Rădăcina lui x împărțită la infinit. Limite înrădăcinate: Exemple de soluții

Teoria limitelor este una dintre ramurile analizei matematice. Problema rezolvării limitelor este destul de extinsă, deoarece există zeci de metode de rezolvare a limitelor diferite feluri. Există zeci de nuanțe și trucuri care vă permit să rezolvați una sau alta limită. Cu toate acestea, vom încerca în continuare să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică.

Să începem cu însăși conceptul de limită. Dar mai întâi un scurt referință istorică. A fost odată ca niciodată un francez Augustin Louis Cauchy în secolul al XIX-lea, care a dat definiții stricte multor concepte de matan și a pus bazele acestuia. Trebuie să spun că acest respectat matematician a visat, visează și va visa în coșmaruri pe toți studenții facultăților de fizică și matematică, deoarece a demonstrat un număr imens de teoreme de analiză matematică, iar una teoremă este mai ucigașă decât cealaltă. Din acest motiv, nu vom lua în considerare determinarea limitei Cauchy, dar să încercăm să facem două lucruri:

1. Înțelege ce este o limită.
2. Învață să rezolvi principalele tipuri de limite.

Îmi cer scuze pentru unele explicații neștiințifice, este important ca materialul să fie de înțeles chiar și pentru un ceainic, care, de fapt, este sarcina proiectului.

Deci care este limita?

Și imediat un exemplu de ce să-ți pui bunica...

Orice limită constă din trei părți:

1) Cunoscuta pictogramă limită.
2) Intrări sub pictograma limită, în acest caz . Intrarea scrie „x tinde spre unitate”. Cel mai adesea - exact, deși în loc de „x” în practică există și alte variabile. În sarcinile practice, în locul unei unități, poate exista absolut orice număr, precum și infinit ().
3) Funcții sub semnul limită, în acest caz .

Înregistrarea în sine se citește astfel: „limita funcției când x tinde spre unitate”.

Să analizăm următoarele întrebare importantă Ce înseamnă expresia „X”? caută spre unitate? Și totuși, ce este „străduința”?
Conceptul de limită este un concept, ca să spunem așa, dinamic. Să construim o secvență: mai întâi , apoi , , …, , ….
Adică expresia „x caută la unu" ar trebui înțeles după cum urmează - "x" ia constant valorile care sunt infinit aproape de unitate şi practic coincid cu ea.

Cum se rezolvă exemplul de mai sus? Pe baza celor de mai sus, trebuie doar să înlocuiți unitatea în funcția de sub semnul limită:

Deci prima regulă este: Când i se oferă vreo limită, mai întâi încercați să conectați numărul în funcție.

Am considerat cea mai simplă limită, dar așa se găsesc și în practică, și nu atât de rar!

Exemplu infinit:

Înțelegerea ce este? Acesta este cazul când crește la nesfârșit, adică: mai întâi, apoi, apoi, și așa mai departe la infinit.

Și ce se întâmplă cu funcția în acest moment?
, , , …

Deci: dacă , atunci funcția tinde spre minus infinit:

În linii mari, conform primei noastre reguli, substituim infinitul în funcție în loc de „x” și obținem răspunsul .

Un alt exemplu cu infinit:

Din nou, începem să creștem la infinit și să ne uităm la comportamentul funcției:

Concluzie: pentru , funcția crește la nesfârșit:

Si inca o serie de exemple:

Vă rugăm să încercați să analizați mental următoarele pentru dvs. și să vă amintiți cele mai simple tipuri de limite:

, , , , , , , , ,
Dacă există vreo îndoială undeva, puteți lua un calculator și puteți exersa puțin.
În cazul în care , încercați să construiți secvența , , . Daca atunci , , .

! Notă: strict vorbind, o astfel de abordare cu construcția de secvențe de mai multe numere este incorectă, dar este destul de potrivită pentru înțelegerea celor mai simple exemple.

Acordați atenție și la următorul lucru. Chiar dacă o limită este dată cu un număr mare în vârf, sau cel puțin cu un milion: , atunci tot la fel , pentru că mai devreme sau mai târziu „x” va începe să capete valori atât de gigantice încât un milion în comparație cu ele va fi un adevărat microb.

Ce ar trebui reținut și înțeles din cele de mai sus?

1) Când se oferă vreo limită, mai întâi încercăm pur și simplu să substituim un număr în funcție.

2) Trebuie să înțelegeți și să rezolvați imediat cele mai simple limite, cum ar fi , , etc.

