Con. Frustum

Suprafata conica numită suprafața formată din toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al curbei date și un punct în afara curbei (Fig. 32).

Această curbă se numește ghid , direct - generatoare , punct - vârf suprafata conica.

Suprafață conică circulară dreaptă numită suprafața formată din toate dreptele care trec prin fiecare punct al cercului dat și un punct de pe dreapta care este perpendicular pe planul cercului și trece prin centrul acestuia. În cele ce urmează, această suprafață va fi denumită pe scurt suprafata conica (fig.33).

con (con circular drept ) se numește corp geometric delimitat de o suprafață conică și un plan care este paralel cu planul cercului de ghidare (Fig. 34).

Orez. 32 Fig. 33 Fig. 34

Un con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei axe care conține unul dintre catetele triunghiului.

Cercul care delimitează conul se numește bază . Vârful unei suprafețe conice se numește vârf con. Segmentul de linie care leagă vârful unui con de centrul bazei sale se numește înalt con. Segmentele care formează o suprafață conică se numesc generatoare con. axă a unui con este o linie dreaptă care trece prin vârful conului și centrul bazei acestuia. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa conului. Dezvoltarea laterală a suprafeței con se numește un sector a cărui rază egal cu lungimea generatoarea conului, iar lungimea arcului sectorului este egală cu circumferința bazei conului.

Pentru un con, următoarele formule sunt adevărate:

Unde R este raza bazei;

H- inaltimea;

l- lungimea generatricei;

S principal- suprafata de baza;

partea S

S plin

V este volumul conului.

trunchi de con numită porțiunea conului cuprinsă între bază și planul de tăiere paralel cu baza conului (Fig. 35).

Un trunchi de con poate fi considerat ca un corp obtinut prin rotirea unui trapez dreptunghiular in jurul unei axe ce contine latura laterala a trapezului, perpendiculara pe baze.

Cele două cercuri care delimitau conul se numesc sale temeiuri . Înălţime a unui trunchi de con este distanța dintre bazele sale. Segmentele care formează suprafața conică a unui trunchi de con se numesc generatoare . Linia dreaptă care trece prin centrele bazelor se numește axă trunchi de con. Secțiune axială numită secţiunea care trece prin axa trunchiului de con.

Pentru un trunchi de con, următoarele formule sunt adevărate:

(8)

Unde R este raza bazei inferioare;

r este raza bazei superioare;

H este înălțimea, l este lungimea generatricei;

partea S este aria suprafeței laterale;

S plin este suprafața totală;

V este volumul trunchiului de con.

Exemplul 1 Secțiunea conului paralelă cu baza împarte înălțimea într-un raport de 1:3, numărând de sus. Aflați aria suprafeței laterale a unui trunchi de con dacă raza bazei și înălțimea conului sunt de 9 cm și 12 cm.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 36).

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unui trunchi de con, folosim formula (8). Aflați razele bazelor Cam 1 Ași Aproximativ 1 Vși generatoare AB.

Luați în considerare triunghiuri similare SO 2 Bși SO 1A, coeficient de asemănare , atunci

De aici

De atunci

Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu:

Răspuns: .

Exemplul 2. Un sfert de cerc de rază este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei și înălțimea conului.

Decizie. Cvadruplul unui cerc este o dezvoltare a suprafeței laterale a conului. Denota r este raza bazei sale, H-înălţime. Suprafața laterală se calculează prin formula: . Este egal cu aria unui sfert de cerc: . Obținem o ecuație cu două necunoscute rși l(generator al unui con). În acest caz, generatoarea este egală cu raza unui sfert de cerc R, deci obținem următoarea ecuație: , de unde Cunoscând raza bazei și a generatricei, găsim înălțimea conului:

Răspuns: 2 cm, .

Exemplul 3 Un trapez dreptunghiular cu un unghi ascuțit de 45 O, o bază mai mică de 3 cm și o latură înclinată egală cu , se rotește în jurul laturii perpendiculare pe baze. Aflați volumul corpului de revoluție obținut.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 37).

Ca rezultat al rotației, obținem un trunchi de con; pentru a-i găsi volumul, calculăm raza bazei mai mari și înălțimea. într-un trapez O 1 O 2 AB vom cheltui AC^O 1 B. În avem: deci acest triunghi este isoscel AC=î.Hr\u003d 3 cm.

