Răspunsuri gata la exemple pentru omogene ecuatii diferentiale Mulți studenți caută primul ordin (DE-urile de ordinul 1 sunt cele mai frecvente în pregătire), apoi le puteți analiza în detaliu. Dar înainte de a trece la luarea în considerare a exemplelor, vă recomandăm să citiți cu atenție un scurt material teoretic.
Ecuațiile de forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, unde funcțiile P(x,y) și Q(x,y) sunt funcții omogene de același ordin, se numesc ecuație diferențială omogenă(ODR).

Schema de rezolvare a unei ecuatii diferentiale omogene

1. Mai întâi trebuie să aplicați substituția y=z*x , unde z=z(x) este o nouă funcție necunoscută (astfel, ecuația originală este redusă la o ecuație diferențială cu variabile separabile.
2. Derivata produsului este y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z sau in diferentiale dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. În continuare, înlocuim noua funcție y și derivata ei y "(sau dy) în DE cu variabile separabileîn raport cu x și z .
4. După ce am rezolvat ecuația diferențială cu variabile separabile, vom face o înlocuire inversă y=z*x, deci z= y/x, și obținem decizie comună(integrala generală) a ecuației diferențiale.
5. Dacă este dată condiția inițială y(x 0)=y 0, atunci găsim o soluție particulară a problemei Cauchy. În teorie, totul pare ușor, dar în practică, nu toată lumea este atât de distractivă să rezolve ecuații diferențiale. Prin urmare, pentru a aprofunda cunoștințele, luați în considerare exemple comune. În ceea ce privește sarcinile ușoare, nu sunt multe de învățat, așa că vom trece imediat la altele mai complexe.

Calcule ale ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul întâi

Exemplul 1

Rezolvare: Împărțiți partea dreaptă a ecuației la variabila care este un factor în apropierea derivatei. Ca urmare, ajungem la ecuație diferențială omogenă de ordinul 0

Și aici a devenit interesant pentru mulți, cum se determină ordinea unei funcții a unei ecuații omogene?
Întrebarea este suficient de relevantă, iar răspunsul la ea este următorul:
în partea dreaptă, înlocuim valoarea t*x, t*y în locul funcției și argumentului. La simplificare, parametrul „t” se obține într-un anumit grad k și se numește ordinea ecuației. În cazul nostru, „t” va fi redus, ceea ce este echivalent cu gradul 0 sau ordinul zero al ecuației omogene.
Mai departe în partea dreaptă putem trece la noua variabilă y=zx; z=y/x .
În același timp, nu uitați să exprimați derivata lui „y” prin derivata noii variabile. După regula părților, găsim

Ecuații în diferențiale va lua forma

Reducem termenii comune pe partea dreaptă și stângă și trecem la ecuație diferențială cu variabile separate.

Să integrăm ambele părți ale DE

Pentru comoditatea transformărilor ulterioare, introducem imediat constanta sub logaritm

După proprietățile logaritmilor, ecuația logaritmică rezultată este echivalentă cu următoarea

Această intrare nu este încă o soluție (răspuns), trebuie să reveniți la modificarea variabilelor efectuată

Astfel găsesc soluție generală a ecuațiilor diferențiale. Dacă ați citit cu atenție lecțiile anterioare, atunci am spus că ar trebui să puteți aplica în mod liber schema de calcul a ecuațiilor cu variabile separate și astfel de ecuații vor trebui calculate pentru tipuri mai complexe de telecomandă.

Exemplul 2 Aflați integrala unei ecuații diferențiale

Soluție: Schema pentru calcularea DE-urilor omogene și rezumative vă este acum familiară. Transferăm variabila în partea dreaptă a ecuației și, de asemenea, în numărător și numitor, scoatem x 2 ca factor comun

Astfel, obținem un DE omogen de ordin zero.
Următorul pas este introducerea modificării variabilelor z=y/x, y=z*x , pe care vă vom reaminti constant să o memorați

După aceea, scriem DE în diferențe

În continuare, transformăm dependența în ecuație diferențială cu variabile separate

și rezolvați-l prin integrare.

Integralele sunt simple, restul transformărilor se bazează pe proprietățile logaritmului. Ultima acțiune implică expunerea logaritmului. În cele din urmă, revenim la înlocuirea inițială și scriem în formular

Constanta „C” ia orice valoare. Toți cei care studiază în lipsă au probleme la examene cu acest tip de ecuații, așa că vă rugăm să priviți cu atenție și să vă amintiți schema de calcul.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația diferențială

Rezolvare: După cum rezultă din tehnica de mai sus, ecuațiile diferențiale de acest tip se rezolvă prin introducerea unei noi variabile. Să rescriem dependența astfel încât derivata să nu aibă o variabilă

În plus, analizând partea dreaptă, vedem că partea -ee este prezentă peste tot și este notă cu noul necunoscut
z=y/x, y=z*x .
Aflarea derivatei lui y

Ținând cont de înlocuire, rescriem DE-ul original în formular

Simplificați aceiași termeni și reduceți toți termenii primiți la DE cu variabile separate

Prin integrarea ambelor părți ale egalității

ajungem la soluție sub formă de logaritmi

Expunând dependențele pe care le găsim soluție generală a unei ecuații diferențiale

care, după substituirea modificării inițiale a variabilelor în ea, ia forma

Aici C este o constantă, care poate fi extinsă din condiția Cauchy. Dacă problema Cauchy nu este dată, atunci ea devine o valoare reală arbitrară.
Asta este toată înțelepciunea în calculul ecuațiilor diferențiale omogene.

Ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi este o ecuație a formei
, unde f este o funcție.

