferă de deformarea plană prin condiție

În plus, din formula legii lui Hooke (3.2), ținând cont de (4.10), pentru deformația liniară ε z obținem că aceasta nu este egală cu zero:

În consecință, bazele plăcii vor fi curbate, pe măsură ce vor apărea deplasări de-a lungul axei z.

În aceste ipoteze, ecuațiile de bază ale deformării plane: ecuațiile de echilibru diferențial (4.5), condițiile de suprafață (4.6), ecuațiile Cauchy (4.7) și ecuațiile de continuitate a deformației (4.8) păstrează aceeași formă în problema stării de efort plană. .

Formulele legii lui Hooke vor lua următoarea formă:

Formulele (4.11) diferă de formulele (4.9) ale legii lui Hooke pentru deformarea plană numai în valorile constantelor elastice: E și E 1 , vȘi v 1 .

Slide 8

În formă inversă, legea lui Hooke va fi scrisă după cum urmează:

(4.12)

Astfel, atunci când rezolvați aceste două probleme (deformarea plană și starea tensiunii plane), puteți utiliza aceleași ecuații și puteți combina problemele într-o singură problemă plană a teoriei elasticității.

Există opt necunoscute în problema plană a teoriei elasticității:

– două componente ale vectorului deplasare u și v;

– trei componente ale tensorului tensiunii σ x, σ y, τ xy;

– trei componente ale tensorului de deformare ε x, ε y, γ xy.

Pentru rezolvarea problemei se folosesc opt ecuații:

– două ecuații de echilibru diferențial (4.5);

– trei ecuații Cauchy (4.7);

– trei formule ale legii lui Hooke (4.9) sau (4.11).

În plus, deformațiile rezultate trebuie să se supună ecuației de continuitate a deformațiilor (4.8), iar pe suprafața corpului trebuie îndeplinite condițiile de echilibru (4.6) între solicitările interne și intensitățile sarcinii de suprafață exterioară X. v, Y v.

Acţiunea piesei aruncate asupra piesei rămase în apropierea punctului B va fi reprezentată de tensiuni Reamintim că primul indice pentru tensiuni tangenţiale corespunde axei normale pe secţiunea celei de-a doua axe paralele la care este îndreptată solicitarea tangenţială. Tensiuni în secțiuni înclinate Să stabilim sarcina: Determinați tensiunile într-o secțiune arbitrară care trece printr-un punct dat B al plăcii.

Distribuiți-vă munca pe rețelele sociale

Dacă această lucrare nu vă convine, în partea de jos a paginii există o listă cu lucrări similare. De asemenea, puteți utiliza butonul de căutare

Stare de stres în plan

Stare tensionată, când apar tensiuni normale atât în ​​direcția axei X, cât și a axei Y (de exemplu, în vase cu pereți subțiri încărcate cu presiune externă). Și în secțiuni perpendiculare pe axele X și Y tensiunile tangențiale acționează (în grinzi în timpul încovoierii) numitestare de stres plat (biaxial)..

Să arătăm că, de exemplu, o placă (sau placă) de formă arbitrară cu o grosime mică în comparație cu alte dimensiuni se află într-o stare de tensiune plană. Orice sistem echilibrat reciproc de forțe externe, distribuite uniform pe toată grosimea și paralel cu stratul mijlociu, acționează de-a lungul conturului plăcii. Datorită micii dimensiuni, modificarea tensiunilor în direcția perpendiculară pe planurile exterioare ale plăcii poate fi neglijată. În același timp, pentru că forțe externe sunt absente pe planurile exterioare, atunci orice zonă elementară a acestor suprafețe forțe și tensiuni sunt egale cu zero și, prin urmare, sunt egale cu zero pentru toate secțiunile paralele cu aceste suprafețe. Aceste secțiuni sunt principalele, prin urmare, în cazul în cauză, una dintre tensiunile principale este zero.

Să raportăm corpul la axele de coordonate XOY , situat în planul stratului mijlociu. Tăiați mental placa (placa) în secțiuni I si II , perpendicular pe axele X și Y . Acțiunea părții aruncate asupra celei rămase, în apropierea punctului B va fi reprezentat prin tensiuni (amintim ca primul indice pentru tensiunile tangentiale corespunde axei normale sectiunii, al doilea axei paralele catre care este indreptata solicitarea tangentiala). Astfel, în cazul general, se creează o stare de efort plană în apropierea unui punct arbitrar de pe placă, în care.

Tensiuni în secțiuni înclinate

Să stabilim sarcina: să determinăm tensiunile într-o secțiune arbitrară care trece printr-un punct dat plăci B.

