Ecuațiile sunt numere fracționale. Ecuații cu reguli de rezolvare a fracțiilor

28.09.2019 | Calculatoare

Ecuațiile care conțin o variabilă la numitor pot fi rezolvate în două moduri:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Folosind proprietatea de bază a proporției

Indiferent de metoda aleasă, după găsirea rădăcinilor ecuației, este necesar să alegeți dintre valorile găsite valorile acceptabile, adică cele care nu transformă numitorul la $0$.

1 cale. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Exemplul 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Soluţie:

1. Mutați fracția din partea dreaptă a ecuației la stânga

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Pentru a face acest lucru corect, reamintim că atunci când mutăm elemente într-o altă parte a ecuației, semnul din fața expresiilor se schimbă în opus. Deci, dacă în partea dreaptă a fost semnul „+” înaintea fracției, atunci în partea stângă va fi semnul „-” în fața ei, apoi în partea stângă obținem diferența dintre fracții.

2. Acum observăm că fracțiile au numitori diferiți, ceea ce înseamnă că pentru a compensa diferența este necesar să aducem fracțiile la un numitor comun. Numitorul comun va fi produsul polinoamelor din numitorii fracțiilor originale: $(2x-1)(x+3)$

Pentru a obține o expresie identică, numărătorul și numitorul primei fracții trebuie înmulțite cu polinomul $(x+3)$, iar a doua cu polinomul $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Să efectuăm transformarea în numărătorul primei fracții - vom înmulți polinoamele. Amintiți-vă că pentru aceasta este necesar să înmulțiți primul termen al primului polinom, să înmulțiți cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom, apoi să înmulțiți al doilea termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom și să adăugați rezultatele

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Prezentăm termeni similari în expresia rezultată

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Efectuați o transformare similară în numărătorul celei de-a doua fracții - vom înmulți polinoamele

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Atunci ecuația va lua forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Acum fracții cu același numitor, deci puteți scădea. Amintiți-vă că la scăderea fracțiilor cu același numitor de la numărătorul primei fracții, este necesar să se scadă numărătorul celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Să transformăm expresia în numărător. Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, trebuie să schimbați toate semnele din fața termenilor dintre paranteze la opus

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Prezentăm termeni similari

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Apoi fracția va lua forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. O fracție este egală cu $0$ dacă numărătorul ei este 0. Prin urmare, echivalăm numărătorul fracției cu $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Să rezolvăm ecuația liniară:

4. Să eșantionăm rădăcinile. Aceasta înseamnă că este necesar să se verifice dacă numitorii fracțiilor originale se transformă în $0$ atunci când sunt găsite rădăcinile.

Punem condiția ca numitorii să nu fie egali cu $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Aceasta înseamnă că toate valorile variabilelor sunt permise, cu excepția $-3$ și $0.5$.

Rădăcina pe care am găsit-o este o valoare validă, deci poate fi considerată în siguranță rădăcina ecuației. Dacă rădăcina găsită nu ar fi o valoare validă, atunci o astfel de rădăcină ar fi străină și, desigur, nu ar fi inclusă în răspuns.

Răspuns:$-0,2.$

Acum putem scrie un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă la numitor

Un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă la numitor

Mutați toate elementele din partea dreaptă a ecuației în partea stângă. Pentru a obține o ecuație identică, este necesar să schimbați toate semnele din fața expresiilor din partea dreaptă în opus

Dacă în partea stângă obținem o expresie cu numitori diferiți, atunci le aducem la una comună folosind proprietatea principală a fracției. Efectuați transformări folosind transformări identice și obțineți fracția finală egală cu $0$.

Echivalează numărătorul cu $0$ și găsește rădăcinile ecuației rezultate.

Să eșantionăm rădăcinile, adică găsiți valori variabile valide care nu transformă numitorul la $0$.

2 sensuri. Folosind proprietatea de bază a proporției

Principala proprietate a unei proporții este că produsul termenilor extremi ai proporției este egal cu produsul termenilor medii.

