Ce este o ecuație exponențială și cum se rezolvă. ecuații exponențiale
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.
Iată-te exemple de ecuații exponențiale:
3 x 2 x = 8 x + 3
Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. LA indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu x. Dacă, dintr-o dată, un x apare în ecuație în altă parte decât indicatorul, de exemplu:
aceasta va fi ecuația tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.
De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom analiza.
Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale.
Să începem cu ceva foarte elementar. De exemplu:
Chiar și fără nicio teorie, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nu există alte role de valoare x. Și acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:
Ce am făcut? Noi, de fapt, tocmai am aruncat aceleași funduri (triple). Complet aruncat afară. Și, ce îți place, lovește-te!
Într-adevăr, dacă în ecuația exponențială din stânga și din dreapta sunt aceeași numere în orice grad, aceste numere pot fi eliminate și pot fi egale cu exponenți. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. E bine, nu?)
Cu toate acestea, să ne amintim în mod ironic: poti scoate bazele doar atunci cand numerele de baza din stanga si dreapta sunt izolate splendid! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:
2 x +2 x + 1 = 2 3 sau
Nu poți elimina dublurile!
Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.
„Iată acele vremuri!” - tu spui. "Cine va da un asemenea primitiv la control si examene!?"
Forțat să fie de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să mergi când rezolvi exemple confuze. Este necesar să-l aduci în minte, când același număr de bază este în stânga - în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este clasicul matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit ne minte. După regulile matematicii, desigur.
Luați în considerare exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le aduce la cel mai simplu. Să-i numim ecuații exponențiale simple.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt actiuni cu puteri. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.
La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Deci, le căutăm în exemplu într-o formă explicită sau criptată.
Să vedem cum se face acest lucru în practică?
Să ne dăm un exemplu:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prima privire la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a fi descurajat. Este timpul să ne amintim asta
Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:
8 x+1 = (2 3) x+1
Dacă ne amintim formula din acțiuni cu puteri:
(a n) m = a nm ,
in general functioneaza excelent:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Exemplul original arată astfel:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii!), obținem:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:
Rezolvăm acest monstru și obținem
Acesta este răspunsul corect.
În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt, deuce criptat. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este un truc foarte popular în ecuațiile exponențiale! Da, chiar și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.
Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe o bucată de hârtie, și atât. De exemplu, toată lumea poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 se va dovedi dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des este necesar să nu ridicați la o putere, ci invers ... ce număr în ce măsură se ascunde în spatele numărului 243, sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu te va ajuta aici.
Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, da... Să exersăm?
Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numere:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Răspunsuri (în mizerie, desigur!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mai multe răspunsuri decât întrebări! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6 , 4 3 , 8 2 sunt toate 64.
Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre cunoașterea numerelor.) Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale, aplicăm întregul stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv din clasele mijlocii inferioare. Nu ai mers direct la liceu, nu?
De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze foarte des ajută (bună ziua a 7-a!). Să vedem un exemplu:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Și din nou, prima privire - pe teren! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Și vrem să fie la fel. Ei bine, în acest caz, dorința este destul de fezabilă!) Pentru că:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Conform acelorași reguli pentru acțiunile cu grade:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
E grozav, poți scrie:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Trei nu pot fi aruncați afară... O fundătură?
Deloc. Amintind cea mai universală și puternică regulă de decizie toate sarcini de matematica:
Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!
Uite, totul este format).
Ce este în această ecuație exponențială poate sa do? Da, partea stângă cere direct paranteze! Factorul comun de 3 2x sugerează clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Exemplul este din ce în ce mai bun!
Reamintim că pentru a elimina bazele avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:
Op-pa! Totul a fost bine!
Acesta este răspunsul final.
Se întâmplă, totuși, să se obțină taxiul pe aceleași motive, dar lichidarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în ecuații exponențiale de alt tip. Să luăm acest tip.
Modificarea variabilei în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Să rezolvăm ecuația:
4 x - 3 2 x +2 = 0
În primul rând - ca de obicei. Să trecem la bază. Către zece.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Obtinem ecuatia:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Și aici vom spânzura. Trucurile anterioare nu vor funcționa, indiferent cum le-ai întoarce. Va trebui să luăm din arsenalul unui alt mod puternic și versatil. Se numeste substituție variabilă.
Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru, 2 x), scriem alta, mai simplă (de exemplu, t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!