Răspuns:

Exemplul 4 Un triunghi cu laturile de 13 cm, 37 cm și 40 cm se rotește în jurul unei axe externe care este paralelă cu latura mai mare și se află la 3 cm distanță de aceasta (axa este situată în planul triunghiului). Găsiți aria suprafeței corpului de revoluție rezultat.

Decizie . Să facem un desen (Fig. 38).

Suprafața corpului de revoluție rezultat este formată din suprafețele laterale a două trunchiuri de con și suprafața laterală a cilindrului. Pentru a calcula aceste suprafețe este necesar să se cunoască razele bazelor conurilor și ale cilindrului ( FIși OC) formând conuri ( î.Hrși AC) și înălțimea cilindrului ( AB). Necunoscutul este doar CO. este distanța de la latura triunghiului la axa de rotație. Sa gasim DC. Aria triunghiului ABC pe o latură este egală cu produsul dintre jumătatea laturii AB și înălțimea trasă pe aceasta DC, pe de altă parte, cunoscând toate laturile triunghiului, calculăm aria lui folosind formula lui Heron.

Orez. 1. Obiecte din viață care au forma unui trunchi de con

De unde crezi că provin formele noi în geometrie? Totul este foarte simplu: o persoană în viață întâlnește obiecte similare și vine cu cum să le numească. Luați în considerare piedestalul pe care stau leii în circ, o bucată de morcov, care se obține atunci când tăiem doar o parte din acesta, un vulcan activ și, de exemplu, lumina de la o lanternă (vezi Fig. 1).

Orez. 2. Forme geometrice

Vedem că toate aceste figuri au o formă similară - atât de jos, cât și de sus sunt limitate de cercuri, dar se îngustează în sus (vezi Fig. 2).

Orez. 3. Tăierea vârfului conului

Arată ca un con. Doar lipsește vârful. Să ne imaginăm mental că luăm un con și tăiem partea superioară a acestuia cu o leagăn de sabie ascuțită (vezi Fig. 3).

Orez. 4. Trunchi de con

Se pare că doar figura noastră, se numește trunchi de con (vezi Fig. 4).

Orez. 5. Secțiune paralelă cu baza conului

Să fie dat un con. Să desenăm un avion paralel cu planul baza acestui con și intersectând conul (vezi Fig. 5).

Acesta va împărți conul în două corpuri: unul dintre ele este un con mai mic, iar al doilea se numește trunchi de con (vezi Fig. 6).

Orez. 6. Corpuri obținute cu secțiune paralelă

Astfel, un trunchi de con este o parte a unui con închis între baza sa și un plan paralel cu bază. Ca și în cazul unui con, un trunchi de con poate avea un cerc la bază - în acest caz se numește circular. Dacă conul original a fost drept, atunci trunchiul de con se numește drept. Ca și în cazul conurilor, vom lua în considerare doar trunchiuri circulare drepte, cu excepția cazului în care se indică în mod expres că vorbim despre un trunchi de con indirect sau nu există cercuri în bazele acestuia.

Orez. 7. Rotirea unui trapez dreptunghiular

Tema noastră globală este corpurile revoluției. Trunchiul de con nu face excepție! Amintiți-vă că pentru a obține un con, am luat în considerare triunghi dreptunghicși l-a rotit în jurul piciorului? Dacă conul rezultat este traversat de un plan paralel cu baza, atunci va rămâne un trapez dreptunghiular din triunghi. Rotirea sa în jurul părții laterale mai mici ne va oferi un trunchi de con. Rețineți că, desigur, vorbim doar despre un con circular drept (vezi Fig. 7).

Orez. 8. Bazele unui trunchi de con

Să facem câteva remarci. Baza conului plin și cercul obținut în secțiunea conului printr-un plan se numesc bazele trunchiului de con (inferior și superior) (vezi Fig. 8).

Orez. 9. Generatoare de trunchi de con

Segmentele generatoarelor unui con complet, închise între bazele unui trunchi de con, se numesc generatoare ale unui trunchi de con. Deoarece toți generatorii conului original sunt egali și toți generatorii trunchiului de con sunt egali, atunci generatorii trunchiului de con sunt egali (nu confundați trunchiul și trunchiul!). De aici urmează trapezul isoscel al secțiunii axiale (vezi Fig. 9).