Exemplul 2

Folosim această proprietate pentru a rezolva această sarcină

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Să găsim și să echivalăm produsul dintre membrii extremi și mijlocii ai proporției.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Rezolvând ecuația rezultată, găsim rădăcinile originalei

2. Să găsim valorile admisibile ale unei variabile.

Din soluția anterioară (prima cale) am constatat deja că orice valoare este permisă, cu excepția $-3$ și $0.5$.

Apoi, după ce am stabilit că rădăcina găsită este o valoare validă, am aflat că $-0,2$ va fi rădăcina.

Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica ecuația dată. Această metodă este folosită atunci când nu puteți scrie ecuația dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda înmulțirii încrucișate). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, înmulțirea încrucișată este mai bună).

Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun). NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.

Uneori, NOZ este un număr evident. De exemplu, dacă ecuația este dată: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, atunci este evident că cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 2 și 6 va fi 6.
Dacă NOD-ul nu este evident, notați multiplii celui mai mare numitor și găsiți printre ei unul care este un multiplu al celorlalți numitori. Puteți găsi adesea NOD-ul prin simpla înmulțire a doi numitori împreună. De exemplu, dacă este dată ecuația x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atunci NOZ = 8*9 = 72.
Dacă unul sau mai mulți numitori conțin o variabilă, atunci procesul este ceva mai complicat (dar nu imposibil). În acest caz, NOZ este o expresie (care conține o variabilă) care este divizibilă cu fiecare numitor. De exemplu, în ecuația 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), deoarece această expresie este divizibilă cu fiecare numitor: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOZ la numitorul corespunzător fiecărei fracții. Deoarece înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, înmulțiți efectiv o fracție cu 1 (de exemplu, 2/2 = 1 sau 3/3 = 1).

Deci, în exemplul nostru, înmulțiți x/3 cu 2/2 pentru a obține 2x/6 și înmulțiți 1/2 cu 3/3 pentru a obține 3/6 (3x + 1/6 nu trebuie înmulțit deoarece numitorul este 6).
Procedați în mod similar atunci când variabila este la numitor. În al doilea exemplu NOZ = 3x(x-1), deci 5/(x-1) ori (3x)/(3x) este 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ori 3(x-1)/3(x-1) pentru a obține 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) înmulțiți cu (x-1)/(x-1) și obțineți 2(x-1)/3x(x-1).

Găsiți x. Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu un numitor comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.

În exemplul nostru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puteți adăuga 2 fracții cu același numitor, așa că scrieți ecuația ca: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6 și scăpați de numitori: 2x+3 = 3x +1. Rezolvați și obțineți x = 2.
În al doilea exemplu (cu o variabilă la numitor), ecuația arată ca (după reducerea la un numitor comun): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Înmulțind ambele părți ale ecuației cu NOZ, scapi de numitor și obții: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), sau 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau 15x = x - 5 Rezolvați și obțineți: x = -5/14.

Obiectivele lecției:

Tutorial:

formarea conceptului de ecuații raționale fracționale;
să ia în considerare diverse moduri de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale;
luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero;
să predea soluția ecuațiilor raționale fracționale conform algoritmului;
verificarea nivelului de asimilare a temei prin efectuarea de lucrări de testare.

În curs de dezvoltare:

dezvoltarea capacităţii de a opera corect cu cunoştinţele dobândite, de a gândi logic;
dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare;
dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, nu de a se opri aici;
dezvoltarea gândirii critice;
dezvoltarea abilităților de cercetare.

