Aflați varianța totală. Varianta și abaterea standard în MS EXCEL

Dispersia în statistică se găsește ca valori individuale ale caracteristicii la pătrat din . În funcție de datele inițiale, se determină folosind formulele de varianță simple și ponderate:

1. (pentru date negrupate) se calculează folosind formula:

2. Varianta ponderată (pentru seriile de variații):

unde n este frecvența (repetabilitatea factorului X)

Un exemplu de găsire a varianței

Această pagină descrie un exemplu standard de găsire a varianței, puteți, de asemenea, să vă uitați la alte probleme pentru a o găsi

Exemplul 1. Următoarele date sunt disponibile pentru un grup de 20 de studenți prin corespondență. Trebuie să construiești serie de intervale distribuția unei caracteristici, calculați valoarea medie a caracteristicii și studiați varianța acesteia

Să construim o grupare de intervale. Să determinăm intervalul intervalului folosind formula:

unde X max este valoarea maximă a caracteristicii de grupare;
X min – valoarea minimă a caracteristicii de grupare;
n – numărul de intervale:

Acceptăm n=5. Pasul este: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Să creăm o grupare de intervale

Pentru calcule suplimentare, vom construi un tabel auxiliar:

X'i este mijlocul intervalului. (de exemplu, mijlocul intervalului 159 – 165,6 = 162,3)

Determinăm înălțimea medie a elevilor folosind formula medie aritmetică ponderată:

Să determinăm varianța folosind formula:

Formula de dispersie poate fi transformată după cum urmează:

Din această formulă rezultă că varianța este egală cu diferența dintre media pătratelor opțiunilor și pătratul și media.

Varianta in serie de variații Cu la intervale egale prin metoda momentelor se poate calcula în felul următor folosind a doua proprietate a dispersiei (împărțirea tuturor opțiunilor la valoarea intervalului). Determinarea varianței, calculat folosind metoda momentelor, folosind următoarea formulă este mai puțin laborioasă:

unde i este valoarea intervalului;
A este un zero convențional, pentru care este convenabil să se folosească mijlocul intervalului cu cea mai mare frecvență;
m1 este pătratul momentului de ordinul întâi;
m2 - moment de ordinul doi

(dacă într-o populație statistică o caracteristică se modifică în așa fel încât există doar două opțiuni care se exclud reciproc, atunci o astfel de variabilitate se numește alternativă) poate fi calculată folosind formula:

Înlocuind q = 1- p în această formulă de dispersie, obținem:

Tipuri de variație

Varianta totala măsoară variația unei caracteristici la nivelul întregii populații în ansamblu sub influența tuturor factorilor care provoacă această variație. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici x de la valoarea medie globală a lui x și poate fi definită ca varianță simplă sau varianță ponderată.

caracterizează variația aleatoare, adică parte a variației care se datorează influenței factorilor necontabiliați și nu depinde de atributul-factorial care formează baza grupului. O astfel de dispersie este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale atributului din grupul X de la media aritmetică a grupului și poate fi calculată ca dispersie simplă sau ca dispersie ponderată.

Astfel, măsuri de variație în cadrul grupului variația unei trăsături în cadrul unui grup și este determinată de formula:

unde xi este media grupului;
ni este numărul de unități din grup.

De exemplu, variaţiile în cadrul grupului, care trebuie determinate în sarcina de a studia influența calificărilor lucrătorilor asupra nivelului productivității muncii în atelier, prezintă variații ale producției în fiecare grup cauzate de toți factorii posibili ( stare tehnica echipamente, disponibilitatea sculelor și materialelor, vârsta lucrătorilor, intensitatea muncii etc.), cu excepția diferențelor de categorie de calificare (în cadrul unui grup, toți lucrătorii au aceleași calificări).

Media variațiilor în interiorul grupului reflectă aleatorie, adică acea parte a variației care a avut loc sub influența tuturor celorlalți factori, cu excepția factorului de grupare. Se calculează folosind formula:

Caracterizează variația sistematică a caracteristicii rezultate, care este cauzată de influența factorului-semn care formează baza grupului. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor mediilor grupului de la media generală. Varianta intergrup este calculată folosind formula:

Regula pentru adăugarea variației în statistici

Conform regula de adăugare a variațiilor varianta totala egală cu suma mediei variațiilor în interiorul grupului și între grupuri:

Sensul acestei reguli este că varianța totală care apare sub influența tuturor factorilor este egală cu suma varianțelor care apar sub influența tuturor celorlalți factori și cu varianța care apare datorită factorului de grupare.