Cum se definește o ecuație diferențială omogenă

Pentru a determina dacă o ecuație diferențială de ordinul întâi este omogenă, trebuie să introducem o constantă t și să înlocuim y cu ty și x cu tx : y → ty , x → tx . Dacă t este redus, atunci aceasta ecuație diferențială omogenă. Derivata y′ nu se modifică la o astfel de transformare.
.

Exemplu

Determinați dacă ecuația dată este omogenă

Decizie

Facem schimbarea y → ty , x → tx .


Împărțiți la t 2 .

.
Ecuația nu conține t . Prin urmare, aceasta este o ecuație omogenă.

Metodă de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene

O ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi este redusă la o ecuație cu variabile separabile folosind substituția y = ux . Să o arătăm. Luați în considerare ecuația:
(i)
Facem o înlocuire:
y=ux
unde u este o funcție a lui x. Diferențierea față de x:
y' =
Inlocuim in ecuatia initiala (i).
,
,
(ii) .
Variabile separate. Înmulțiți cu dx și împărțiți cu x ( f(u) - u ).

Pentru f (u) - u ≠ 0și x ≠ 0 primim:

Integram:

Astfel, am obținut integrala generală a ecuației (i)în pătrate:

Înlocuim constanta de integrare C cu jurnalul C, apoi

Omitem semnul modulului, deoarece semnul dorit este determinat de alegerea semnului constantei C . Atunci integrala generală va lua forma:

În continuare, luăm în considerare cazul f (u) - u = 0.
Dacă această ecuație are rădăcini, atunci acestea sunt o soluție a ecuației (ii). Din moment ce ecuația (ii) nu coincide cu ecuația inițială, atunci ar trebui să vă asigurați că soluțiile suplimentare satisfac ecuația inițială (i).

Ori de câte ori, în procesul transformărilor, împărțim orice ecuație la o funcție, pe care o notăm g (X y), atunci transformările ulterioare sunt valabile pentru g (x, y) ≠ 0. Prin urmare, cazul g (x, y) = 0.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

rezolva ecuatia

Decizie

Să verificăm dacă această ecuație este omogenă. Facem schimbarea y → ty , x → tx . În acest caz, y′ → y′ .
,
,
.
Reducem cu t.

Constanta t a fost redusă. Prin urmare, ecuația este omogenă.

Facem o substituție y = ux , unde u este o funcție a lui x .
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Înlocuiți în ecuația inițială.
,
,
,
.
Pentru x ≥ 0 , |x| =x. Pentru x ≤ 0 , |x| = - x . Scriem |x| = x înseamnă că semnul superior se referă la valorile x ≥ 0 , iar cea inferioară - la valorile x ≤ 0 .
,
Înmulțiți cu dx și împărțiți cu .

Pentru tine 2 - 1 ≠ 0 avem:

Integram:

Integrale de tabel,
.

Să aplicăm formula:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Fie a = u , .
.
Luați ambele părți modulo și logaritmul,
.
De aici
.

Astfel avem:
,
.
Omitem semnul modulului, deoarece semnul cerut este furnizat prin alegerea semnului constantei C .

Înmulțiți cu x și înlocuiți ux = y .
,
.
Să-l pătram.
,
,
.

Acum luați în considerare cazul, u 2 - 1 = 0 .
Rădăcinile acestei ecuații
.
Este ușor de observat că funcțiile y = x satisfac ecuația inițială.

Răspuns

,
,
.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de sarcini pe matematică superioară, „Lan”, 2003.

Omogen

În această lecție, ne vom uita la așa-numitele ecuaţii diferenţiale omogene de ordinul întâi. Impreuna cu ecuații de variabile separabileși ecuații liniare neomogene acest tip de telecomandă se găsește în aproape orice munca de control pe tema difuziei. Dacă ați intrat în pagină dintr-un motor de căutare sau nu sunteți foarte încrezători în ecuațiile diferențiale, atunci mai întâi vă recomand cu tărie să pregătiți o lecție introductivă pe acest subiect - Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Cert este că multe principii pentru rezolvarea ecuațiilor omogene și tehnicile folosite vor fi exact aceleași ca și pentru cele mai simple ecuații cu variabile separabile.

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale omogene și alte tipuri de DE? Acest lucru este cel mai ușor de explicat imediat. exemplu concret.

Exemplul 1

Decizie:
Ce pentru inceput trebuie analizat atunci când se decide orice ecuație diferențială prima comanda? În primul rând, este necesar să se verifice dacă este posibilă separarea imediată a variabilelor folosind acțiuni „școală”? De obicei, o astfel de analiză este efectuată mental sau încercând să se separe variabilele într-o schiță.

În acest exemplu variabilele nu pot fi separate(puteți încerca să răsturnați termenii de la o parte la alta, să eliminați factorii dintre paranteze etc.). Apropo, în acest exemplu, faptul că variabilele nu pot fi împărțite este destul de evident datorită prezenței factorului .

Apare întrebarea - cum se rezolvă acest diffur?

Trebuie să verificați și Este această ecuație omogenă?? Verificarea este simplă, iar algoritmul de verificare în sine poate fi formulat după cum urmează:

La ecuația inițială:

în loc deînlocuitor, în loc deînlocuitor, nu atingeți derivatul:

Litera lambda este un parametru condiționat și aici joacă următorul rol: dacă, în urma transformărilor, este posibil să „distrugem” TOATE lambda și să obținem ecuația originală, atunci această ecuație diferențială este omogen.

Evident, lambda se anulează imediat în exponent:

Acum, în partea dreaptă, scoatem lambda din paranteze:

și împărțiți ambele părți la aceeași lambda:

Ca urmare Toata lumea lambdas au dispărut ca un vis, ca o ceață de dimineață și am obținut ecuația originală.