Hrănirea:

educarea interesului cognitiv în materie;
educaţia independenţei în decizie obiective de invatare;
educarea voinţei şi perseverenţei pentru a obţine rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi la lecție? Formulați subiectul lecției. Deci, deschidem caiete și notăm subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) Metoda de soluţionare ecuatii lineare. (Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Aduceți condiții asemănătoare. Găsiți multiplicatorul necunoscut).
Cum se numește ecuația 3? ( Pătrat.) Modalități de rezolvare ecuații pătratice. (Selectarea pătratului complet, prin formule, folosind teorema Vieta și consecințele acesteia.)
Ce este o proporție? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.)
Ce proprietăți sunt folosite pentru a rezolva ecuații? ( 1. Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se va obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)
Când este o fracție egală cu zero? ( O fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul este diferit de zero.)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Ce ecuație rațională fracțională puteți încerca să rezolvați folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația #7 într-unul dintre modalități.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce există trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă.)
Care este rădăcina ecuației? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.)
Cum să afli dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

Când fac un test, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să elimine această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, deci 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii înșiși formulează algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

Mutați totul spre stânga.
Aduceți fracțiile la un numitor comun.
Alcătuiți un sistem: o fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul nu este zero.
Rezolvați ecuația.
Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
Scrieți răspunsul.

Discuție: cum se formalizează soluția dacă se folosește proprietatea de bază a proporției și înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un numitor comun. (Suplimentați soluția: excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun la zero).

4. Înțelegerea primară a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve singuri ecuația, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601 (a, e, g). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la întrebările care au apărut și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 3.

c) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1; 1.5.

5. Declarație de teme.

Citiți articolul 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
Învață algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
Rezolvați în caietele Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
Încercați să rezolvați #696(a) (opțional).

6. Îndeplinirea sarcinii de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe foi.

Exemplu de job:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației #6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinilor:

„5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină.
„4” - 75% -89%
„3” - 50% -74%
„2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină.
Nota 2 nu este trecută în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe pliantele cu muncă independentă, puneți:

1 - dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine;
2 - interesant, dar nu clar;
3 - nu este interesant, dar de înțeles;
4 - nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite, și-au testat cunoștințele cu ajutorul instruirii muncă independentă. Rezultatele muncii independente le vei afla in urmatoarea lectie, acasa vei avea ocazia sa consolidezi cunostintele acumulate.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, după părerea dvs., este mai ușoară, mai accesibilă, mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce nu trebuie uitat? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Instruire

Poate cel mai evident punct aici este, desigur, . Fracțiile numerice nu prezintă niciun pericol (ecuațiile fracționale, în care numai numerele sunt la toți numitorii, vor fi în general liniare), dar dacă există o variabilă la numitor, atunci aceasta trebuie luată în considerare și prescrisă. În primul rând, este că x, care transformă numitorul la 0, nu poate fi și, în general, este necesar să se înregistreze separat faptul că x nu poate fi egal cu acest număr. Chiar dacă reușiți ca atunci când înlocuiți în numărător, totul converge perfect și îndeplinește condițiile. În al doilea rând, nu putem înmulți una sau ambele părți ale ecuației cu egal cu zero.

După aceasta, o astfel de ecuație se reduce la transferul tuturor termenilor săi în partea stângă, astfel încât 0 să rămână în partea dreaptă.

Este necesar să aducem toți termenii la un numitor comun, înmulțind, acolo unde este necesar, numărătorii cu expresiile lipsă.
În continuare, rezolvăm ecuația uzuală scrisă la numărător. Putem scoate factori comuni din paranteze, folosim înmulțiri abreviate, dăm altele similare, calculam rădăcinile unei ecuații pătratice prin discriminant etc.

Rezultatul ar trebui să fie o factorizare sub forma unui produs dintre paranteze (x-(i-a rădăcină)). Aceasta poate include și polinoame care nu au rădăcini, de exemplu, un trinom pătrat cu un discriminant mai mic decât zero (cu excepția cazului în care, desigur, există doar rădăcini reale în problemă, așa cum se întâmplă cel mai adesea).
Asigurați-vă că factorizați și numitorul din locația parantezelor de acolo, deja conținute în numărător. Dacă numitorul conține expresii precum (x-(număr)), atunci când se reduce la un numitor comun, parantezele din acesta nu trebuie înmulțite „în mod direct”, ci lăsate ca produs al expresiilor simple originale.
Aceleași paranteze la numărător și numitor pot fi reduse prin prescrierea, așa cum sa menționat mai sus, a condițiilor de pe x.
Răspunsul se scrie între acolade, ca un set de valori x, sau pur și simplu prin enumerare: x1=..., x2=... etc.