Folosind formula pentru adăugarea variațiilor, puteți determina a treia variație necunoscută din două variații cunoscute și, de asemenea, puteți judeca puterea influenței caracteristicii de grupare.

Proprietăți de dispersie

1. Dacă toate valorile unei caracteristici sunt reduse (mărește) cu aceeași cantitate constantă, atunci dispersia nu se va modifica.
2. Dacă toate valorile unei caracteristici sunt reduse (mărește) de același număr de ori n, atunci varianța va scădea (crește) în mod corespunzător de n^2 ori.

.

În schimb, dacă este un a.e. nenegativ. functioneaza astfel incat , atunci există o măsură de probabilitate absolut continuă, astfel încât să fie densitatea sa.

Înlocuirea măsurii în integrala Lebesgue:

,

unde este orice funcție Borel care este integrabilă în raport cu măsura probabilității.

Dispersia, tipurile și proprietățile dispersiei Conceptul de dispersie

Dispersia în statistică se găsește ca abatere standard a valorilor individuale ale caracteristicii la pătrat de la media aritmetică. În funcție de datele inițiale, se determină folosind formulele de varianță simple și ponderate:

1. Varianta simpla(pentru date negrupate) se calculează folosind formula:

2. Varianta ponderată (pentru seriile de variații):

unde n este frecvența (repetabilitatea factorului X)

Un exemplu de găsire a varianței

Această pagină descrie un exemplu standard de găsire a varianței, puteți, de asemenea, să vă uitați la alte probleme pentru a o găsi

Exemplul 1. Determinarea grupului, mediei grupului, intergrupurilor și varianței totale

Exemplul 2. Găsirea varianței și coeficientului de variație într-un tabel de grupare

Exemplul 3. Găsirea varianței într-o serie discretă

Exemplul 4. Următoarele date sunt disponibile pentru un grup de 20 de studenți prin corespondență. Este necesar să se construiască o serie de intervale a distribuției caracteristicii, să se calculeze valoarea medie a caracteristicii și să se studieze dispersia acesteia

Să construim o grupare de intervale. Să determinăm intervalul intervalului folosind formula:

unde X max este valoarea maximă a caracteristicii de grupare; X min – valoarea minimă a caracteristicii de grupare; n – numărul de intervale:

Acceptăm n=5. Pasul este: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Să creăm o grupare de intervale

Pentru calcule suplimentare, vom construi un tabel auxiliar:

X"i – mijlocul intervalului. (de exemplu, mijlocul intervalului 159 – 165,6 = 162,3)

Determinăm înălțimea medie a elevilor folosind formula medie aritmetică ponderată:

Să determinăm varianța folosind formula:

Formula poate fi transformată astfel:

Din această formulă rezultă că varianța este egală cu diferența dintre media pătratelor opțiunilor și pătratul și media.

Dispersie în serie de variații cu intervale egale folosind metoda momentelor se poate calcula în felul următor folosind a doua proprietate a dispersiei (împărțirea tuturor opțiunilor la valoarea intervalului). Determinarea varianței, calculat folosind metoda momentelor, folosind următoarea formulă este mai puțin laborioasă:

unde i este valoarea intervalului; A este un zero convențional, pentru care este convenabil să se folosească mijlocul intervalului cu cea mai mare frecvență; m1 este pătratul momentului de ordinul întâi; m2 - moment de ordinul doi

Varianta alternativă a trăsăturilor (dacă într-o populație statistică o caracteristică se modifică în așa fel încât există doar două opțiuni care se exclud reciproc, atunci o astfel de variabilitate se numește alternativă) poate fi calculată folosind formula:

Înlocuind q = 1- p în această formulă de dispersie, obținem:

Tipuri de variație

Varianta totala măsoară variația unei caracteristici la nivelul întregii populații în ansamblu sub influența tuturor factorilor care provoacă această variație. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici x de la valoarea medie globală a lui x și poate fi definită ca varianță simplă sau varianță ponderată.