Concluzie: Această ecuație este omogen

Cum se rezolvă o ecuație diferențială omogenă?

Am o veste foarte bună. Tot ecuații omogene poate fi rezolvată cu o singură înlocuire standard (!).

Funcția „y” ar trebui a inlocui muncă vreo funcție (depinde și de „x”)și „x”:

Aproape întotdeauna scrie pe scurt:

Aflam in ce se va transforma derivatul cu o astfel de inlocuire, folosim regula pentru diferentierea unui produs. Daca atunci:

Înlocuiți în ecuația inițială:

Ce va oferi un astfel de înlocuitor? După această înlocuire și simplificările făcute, noi garantat obţinem o ecuaţie cu variabile separabile. TINE MINTE ca prima dragoste :) si, in consecinta, .

După înlocuire, facem simplificări maxime:

Deoarece este o funcție care depinde de „x”, atunci derivata ei poate fi scrisă ca o fracție standard: .
În acest fel:

Separăm variabilele, în timp ce în partea stângă trebuie să colectați doar „te”, iar în partea dreaptă - doar „x”:

Variabilele sunt separate, integrăm:


Conform primului meu sfat tehnic din articol Ecuații diferențiale de ordinul întâiîn multe cazuri este oportună „formularea” unei constante sub forma unui logaritm.

După ce ecuația este integrată, trebuie să efectuați substituție inversă, este, de asemenea, standard și unic:
Daca atunci
În acest caz:

În 18-19 cazuri din 20, soluția ecuației omogene se scrie ca integrală generală.

Răspuns: integrala generala:

De ce răspunsul la o ecuație omogenă este aproape întotdeauna dat ca o integrală generală?
În cele mai multe cazuri, este imposibil să exprimați „y” într-o formă explicită (pentru a obține o soluție generală) și, dacă este posibil, atunci cel mai adesea soluția generală se dovedește a fi greoaie și stângace.

Deci, de exemplu, în exemplul considerat, soluția generală poate fi obținută prin agățarea logaritmilor pe ambele părți ale integralei generale:

- Ei bine, încă în regulă. Deși, vezi tu, e tot strâmb.

Apropo, în acest exemplu, nu am scris „decent” integrala generală. Nu este o greșeală, dar într-un stil „bun”, vă reamintesc, se obișnuiește să scrieți integrala generală în forma . Pentru a face acest lucru, imediat după integrarea ecuației, constanta trebuie scrisă fără niciun logaritm (Aceasta este excepția de la regulă!):

Și după înlocuirea inversă, obțineți integrala generală în forma „clasică”:

Răspunsul primit poate fi verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să diferențiați integrala generală, adică să găsiți derivata unei functii definita implicit:

Scăpați de fracții înmulțind fiecare parte a ecuației cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Este recomandabil să verificați întotdeauna. Dar ecuațiile omogene sunt neplăcute, deoarece de obicei este dificil să le verifici integralele generale - aceasta necesită o tehnică de diferențiere foarte, foarte decentă. În exemplul considerat, în timpul verificării, a fost deja necesar să se găsească nu cele mai simple derivate (deși exemplul în sine este destul de simplu). Dacă îl poți verifica, verifică-l!

Exemplul 2

Verificați omogenitatea ecuației și găsiți integrala ei generală.

Scrieți răspunsul în formular

Acesta este un exemplu pentru o decizie independentă - astfel încât să vă obișnuiți cu algoritmul acțiunilor în sine. Verificați pe îndelete, pentru că. aici este destul de complicat și nici nu am început să-l aduc, altfel nu vei mai ajunge la un astfel de maniac :)

Și acum punctul important promis, menționat chiar la începutul subiectului,
cu litere negre aldine:

Dacă în cursul transformărilor „resetăm” factorul (nu o constantă)la numitor, atunci RISCĂM să pierdem soluții!

Și, de fapt, am întâlnit asta chiar în primul exemplu. lecție introductivă asupra ecuațiilor diferențiale. În procesul de rezolvare a ecuației, „y” s-a dovedit a fi în numitor: , dar, evident, este o soluție pentru DE și, ca urmare a unei transformări (diviziuni) neechivalente, există toate șansele de a-l pierde! Un alt lucru este că a intrat în soluția generală la valoarea zero a constantei. Resetarea lui „x” la numitor poate fi, de asemenea, ignorată, deoarece nu satisface difuzul original.

O poveste similară cu a treia ecuație a aceleiași lecții, în timpul căreia am „scăpat” în numitor. Strict vorbind, aici a fost necesar să se verifice dacă difuzia dată este o soluție? La urma urmei, este! Dar chiar și aici „totul a funcționat”, deoarece această funcție a intrat în integrala generală la .

Și dacă acesta este adesea cazul cu ecuațiile „separabile”;) „se rostogolește”, atunci cu difuzii omogen și alte difuzii poate „nu se rostogolește”. Cu o mare probabilitate.

Să analizăm problemele deja rezolvate în această lecție: Exemplul 1 a existat o „resetare” a lui x, cu toate acestea, nu poate fi o soluție a ecuației. Dar în Exemplul 2 ne-am împărțit în , dar și asta „a scăpat”: deoarece soluțiile nu se puteau pierde, pur și simplu nu există aici. Dar, desigur, am aranjat „cazurile fericite” în mod intenționat și nu este un fapt că vor întâlni în practică:

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Nu este un exemplu simplu? ;-)

Decizie: omogenitatea acestei ecuații este evidentă, dar totuși - pe primul pas Verificați ÎNTOTDEAUNA dacă variabilele pot fi separate. Căci ecuația este și ea omogenă, dar variabilele din ea sunt separate în liniște. Da sunt câteva!