Asa ca lasa
Apoi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Inlocuim in ecuatia noastra toate puterile cu x cu t:
Ei bine, se ivește?) Nu ați uitat încă ecuațiile patratice? Rezolvăm prin discriminant, obținem:
Aici, principalul lucru este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă ... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Ne întoarcem la X, adică. făcând un înlocuitor. Mai întâi pentru t 1:
Acesta este,
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:
Hm... Stânga 2 x, Dreapta 1... Un cârlig? Da, deloc! Este suficient să ne amintim (din acțiuni cu grade, da...) că o unitate este orice număr la zero. Orice. Orice ai nevoie, îl vom pune. Avem nevoie de doi. Mijloace:
Acum asta e tot. Am 2 rădăcini:
Acesta este răspunsul.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, se obține uneori o expresie incomodă. Tip:
De la șapte, un deuce printr-un grad simplu nu funcționează. Nu sunt rude... Cum pot fi aici? Cineva poate fi confuz ... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul "Ce este un logaritm?" , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:
Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” de la examen. Este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” - ușor.
Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să-l evidențiem pe cel principal.
1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Să vedem dacă nu se pot face aceeași. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ actiuni cu puteri. Nu uitați că și numerele fără x pot fi transformate în grade!
2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când sunt stânga și dreapta aceeași numere în orice grad. Folosim actiuni cu puteriși factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în numere - numărăm.
3. Dacă al doilea sfat nu a funcționat, încercăm să aplicăm substituția variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care este ușor de rezolvat. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la un pătrat.
4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști gradele unor numere „din vedere”.
Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să rezolvi puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.
Rezolvați ecuații exponențiale:
Mai dificil:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Găsiți produsul rădăcinilor:
2 3-x + 2 x = 9
S-a întâmplat?
In regula, atunci cel mai greu exemplu(hotărât, totuși, în minte...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de trage de dificultate crescută. Voi sugera că în acest exemplu, ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor sarcinilor matematice salvează.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un exemplu este mai simplu, pentru relaxare):
9 2 x - 4 3 x = 0
Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. Și ce să le considerăm, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, este nevoie de ingeniozitate... Și da, clasa a șaptea te va ajuta (acesta este un indiciu!).
Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):
1; 2; 3; patru; nu există soluții; 2; -2; -cinci; patru; 0.
Este totul reușit? Excelent.
Există o problemă? Nici o problema! În Secțiunea Specială 555, toate aceste ecuații exponențiale sunt rezolvate cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu numai cu acestea.)
O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție, am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Exemple:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
Cum se rezolvă ecuații exponențiale
Când rezolvăm orice ecuație exponențială, ne străduim să o aducem la forma \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), apoi facem tranziția la egalitatea indicatorilor, adică:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
De exemplu:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Important! Din aceeași logică, urmează două cerințe pentru o astfel de tranziție:
- număr în stânga și dreapta ar trebui să fie la fel;
- grade stânga și dreapta trebuie să fie „pure”, adică să nu existe, înmulțiri, împărțiri etc.
De exemplu:
Pentru a aduce ecuația la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) și sunt folosite.
Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Decizie:
|
\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Știm că \(27 = 3^3\). Având în vedere acest lucru, transformăm ecuația. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Prin proprietatea rădăcinii \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obținem că \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). În plus, folosind proprietatea gradului \((a^b)^c=a^(bc)\), obținem \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
De asemenea, știm că \(a^b a^c=a^(b+c)\). Aplicând aceasta în partea stângă, obținem: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Acum amintiți-vă că: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Această formulă poate fi folosită și invers: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Apoi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\) |
Aplicând proprietatea \((a^b)^c=a^(bc)\) în partea dreaptă, obținem: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\) |
Și acum avem bazele egale și nu există coeficienți de interferență etc. Deci putem face tranziția. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Răspuns : \(-1; 1\). Întrebarea rămâne - cum să înțelegeți când să aplicați ce metodă? Vine cu experiență. Între timp, nu ai rezolvat, folosește recomandarea generală pentru rezolvarea problemelor complexe - „dacă nu știi ce să faci – fă ce poți”. Adică, căutați cum puteți transforma ecuația în principiu și încercați să o faceți - ce se întâmplă dacă iese? Principalul lucru este să faceți numai transformări justificate matematic. ecuații exponențiale fără soluțiiSă ne uităm la încă două situații care deseori derutează studenții: Să încercăm să o rezolvăm prin forță brută. Dacă x este un număr pozitiv, atunci pe măsură ce x crește, întreaga putere \(2^x\) va crește doar: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Tot trecut. Există x-uri negative. Reamintind proprietatea \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificăm: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) În ciuda faptului că numărul devine mai mic cu fiecare pas, nu va ajunge niciodată la zero. Deci nici gradul negativ nu ne-a salvat. Ajungem la o concluzie logica: Un număr pozitiv pentru orice putere va rămâne un număr pozitiv.Astfel, ambele ecuații de mai sus nu au soluții. ecuații exponențiale cu baze diferiteÎn practică, uneori există ecuații exponențiale cu baze diferite care nu sunt reductibile între ele și, în același timp, cu aceiași exponenți. Ele arată astfel: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere pozitive. De exemplu: \(7^(x)=11^(x)\) Astfel de ecuații pot fi rezolvate cu ușurință prin împărțirea la oricare dintre părțile ecuației (de obicei împărțită la partea dreapta, adică pe \(b^(f(x))\). Puteți împărți în acest fel, deoarece un număr pozitiv este pozitiv pentru orice putere (adică nu împărțim la zero). Primim: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Răspuns : \(-7\). Uneori, „asemănarea” exponenților nu este evidentă, dar utilizarea cu pricepere a proprietăților gradului rezolvă această problemă. Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Răspuns : \(2\). |
Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egal cu a :
y (n) = a n = a a a a,
la multimea numerelor reale x :
y (x) = x.
Aici a este un număr real fix, care este numit bază functie exponentiala
.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponențial la baza a.
Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,...
, funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietățile (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La valorile zero și negative ale numerelor întregi, funcția exponențială este determinată de formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n ale numerelor raționale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limita a secvenței:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x : .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), precum și pentru x natural.
O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și o demonstrație a proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.
Proprietățile funcției exponențiale
Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1)
este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2)
când a ≠ 1
are multe semnificații;
(1.3)
strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4)
la ;
la ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:
Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:
Valori private
, , , , .
Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
și a = 1/8
. Se vede că pentru un > 1
funcția exponențială crește monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0
< a < 1
funcția exponențială este monoton în scădere. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.
Urcând, coborând
Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.
| y = a x , a > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Domeniu | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama de valori | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monoton | crește monoton | scade monoton |
| Zerouri, y= 0 | Nu | Nu |
| Puncte de intersecție cu axa y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Funcție inversă
Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Diferențierea funcției exponențiale
Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul de derivate și regula de diferențiere functie complexa.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.
Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă
Apoi
Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Derivată a funcției exponențiale
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >
Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale
Aflați derivata unei funcții
y= 35 x
Decizie
Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi
Din tabelul derivatelor găsim:
.
Deoarece 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.
Răspuns
Integral
Expresii în termeni de numere complexe
Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1
.
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. LA vedere generala
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguu. Adesea considerată importanța sa principală
.
Extindere în serie
.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
Pe canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
Mai întâi, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile lor.
Produsul unui număr A se întâmplă de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Putere sau ecuații exponențiale- acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
În acest exemplu, numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau măsură.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Un astfel de exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum ar trebui luată această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva această ecuație, am eliminat aceleași temeiuri(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam soluția noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași fie că bazele ecuației din dreapta și din stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele sunt aceleași, echivala grad și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să rezolvăm câteva exemple:
Să începem simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.
x+2=4 Cea mai simplă ecuație a rezultat.
x=4 - 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor, puteți vedea că bazele sunt diferite, acestea sunt 3 și 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Pentru început, le transferăm pe cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2 . Să folosim formula puterii (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 acum este clar că bazele din stânga și din dreapta sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 are cea mai simplă ecuație
3x-2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
În primul rând, ne uităm la baze, bazele sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Transformăm cvadruplul după formula (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 interferează cu noi. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă repetăm 2 2x, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Imaginează-ți 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncați-le și egalați gradele.
2x \u003d 2 s-a dovedit a fi cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2, obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x - 12*3 x +27= 0
Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, este clar că prima triplă are un grad de două ori (2x) decât a doua (doar x). În acest caz, puteți decide metoda de substitutie. Numărul cu gradul cel mai mic se înlocuiește cu:
Atunci 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Inlocuim toate gradele cu x din ecuatie cu t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvăm prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Înapoi la Variabilă X.