Surse:

Ecuații raționale fracționale

Ceva de care nu se poate renunța în fizică, matematică, chimie. Cel mai puţin. Învățăm elementele de bază ale soluției lor.

Instruire

În cea mai generală și simplă clasificare, ea poate fi împărțită în funcție de numărul de variabile pe care le conțin și în funcție de gradele în care se află aceste variabile.

Rezolvați ecuația toate rădăcinile ei sau demonstrați că acestea nu există.

Orice ecuație are cel mult P rădăcini, unde P este maximul ecuației date.

Dar unele dintre aceste rădăcini pot coincide. Deci, de exemplu, ecuația x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, unde ^ este pictograma de exponențiere, se pliază în pătratul expresiei (x + 1), adică în produsul a două paranteze identice, fiecare dintre acestea dă x = - 1 ca soluție.

Dacă există o singură necunoscută în ecuație, aceasta înseamnă că veți putea găsi în mod explicit rădăcinile acesteia (reale sau complexe).

Pentru a face acest lucru, cel mai probabil veți avea nevoie de diferite transformări: înmulțire prescurtată, calcularea discriminantului și a rădăcinilor unei ecuații pătratice, transferarea termenilor dintr-o parte în alta, reducerea la un numitor comun, înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie, pătrat, și așa mai departe.

Transformările care nu afectează rădăcinile ecuației sunt identice. Ele sunt folosite pentru a simplifica procesul de rezolvare a unei ecuații.

Puteți utiliza, de asemenea, în locul tradiționalului analitic metoda graficași scrieți această ecuație sub forma , după efectuarea studiului ei.

Dacă există mai multe necunoscute în ecuație, atunci veți putea exprima doar una dintre ele în termenii celeilalte, arătând astfel un set de soluții. Astfel, de exemplu, sunt ecuațiile cu parametri în care există un x necunoscut și un parametru a. A rezolva o ecuație parametrică înseamnă ca tot a să exprime x prin a, adică să ia în considerare toate cazurile posibile.

Dacă ecuația conține derivate sau diferențiale de necunoscute (vezi imaginea), felicitări, aceasta este ecuație diferențială, și aici nu te poți lipsi matematică superioară).

Surse:

Transformări de identitate

Pentru a rezolva problema cu fractii, trebuie să înveți cum să faci operații aritmetice cu ele. Ele pot fi zecimale, dar cel mai adesea se folosesc fracții naturale cu numărător și numitor. Abia atunci poți trece la soluții. probleme de matematică cu valori fracționate.

Vei avea nevoie

- calculator;
- cunoașterea proprietăților fracțiilor;
- Abilitatea de a lucra cu fracții.

Instruire

O fracție este o înregistrare a împărțirii unui număr la altul. Adesea, acest lucru nu poate fi realizat complet și, prin urmare, această acțiune este lăsată „neterminată. Numărul care este divizibil (este deasupra sau înaintea semnului fracției) se numește numărător, iar al doilea număr (sub sau după semnul fracției) se numește numitor. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția se numește fracție improprie și din ea poate fi extrasă o parte întreagă. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci o astfel de fracție se numește propriu-zisă, iar partea sa întreagă este 0.