După ce verificăm „separabilitatea”, facem o înlocuire și simplificăm ecuația cât mai mult posibil:

Separăm variabilele, în stânga colectăm „te”, în dreapta - „x”:

Și aici este STOP. Când împărțim la riscăm să pierdem două funcții deodată. Deoarece , atunci acestea sunt funcțiile:

Prima funcție este evident o soluție a ecuației . Verificăm pe al doilea - înlocuim derivatul său în diffur:

- se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că funcția este o soluție.

Și riscăm să pierdem aceste decizii.

În plus, numitorul era „X”, totuși, substituția implică faptul că este diferit de zero. Amintiți-vă acest fapt. Dar! Asigurați-vă că verificați, dacă este o soluție a ecuației diferențiale ORIGINALE. Nu, nu este.

Să luăm notă de toate acestea și să continuăm:

Trebuie spus că am avut noroc cu integrala din stânga, se întâmplă mult mai rău.

Colectăm un singur logaritm pe partea dreaptă și resetăm cătușele:

Și tocmai acum înlocuirea inversă:

Înmulțiți toți termenii cu:

Acum să verific - dacă soluţiile „periculoase” sunt incluse în integrala generală. Da, ambele soluții sunt incluse în integrala generală la valoarea zero a constantei: , deci nu trebuie să fie indicate suplimentar în Răspuns:

integrala generala:

Examinare. Nici măcar un test, ci pură plăcere :)

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Pentru o soluție de sine stătătoare:

Exemplul 4

Efectuați un test de omogenitate și rezolvați ecuația diferențială

Integrala generală poate fi verificată prin diferențiere.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Luați în considerare câteva exemple în care o ecuație omogenă este dată cu diferențe gata făcute.

Exemplul 5

Rezolvați ecuația diferențială

Acesta este un exemplu foarte interesant, doar un întreg thriller!

Decizie Ne vom obișnui să o facem mai compactă. În primul rând, mental sau pe o schiță, ne asigurăm că variabilele nu pot fi împărțite aici, după care verificăm uniformitatea - de obicei nu se realizează pe o copie curată (cu excepția cazului în care se cere în mod specific). Astfel, aproape întotdeauna soluția începe cu intrarea: „ Această ecuație este omogenă, să facem o înlocuire: ...».

Dacă o ecuație omogenă conține diferențe gata făcute, atunci poate fi rezolvată printr-o substituție modificată:

Dar nu vă sfătuiesc să folosiți o astfel de înlocuire, deoarece se va dovedi a fi Marele Zid Chinezesc al diferențialelor, unde aveți nevoie de un ochi și un ochi. Din punct de vedere tehnic, este mai avantajos să trecem la denumirea „liniată” a derivatei, pentru aceasta împărțim toți termenii ecuației la:

Și deja aici am făcut o transformare „periculoasă”! Diferenţialul zero corespunde - unei familii de linii paralele cu axa. Sunt ele rădăcinile DU-ului nostru? Înlocuiți în ecuația inițială:

Această egalitate este adevărată dacă , adică atunci când împărțim la riscăm să pierdem soluția , și l-am pierdut- pentru ca nu mai satisface ecuația rezultată .

Trebuie remarcat faptul că dacă noi iniţial s-a dat ecuația , atunci rădăcina ar fi exclusă. Dar îl avem și l-am „prins” la timp.

Continuăm soluția cu o înlocuire standard:
:

După înlocuire, simplificăm ecuația cât mai mult posibil:

Separarea variabilelor:

Și aici din nou STOP: atunci când împărțim la riscăm să pierdem două funcții. Deoarece , atunci acestea sunt funcțiile:

Evident, prima funcție este o soluție a ecuației . Verificăm a doua - înlocuim și derivata sa:

- primit adevărata egalitate, deci funcția este și o soluție a ecuației diferențiale.

Și atunci când împărțim la riscăm să pierdem aceste soluții. Cu toate acestea, ele pot intra într-o integrală comună. Dar s-ar putea să nu intre.

Să luăm notă de acest lucru și să integrăm ambele părți:

Integrala din partea stângă este rezolvată standard folosind selectarea unui pătrat complet, dar în difuzoare este mult mai convenabil de utilizat metoda coeficienților nedeterminați:

Folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem integrantul într-o sumă de fracții elementare:


În acest fel:

Găsim integralele:

- deoarece am desenat doar logaritmi, împingem și constanta sub logaritm.

Înainte de înlocuire simplifica din nou tot ce poate fi simplificat:

Lanțuri de aruncare:

Și înlocuirea inversă:

Acum ne amintim „pierderile”: soluția a intrat în integrala generală la , dar - „a zburat pe lângă casa de marcat”, deoarece a apărut la numitor. Prin urmare, în răspuns, i se acordă o frază separată și da - nu uitați de decizia pierdută, care, apropo, s-a dovedit a fi, de asemenea, în partea de jos.

Răspuns: integrala generala: . Mai multe soluții:

Nu este atât de dificil să exprim aici soluția generală:
, dar acest lucru este deja spectacol.

Convenabil, totuși, pentru testare. Să găsim derivata:

și înlocuitor în partea stângă a ecuației:

– ca urmare, s-a obținut partea dreaptă a ecuației, care trebuia verificată.

Următorul difuzor este singur:

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Încercați în același timp pentru antrenament și exprimați aici soluția generală.