Pentru a face acest lucru, vom face o secțiune III infinit aproape de obiect B . Tensiunea totală din această secțiune poate fi considerată egală cu efortul total din secțiunea care trece prin punct B. Poziția secțiunii este determinată de unghiul pe care îl formează cu axa X este N normal la secțiune.

Selectați mental o placă triunghiulară din placă BCD fiind, ca întregul corp, în echilibru. Având în vedere dimensiunea infinit de mică a plăcii, presupunem că tensiunile sunt distribuite uniform de-a lungul fețelor. Apoi rezultanta forțelor care acționează pe fiecare față a plăcii poate fi calculată ca produs de stres și aria feței corespunzătoare și va fi aplicată la centrul de greutate al feței. Să plasăm originea coordonatelor în punctul - centrul de greutate al feței CD.

Presupunem că tensiunile sunt cunoscute. Să găsim componentele tensiunii totale S de-a lungul axelor de coordonate, precum și solicitările normale și de forfecare pe față CD . Compunem ecuațiile de echilibru:

1. Suma momentelor despre un punct

După reducere obținem

(1)

Acest rezultat exprimă starea de echilibru a forțelor tangențiale în secțiuni reciproc perpendiculare în imediata vecinătate a unui unghi drept, tensiunile tangențiale au mărimi egale și sunt îndreptate spre vârful unghiului drept (sau din vârf când sunt direcționate în direcții opuse față de cele prezentate în figură).

Să notăm, atunci, unde sunt cosinusurile direcției.

Ecuații de proiecție

După reducerea cu A

(2)

Să găsim componentele normale și tangenţiale ale tensiunii totale

Având în vedere asta, obținem

(3)

Se poate arăta că:

• - in sectiuni reciproc perpendiculare suma tensiunilor normale este constanta, iar modulele tensiunilor tangentiale sunt egale;
• - în secţiuni paralele, tensiunile normale şi tangenţiale sunt egale ca mărime şi semn.

Reguli de semnare:

• pozitiv:

Tensiuni normale, dacă sunt de tracțiune;

Tensiuni tangenţiale, dacă creează rotaţii ale elementelor BCD relativ la un punct din interiorul acestuia în sens invers acelor de ceasornic și - în sensul acelor de ceasornic.

Tensiuni și secțiuni principale

Secțiunile se numesc principale dacă:

• tensiunile normale ating valori extreme;
• Nu există tensiuni tangenţiale (zero).

În același timp, care dintre semne este folosit este indiferent, unul dintre ele poate fi întotdeauna prezentat ca o consecință a celuilalt.

Să determinăm poziția secțiunilor principale după al doilea criteriu, presupunând că secțiunea CD principalul lucru, adică , si in consecinta

, (A)

Înlocuind (a) în (2) obținem

(4)

Aici - determinați poziția marginii CD , când devine secțiunea principală. Sistemul (4) în raport cu necunoscutele este omogen și are o soluție diferită de zero numai atunci când determinantul sistemului (4) este egal cu zero (teorema lui Roucher), adică.

(5)

În formă extinsă și după transformări

(6)

Rezolvând ecuația pătratică, găsim modulele tensiunilor principale

Unde

(7)

Ambele rădăcini (7) ale ecuației (6) sunt reale, ele dau valorile celor două tensiuni principale și, iar a treia, după cum sa menționat mai devreme, în cazul plan al unei stări tensionate este egală cu zero. Dacă, atunci, în conformitate cu condiția, obținem, .

Principalele tensiuni și, i.e. rădăcinile ecuației (6) sunt determinate de natura stării de solicitare și nu depind de ce sistem de axe de coordonate a fost adoptat ca fiind cel inițial. Prin urmare, la întoarcerea axelor X Y coeficienții și ecuațiile (6) trebuie să rămână neschimbate (care). Prin urmare, se numesc invarianți ai stării de stres.

Să găsim direcția tensiunilor principale, sau cosinusurile de direcție care determină poziția secțiunilor principale, presupunând și calculate din expresiile (7).

Pentru aceasta, există un sistem de ecuații (5), dar este omogen și rădăcinile sale nenule nu pot fi determinate. Din cursul de trigonometrie știm

(8)

(V)

apoi obținem un sistem de ecuații (8) și (c) neomogen și definit, rezolvând pe care vom stabili poziția secțiunilor principale.

Înlocuind în (c) avem mai întâi

(Cu)

Cosinusurile unghiurilor realizate cu axe de coordonate X și Y normală cu prima secțiune principală, care este aceeași tensiune principală.