Un segment al axei de rotație închis în interiorul unui trunchi de con se numește axa trunchiului de con. Acest segment, desigur, conectează centrele bazelor sale (vezi Fig. 10).

Orez. 10. Axa unui trunchi de con

Înălțimea unui trunchi de con este o perpendiculară trasată dintr-un punct al uneia dintre baze la cealaltă bază. Cel mai adesea, axa sa este considerată ca înălțimea unui trunchi de con.

Orez. 11. Secțiune axială a unui trunchi de con

Secțiunea axială a unui trunchi de con este secțiunea care trece prin axa acestuia. Arată ca un trapez, puțin mai târziu îi vom demonstra isoscel (vezi Fig. 11).

Orez. 12. Con cu notație introdusă

Găsiți aria suprafeței laterale a trunchiului de con. Fie bazele trunchiului de con să aibă raze și , iar generatorul este egal (vezi Fig. 12).

Orez. 13. Notarea generatricei unui trunchi de con

Să găsim aria suprafeței laterale a trunchiului de con ca diferență între zonele suprafețelor laterale ale conului original și cea trunchiată. Pentru a face acest lucru, notăm cu generatricea trunchiului de con (vezi Fig. 13).

Apoi doritul.

Orez. 14. Triunghiuri similare

Rămâne de exprimat

Rețineți că din asemănarea triunghiurilor , de unde (vezi Fig. 14).

S-ar putea exprima prin împărțirea la diferența razelor, dar nu avem nevoie de acest lucru, deoarece produsul apare în expresia dorită. Înlocuind în loc de , avem în sfârșit: .

Acum nu este dificil să obțineți formula pentru suprafața totală. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugați zonele celor două cercuri de bază: .

Orez. 15. Ilustrație pentru problema

Fie ca trunchiul de con să fie obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul înălțimii sale. Linia mediană a trapezului este egală, iar latura laterală mare este (vezi Fig. 15). Găsiți aria suprafeței laterale a trunchiului de con rezultat.

Decizie

Din formulă, știm că .

Generatoarea conului va fi latura mare a trapezului original, adică razele conului sunt bazele trapezului. Nu le putem găsi. Dar nu avem nevoie de el: este necesară doar suma lor, iar suma bazelor trapezului este de două ori linia mediană a acestuia, adică este egală cu. Apoi .

Vă rugăm să rețineți că atunci când am vorbit despre con, am făcut paralele între acesta și piramidă - formulele erau similare. La fel este și aici, deoarece un trunchi de con este foarte asemănător cu o trunchi de piramidă, deci formulele pentru zonele suprafețelor laterale și pline ale trunchiului de con și piramidei (și în curând vor exista formule pentru volum) sunt similare .

Orez. 1. Ilustrație pentru problema

Razele bazelor trunchiului de con sunt egale cu și , iar generatoarea este egală cu . Găsiți înălțimea trunchiului de con și aria secțiunii sale axiale (vezi Fig. 1).

și printr-un plan paralel cu baza ( orez. ). Volumul lui U. to. este egal cu , Unde r 1 și r 2 – razele de bază, h-înălţime.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „Conul trunchiat” în alte dicționare:

Un corp geometric decupat dintr-un con de un plan paralel cu baza (fig.). Volumul trunchiului de con este * * * TUNCHI DE CON TRUNCAT DE CON, un corp geometric tăiat de con de un plan paralel cu baza. Volumul…… Dicţionar enciclopedic

frust- — Subiecte industria petrolului și gazelor EN trunchi de con … Manualul Traducătorului Tehnic

trunchiat, trunchiat, trunchiat; trunchiat, trunchiat, trunchiat. 1. incl. suferinţă trecut temp. din truncare (carte). 2. Unul în care partea superioară este tăiată de un plan paralel cu baza (despre un con, piramidă; mat.). Frustum. Piramida trunchiată... Dicţionar Uşakov

trunchiată- o, o.; matematica. Una în care partea superioară este tăiată de un plan paralel cu baza. Frustum. Wow piramida... Dicționar cu multe expresii