În partea finală a lecției, vom lua în considerare câteva sarcini caracteristice pe această temă:

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială

Decizie: Să mergem pe drumurile bătute. Această ecuație este omogenă, să schimbăm:

Cu „x” totul este în ordine, dar cum rămâne cu trinomul pătrat? Deoarece este de necompunet în factori : , atunci cu siguranță nu pierdem soluții. Mereu ar fi așa! Selectați pătratul complet din partea stângă și integrați:

Nu există nimic de simplificat aici și, prin urmare, înlocuirea inversă:

Răspuns: integrala generala:

Exemplul 8

Rezolvați ecuația diferențială

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Asa de:

Pentru conversii neechivalente, verificați ÎNTOTDEAUNA (cel putin verbal), nu-ti pierde deciziile! Care sunt aceste transformări? De regulă, reducerea prin ceva sau împărțirea în ceva. Deci, de exemplu, atunci când împărțiți cu, trebuie să verificați dacă funcțiile sunt soluții ale unei ecuații diferențiale. În același timp, atunci când se împarte necesitatea unei astfel de verificări, deja dispare - datorită faptului că acest divizor nu dispare.

Iată o altă situație periculoasă:

Aici, scăpând de , ar trebui să verificăm dacă este o soluție la DE. Adesea, „x”, „y” se găsesc ca un astfel de factor, iar reducând prin ei, pierdem funcții care se pot dovedi a fi soluții.

Pe de altă parte, dacă ceva este INITIAL în numitor, atunci nu există niciun motiv pentru o astfel de îngrijorare. Deci, într-o ecuație omogenă, nu trebuie să vă faceți griji cu privire la funcția , deoarece este „declarată” la numitor.

Subtilitățile enumerate nu își pierd relevanța, chiar dacă este necesar să se găsească doar o anumită soluție în problemă. Există o mică, dar o șansă să pierdem exact soluția necesară. Adevăr Problema Cauchy in sarcinile practice cu ecuatii omogene se solicita destul de rar. Cu toate acestea, există astfel de exemple în articol Ecuații care se reduc la omogene, pe care vă recomand să-l studiați „în hot pursuit” pentru a vă consolida abilitățile de rezolvare.

Există, de asemenea, ecuații omogene mai complexe. Dificultatea nu constă în schimbarea variabilei sau simplificări, ci în integralele destul de dificile sau rare care apar ca urmare a separării variabilelor. Am exemple de soluții la astfel de ecuații omogene - integrale urâte și răspunsuri urâte. Dar nu vom vorbi despre ele, pentru că în lecțiile următoare (vezi mai jos) Mai am timp să te chinuiesc, vreau să te văd proaspăt și optimist!

Promovare reușită!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Decizie: verificați ecuația pentru omogenitate, pentru aceasta, în ecuația originală în loc de să punem , și în loc de hai sa inlocuim:

Ca urmare, se obține ecuația originală, ceea ce înseamnă că acest DE este omogen.

Pentru a rezolva o ecuație diferențială omogenă de ordinul I, se folosește substituția u=y/x, adică u este o nouă funcție necunoscută care depinde de x. Prin urmare y=ux. Găsim derivata y’ folosind regula de diferențiere a produsului: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (deoarece x’=1). Pentru o altă formă de scriere: dy=udx+xdu După înlocuire simplificăm ecuația și ajungem la o ecuație cu variabile separabile.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul I.

1) Rezolvați ecuația

Verificăm dacă această ecuație este omogenă (vezi Cum se definește o ecuație omogenă). Asigurându-ne, facem înlocuirea u=y/x, de unde y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Înlocuiește: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Deoarece logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor, ln(ux)=lnu+lnx. De aici

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). După aducerea unor termeni similari: u'x+u=u(1+lnu). Acum extindeți parantezele

u'x+u=u+u lnu. Ambele părți conțin u, deci u'x=u·lnu. Deoarece u este o funcție a lui x, u’=du/dx. Substitui

Avem o ecuație cu variabile separabile. Separăm variabilele, pentru care înmulțim ambele părți cu dx și împărțim cu x u lnu, cu condiția ca produsul x u lnu≠0

Integram:

În partea stângă este o integrală tabelară. În dreapta, facem înlocuirea t=lnu, de unde dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Dar am discutat deja că în astfel de ecuații este mai convenabil să luăm ln│C│ în loc de С. Apoi

ln│t│=ln│x│+ln│C│. După proprietatea logaritmilor: ln│t│=ln│Сx│. Prin urmare, t=Cx. (după condiție, x>0). Este timpul să faceți înlocuirea inversă: lnu=Cx. Și o altă înlocuire inversă:

Conform proprietății logaritmilor:

Aceasta este integrala generală a ecuației.

Reamintim produsul de condiție x·u·lnu≠0 (care înseamnă x≠0,u≠0, lnu≠0, de unde u≠1). Dar x≠0 din condiție rămâne u≠1, deci x≠y. Evident, y=x (x>0) sunt incluse în soluția generală.

2) Aflați integrala parțială a ecuației y’=x/y+y/x care îndeplinește condițiile inițiale y(1)=2.

În primul rând, verificăm dacă această ecuație este omogenă (deși prezența termenilor y/x și x/y indică deja indirect acest lucru). Apoi facem înlocuirea u=y/x, de unde y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Inlocuim expresiile rezultate in ecuatie:

u'x+u=1/u+u. Simplificare:

u'x=1/u. Deoarece u este o funcție a lui x, u’=du/dx:

Avem o ecuație cu variabile separabile. Pentru a separa variabilele, înmulțim ambele părți cu dx și u și împărțim cu x (x≠0 cu condiția, deci și u≠0, ceea ce înseamnă că nu există pierderi de decizii).