Varianta în cadrul grupului caracterizează variația aleatoare, adică parte a variației care se datorează influenței factorilor necontabiliați și nu depinde de atributul-factorial care formează baza grupului. O astfel de dispersie este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale atributului din grupul X de la media aritmetică a grupului și poate fi calculată ca dispersie simplă sau ca dispersie ponderată.

Astfel, măsuri de variație în cadrul grupului variația unei trăsături în cadrul unui grup și este determinată de formula:

unde xi este media grupului; ni este numărul de unități din grup.

De exemplu, variațiile intragrup care trebuie determinate în sarcina de a studia influența calificărilor lucrătorilor asupra nivelului productivității muncii într-un atelier arată variații ale producției în fiecare grup cauzate de toți factorii posibili (starea tehnică a echipamentului, disponibilitatea instrumente și materiale, vârsta lucrătorilor, intensitatea muncii etc.), cu excepția diferențelor de categorie de calificare (în cadrul unui grup toți lucrătorii au aceleași calificări).

Media variațiilor în interiorul grupului reflectă variația aleatorie, adică acea parte a variației care a avut loc sub influența tuturor celorlalți factori, cu excepția factorului de grupare. Se calculează folosind formula:

Varianta intergrup caracterizează variația sistematică a caracteristicii rezultate, care se datorează influenței factorului-semn, care formează baza grupului. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor mediilor grupului de la media generală. Varianta intergrup este calculată folosind formula:

Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de a vă familiariza cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și dispersia discretă variabilă aleatoare? Atunci acest subiect va fi foarte interesant pentru tine. Să facem cunoștință cu câteva dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei ramuri a științei.

Să ne amintim elementele de bază

Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Ideea este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.

Deci, are loc un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor pe care le întreprindem, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele apar mai des, altele mai rar. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip la numărul total posibil. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept poți începe să studiezi așteptări matematiceşi varianţele variabilelor aleatoare continue.

Media aritmetică

Înapoi la școală, în timpul orelor de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi este în acest moment este că o vom întâlni în formulele pentru așteptarea și dispersia matematică a unei variabile aleatoare.

Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din secvență. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi egală cu 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.

Dispersia

Vorbitor limbaj științific, dispersia este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristice obținute de la media aritmetică. Este notat cu o literă latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul existent și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, însumăm tot ceea ce a primit și împărțim la numărul de elemente din succesiune. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.

Dispersia are, de asemenea, proprietăți care trebuie reținute pentru a fi utilizate la rezolvarea problemelor. De exemplu, când o variabilă aleatoare crește de X ori, varianța crește de X ori la pătrat (adică X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor în sus sau în jos în cantități egale. În plus, pentru teste independente varianţa sumei este egală cu suma varianţelor.

Acum trebuie să luăm în considerare exemple de dispersie a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.

Să presupunem că am efectuat 21 de experimente și am obținut 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele de 1, 2, 2, 3, 4, 4 și, respectiv, de 5 ori. Cu ce ​​va fi egală varianța?

Mai întâi, să calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. Împărțiți-o la 7, obținând 3. Acum scădeți 3 din fiecare număr din succesiunea originală, pătrați fiecare valoare și adăugați rezultatele împreună. Rezultatul este 12. Acum tot ce trebuie să facem este să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.

Dependența de numărul de experimente

Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate conține unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde asta?

Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem N la numitor Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece prin numărul 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.

Sarcină

Să revenim la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor matematice. Am primit un număr intermediar 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.

Aşteptare

Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptarea matematică este rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea obținută, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pt întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate sunt luate în considerare.

Formula pentru așteptarea matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept nu este greu de calculat. De exemplu, suma valorilor așteptate este egală cu valoarea așteptată a sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice cantitate din teoria probabilității vă permite să efectuați astfel de operații simple. Să luăm problema și să calculăm semnificația a două concepte pe care le-am studiat deodată. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.

Un alt exemplu

Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilități, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.

Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.

Acum să convertim probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a fi mai ușor de numărat. Se obține 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Din fiecare valoare obținută scădem media aritmetică, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru folosind primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). În continuare: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul corect, atunci după ce le-ați adunat pe toate, veți obține 90.