TUNCHIS, oh, oh. La matematică: astfel, la care partea superioară este separată, tăiată de un plan paralel cu baza. W. con. Piramida trunchiată. Dicționar explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționar explicativ al lui Ozhegov

Aya, oh. 1. incl. suferinţă trecut din trunchiere. 2. în valoare adj. mat. Una în care partea superioară este tăiată de un plan paralel cu baza. Frustum. Piramida trunchiată. 3. în valoare adj. gram, lit. Cu trunchiere (în 2 valori), reprezentând... Mic Dicţionar Academic

Con circular drept. Direct și... Wikipedia

- (latină conus, din greacă konos) o suprafață conică este un set de linii (generatoare) de spațiu care leagă toate punctele unei anumite linii (ghid) cu un punct dat (vertex) al spațiului. Cel mai simplu K. este rotund sau drept circular, îndreptându-se spre... Marele dicționar politehnic enciclopedic

- (lat. conus, din greacă konos) (matematică), 1) K., sau o suprafață conică, locul geometric al liniilor (generatoare) spațiului care leagă toate punctele unei anumite linii (ghid) cu un punct dat (vertex) ) al spațiului...... Marea Enciclopedie Sovietică

Lumea din jurul nostru este dinamică și diversă și nu orice obiect poate fi măsurat pur și simplu cu o riglă. Pentru un astfel de transfer se folosesc tehnici speciale, cum ar fi triangularea. Necesitatea de a compila maturi complexe, de regulă, ...... Wikipedia

Lectura: Con. Baza, inaltimea, suprafata laterala, generatria, dezvoltarea

Con- acesta este un corp, care constă dintr-un cerc, care este situat la bază, dintr-un punct echidistant de toate punctele cercului, precum și din liniile care leagă acest punct (vârf) cu toate punctele situate pe cerc.

Câteva întrebări mai devreme, ne-am uitat la piramidă. Deci un con este un caz special al unei piramide, la baza căreia se află un cerc. Aproape toate proprietățile unei piramide sunt potrivite și pentru un con.

Cum poți obține un con? Amintește-ți ultima întrebare și cum am obținut cilindrul. Acum luați un triunghi isoscel și răsuciți-l în jurul axei sale - veți obține un con.

Generatoare ale conului sunt segmentele cuprinse între punctele cercului și vârful conului. Generatorii conului sunt egali între ei.

Pentru a afla lungimea generatricei, ar trebui să utilizați formula:

Dacă toate generatoarele sunt conectate împreună, puteți obține suprafața laterală a conului. Suprafața sa generală este formată dintr-o suprafață laterală și o bază sub formă de cerc.

Conul are înălţime. Pentru a-l obține, este suficient să coborâți perpendiculara de sus, direct, spre centrul bazei.

Pentru a găsi suprafața laterală, utilizați formula:

Utilizați următoarea formulă pentru a găsi suprafața totală a unui con.

Un trunchi de con se obține dacă un con mai mic este tăiat de con de un plan paralel cu baza (Fig. 8.10). Un trunchi de con are două baze: "inferioară" - baza conului original - și "superioară" - baza conului tăiat. Conform teoremei privind secțiunea conului, bazele trunchiului de con sunt similare .

Înălțimea unui trunchi de con este perpendiculara căzută dintr-un punct al unei baze pe planul alteia. Toate aceste perpendiculare sunt egale (vezi Sec. 3.5). Înălțimea se mai numește și lungimea lor, adică distanța dintre planurile bazelor.

Trunchiul de con de revoluție se obține din conul de revoluție (Fig. 8.11). Prin urmare, bazele sale și toate secțiunile sale paralele cu ele sunt cercuri cu centre pe o linie dreaptă - pe axă. Un trunchi de con de revoluție se obține prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul laturii sale laterale perpendicular pe baze sau prin rotirea

trapez isoscel în jurul axei de simetrie (Fig. 8.12).

Suprafața laterală a unui trunchi de con de revoluție

Aceasta este partea din suprafața laterală a conului de revoluție care îi aparține, din care se obține. Suprafața unui trunchi de con de revoluție (sau suprafața sa completă) este formată din bazele și suprafața sa laterală.