Mai mult, limita are o semnificație geometrică foarte bună. Pentru o mai bună înțelegere a subiectului, vă recomand să vă familiarizați cu materialul metodologic Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. După ce ați citit acest articol, nu numai că veți înțelege în sfârșit ce este o limită, dar veți și face cunoștință cu cazuri interesante în care limita unei funcții este în general nu exista!

În practică, din păcate, sunt puține cadouri. Și așa ne întoarcem la luarea în considerare a unor limite mai complexe. Apropo, pe acest subiect există curs intensivîn format pdf, care este util mai ales dacă aveți FOARTE puțin timp de pregătit. Dar materialele site-ului, desigur, nu sunt mai rele:

Acum vom lua în considerare grupul de limite, când , iar funcția este o fracție, în numărătorul și numitorul căreia sunt polinoame

Exemplu:

Calculați Limita

Conform regulii noastre, vom încerca să substituim infinitul într-o funcție. Ce obținem în vârf? Infinit. Și ce se întâmplă mai jos? De asemenea, infinitul. Astfel, avem așa-numita nedeterminare a formei. S-ar putea crede că, iar răspunsul este gata, dar în caz general nu este deloc cazul și trebuie aplicată o soluție pe care o vom lua în considerare acum.

Cum să rezolvi limitele acestui tip?

Mai întâi ne uităm la numărător și găsim cea mai mare putere:

Cea mai mare putere în numărător este două.

Acum ne uităm la numitor și găsim, de asemenea, cel mai înalt grad:

Cea mai mare putere a numitorului este două.

Apoi alegem cea mai mare putere a numărătorului și numitorului: în acest exemplu, acestea sunt aceleași și egale cu doi.

Deci, metoda de rezolvare este următoarea: pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul la cel mai înalt grad.

Iată-l, răspunsul, și deloc infinit.

Ce este esențial în luarea unei decizii?

În primul rând, indicăm incertitudinea, dacă există.

În al doilea rând, este de dorit să se întrerupă soluția pentru explicații intermediare. Folosesc de obicei semnul, nu poartă nicio semnificație matematică, dar înseamnă că soluția este întreruptă pentru o explicație intermediară.

În al treilea rând, la limită este de dorit să se marcheze ce și unde tinde. Când lucrarea este întocmită manual, este mai convenabil să o faceți astfel:

Pentru note, este mai bine să folosiți un creion simplu.

Desigur, nu puteți face nimic din acest lucru, dar apoi, poate, profesorul va observa deficiențele soluției sau va începe să pună întrebări suplimentare cu privire la sarcină. Și ai nevoie de el?

Exemplul 2

Găsiți limita
Din nou la numărător și numitor găsim în cel mai înalt grad:

Gradul maxim la numărător: 3
Gradul maxim la numitor: 4
Alege cel mai mare valoare, în acest caz patru.
Conform algoritmului nostru, pentru a dezvălui incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul la .
O sarcină completă ar putea arăta astfel:

Împărțiți numărătorul și numitorul la

Exemplul 3

Găsiți limita
Gradul maxim de „x” la numărător: 2
Puterea maximă a lui „x” la numitor: 1 (se poate scrie ca)
Pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul la . O soluție curată ar putea arăta astfel:

Împărțiți numărătorul și numitorul la

Înregistrarea nu înseamnă împărțire la zero (este imposibil de împărțit la zero), ci împărțire la un număr infinit mic.

Astfel, atunci când dezvăluim nedeterminarea formei, putem obține număr finit, zero sau infinit.

Limite cu incertitudine de tip și o metodă de rezolvare a acestora

Următorul grup de limite este oarecum similar cu limitele luate în considerare: există polinoame în numărător și numitor, dar „x” nu mai tinde spre infinit, ci spre număr final.

Exemplul 4

Rezolvați limita
Mai întâi, să încercăm să înlocuim -1 într-o fracție:

În acest caz, se obține așa-numita incertitudine.

Regula generala: dacă există polinoame în numărător și numitor și există o incertitudine a formei , atunci pentru dezvăluirea acesteia factorizează numărătorul și numitorul.

Pentru a face acest lucru, este adesea necesar să decideți ecuație pătraticăși/sau folosiți formule de înmulțire prescurtate. Dacă aceste lucruri sunt uitate, atunci vizitați pagina Formule și tabele matematiceși să se familiarizeze cu materialul metodologic Formule de matematică la școală fierbinte. Apropo, cel mai bine este să-l imprimați, este necesar foarte des, iar informațiile din hârtie sunt absorbite mai bine.

Deci, să ne rezolvăm limita

Factorizarea numărătorului și numitorului

Pentru a factoriza numărătorul, trebuie să rezolvați ecuația pătratică:

Mai întâi găsim discriminantul:

Și rădăcina pătrată a acesteia: .