Luăm t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Acesta este,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Pe site puteti in sectiunea AJUTA LA DECIDE sa puneti intrebari de interes, cu siguranta iti vom raspunde.
Alăturați-vă unui grup
Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu o definiție și exemple simple.
Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja cel puțin o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătrate: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Pentru a putea rezolva astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „atârna” subiectul care va fi discutat acum.
Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Unele dintre ele ți se pot părea mai complicate, unele dintre ele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate sunt unite de o caracteristică importantă: conțin o funcție exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, introducem definitia:
O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. o expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția specificată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.
Bine atunci. A înțeles definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex în același timp.
Să începem cu vestea bună: din experiența mea cu mulți studenți, pot spune că pentru cei mai mulți dintre ei, ecuațiile exponențiale sunt mult mai ușoare decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometria.
Dar există și vești proaste: uneori, compilatorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt vizitați de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât devine problematic nu numai pentru studenți să le rezolve - chiar și mulți profesori rămân blocați în astfel de probleme.
Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.
Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie ridicat numărul 2 pentru a obține numărul 4? Poate al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve. :)
Să ne uităm la următoarea ecuație:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Dar aici este puțin mai dificil. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția exponenților negativi (similar cu formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
În cele din urmă, doar câțiva bănuiesc că aceste fapte pot fi combinate și rezultatul este următorul rezultat:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Și acum acest lucru este deja complet rezolvat! În partea stângă a ecuației există o funcție exponențială, în partea dreaptă a ecuației există o funcție exponențială, nu există nimic altceva decât ei în altă parte. Prin urmare, este posibil să „renunți” bazele și să echivalezi prostesc indicatorii:
Avem cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Dacă nu înțelegi ce se întâmplă ultimii patru rânduri - asigurați-vă că vă întoarceți la subiect " ecuatii lineare' și repetă. Pentru că, fără o asimilare clară a acestui subiect, este prea devreme să vă asumați ecuații exponențiale.
\[((9)^(x))=-3\]
Ei bine, cum te decizi? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă astfel:
\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]
Apoi ne amintim că atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Iar pentru o astfel de decizie, primim un deuce sincer meritat. Căci noi, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei la puterea tocmai acestor trei. Și nu poți face asta. Si de aceea. Aruncă o privire la diferitele puteri ale triplei:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]
Când am compilat această tabletă, nu am pervertit imediat ce am făcut-o: am luat în considerare grade pozitive și negative și chiar fracționale ... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? El nu este! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna numai valori pozitive (indiferent cât de mult ați înmulți unul sau împărțiți cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții, numărul $a$, este prin definiție un număr pozitiv!
Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Nu, nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu cele pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuații pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminantul este pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), apoi în exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.
Astfel, formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b>0$. Cunoscând acest simplu fapt, puteți determina cu ușurință dacă ecuația care vi se propune are rădăcini sau nu. Acestea. merită să o rezolvi deloc sau notează imediat că nu există rădăcini.
Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori atunci când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Între timp, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.
Cum se rezolvă ecuații exponențiale
Deci, haideți să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:
În plus, dacă în locul variabilei $x$ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație, care poate fi deja rezolvată. De exemplu:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]
Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Dar ceilalți 10% atunci? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
La ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? In primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. In secunda? Nici: $((2)^(2))=4$ nu este prea mult. Ce atunci?
Studenții cunoscători probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când este imposibil să rezolvi „frumos”, „artileria grea” este conectată la caz - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):
Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, vă avertizez mereu: această formulă (este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția logaritmului) vă va bântui foarte mult timp și vă va „apari” cel mai mult. locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza funcției exponențiale la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]
Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, cu un astfel de răspuns, mulți s-ar îndoi și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă ar fi o greșeală undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație destul de tipică. Așa că obișnuiește-te. :)
Acum rezolvăm prin analogie celelalte două ecuații:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]
Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:
Noi am fost cei care am introdus multiplicatorul în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:
În plus, toate cele trei opțiuni sunt corecte - sunt doar forme diferite de a scrie același număr. Pe care să-l alegi și să-l notezi în această decizie depinde de tine.
Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este de așa natură încât așa sarcini simple te voi întâlni foarte, foarte rar. Mai des vei întâlni ceva de genul acesta:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]
Ei bine, cum te decizi? Se poate rezolva deloc acest lucru? Și dacă da, cum?