Să continuăm să calculăm varianța și valoarea așteptată împărțind 90 la N. De ce alegem N mai degrabă decât N-1? Corect, deoarece numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut varianța. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o greșeală simplă în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și probabil totul va fi la locul său.

În cele din urmă, amintiți-vă formula pentru așteptările matematice. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar un răspuns pe care îl puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor necesare. Valoarea așteptată va fi 5,48. Să ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind primele elemente ca exemplu: 0*0,02 + 1*0,1... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.

Abatere

Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este deviația standard. Este desemnat fie cu litere latine sd, sau greacă literă „sigma”. Acest concept arată cât de mult se abate, în medie, valorile de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcină pătrată din dispersie.

Dacă complotezi distributie normalași doriți să vedeți abaterea pătrată direct pe ea, acest lucru se poate face în mai multe etape. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Mărimea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va reprezenta abaterea standard.

Software

După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai simplă procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior institutii de invatamant- se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.

De exemplu, specificați un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

În concluzie

Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt discutate deja în primele luni de studiu a subiectului. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note proaste la sfârșitul sesiunii, ceea ce îi privează de burse.

Exersează cel puțin o săptămână, o jumătate de oră pe zi, rezolvând probleme similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teoria probabilității, veți putea face față exemplelor fără sfaturi străine și cheat sheets.

În multe cazuri, devine necesară introducerea unei alte caracteristici numerice pentru măsurarea gradului împrăștiere, răspândire a valorilor, luată ca o variabilă aleatoare ξ , în jurul așteptărilor sale matematice.

Definiţie. Varianta unei variabile aleatoare ξ numit un număr.

D ξ= M(ξ-Mξ) 2 . (1)

Cu alte cuvinte, dispersia este așteptarea matematică a abaterii pătrate a valorilor unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie.

numit pătrat mediu abatere

cantități ξ .

Dacă dispersia caracterizează mărimea medie a abaterii pătrate ξ din Mξ, atunci numărul poate fi considerat ca o caracteristică medie a abaterii în sine, mai exact, valoarea | ξ-Mξ |.

Următoarele două proprietăți ale dispersiei rezultă din definiția (1).

1. Varianta unei valori constante este zero. Acest lucru este destul de în concordanță cu sensul vizual al dispersiei ca „măsură a împrăștierii”.

Într-adevăr, dacă

ξ = C, Că Mξ = Cși asta înseamnă Dξ = M(C-C) 2 = M 0 = 0.

2. La înmulțirea unei variabile aleatoare ξ cu un număr constant C varianța sa este înmulțită cu C 2

D(Cξ) = C 2 Dξ . (3)

într-adevăr

D(Cξ) = M(C

= M(C .

3. Următoarea formulă de calcul a varianței are loc:

. (4)

Dovada acestei formule rezultă din proprietățile așteptării matematice.

Avem:

4. Dacă valorile ξ 1 și ξ 2 sunt independente, atunci varianța sumei lor este egală cu suma varianțelor lor:

Dovada . Pentru a demonstra acest lucru, folosim proprietățile așteptării matematice. Lasă Mξ 1 = m 1 , Mξ 2 = m 2 atunci.

Formula (5) a fost dovedită.

Deoarece varianța unei variabile aleatoare este, prin definiție, așteptarea matematică a valorii ( ξ -m) 2 , unde m = Mξ, apoi pentru a calcula varianţa se pot folosi formulele obţinute în §7 al capitolului II.

Deci, dacă ξ există un DSV cu lege de distribuție

x 1	x 2	...
p 1	p 2	...

atunci vom avea:

. (7)

Dacă ξ variabilă aleatoare continuă cu densitate de distribuție p(x), atunci obținem:

Dξ= . (8)

Dacă utilizați formula (4) pentru a calcula varianța, puteți obține alte formule și anume:

, (9)

dacă valoarea ξ discret, și

Dξ= , (10)

Dacă ξ distribuite cu densitate p(x).

Exemplul 1. Lasă valoarea ξ distribuit uniform pe segment [ a,b]. Folosind formula (10) obtinem:

Se poate arăta că varianța unei variabile aleatoare distribuită conform legii normale cu densitatea

p(x)= , (11)

egal cu σ 2.

Aceasta clarifică semnificația parametrului σ inclus în expresia densității (11) pentru legea normală; σ este abaterea standard a valorii ξ.