Dacă discriminantul este mare, de exemplu 361, folosim un calculator, funcția de extracție rădăcină pătrată este pe cel mai simplu calculator.

! Dacă rădăcina nu este complet extrasă (se dovedește un număr fracționar cu punct și virgulă), este foarte probabil ca discriminantul să fie calculat incorect sau să existe o greșeală de tipar în sarcină.

În continuare, găsim rădăcinile:

Prin urmare:

Toate. Numătorul este factorizat.

Numitor. Numitorul este deja cel mai simplu factor și nu există nicio modalitate de a-l simplifica.

Evident, poate fi scurtat la:

Acum înlocuim -1 în expresia care rămâne sub semnul limită:

Desigur, în munca de control, la proba, examen, decizia nu este pictata niciodata atat de amanuntit. În versiunea finală, designul ar trebui să arate cam așa:

Să factorizăm numărătorul.

Exemplul 5

Calculați Limita

În primul rând, o soluție „curată”.

Să factorizăm numărătorul și numitorul.

Numărător:
Numitor:



,

Ce este important în acest exemplu?
În primul rând, trebuie să înțelegeți bine cum este dezvăluit numărătorul, mai întâi am pus 2 paranteze și apoi am folosit formula diferenței de pătrate. Aceasta este formula pe care trebuie să o cunoști și să o vezi.

Recomandare: Dacă în limită (de aproape orice tip) este posibil să scoatem un număr din paranteză, atunci facem întotdeauna acest lucru.
Mai mult, este indicat să duceți astfel de numere dincolo de semnul limită. Pentru ce? Doar ca să nu le stea în cale. Principalul lucru este să nu pierdeți aceste numere în cursul deciziei.

Vă rugăm să rețineți că, în etapa finală a soluției, am scos un deuce pentru pictograma limită și apoi un minus.

! Important
În cursul soluției, un fragment de tip apare foarte des. Reduceți această fracțieeste interzis . Mai întâi trebuie să schimbați semnul numărătorului sau al numitorului (puneți -1 din paranteze).
, adică apare un semn minus, care se ia în considerare la calcularea limitei și nu este nevoie să o pierzi deloc.

În general, am observat că cel mai adesea în găsirea limitelor de acest tip este necesară rezolvarea a două ecuații pătratice, adică atât la numărător, cât și la numitor există trinoame pătrate.

Metoda înmulțirii numărătorului și numitorului cu expresia adjunctă

Continuăm să luăm în considerare incertitudinea formei

Următorul tip de limite este similar cu tipul anterior. Singurul lucru, pe lângă polinoame, vom adăuga rădăcini.

Exemplul 6

Găsiți limita

Începem să decidem.

În primul rând, încercăm să înlocuim 3 în expresia de sub semnul limită
Încă o dată repet - acesta este primul lucru de făcut pentru ORICE limită. Această acțiune este de obicei efectuată mental sau pe un draft.

Se obține o incertitudine a formei , care trebuie eliminată.

După cum probabil ați observat, avem diferența rădăcinilor în numărător. Și se obișnuiește să scapi de rădăcinile din matematică, dacă este posibil. Pentru ce? Și viața este mai ușoară fără ele.

Printre exemple limită caracteristicile sunt comune funcţionează cu rădăcini, care nu este întotdeauna clar cum să dezvăluiți. Este mai ușor când există un exemplu de chenar cu o funcție rădăcină a formei

Soluția unor astfel de limite este simplă și clară pentru toată lumea.
Dificultăți apar dacă există următoarele exemple de funcții cu rădăcini.

Exemplul 1 . Calculați limita funcției

Cu o înlocuire directă a punctului x = 1, este clar că atât numărătorul, cât și numitorul funcției

se întoarce la zero, adică avem o incertitudine de forma 0/0 .
Pentru a dezvălui incertitudinea, ar trebui să înmulțiți expresia care conține rădăcina cu conjugatul ei și să aplicați regula diferenței pătratelor. Pentru un exemplu dat, transformările vor fi după cum urmează



Limita unei funcții cu rădăcini este 6. Fără regula de mai sus, ar fi greu de găsit.
Luați în considerare exemple similare de calcul al limitei cu această regulă

Exemplul 2 Găsiți limita unei funcții

Ne asigurăm că atunci când înlocuim x = 3, obținem o incertitudine de forma 0/0.
Se dezvăluie prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul la numărător.


În continuare, extindem numărătorul conform regulii diferenței de pătrate

Așa am găsit limita unei funcții cu rădăcini.

Exemplul 3 Definiți limita funcției

Vedem că avem o incertitudine de forma 0/0.
Scăparea de iraționalitate în numitor

Limita funcției este 8 .