Integram:

și deoarece există integrale tabulare în ambele părți, obținem imediat

Efectuarea unei înlocuiri inverse:

Aceasta este integrala generală a ecuației. Folosim condiția inițială y(1)=2, adică substituim y=2, x=1 în soluția rezultată:

3) Aflați integrala generală a ecuației omogene:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Schimbați u=y/x, de unde y=ux, dy=xdu+udx. Inlocuim:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Scoatem x² din paranteze și împărțim ambele părți la el (presupunând că x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Extindeți parantezele și simplificați:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Gruparea termenilor cu du și dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Scoatem factorii comuni din paranteze:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Separarea variabilelor:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți ale ecuației la xu(u²+1)≠0 (în consecință, adăugăm cerințele x≠0 (deja notate), u≠0):

Integram:

În partea dreaptă a ecuației este o integrală tabelară, fracția rațională din partea stângă este descompusă în factori simpli:

(sau în a doua integrală, în loc să se subsumeze sub semnul diferențial, a fost posibil să se facă substituția t=1+u², dt=2udu - cui îi place în ce sens). Primim:

După proprietățile logaritmilor:

Înlocuire inversă

Reamintim condiția u≠0. Prin urmare y≠0. Când C=0 y=0, atunci nu există pierderi de soluții, iar y=0 este inclus în integrala generală.

cometariu

Puteți obține soluția într-o formă diferită dacă lăsați termenul cu x în stânga:

Sensul geometric al curbei integrale în acest caz este o familie de cercuri centrate pe axa Oy și care trec prin origine.

Sarcini pentru autotest:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Verificăm dacă ecuația este omogenă, după care facem înlocuirea u=y/x, de unde y=ux, dy=xdu+udx. Înlocuiți în condiția: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Împărțind ambele părți ale ecuației la x²≠0, obținem: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Prin urmare, dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Simplificand, avem: dx-xudu=0. Prin urmare, xudu=dx, udu=dx/x. Să integrăm ambele părți:

Cred că ar trebui să începem cu istoria unui instrument matematic atât de glorios precum ecuațiile diferențiale. La fel ca orice calcul diferențial și integral, aceste ecuații au fost inventate de Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. El a considerat tocmai această descoperire a lui atât de importantă încât a criptat chiar mesajul, care astăzi poate fi tradus cam așa: „Toate legile naturii sunt descrise prin ecuații diferențiale”. Poate părea o exagerare, dar este adevărat. Orice lege a fizicii, chimiei, biologiei poate fi descrisă prin aceste ecuații.

O contribuție uriașă la dezvoltarea și crearea teoriei ecuațiilor diferențiale a fost adusă de matematicienii Euler și Lagrange. Deja în secolul al XVIII-lea, au descoperit și dezvoltat ceea ce învață acum în cursurile superioare ale universităților.

O nouă piatră de hotar în studiul ecuațiilor diferențiale a început datorită lui Henri Poincare. El a creat o „teorie calitativă a ecuațiilor diferențiale”, care, în combinație cu teoria funcțiilor unei variabile complexe, a adus o contribuție semnificativă la fundamentul topologiei - știința spațiului și a proprietăților sale.

Ce sunt ecuațiile diferențiale?

Mulți oameni se tem de o singură frază. Cu toate acestea, în acest articol vom detalia întreaga esență a acestui aparat matematic foarte util, care de fapt nu este atât de complicat pe cât pare din nume. Pentru a începe să vorbiți despre ecuații diferențiale de ordinul întâi, ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu conceptele de bază care sunt în mod inerent legate de această definiție. Să începem cu diferența.

Diferenţial

Mulți oameni cunosc acest concept de la școală. Cu toate acestea, să aruncăm o privire mai atentă la el. Imaginează-ți un grafic al unei funcții. Îl putem crește în așa măsură încât oricare dintre segmentele sale va lua forma unei linii drepte. Pe el luăm două puncte care sunt infinit aproape unul de celălalt. Diferența dintre coordonatele lor (x sau y) va fi o valoare infinitezimală. Se numește diferențial și este notat prin semnele dy (diferențial de la y) și dx (diferențial de la x). Este foarte important să înțelegem că diferența nu este o valoare finită, iar acesta este sensul și funcția sa principală.

Și acum este necesar să luăm în considerare următorul element, care ne va fi util în explicarea conceptului de ecuație diferențială. Acesta este un derivat.

Derivat

Probabil că toți am auzit acest concept la școală. Se spune că derivată este rata de creștere sau scădere a unei funcții. Cu toate acestea, o mare parte din această definiție devine de neînțeles. Să încercăm să explicăm derivata în termeni de diferenţiale. Să revenim la un segment infinitezimal al unei funcții cu două puncte care sunt la o distanță minimă unul de celălalt. Dar chiar și pentru această distanță, funcția reușește să se schimbe cu o anumită sumă. Și pentru a descrie această schimbare, au venit cu o derivată, care altfel poate fi scrisă ca raport al diferențialelor: f (x) "=df / dx.

Acum merită să luăm în considerare proprietățile de bază ale derivatului. Sunt doar trei dintre ele:

1. Derivata sumei sau diferenței poate fi reprezentată ca suma sau diferența derivatelor: (a+b)"=a"+b" și (a-b)"=a"-b".
2. A doua proprietate este legată de înmulțire. Derivata unui produs este suma produselor unei functii si derivata alteia: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Derivata diferenței poate fi scrisă ca următoarea egalitate: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Toate aceste proprietăți ne vor fi utile pentru a găsi soluții la ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Există și derivate parțiale. Să presupunem că avem o funcție z care depinde de variabilele x și y. Pentru a calcula derivata parțială a acestei funcții, să zicem, în raport cu x, trebuie să luăm variabila y ca o constantă și să diferențiem pur și simplu.