8.5. Imagini cu conuri de revoluție și conuri trunchiate de revoluție.

Un con circular drept este desenat astfel. Mai întâi, este desenată o elipsă reprezentând circumferința bazei (Fig. 8.13). Apoi găsesc centrul bazei - punctul O și desenează vertical un segment RO, care ilustrează înălțimea conului. Din punctul P, liniile drepte tangente (de referință) sunt trase la elipsă (practic acest lucru se face cu ochiul, aplicând o riglă) și segmentele RA și PB ale acestor linii sunt selectate din punctul P până la atingerea punctelor A și B. Vă rugăm să rețineți că segmentul AB nu este diametrul conului de bază, iar triunghiul ARV nu este o secțiune axială a conului. Secțiunea axială a conului este triunghiul APC: segmentul AC trece prin punctul O. Se trasează linii invizibile cu linii; segmentul OP nu este adesea desenat, ci doar conturat mental pentru a reprezenta vârful conului P direct deasupra centrului bazei - punctul O.

Reprezentând un trunchi de con de revoluție, este convenabil să desenați mai întâi conul din care se obține trunchiul de con (Fig. 8.14).

8.6. Secțiuni conice. Am spus deja că planul intersectează suprafața laterală a unui cilindru de revoluție de-a lungul unei elipse (Sec. 6.4). De asemenea, secțiunea suprafeței laterale a conului de revoluție printr-un plan care nu intersectează baza acestuia este o elipsă (Fig. 8.15). Prin urmare, elipsa se numește secțiune conică.

Secțiunile conice includ și alte curbe binecunoscute - hiperbole și parabole. Se consideră un con nemărginit obținut prin extinderea suprafeței laterale a conului de revoluție (Fig. 8.16). Să-l intersectăm cu un plan a care nu trece prin vârf. Dacă a intersectează toți generatorii conului, atunci în secțiune, așa cum sa menționat deja, obținem o elipsă (Fig. 8.15).

Prin rotirea planului OS, este posibil să vă asigurați că acesta intersectează toți generatorii conului K, cu excepția unuia (cu care OS este paralel). Apoi în secțiune obținem o parabolă (Fig. 8.17). În cele din urmă, rotind planul OS în continuare, îl transferăm într-o astfel de poziție încât a, traversând o parte a generatoarelor conului K, să nu intersecteze un număr infinit de celelalte generatoare ale sale și să fie paralel cu doi dintre ei (Fig. 8.18) . Apoi în secțiunea conului K cu planul a obținem o curbă numită hiperbolă (mai precis, una dintre „ramurile”) ale acesteia. Deci, o hiperbolă, care este un grafic al unei funcții, este un caz special al unei hiperbole - o hiperbolă isoscelă, la fel cum un cerc este un caz special al unei elipse.

Orice hiperbolă poate fi obținută din isoscel prin proiecție, la fel cum o elipsă se obține prin proiecția paralelă a unui cerc.

Pentru a obține ambele ramuri ale hiperbolei, trebuie luată o secțiune a unui con care are două „cavități”, adică un con format nu din raze, ci din linii drepte care conțin generatrice ale suprafeței laterale a conului de revoluție (Fig. 8.19).

Secțiunile conice au fost studiate de geometrii greci antici, iar teoria lor a fost unul dintre vârfurile geometriei antice. Cel mai complet studiu al secțiunilor conice din antichitate a fost realizat de Apollonius din Perga (secolul al III-lea î.Hr.).

Există o serie de proprietăți importante care combină elipsele, hiperbolele și parabolele într-o singură clasă. De exemplu, ele epuizează „nedegenerate”, adică nereductibile la un punct, o linie dreaptă sau o pereche de drepte, curbe care sunt definite pe un plan în coordonate carteziene prin ecuații de forma

Secțiunile conice joacă un rol important în natură: corpurile se deplasează de-a lungul orbitelor eliptice, parabolice și hiperbolice într-un câmp gravitațional (amintiți-vă de legile lui Kepler). Proprietățile remarcabile ale secțiunilor conice sunt adesea folosite în știință și tehnologie, de exemplu, la fabricarea unor instrumente optice sau proiectoare (suprafața unei oglinzi într-un proiector este obținută prin rotirea arcului unei parabole în jurul axei parabolei). ). Secțiunile conice pot fi observate ca limite ale umbrei de la abajururile rotunde (Fig. 8.20).