Exemplul 2. Aflați varianța unei variabile aleatoare ξ , distribuit conform legii binomiale.

Soluție. Folosind reprezentarea lui ξ sub forma

ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξn(vezi exemplul 2 §7 capitolul II) și aplicând formula pentru adăugarea variațiilor pentru mărimi independente, obținem

Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 +Dξn .

Dispersia oricăreia dintre cantități ξi (i= 1,2, n) se calculează direct:

Dξ i = ​​​​M(ξ i) 2 - (Mξi) 2 = 0 2 · q+ 1 2 p- p 2 = p(1-p) = pq.

În sfârșit, obținem

Dξ= npq, Unde q = 1 -p.

Această pagină descrie un exemplu standard de găsire a varianței, puteți, de asemenea, să vă uitați la alte probleme pentru a o găsi

Exemplul 1. Determinarea grupului, mediei grupului, intergrupurilor și varianței totale

Exemplul 2. Găsirea varianței și coeficientului de variație într-un tabel de grupare

Exemplul 3. Găsirea varianței într-o serie discretă

Exemplul 4. Următoarele date sunt disponibile pentru un grup de 20 de studenți prin corespondență. Este necesar să se construiască o serie de intervale a distribuției caracteristicii, să se calculeze valoarea medie a caracteristicii și să se studieze dispersia acesteia

Să construim o grupare de intervale. Să determinăm intervalul intervalului folosind formula:

unde X max este valoarea maximă a caracteristicii de grupare;
X min – valoarea minimă a caracteristicii de grupare;
n – numărul de intervale:

Acceptăm n=5. Pasul este: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Să creăm o grupare de intervale

Pentru calcule suplimentare, vom construi un tabel auxiliar:

X"i – mijlocul intervalului. (de exemplu, mijlocul intervalului 159 – 165,6 = 162,3)

Determinăm înălțimea medie a elevilor folosind formula medie aritmetică ponderată:

Să determinăm varianța folosind formula:

Formula poate fi transformată astfel:

Din această formulă rezultă că varianța este egală cu diferența dintre media pătratelor opțiunilor și pătratul și media.

Dispersie în serie de variații cu intervale egale folosind metoda momentelor se poate calcula în felul următor folosind a doua proprietate a dispersiei (împărțirea tuturor opțiunilor la valoarea intervalului). Determinarea varianței, calculat folosind metoda momentelor, folosind următoarea formulă este mai puțin laborioasă:

unde i este valoarea intervalului;
A este un zero convențional, pentru care este convenabil să se folosească mijlocul intervalului cu cea mai mare frecvență;
m1 este pătratul momentului de ordinul întâi;
m2 - moment de ordinul doi

Varianta alternativă a trăsăturilor (dacă într-o populație statistică o caracteristică se modifică în așa fel încât există doar două opțiuni care se exclud reciproc, atunci o astfel de variabilitate se numește alternativă) poate fi calculată folosind formula:

Înlocuind q = 1- p în această formulă de dispersie, obținem:

Tipuri de variație

Varianta totala măsoară variația unei caracteristici la nivelul întregii populații în ansamblu sub influența tuturor factorilor care provoacă această variație. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici x de la valoarea medie globală a lui x și poate fi definită ca varianță simplă sau varianță ponderată.

Varianta în cadrul grupului caracterizează variația aleatoare, adică parte a variației care se datorează influenței factorilor necontabiliați și nu depinde de atributul-factorial care formează baza grupului. O astfel de dispersie este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale atributului din grupul X de la media aritmetică a grupului și poate fi calculată ca dispersie simplă sau ca dispersie ponderată.

Astfel, măsuri de variație în cadrul grupului variația unei trăsături în cadrul unui grup și este determinată de formula:

unde xi este media grupului;
ni este numărul de unități din grup.

De exemplu, variațiile intragrup care trebuie determinate în sarcina de a studia influența calificărilor lucrătorilor asupra nivelului productivității muncii într-un atelier arată variații ale producției în fiecare grup cauzate de toți factorii posibili (starea tehnică a echipamentului, disponibilitatea instrumente și materiale, vârsta lucrătorilor, intensitatea muncii etc.), cu excepția diferențelor de categorie de calificare (în cadrul unui grup toți lucrătorii au aceleași calificări).