Integral

Un alt concept important este integrala. De fapt, acesta este direct opusul derivatului. Există mai multe tipuri de integrale, dar pentru a rezolva cele mai simple ecuații diferențiale, avem nevoie de cele mai banale

Deci, să presupunem că avem o dependență a lui f de x. Luăm integrala din ea și obținem funcția F (x) (deseori numită antiderivată), a cărei derivată este egală cu funcția originală. Astfel F(x)"=f(x). De asemenea, rezultă că integrala derivatei este egală cu funcția inițială.

Când rezolvați ecuații diferențiale, este foarte important să înțelegeți semnificația și funcția integralei, deoarece va trebui să le luați foarte des pentru a găsi o soluție.

Ecuațiile sunt diferite în funcție de natura lor. În secțiunea următoare, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale de ordinul întâi și apoi vom învăța cum să le rezolvăm.

Clase de ecuații diferențiale

„Diffura” sunt împărțite în funcție de ordinea derivatelor implicate în ele. Astfel, există prima, a doua, a treia și mai multă ordine. Ele pot fi, de asemenea, împărțite în mai multe clase: derivate obișnuite și parțiale.

În acest articol, vom lua în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite de ordinul întâi. Vom discuta, de asemenea, exemple și modalități de a le rezolva în secțiunile următoare. Vom lua în considerare doar EDO, deoarece acestea sunt cele mai comune tipuri de ecuații. Obișnuite sunt împărțite în subspecii: cu variabile separabile, omogene și eterogene. În continuare, veți afla cum diferă unele de altele și cum să le rezolvați.

În plus, aceste ecuații pot fi combinate, astfel încât după obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. De asemenea, vom lua în considerare astfel de sisteme și vom învăța cum să le rezolvăm.

De ce luăm în considerare doar prima comandă? Pentru că trebuie să începeți cu unul simplu și este pur și simplu imposibil să descrieți tot ce este legat de ecuațiile diferențiale într-un articol.

Ecuații de variabile separabile

Acestea sunt probabil cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi. Acestea includ exemple care pot fi scrise astfel: y "=f (x) * f (y). Pentru a rezolva această ecuație, avem nevoie de o formulă de reprezentare a derivatei ca raport al diferenţialelor: y" = dy / dx. Folosind-o, obținem următoarea ecuație: dy/dx=f(x)*f(y). Acum putem trece la metoda de rezolvare a exemplelor standard: vom împărți variabilele în părți, adică vom transfera totul cu variabila y în partea în care se află dy și vom face același lucru cu variabila x. Obținem o ecuație de forma: dy/f(y)=f(x)dx, care se rezolvă luând integralele ambelor părți. Nu uitați de constantă, care trebuie setată după luarea integralei.

Soluția oricărei „difuzații” este o funcție a dependenței lui x de y (în cazul nostru) sau, dacă există o condiție numerică, atunci răspunsul este sub forma unui număr. Să aruncăm o privire la întreaga soluție folosind un exemplu specific:

Transferăm variabile în direcții diferite:

Acum luăm integralele. Toate acestea pot fi găsite într-un tabel special de integrale. Și obținem:

log(y) = -2*cos(x) + C

Dacă este necesar, putem exprima „y” în funcție de „x”. Acum putem spune că ecuația noastră diferențială este rezolvată dacă nu este dată nicio condiție. O condiție poate fi dată, de exemplu, y(n/2)=e. Apoi pur și simplu substituim valoarea acestor variabile în soluție și găsim valoarea constantei. În exemplul nostru, este egal cu 1.

Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Acum să trecem la partea mai dificilă. Ecuațiile diferențiale omogene de ordinul întâi pot fi scrise în vedere generala deci: y"=z(x,y). Trebuie remarcat faptul că funcția corectă a două variabile este omogenă și nu poate fi împărțită în două dependențe: z pe x și z pe y. Verificarea dacă ecuația este omogenă sau nu este destul de simplu: facem înlocuirea x=k*x și y=k*y.Acum anulăm toate k.Dacă toate aceste litere au fost reduse, atunci ecuația este omogenă și puteți proceda în siguranță la rezolvarea acesteia. înainte, să spunem: principiul rezolvării acestor exemple este, de asemenea, foarte simplu.

Trebuie să facem o înlocuire: y=t(x)*x, unde t este o funcție care depinde și de x. Atunci putem exprima derivata: y"=t"(x)*x+t. Înlocuind toate acestea în ecuația noastră originală și simplificând-o, obținem un exemplu cu variabile separabile t și x. Rezolvăm și obținem dependența t(x). Când l-am primit, pur și simplu înlocuim y=t(x)*x în înlocuirea noastră anterioară. Atunci obținem dependența lui y de x.

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu: x*y"=y-x*e y/x .

Când se verifică cu un înlocuitor, totul este redus. Deci ecuația este într-adevăr omogenă. Acum facem o altă înlocuire despre care am vorbit: y=t(x)*x și y"=t"(x)*x+t(x). După simplificare, obținem următoarea ecuație: t "(x) * x \u003d -e t. Rezolvăm exemplul rezultat cu variabile separate și obținem: e -t \u003dln (C * x). Trebuie doar să înlocuim t cu y / x (pentru că dacă y \u003d t * x, atunci t \u003d y / x) și obținem răspunsul: e -y / x \u003d ln (x * C).