Fara panica. Toate aceste ecuații sunt rapid și simplu reduse la acele formule simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să știi să-ți amintești câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome aici. Voi vorbi despre toate acestea acum. :)
Transformarea ecuațiilor exponențiale
Primul lucru de reținut este că orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - tocmai acelea pe care le-am luat în considerare deja și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:
- Scrieți ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Fă niște prostii. Sau chiar niște prostii numite „transform the equation”;
- La ieșire, obțineți cele mai simple expresii precum $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.
Cu primul punct, totul este clar - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o frunză. Și cu al treilea punct, se pare, este mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.
Dar ce zici de al doilea punct? Care sunt transformările? Ce să convertești în ce? Si cum?
Ei bine, hai să ne dăm seama. În primul rând, aș dori să subliniez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:
- Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în soluția lor vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum selecția expresiilor stabile.
Evidențierea unei expresii stabile
Să ne uităm din nou la această ecuație:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]
Mai simplu spus, adăugarea exponenților poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea este ușor convertită în diviziune. Să încercăm să aplicăm aceste formule puterilor din ecuația noastră:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]
Rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi colectăm toți termenii din stânga:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -unsprezece; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]
Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ — să-l scoatem din paranteză:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]
Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]
Asta e tot! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă și am obținut răspunsul final.
În același timp, în procesul de rezolvare, am descoperit (și chiar am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este expresia stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu acuratețe și obține un răspuns. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:
Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.
Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială admite o expresie atât de stabilă.
Dar există și vești proaste: astfel de expresii pot fi foarte complicate și poate fi destul de dificil să le distingem. Deci, să ne uităm la o altă problemă:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Iată diferite baze - 5 și 0.2. Dar să încercăm să convertim o putere cu baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală, aducând-o la obișnuit:
\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum ne amintim unul dintre reguli esentiale lucreaza cu grade:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Aici, bineînțeles, am înșelat puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi a trebuit să fie scrisă după cum urmează:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm cu o singură fracție:
\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica un grad la un alt grad (vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați). Dar nu a trebuit să „întorc” fracțiile - poate pentru cineva va fi mai ușor. :)
În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă astfel:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]
Deci, se dovedește că ecuația inițială este chiar mai ușor de rezolvat decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să evidențiați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=((5)^(0))$, de unde obținem:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]
Asta e toata solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să remarc un truc care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:
În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de fracții zecimale, convertiți-le la normal. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze ale gradelor și să simplificați foarte mult soluția.
Acum să trecem la ecuații mai complexe în care există baze diferite, care în general nu sunt reductibile între ele folosind puteri.
Folosind proprietatea exponentului
Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]
Principala dificultate aici este că nu este clar ce și pe ce bază să conducă. Unde sunt expresiile fixe? Unde sunt temeiurile comune? Nu există nimic din toate acestea.
Dar să încercăm să mergem în altă direcție. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor disponibile.
Să începem cu prima ecuație:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]
Dar, la urma urmei, puteți face opusul - alcătuiți numărul 21 din numerele 7 și 3. Este deosebit de ușor să faceți acest lucru în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]
Asta e tot! Ai scos exponentul din produs și ai obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.
Acum să ne ocupăm de a doua ecuație. Aici totul este mult mai complicat:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Acest lucru va duce adesea la motive interesante cu care puteți lucra deja.
Din păcate, nu am venit cu nimic. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:
Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din exponent, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Deci, să rescriem ecuația inițială:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(o sută); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]
În a doua linie, doar am încadrat totalul din produs conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, iar în acesta din urmă au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.
Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, evident: sunt puteri de același număr! Avem:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac((((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]
Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dreapta))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
În același timp, în dreapta, puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient doar să „întoarceți” fracția:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
În cele din urmă, ecuația noastră va lua forma:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Asta e toata solutia. Ideea sa principală se rezumă la faptul că, chiar și din motive diferite, încercăm prin cârlig sau prin escroc să reducem aceste motive la același. Acest lucru ne ajută transformări elementare ecuații și reguli pentru lucrul cu puteri.
Dar ce reguli și când să folosiți? Cum să înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta - să descompuneți baza funcției exponențiale în factori?
Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mai întâi ecuații simple, apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din aceeași UTILIZARE sau orice muncă independentă / de testare.
Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pe site-ul meu pentru o soluție independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți verifica întotdeauna.