Rezolvând sistemul de ecuație (c) obținem

(9)

În același mod, înlocuind la (c)

(10)

B (9) și (10) - unghiuri măsurate prin rotire în sens invers acelor de ceasornic față de axă X la normalele la secţiunile în care principalele solicită şi respectiv acţionează.

Să stabilim poziția secțiunilor principale una față de cealaltă. Pentru a face acest lucru, să înmulțim ecuațiile (9) și (10) termen cu termen

(d)

Când înlocuiți în ( d ) și din (7) după transformări ajungem la următoarea expresie

(f)

Deoarece , atunci poți scrie. A insemna

Rezultă că secțiunile principale sunt reciproc perpendiculare și (9), (10 )

Rețineți că adăugând ambele linii ale formulei (7), vom avea -în secțiunile reciproc perpendiculare suma tensiunilor normale este constantă.

Principalele deformari

Să determinăm deformațiile în direcția tensiunilor principale. Pentru a face acest lucru, să selectăm mental dintr-un corp în stare de tensiune plană un element dreptunghiular ale cărui margini sunt paralele cu secțiunile principale. Deoarece De-a lungul fețelor acționează doar tensiunile normale, atunci direcțiile tensiunilor principale vor coincide cu deformațiile, numite principale. Folosind formulele legii Hooke generalizate și presupunând, obținem

(11)

Efort de forfecare extrem

Să presupunem că de-a lungul marginilor BC și BD placa triunghiulara BCD tensiuni principale şi Atunci expresiile (3) vor lua forma

(k)

(m)

Să examinăm funcția ( m ) la extrem, pe baza condiţiilor de existenţă. Diferențierea ( m) de către.

Prin urmare, în cazul general ( s).

Simbolul la este plasat pentru a distinge rădăcinile ecuației ( s ), definind pozitia sectiunilor in care ajunge la valori extreme, din radacinile ecuatiilor (9), (10) definind pozitia sectiunilor principale.

Ecuația (s ) în interior are două rădăcini care diferă una de alta prin și, de unde ajungem.

Acea. secţiunile în care tensiunile tangenţiale ating cea mai mare valoare absolută sunt situate în unghi faţă de secţiunile principale. Aceste secțiuni sunt, de asemenea, reciproc perpendiculare.

Când și expresia (k 0 ia forma

(12)

În aceleași secțiuni

sau (13)

În figură și mai jos, unghiurile sunt măsurate de la axa (2 sau 3), care coincide în direcția cu cea mai mică dintre tensiunile principale (sau). Apoi, în conformitate cu cele de mai sus, normala la secțiunea c este situată la un unghi față de această axă și la un unghi - c. Pe marginile farfurii abcd , pe lângă tensiunile tangenţiale, pot exista şi tensiuni normale, determinate prin formula (13). Rețineți că este întotdeauna mai mare decât zero și, prin urmare, are o direcție în care creează o rotație a elementului abcd relativ la orice punct din interiorul acestuia în sens invers acelor de ceasornic, -în sensul acelor de ceasornic. În cazul general al unei stări de efort plane, când nu sunt specificate tensiunile principale, dar și modulele celor extreme pot fi determinate prin formula

(14)

care se obțin prin înlocuirea (7) în (12).

Energia potențială specifică

În timpul tensiunii (compresiei), forțele externe efectuează lucru datorită mișcării punctelor de aplicare a acestora și provoacă deformarea materialului. În timpul deformării, forțele elastice interne efectuează și ele lucru. Se știe că energia acumulată de un corp în timpul deformării se numește energie potențială de deformare, iar valoarea acestei energii pe unitatea de volum de material se numește energie potențială specifică. Pentru tensiunea centrală (compresia) a fost calculată din expresie. Într-o stare de tensiune plană, energia potențială specifică de deformare se obține ca sumă a doi termeni

Deoarece și apoi

(15)