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Este timpul să luăm în considerare un alt subiect amplu. Vom analiza ecuații diferențiale neomogene de ordinul întâi. Cu ce ​​sunt diferite de cele două anterioare? Să ne dăm seama. Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi în formă generală pot fi scrise după cum urmează: y " + g (x) * y \u003d z (x). Merită să clarificăm că z (x) și g (x) pot fi valori constante .

Și acum un exemplu: y" - y*x=x 2 .

Există două moduri de rezolvare și le vom analiza pe ambele în ordine. Prima este metoda de variație a constantelor arbitrare.

Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie mai întâi să egalați partea dreapta la zero și rezolvați ecuația rezultată, care după transferul părților va lua forma:

ln|y|=x2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Acum trebuie să înlocuim constanta C 1 cu funcția v(x), pe care trebuie să o găsim.

Să schimbăm derivata:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Să substituim aceste expresii în ecuația originală:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Se poate observa că doi termeni sunt anulați în partea stângă. Dacă, într-un exemplu, acest lucru nu s-a întâmplat, atunci ai făcut ceva greșit. Hai sa continuăm:

v"*e x2/2 = x 2 .

Acum rezolvăm ecuația obișnuită în care trebuie să separăm variabilele:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Pentru a extrage integrala, trebuie să aplicăm aici integrarea pe părți. Cu toate acestea, acesta nu este subiectul articolului nostru. Dacă sunteți interesat, puteți învăța singur cum să efectuați astfel de acțiuni. Nu este dificil și, cu suficientă îndemânare și grijă, nu durează mult timp.

Să trecem la a doua soluție. ecuații neomogene: metoda Bernoulli. Ce abordare este mai rapidă și mai ușoară depinde de tine.

Deci, atunci când rezolvăm ecuația prin această metodă, trebuie să facem o înlocuire: y=k*n. Aici k și n sunt câteva funcții dependente de x. Apoi derivata va arata astfel: y"=k"*n+k*n". Inlocuim ambele inlocuiri in ecuatie:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupare:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Acum trebuie să echivalăm cu zero ceea ce este între paranteze. Acum, dacă combinăm cele două ecuații rezultate, obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi care trebuie rezolvat:

Rezolvăm prima egalitate ca o ecuație obișnuită. Pentru a face acest lucru, trebuie să separați variabilele:

Luăm integrala și obținem: ln(n)=x 2 /2. Atunci, dacă exprimăm n:

Acum înlocuim egalitatea rezultată în a doua ecuație a sistemului:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Și transformând, obținem aceeași egalitate ca în prima metodă:

dk=x 2 /e x2/2 .

De asemenea, nu vom analiza alte acțiuni. Merită spus că la început rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi provoacă dificultăți semnificative. Cu toate acestea, cu o imersiune mai profundă în subiect, începe să devină din ce în ce mai bine.

Unde se folosesc ecuațiile diferențiale?

Ecuațiile diferențiale sunt folosite foarte activ în fizică, deoarece aproape toate legile de bază sunt scrise în formă diferențială, iar formulele pe care le vedem sunt soluția acestor ecuații. În chimie, ele sunt folosite din același motiv: legile de bază sunt derivate din ele. În biologie, ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a modela comportamentul sistemelor, cum ar fi prădător-pradă. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a crea modele de reproducere a, de exemplu, o colonie de microorganisme.

Cum vor ajuta ecuațiile diferențiale în viață?

Răspunsul la această întrebare este simplu: în niciun caz. Dacă nu sunteți om de știință sau inginer, atunci este puțin probabil să vă fie de folos. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea generală, nu strica să știi ce este o ecuație diferențială și cum se rezolvă. Și apoi întrebarea unui fiu sau a unei fiice "ce este o ecuație diferențială?" nu te va deruta. Ei bine, dacă ești om de știință sau inginer, atunci tu însuți înțelegi importanța acestui subiect în orice știință. Dar cel mai important lucru este că acum întrebarea „cum se rezolvă o ecuație diferențială de ordinul întâi?” poți întotdeauna să răspunzi. De acord, este întotdeauna frumos când înțelegi ceea ce oamenilor chiar le este frică să înțeleagă.

Principalele probleme în învățare

Principala problemă în înțelegerea acestui subiect este slaba abilitate de integrare și diferențiere a funcțiilor. Dacă nu sunteți bun să luați derivate și integrale, atunci probabil că merită să învățați mai multe, să stăpâniți diferite metode de integrare și diferențiere și abia apoi să continuați să studiați materialul descris în articol.

Unii oameni sunt surprinși când află că dx poate fi transferat, deoarece mai devreme (la școală) s-a afirmat că fracția dy / dx este indivizibilă. Aici trebuie să citiți literatura despre derivată și să înțelegeți că este raportul cantităților infinitezimale care poate fi manipulat la rezolvarea ecuațiilor.

Mulți nu realizează imediat că soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi este adesea o funcție sau o integrală care nu poate fi luată, iar această iluzie le dă multe probleme.

Ce altceva mai poate fi studiat pentru o mai bună înțelegere?

Cel mai bine este să începeți o imersiune suplimentară în lumea calculului diferențial cu manuale specializate, de exemplu, despre calcul pentru studenții de specialități non-matematice. Apoi poți trece la literatură mai specializată.

Merită să spunem că, pe lângă ecuațiile diferențiale, există și ecuații integrale, așa că vei avea mereu la ce să te străduiești și ceva de studiat.

Concluzie

Sperăm că după ce ați citit acest articol vă faceți o idee despre ce sunt ecuațiile diferențiale și cum să le rezolvați corect.

În orice caz, matematica ne este oarecum de folos în viață. Ea dezvoltă logica și atenția, fără de care fiecare persoană este ca și fără mâini.