Acum luați în considerare un alt tip de exemple, când variabila din redistribuție tinde spre infinit.

Exemplul 4 . Calculați limita funcției

Mulți dintre voi nu știu cum să găsească limita unei funcții. Tehnica de calcul va fi dezvăluită mai jos.
Avem o limită de tip infinit minus infinit. Înmulțiți și împărțiți cu factorul conjugat și utilizați regula diferenței pătratelor

Limitele funcției sunt -2,5.

Calcularea unor astfel de limite se reduce de fapt la dezvăluirea iraționalității și apoi la înlocuirea unei variabile.

Exemplul 5 Găsiți limita unei funcții

Limita este echivalentă - infinit minus infinit
.
Înmulțiți și împărțiți cu expresia adjunctă și simplificați

Printre problemele de rezolvare a limitelor se numără limitele cu rădăcini. Ca rezultat al substituirii valorii $ x $ in functie, se obtin incertitudini trei tipuri:

1. $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
2. $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
3. $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Înainte de a continua cu soluția, determinați tipul problemei dvs

Tastați 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Pentru a releva astfel de incertitudini, este necesar să se înmulțească numărătorul și numitorul fracției cu conjugatul cu expresia care conține rădăcina.

Exemplul 1

Găsiți limita cu rădăcina $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$

Soluţie

Înlocuiți $ x \la 4 $ în funcția de sublimitare: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Obținem incertitudinea $ [\frac(0)(0)] $. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul său, deoarece conține rădăcina: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ Folosind formula diferenței de pătrate $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ reducem limita la următoarea formă: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Deschidem parantezele din numitor și simplificăm: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Reducem funcția în limită cu $ x-4 $, avem: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

Tastați 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Limitele cu o rădăcină de acest tip, când $ x \to \infty $ trebuie calculate diferit de cazul precedent. Este necesar să se determine cele mai mari puteri ale expresiilor numărătorului și numitorului. Apoi scoateți cel mai înalt dintre cele două grade din paranteze și reduceți.

Tastați 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Acest tip de limită apare adesea sarcini suplimentare la examen. La urma urmei, de multe ori elevii nu calculează corect limitele de acest tip. Cum să rezolvi limitele cu rădăcini de acest tip? Totul este simplu. Este necesar să înmulțiți și să împărțiți funcția în limită prin expresia conjugată la aceasta.

Exemplul 3

Calculați limita rădăcină $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$

Soluţie

Cu $ x \to \infty $ în limită, vedem: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ După înmulțirea și împărțirea cu conjugat, avem limita: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2) -3x)+x) = $$ Simplificați numărătorul folosind formula diferenței de pătrate: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ După extinderea parantezelor și simplificarea, obținem: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Înlocuiți din nou $ x \to \infty $ în limită și calculați-o: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva limita, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de soluții exact pe cea care este potrivită pentru un anumit exemplu.

În acest articol, nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele capacităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematică superioară? Înțelegerea vine cu experiența, așa că, în același timp, vom oferi câteva exemple detaliate limite de soluție cu explicații.

Conceptul de limită în matematică

Prima întrebare este: care este limita și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece elevii se întâlnesc cel mai des cu ele. Dar mai întâi, cea mai generală definiție a unei limite:

Să presupunem că există o variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie la infinit de un anumit număr A , Acea A este limita acestei valori.

Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y limita este numărul A , spre care funcţia tinde când X tinzând la un anumit punct A . Punct A aparține intervalului pe care este definită funcția.

Sună greoi, dar este scris foarte simplu:

Lim- din engleza limită- limita.

Există și o explicație geometrică pentru definirea limitei, dar aici nu vom intra în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, asta înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.

Să aducem exemplu concret. Provocarea este să găsești limita.

Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:

Apropo, dacă ești interesat, citește un articol separat pe acest subiect.

În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:

Este clar intuitiv că cu cât numărul din numitor este mai mare, cu atât valoarea va fi luată de funcție mai mică. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.

După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care să încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Folosește trucuri!

Incertitudini în interior

Incertitudinea formei infinit/infinit

Să existe o limită:

Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită spus că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie observat cum o funcție poate fi transformată în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în grad superior. Ce se va intampla?

Din exemplul deja considerat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:

Pentru a descoperi ambiguitățile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Un alt tip de incertitudine: 0/0

Ca întotdeauna, înlocuirea în funcția de valoare x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa că avem o ecuație pătratică la numărător. Să găsim rădăcinile și să scriem:

Să reducem și să obținem:

Deci, dacă întâmpinați ambiguitate de tip 0/0 - factorizați numărătorul și numitorul.

Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, iată un tabel cu limitele unor funcții:

Regula lui L'Hopital înăuntru

Un alt mod puternic de a elimina ambele tipuri de incertitudini. Care este esența metodei?

Dacă există incertitudine în limită, luăm derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.

Din punct de vedere vizual, regula lui L'Hopital arată astfel:

Punct important : trebuie să existe limita, în care derivatele numărătorului și numitorului sunt în locul numărătorului și numitorului.

Și acum un exemplu real:

Există o incertitudine tipică 0/0 . Luați derivatele numărătorului și numitorului:

Voila, incertitudinea este eliminată rapid și elegant.

Sperăm că veți putea folosi aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum se rezolvă limite la matematica superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții la un punct și nu există timp pentru această lucrare din cuvântul „absolut”, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru o soluție rapidă și detaliată.

Din articolul de mai sus, puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes, s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să-i găsești pe „cinci”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci va fi dificil să rezolvați sarcinile practice. De asemenea, nu va fi de prisos să vă familiarizați cu mostrele de proiectare a deciziilor și cu recomandările mele pentru proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-un mod simplu și accesibil.

Și în scopul acestei lecții, avem nevoie de următoarele materiale metodologice: Limite remarcabileȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil, în plus, acestea trebuie adesea accesate offline.

Ce este remarcabil la limitele minunate? Remarcabilitatea acestor limite constă în faptul că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi și grade. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există mai multe limite remarcabile, dar în practică, studenții cu fracțiune de normă în 95% din cazuri au două limite remarcabile: Primul limita minunata , A doua limită minunată. Trebuie menționat că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, înseamnă prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi Literă greacă„alfa”, este mai convenabil în ceea ce privește prezentarea materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), la numitor, evident, tot zero. Astfel, ne confruntăm cu o nedeterminare a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar vom lua în considerare semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

– aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu numai o variabilă poate acționa ca un parametru, ci și o funcție elementară, functie complexa. Este important doar ca tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici, , , , și totul bâzâie - se aplică prima limită minunată.

Și iată următoarea intrare - erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, întrebarea este pentru umplere, dar care este limita ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de lin, aproape niciodată unui student nu i se va oferi să rezolve o limită gratuită și să obțină un credit ușor. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, se pare că este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate fi de un ajutor neprețuit în test, când problema va fi decisă între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve cel mai simplu exemplu („poate că el (a) mai știe ce?!”).

Să trecem la exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să înlocuim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau pe o schiță):

Deci, avem o nedeterminare a formei , its asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită arată ca prima limită minunată, dar aceasta nu este chiar asta, este sub sinus, dar în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită minunată, folosind un dispozitiv artificial. Linia de raționament poate fi următoarea: „sub sinusul pe care îl avem, ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită minunată cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în produs:

Acum rămâne doar să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe etaje, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule de matematică la școală fierbinte .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi formatată astfel:

“

Folosim prima limită remarcabilă

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită remarcabilă. La lectie Limite. Exemple de soluții am luat în considerare regula conform căreia, atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul în factori. Aici - același lucru, vom prezenta gradele ca produs (multiplicatori):

În mod similar cu exemplul anterior, conturăm cu un creion limitele minunate (aici sunt două) și indicăm că tind la una:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci aceasta este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus în conformitate cu binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac cam același lucru cu cotangenta, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul s-a dovedit a fi mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă, de asemenea, în unitate și dispare în produs:

Ca urmare, se obține infinitul, se întâmplă.

Exemplul 4

Găsiți limita

Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Incertitudinea obținută (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Scoatem multiplicatorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită remarcabilă:

Aici avem o singură limită minunată, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de cele trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea variabilei, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt se numește a doua limită remarcabilă.

Referinţă: este un număr irațional.

Nu doar o variabilă poate acționa ca un parametru, ci și o funcție complexă. Este important doar să se străduiască spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este în putere - acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, în funcție de ce principiu se face acest lucru, a fost analizat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor să vezi că atunci când baza gradului și exponentul - , adică există o incertitudine a formei:

Această incertitudine tocmai este dezvăluită cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu stă pe un platou de argint și trebuie organizată artificial. Puteți raționa după cum urmează: în acest exemplu, parametrul înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la o putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la o putere:

Când sarcina este întocmită de mână, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În același timp, pictograma limită în sine este mutată în indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită este foarte comun, vă rugăm să studiați acest exemplu cu mare atenție.

Încercăm să înlocuim un număr infinit de mare în expresia sub semnul limită:

Rezultatul este o incertitudine. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertiți baza gradului. Argumentăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că trebuie să organizăm și la numărător.