Alte lucrări similare care vă pot interesa.vshm>
6543.		Stare de stres volumetric (spațial).	228,62 KB
	Setul de tensiuni care apar în multe secțiuni care trec prin punctul luat în considerare se numește starea de tensiuni în apropierea punctului. Studiul legilor modificărilor tensiunii în apropierea unui punct nu este pur abstract. După reduceri obținem...
6011.		Starea tehnică a mașinii	126,23 KB
	Se întâmplă: starea de funcționare a unei mașini este starea în care aceasta îndeplinește toate cerințele specificațiilor tehnice și ale documentației de proiectare. Starea defectuoasă poate fi împărțită și în: Starea de funcționare a mașinii este o stare în care este capabilă să efectueze anumite lucrări cu parametrii specificați în specificatii tehnice. Starea limită a unei unități sau a unei piese de vehicul este o stare în care nu mai este acceptabilă operarea acestora.
8472.		Starea lichidă a materiei	230,17 KB
	Energia potențială a unei molecule în interiorul unui lichid este mai mică decât în ​​afara lichidului. Forța rezultată în interiorul lichidului este 0. Întregul strat care se află la suprafața lichidului este acționat de forțe direcționate normal în lichid. O masă de lichid care nu este acționată de forțe externe trebuie să capete o formă sferică.
12293.		Căsătoria ca stat legal	62,92 KB
	Apariția stării căsătoriei: conceptul și forma căsătoriei în dreptul familiei rus. Consecințele juridice ale existenței și încetării căsătoriei ca stat de drept. Consecințele juridice ale căsătoriei. Consecințele juridice ale încetării căsătoriei.
9441.		STAREA TEHNICĂ A MAŞINILOR ŞI EVALUAREA EI	109,07 KB
	O etapă importantă a ciclului de viață este operarea, care include transportul, instalarea și dezmembrarea, utilizarea în scopul propus. întreținere repararea și depozitarea mașinilor. Stare tehnica echipamentul mașinii reprezintă totalitatea proprietăților sale supuse modificării în timpul producției și exploatării și caracterizate la un anumit moment în timp prin semne stabilite prin documentația tehnică. Cel mai important în ciclu de viață ale oricărei mașini sunt etapele de producție și de funcționare în care se desfășoară...
7608.		Starea pieței funciare din Rusia	67,95 KB
	Problema îmbunătățirii reglementare legală relațiile funciare din Rusia au devenit recent una dintre cele mai presante probleme și sunt discutate pe scară largă nu numai între avocați, legiuitori și politicieni, ci și în societate în ansamblu. Opiniile părților implicate în discuție sunt uneori contradictorii
18050.		Starea financiară a sanatoriului „Jailau”	114,75 KB
	Numeroase întreprinderi și organizații care și-au început activitățile chiar înainte de criză, precum și cele care au riscat să-și înceapă activitățile imediat după aceasta, au simțit greul vieții într-o situație de criză instabilă. Multe întreprinderi au dat faliment, s-au închis, și-au încetat activitățile și s-au recalificat într-un alt tip de activitate care era mai solicitată pe piață. Dacă ne întoarcem la formarea activităților întreprinderilor și organizațiilor existente care astăzi pot concura cu Occidentul dezvoltat...
9975.		Situația financiară a companiei Voskhod LLC	204,18 KB
	Rol importantîn implementarea acestei sarcini se face analiză starea financiaraîntreprinderilor. Cu ajutorul acesteia, se elaborează o strategie și o tactică de dezvoltare a întreprinderii, se fundamentează planurile și se monitorizează deciziile de management asupra implementării acestora, se identifică modalități de creștere a eficienței activităților comerciale și se identifică rezultatele activităților întreprinderii de diviziile și angajații acesteia sunt evaluați. Finanțele unei întreprinderi complexe hoteliere sunt importante parte integrantă sistem financiar. Inclus în finanțarea întreprinderilor hoteliere...
18527.		Asigurări în Kazahstan - statut și perspective	98 KB
	Formarea și dezvoltarea instituției de asigurări în Republica Kazahstan. Concepte de bază ale pieței asigurărilor din Republica Kazahstan. Caracteristicile juridice ale anumitor tipuri de asigurări. Conceptul și caracteristicile unui contract de asigurare.
4941.		Stadiul tehnicii și modalitățile de îmbunătățire a sistemelor de control al accesului în muzeu	244,26 KB
	Aspecte teoretice ale organizării SKD a unui muzeu folosind informații și tehnici educaționale. Starea problemei organizării activităților socio-culturale ale muzeului. Caracteristicile metodelor de informare și educație în procesul de organizare a activităților socio-culturale ale muzeului...

Stare de stres în plan

În cazul unei stări de tensiune plană, una dintre cele trei tensiuni este zero.

Starea tensiunii volumetrice a rezistenței materialului

Relația dintre stres și efort

ÎN rezistenta materialelor, la studierea deformaţiilor în cazul unei stări de efort volumetrice presupunem că materialul

respectă legea lui Hooke și că deformațiile sunt mici. Luați în considerare un element ale cărui dimensiuni ale muchiilor sunt egale

a x b x c și

Pentru simplitatea raționamentului, considerăm că toate stresurile sunt pozitive. Datorită deformării coastelor

elementele își schimbă lungimea și devin egale cu a+^a; în+^in; s+^s.