Sarcini sunt împărțite în mai multe tipuri. Stabiliți care dintre ele este sarcina. Cea mai simplă opțiune este să găsești fracția unui număr exprimată ca fracție. Pentru a rezolva această problemă, este suficient să înmulțiți acest număr cu o fracție. De exemplu, au fost aduse 8 tone de cartofi. În prima săptămână, 3/4 din totalul său a fost vândut. Câți cartofi au mai rămas? Pentru a rezolva această problemă, înmulțiți numărul 8 cu 3/4. Se va dovedi 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Dacă trebuie să găsiți un număr după partea sa, înmulțiți partea cunoscută a numărului cu reciproca fracției care arată ce proporție a acestei părți este în număr. De exemplu, 8 din 1/3 din numărul total de studenți. Cati in? Deoarece 8 persoane este partea care reprezintă 1/3 din total, atunci găsiți reciproca care este 3/1 sau doar 3. Apoi pentru a obține numărul de elevi din clasa 8∙3=24 de elevi.

Când trebuie să aflați ce parte dintr-un număr este un număr dintr-un altul, împărțiți numărul care reprezintă partea la cel care este numărul întreg. De exemplu, dacă distanța este de 300 km și mașina a parcurs 200 km, cât va fi din totalul călătoriei? Împărțiți o parte din calea 200 la calea completă 300, după ce reduceți fracția obțineți rezultatul. 200/300=2/3.

Pentru a găsi partea fracției necunoscute a unui număr, atunci când există una cunoscută, luați întregul ca unitate convențională și scădeți fracția cunoscută din el. De exemplu, dacă 4/7 din lecție a trecut deja, mai rămâne? Luați întreaga lecție ca o unitate convențională și scădeți 4/7 din ea. Obțineți 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

„Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”

Obiectivele lecției:

Tutorial:

formarea conceptului de ecuații raționale fracționale; să ia în considerare diverse moduri de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale; luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero; să predea soluția ecuațiilor raționale fracționale conform algoritmului; verificarea nivelului de asimilare a temei prin efectuarea de lucrări de testare.

În curs de dezvoltare:

dezvoltarea capacităţii de a opera corect cu cunoştinţele dobândite, de a gândi logic; dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare; dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, nu de a se opri aici; dezvoltarea gândirii critice; dezvoltarea abilităților de cercetare.

Hrănirea:

educarea interesului cognitiv în materie; educația independenței în rezolvarea problemelor educaționale; educarea voinţei şi perseverenţei pentru a obţine rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic de care avem nevoie pentru a studia un subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)

2. Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) Metoda de rezolvare a ecuaţiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Aduceți condiții asemănătoare. Găsiți multiplicatorul necunoscut).

3. Cum se numește ecuația #3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Selectarea pătratului complet, prin formule, folosind teorema Vieta și consecințele acesteia.)

4. Ce este o proporție? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.)

5. Ce proprietăți sunt folosite în rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se va obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)

6. Când este o fracție egală cu zero? ( O fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul este diferit de zero.)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Ce ecuație rațională fracțională puteți încerca să rezolvați folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația #7 într-unul dintre modalități.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce există trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă

Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată

Faceți o verificare

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, deci 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii înșiși formulează algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul în partea stângă.

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

3. Faceți un sistem: fracția este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero, iar numitorul nu este egal cu zero.

4. Rezolvați ecuația.

5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.

6. Notează răspunsul.

4. Înțelegerea primară a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve singuri ecuația, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, 2007: Nr. 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, e, g). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la întrebările care au apărut și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 3.

c) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1; 1.5.

5. Declarație de teme.

2. Învață algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale.

3. Rezolvați în caietele Nr. 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).

4. Încercați să rezolvați numărul 000(a) (opțional).

6. Îndeplinirea sarcinii de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe foi.

Exemplu de job:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației #6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinilor:

„5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină. „4” - 75% -89% „3” - 50% -74% „2” i se acordă elevului care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină. Nota 2 nu este trecută în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe pliantele cu muncă independentă, puneți:

1 - dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine; 2 - interesant, dar nu clar; 3 - nu este interesant, dar de înțeles; 4 - nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Așadar, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații în diferite moduri, ne-am testat cunoștințele cu ajutorul activității educaționale independente. Rezultatele muncii independente le vei afla in urmatoarea lectie, acasa vei avea ocazia sa consolidezi cunostintele acumulate.

Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.