Raportul dintre creșterile lungimii marginilor elementelor și lungimea lor inițială va da

alungiri relative principale în direcțiile principale:

Deformația relativă totală a elementului ax în xc în direcția muchiei a va fi exprimată ca sumă

În mod similar, se pot găsi deformațiile relative totale în direcția muchiilor b și c.

Aceste trei formule sunt numite legea Hookey generalizată. Deformarea volumetrică poate fi exprimată după cum urmează:

Modificarea volumului depinde numai de suma tensiunilor principale, nu de raportul acestora. Prin urmare la fel

o modificare a volumului va avea ca rezultat un cub elementar, pe fețele căruia vor acționa aceleași tensiuni

Energia elastică de deformare

Energia potențială de deformare elastică În evidență este energia acumulată în organism în timpul

deformarea sa elastică cauzată de forțele externe.

Energia specifică (energia de deformare elastică pe unitatea de volum) este egală cu:

Această energie este formată din 2 părți: 1) energie cheltuită pentru modificarea volumului și 2) energie,

cheltuită pentru schimbarea formei.

Energia de modificare a volumului:

Teorii ale puterii

Teorii ale puterii, în rezistenţa materialelor, caută să stabilească un criteriu de rezistență pentru un material într-o stare complexă de efort (volum sau plan). În acest caz, starea de efort studiată a piesei calculate este comparată cu o stare de tensiune liniară - tensiune sau compresie.

Starea limitativă a materialelor plastice este considerată a fi starea în care încep să apară deformații reziduale (plastice) vizibile.

Pentru materialele fragile, sau cele în stare fragilă, se consideră că starea limită este cea în care materialul se află la limita apariției primelor fisuri, adică. la limita încălcării integrității materialului.

Condiția de rezistență pentru starea de tensiune volumetrică este următoarea:

Factorul de siguranță (n) pentru o anumită stare de solicitare este un număr care indică de câte ori trebuie crescute simultan toate componentele stării de solicitare, astfel încât să devină starea limită.

Tensiunea echivalentă Oeq este o tensiune de întindere într-o stare de efort liniară (uniaxială) care este la fel de periculoasă cu o anumită stare de efort volumetrică sau plană.

Formulele pentru tensiuni echivalente, exprimate prin tensiuni principale, sunt stabilite prin teorii de rezistență în funcție de ipoteza de rezistență adoptată de fiecare teorie.

Există mai multe teorii ale rezistenței sau ipoteze de limitare a stărilor de stres:

Prima teorie, sau teoria celor mai mari tensiuni normale, și a doua teorie, sau teoria celor mai mari deformații liniare, nu sunt utilizate în prezent în calculele practice. A treia teorie, sau teoria tensiunilor tangențiale maxime. Teoria se bazează pe ipoteza că două stări de tensiuni - complexe și liniare - sunt echivalente ca rezistență dacă cele mai mari solicitări de forfecare sunt aceleași.

Tensiuni echivalente pentru starea de solicitare volumetrica:

A treia teorie a rezistenței dă rezultate satisfăcătoare pentru materialele plastice care sunt la fel de rezistente la tracțiune și compresiune, cu condiția ca tensiunile principale să aibă semne diferite.

Principalul dezavantaj al acestei teorii este că nu ia în considerare o"-uri, care, după cum arată experimentele, are o anumită influență asupra rezistenței materialului.

A patra teorie a puterii este energetică. Se bazează pe premisa că cantitatea de energie potențială a modificării formei acumulată la momentul apariției unei stări periculoase (fluiditatea materialului) este aceeași atât într-o stare complexă de efort, cât și într-o stare simplă de tracțiune. Tensiune echivalentă la starea de solicitare volumetrică

A patra teorie a rezistenței este bine confirmată de experimentele cu materiale plastice care au aceeași limită de curgere la tracțiune și compresie.

Teoria stărilor limită (teoria lui Mohr) pornește de la presupunerea că rezistența în cazul general al unei stări tensionate depinde în principal de valoarea semnului celui mai mare O1 și al celui mai mic Oz dintre tensiunile principale. Tensiunea principală medie O2 afectează doar puțin rezistența. Experimentele au arătat că eroarea cauzată de neglijarea O2 în cel mai rău caz nu depășește 12-15% și este de obicei mai mică.

Pentru starea de stres volumetric: