Metoda Gauss online. Calculul determinantului prin metoda Gauss
Să calculăm determinantul prin metoda Gauss.
Esența metodei este următoarea: determinantul este redus la o formă triunghiulară folosind transformări elementare și apoi este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
Ideea metodei este următoarea: să fie dat un determinant de ordinul trei
element 
ar trebui să fie egal 
, pentru aceasta împărțim prima linie cu 
.
Obțineți determinantul de tip 
(2)
Scoateți la zero elementele din prima coloană, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, scădeți primul rând din al doilea rând, înmulțit cu 
, apoi scade primul rând din al treilea rând, înmulțit cu 
. Obțineți determinantul de tip 
.
Elementele sale le notăm cu litera c, atunci
(3)
Acum trebuie să anulăm elementul 
. Element 
ar trebui să fie egal 
, pentru aceasta împărțim a doua linie cu 
. Obțineți determinantul de tip 
.
.
Atunci notăm elementele sale cu litera t
(4)
Aici am adus determinantul într-o formă triunghiulară, acum este egal cu 
.
Să analizăm acum acest lucru cu un exemplu concret.
Exemplul 4: Calculați determinant 
metoda gaussiana.
Soluție: Schimbați primul și al treilea rând (când sunt înlocuite două coloane (rânduri), determinantul își schimbă semnul în opus).
Primit 
Din a doua linie o scadem pe prima, inmultita cu 2, apoi din a treia linie scadem pe prima, inmultita cu 3. Am obtinut 
Primit - 
§2.Matrici Tipuri de matrici
Definiția 7: Dacă matricea are m rânduri și n coloane, atunci se numește dimensiune m 
n și scrieți 
.
Definiția 8: Dacă 
, atunci matricea se numește pătrat.
Definiția 9: O matrice formată dintr-un singur rând (coloană) se numește matrice rând (coloană).
Definiția 10: O matrice formată din zerouri se numește matrice zero.
Definiția 11: O matrice diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele care nu aparțin diagonalei principale sunt egale cu zero.
Definiția 12: Matricea de identitate este o matrice diagonală în care toate elementele de pe diagonala principală sunt egale cu unul.
Definiția 13: O matrice triunghiulară este o matrice pătrată în care elementele situate pe o parte a diagonalei principale sunt egale cu zero.
Acțiuni asupra matricelor.
Definiția 14: Două matrice sunt considerate egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elemente corespunzătoare egale.
Exemplul 5:
Matricele A și B sunt egale, adică 
Definiția 15: Suma (diferența) matricelor A și B este o astfel de matrice C, în care fiecare element este egal cu 
.
Exemplul 6: Găsiți Matrix 
, dacă
Decizie:
Proprietăți de adaos
A + B \u003d B + A (deplasare)
2 0 A+O=A, unde matricea O-zero
3 0 A+(B+C)=(A+B)+C (distributiv)
4 0 А+(-А)=О, unde – А este matricea opusă
(adică elementele au semne opuse)
Definiția 16: Produsul matricei A cu numărul 
se numește matrice obținută dintr-una dată prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu un număr 
.
Exemplul 7:
Înmulțirea matricei
Această acțiune se extinde la așa-numitele matrici consistente.
Definiția 17: Se spune că matricea A este consecventă cu matricea B dacă numărul de coloane din matricea A este egal cu numărul de rânduri din matricea B.
Exemplul 8:
și 
- de acord
și 
- inconsecventă
și 
inconsecventă
Definiția 18: Produsul a două matrice A și B este o astfel de matrice C, fiecare element al cărei element este egal cu suma produselor elementelor rândului i al matricei A și elementelor corespunzătoare ale coloanei j a matricei B. .
Dacă matricea A are dimensiune 
și matricea B 
, apoi 
.
Exemplul 9:înmulțiți matrice
Aici puteți rezolva sistemul gratuit ecuatii lineare Metoda Gauss online dimensiuni mari în numere complexe cu o soluție foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemul obișnuit de ecuații liniare definite, cât și nedefinite, folosind metoda Gaussiană, care are un număr infinit de soluții. In acest caz, in raspuns vei primi dependenta unor variabile prin altele, libere. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru compatibilitate online, folosind soluția Gaussiană.
Despre metoda
La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda online Gauss efectuează următorii pași.
- Scriem matricea augmentată.
- De fapt, soluția este împărțită în pași înainte și înapoi ai metodei gaussiene. Mișcarea directă a metodei Gauss se numește reducerea matricei la o formă în trepte. Mișcarea inversă a metodei Gauss este reducerea unei matrice la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este atât deasupra cât și dedesubtul elementului în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
- Este important de reținut că, atunci când se rezolvă prin metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu un nul. partea dreapta(coloana membrilor liberi) indică incompatibilitatea sistemului. Decizie sistem liniar in acest caz nu exista.
Pentru a înțelege mai bine cum funcționează algoritmul gaussian online, introduceți orice exemplu, selectați „foarte solutie detaliatași caută soluția lui online.
Conţinut
Introducere ................................................ . ................................................ .. ...... 2
1. Enunțarea problemei.................................................. .. ............................................... 3
2. Fundamente matematice și algoritmice pentru rezolvarea problemei .............................. 5
2.1 Determinantul matricei ................................................. ............................. cinci
2.2 Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare .......................................... ..... 6
2.3 Metoda Gauss pentru calcularea determinantului ................................................ .............. 8
3. Modele funcționale și diagrame bloc pentru rezolvarea problemei .............................. 9
4. Implementarea programului de rezolvare a problemei ................................................ ...... .. unsprezece
5. Exemplu de executare a programului ............................................. ... ................. șaisprezece
Concluzie................................................. ................................................. . optsprezece
Lista surselor și literaturii utilizate .................................................. .. 19
Introducere
Multe probleme care apar în cercetarea, planificarea și managementul economic, atunci când sunt formulate matematic, sunt probleme în care este necesară rezolvarea sistemului ecuații algebrice.
Din punct de vedere istoric, prima, cea mai comună metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare este metoda Gauss sau metoda excluderea secvenţială necunoscut. Esența acestei metode este aceea prin eliminări succesive de necunoscut acest sistem se transformă într-un sistem în trepte (în special, triunghiular) echivalent cu cel dat.
La solutie practica sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss, este mai convenabil să se reducă la o formă treptată nu sistemul de ecuații în sine, ci matricea extinsă a acestui sistem, prin efectuarea transformări elementare peste liniile ei. Matricele obţinute succesiv în timpul transformării sunt de obicei legate printr-un semn de echivalenţă. Această metodă (care se mai numește și metoda eliminării succesive a necunoscutelor) este cunoscută în diverse opțiuni de peste 2000 de ani.
În afară de solutie analitica SLAE, metoda Gaussiană este folosită și pentru a găsi matricea inversă celei date, pentru a determina rangul matricei și pentru a găsi determinantul.
Acest termen de hârtie este o implementare a calculului determinantului prin metoda eliminării gaussiene.
1. Enunțarea problemei
Calculul determinantului matricei constă în executarea algoritmului gaussian pe matrice pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Ca urmare a executării algoritmului, obținem o matrice diagonală, determinantul acesteia este egal cu produsul elementelor de pe diagonală.
. ~. . .Calculați determinantul unei matrice prin eliminarea A Gauss.
.
Reducem matricea la o formă diagonală prin metoda Gauss.
~.
Atunci determinantul matricei este egal cu produsul elementelor sale diagonale:
.Semnul este determinat de numărul de schimburi de rânduri, de unde determinantul matricei
.2. Fundamente matematice și algoritmice pentru rezolvarea problemei
2.1 Determinant de matrice
Să introducem definiția determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Această definiție va fi recurentă, adică pentru a stabili care este determinantul unei matrice de ordin n, trebuie să știți deja care este determinantul unei matrice de ordin n-1. Rețineți, de asemenea, că determinantul există numai pentru matrice pătrată.
Se va nota determinantul unei matrice pătrate A
sau detA.Definiție. Determinant al unei matrice pătrate
se numește al doilea număr de comandă
.
determinant
matrice pătrată de ordin n,
, numit numărul
- determinantul matricei de ordin n-1, obtinut din matricea A prin stergerea primului rand si coloana cu numarul k. 2.2 Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Să fie dată o matrice pătrată A de mărimea NxN. Este necesar să-și calculeze determinantul.
Folosim ideile metodei Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
Sistemul dat:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
Să executăm următorul algoritm.
La prima etapă, găsim elementul cu cel mai mare modul în prima coloană, punem ecuația cu acest element pe prima linie (prin schimbul celor două rânduri corespunzătoare ale matricei A și a celor două elemente corespunzătoare ale vectorului B), și apoi vom scădea această ecuație din toate celelalte astfel încât în prima coloană toate elementele (cu excepția primului) să fi trecut la zero. De exemplu, când adăugăm la a doua linie, vom înmulți prima linie cu -a21/a11, când adăugăm la a treia - cu -a31/a11 etc.
La a doua etapă, găsim în a doua coloană, pornind de la al doilea element, elementul cu cel mai mare modul, punem ecuația cu acest element pe a doua linie și scădem această ecuație din toate celelalte (inclusiv pe prima) , astfel încât în a doua coloană toate elementele (cu excepția celei de-a doua) au dispărut. Este clar că această operație nu va schimba în niciun fel prima coloană - la urma urmei, din fiecare rând vom scădea al doilea rând, înmulțit cu un anumit coeficient, iar în al doilea rând din prima coloană este zero.
Acestea. la pasul i, găsim în coloana i, pornind de la i-lea element, cel mai mare element modulo, punem ecuația cu acest element pe linia i și scădem această ecuație din toate celelalte . Este clar că acest lucru nu va afecta toate coloanele anterioare (de la prima la (i-1)-a).
În cele din urmă, aducem sistemul la așa-numita formă diagonală:
Acestea. am găsit o soluție la sistem.
Observația 1. La fiecare iterație există cel puțin un element diferit de zero, altfel sistemul ar avea un determinant zero, ceea ce contrazice condiția.
Observația 2. Cerința ca la fiecare pas să alegem elementul cu cea mai mare valoare absolută este foarte importantă în ceea ce privește stabilitatea numerică a metodei. Dacă alegeți un element arbitrar diferit de zero, atunci acest lucru poate duce la o eroare uriașă, când soluția rezultată va diferi de multe ori de cea corectă.
2.3 Metoda Gauss pentru calcularea determinantului
Vom efectua aceleași acțiuni ca la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, excluzând doar împărțirea dreptei curente cu a[i][i] (mai precis, împărțirea în sine poate fi efectuată, dar presupunând că numărul este scos). a semnului determinant). Atunci toate operațiile pe care le vom efectua cu matricea nu vor modifica valoarea determinantului matricei, cu posibila excepție a semnului (schimbăm doar două rânduri, ceea ce schimbă semnul la opus, sau adăugăm un rând la alta, care nu modifică determinantul valoric).
Dar matricea la care ajungem după executarea algoritmului gaussian este diagonală, iar determinantul ei este egal cu produsul elementelor de pe diagonală. Semnul, așa cum sa menționat deja, va fi determinat de numărul de schimburi de șiruri (dacă sunt impare, atunci semnul determinantului ar trebui schimbat la opus). Astfel, putem folosi algoritmul gaussian pentru a calcula determinantul matricei în O(N3).
Rămâne doar să rețineți că, dacă la un moment dat nu găsim un element diferit de zero în coloana curentă, atunci algoritmul ar trebui să se oprească și să returneze 0.
3. Modele funcționale și diagrame bloc pentru rezolvarea problemei
Diagrama bloc pentru rezolvarea problemei este prezentată în Figura 1.
Figura 1 - Diagramă pentru rezolvarea problemei pentru funcția DETERMINATE
4 Implementarea software a soluției problemei
;FUNCTIE CANTANT CALCULAT
(DETERMINANT DEFUN (DIMENSIUNEA MATRICEI)
;DECLARAREA VARIABILELOR
;DETERMINANT
(DECLARE (DET. SPECIAL))
;MATRII ȘI VARIABILE AUXILIARE
(DECLARE (PAR SPECIAL))
(DECLARAȚI (SPECIAL R))
(DECLARE (SPECIALE T_))
(DECLARE (SPECIAL I))
(DECLARE (SPECIAL II))
;*********************
(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE:ELEMENT-TYPE "FLOAT:INITIAL-ELEMENT 0))
((>=J(-SIZE 1)))
; EXCLUDE DIVIZIUNEA CU 0
(DACĂ (= (MATRICE AREF J J) 0)
(SETQ II (+ J 1))
; SE CĂUTĂ O LINIE ÎN CARE ELEMENTUL J-ALUL NU ESTE 0
((SAU (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- DIMENSIUNEA 1))))
(SETQ II (+II 1))
;DACĂ NU EXISTĂ NU EXISTĂ O ASTA LINIE DETERMINANTUL ESTE 0
(DACĂ (ȘI (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- DIMENSIUNEA 1))) (SETQ T_ 0))
Formularea problemei
Sarcina presupune că utilizatorul este familiarizat cu conceptele de bază ale metodelor numerice, cum ar fi matricea determinantă și inversă și căi diferite calculele lor. În acest raport teoretic, într-un limbaj simplu și accesibil, sunt introduse mai întâi conceptele și definițiile de bază, pe baza cărora se efectuează cercetări ulterioare. Este posibil ca utilizatorul să nu aibă cunoștințe speciale în domeniul metodelor numerice și algebrei liniare, dar va putea utiliza cu ușurință rezultatele acestei lucrări. Pentru claritate, este dat un program de calcul al determinantului matricei prin mai multe metode, scris în limbajul de programare C++. Programul este folosit ca stand de laborator pentru crearea de ilustrații pentru raport. De asemenea, se efectuează un studiu al metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Inutilitatea calculării matricei inverse este dovedită, prin urmare, mai mult cele mai bune moduri rezolvarea de ecuații fără a le calcula. Se explică de ce există atât de multe metode diferite de calculare a determinanților și matricelor inverse și sunt analizate deficiențele acestora. Sunt de asemenea luate în considerare erorile în calculul determinantului și se estimează acuratețea obținută. Pe lângă termenii ruși, echivalentele lor în engleză sunt, de asemenea, folosite în lucrare pentru a înțelege sub ce nume să caute proceduri numerice în biblioteci și ce înseamnă parametrii acestora.
Definiții de bază și proprietăți simple
Determinant
Să introducem definiția determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Această definiţie va recurent, adică pentru a stabili care este determinantul matricei de ordine, trebuie să știți deja care este determinantul matricei de ordine. Rețineți, de asemenea, că determinantul există numai pentru matrice pătrată.
Determinantul unei matrice pătrate va fi notat cu sau det .
Definiția 1. determinant matrice pătrată 
se numește al doilea număr de comandă 
.
determinant 
matricea pătrată de ordin, se numește număr 
unde este determinantul matricei de ordine obtinut din matrice prin stergerea primului rand si a coloanei cu numarul .
Pentru claritate, notăm cum puteți calcula determinantul matricei al patrulea ordin: 
Cometariu. Calculul propriu-zis al determinanților pentru matricele de peste ordinul trei pe baza definiției este utilizat în cazuri excepționale. De regulă, calculul se efectuează conform altor algoritmi, care vor fi discutați mai târziu și care necesită mai puțină muncă de calcul.
Cometariu.În Definiția 1, ar fi mai corect să spunem că determinantul este o funcție definită pe mulțimea matricelor de ordine pătrată și luând valori în mulțimea numerelor.
Cometariu.În literatură, în locul termenului „determinant”, se folosește și termenul „determinant”, care are același sens. Din cuvântul „determinant” a apărut desemnarea det.
Să luăm în considerare câteva proprietăți ale determinanților, pe care le formulăm sub formă de aserțiuni.
Afirmația 1. La transpunerea unei matrice, determinantul nu se modifică, adică .
Afirmația 2. Determinantul produsului matricelor pătrate este egal cu produsul determinanților factorilor, adică .
Afirmația 3. Dacă două rânduri dintr-o matrice sunt schimbate, atunci determinantul său își va schimba semnul.
Afirmația 4. Dacă o matrice are două rânduri identice, atunci determinantul ei este zero.
În viitor, va trebui să adăugăm șiruri și să înmulțim un șir cu un număr. Vom efectua aceste operații pe rânduri (coloane) în același mod ca și operațiunile pe matrice de rând (matrice de coloană), adică element cu element. Rezultatul va fi un rând (coloană), care, de regulă, nu se potrivește cu rândurile matricei originale. În prezența operațiilor de adunare de rânduri (coloane) și de înmulțire a acestora cu un număr, putem vorbi și despre combinații liniare de rânduri (coloane), adică sume cu coeficienți numerici.
Afirmația 5. Dacă un rând al unei matrice este înmulțit cu un număr, atunci determinantul său va fi înmulțit cu acel număr.
Afirmația 6. Dacă matricea conține un rând zero, atunci determinantul său este zero.
Afirmația 7. Dacă unul dintre rândurile matricei este egal cu celălalt înmulțit cu un număr (rândurile sunt proporționale), atunci determinantul matricei este zero.
Afirmația 8. Fie rândul i din matrice să arate ca . Apoi, unde matricea se obține din matrice prin înlocuirea rândului i cu rândul, iar matricea se obține prin înlocuirea rândului i cu rândul.
Afirmația 9. Dacă unul dintre rândurile matricei este adăugat la altul, înmulțit cu un număr, atunci determinantul matricei nu se va schimba.
Afirmația 10. Dacă unul dintre rândurile unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri, atunci determinantul matricei este zero.
Definiția 2. Adunare algebrică unui element de matrice se numește număr egal cu , unde este determinantul matricei obținut din matrice prin ștergerea rândului i și coloanei j. Complementul algebric la un element de matrice este notat cu .
Exemplu. Lăsa 
. Apoi 
Cometariu. Folosind adunări algebrice, definiția unui determinant poate fi scrisă după cum urmează: 
Afirmația 11. Descompunerea determinantului într-un șir arbitrar.
Determinantul matricei satisface formula 
Exemplu. calculati 
.
Decizie. Să folosim expansiunea din a treia linie, este mai profitabilă, pentru că în a treia linie două numere din trei sunt zerouri. obține 
Afirmația 12. Pentru o matrice pătrată de ordin la , avem relația 
.
Afirmația 13. Toate proprietățile determinantului formulat pentru rânduri (propozițiile 1 - 11) sunt valabile și pentru coloane, în special, descompunerea determinantului în coloana j-a este valabilă 
și egalitate 
la .
Afirmația 14. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale.
Consecinţă. Determinantul matricei de identitate este egal cu unu, .
Concluzie. Proprietățile enumerate mai sus fac posibilă găsirea determinanților matricilor de ordine suficient de mare cu o cantitate relativ mică de calcule. Algoritmul de calcul este următorul.
Algoritm pentru crearea zerourilor într-o coloană. Să fie necesar să se calculeze determinantul de ordine. Dacă , atunci schimbați prima linie și orice altă linie în care primul element nu este zero. Ca urmare, determinantul , va fi egal cu determinantul noii matrice cu semnul opus. Dacă primul element al fiecărui rând este egal cu zero, atunci matricea are o coloană zero și, prin afirmațiile 1, 13, determinantul său este egal cu zero.
Deci, considerăm că deja în matricea originală. Lăsați prima linie neschimbată. Să adăugăm la a doua linie prima linie, înmulțită cu numărul . Atunci primul element al celui de-al doilea rând va fi egal cu 
.
Elementele rămase din noul al doilea rând vor fi notate cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu . Înmulțiți prima linie cu numărul și adăugați-o la a treia. Primul element al noului al treilea rând va fi egal cu 
Elementele rămase din noul al treilea rând vor fi notate cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu .
Vom continua procesul de obținere a zerourilor în locul primelor elemente de șiruri. În cele din urmă, înmulțim prima linie cu un număr și o adăugăm la ultima linie. Rezultatul este o matrice, notată cu , care are forma 
și . Pentru a calcula determinantul matricei, folosim expansiunea din prima coloană
De atunci 
Determinantul matricei de ordine este în partea dreaptă. Îi aplicăm același algoritm, iar calculul determinantului matricei se va reduce la calculul determinantului matricei de ordine. Procesul se repetă până ajungem la determinantul de ordinul doi, care se calculează prin definiție.
Dacă matricea nu are proprietăți specifice, atunci nu este posibil să se reducă semnificativ cantitatea de calcule în comparație cu algoritmul propus. O altă parte bună a acestui algoritm este că este ușor să scrieți un program pentru un computer pentru a calcula determinanții matricilor de ordine mari. În programele standard pentru calcularea determinanților, acest algoritm este utilizat cu modificări minore asociate cu minimizarea influenței erorilor de rotunjire și a erorilor de date de intrare în calculele computerizate.
Exemplu. Calculați determinantul matricei 
.
Decizie. Prima linie este lăsată neschimbată. La a doua linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:
Determinantul nu se schimbă. La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:
Determinantul nu se schimbă. La a patra linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:
Determinantul nu se schimbă. Drept urmare, obținem 
Folosind același algoritm, calculăm determinantul unei matrice de ordinul 3, care se află în dreapta. Lăsăm prima linie neschimbată, la a doua linie o adunăm pe prima, înmulțită cu numărul 
:
La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul 
:
Drept urmare, obținem 
Răspuns. .
Cometariu. Deși s-au folosit fracții în calcule, rezultatul a fost un număr întreg. Într-adevăr, folosind proprietățile determinanților și faptul că numerele originale sunt numere întregi, operațiile cu fracții ar putea fi evitate. Dar în practica ingineriei, numerele sunt extrem de rar numere întregi. Prin urmare, de regulă, elementele determinantului vor fi fracții zecimale și nu este indicat să folosiți niciun truc pentru a simplifica calculele.
matrice inversă
Definiția 3. Matricea se numește matrice inversă pentru o matrice pătrată dacă .
Din definiție rezultă că matricea inversă va fi o matrice pătrată de același ordin ca și matricea (altfel unul dintre produse sau nu ar fi definit).
matrice inversă pentru o matrice se notează cu . Astfel, dacă există, atunci.
Din definiția unei matrice inversă, rezultă că matricea este inversul matricei, adică . Matrice și se poate spune că sunt inverse între ele sau reciproc inverse.
Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci inversul său nu există.
Deoarece pentru găsirea matricei inverse este important dacă determinantul matricei este egal cu zero sau nu, introducem următoarele definiții.
Definiția 4. Să numim matrice pătrată degenerat sau matrice specială, dacă nedegenerat sau matrice nesingulară, dacă .
Afirmație. Dacă există o matrice inversă, atunci aceasta este unică.
Afirmație. Dacă o matrice pătrată este nedegenerată, atunci inversul ei există și 
(1) unde sunt adunări algebrice la elemente .
Teorema. O matrice inversă pentru o matrice pătrată există dacă și numai dacă matricea este nesingulară, matricea inversă este unică și formula (1) este validă.
Cometariu. Ar trebui plătit Atentie speciala la locurile ocupate de adunări algebrice în formula matriceală inversă: primul indice arată numărul coloană, iar al doilea este numărul linii, în care trebuie scris complementul algebric calculat.
Exemplu. 
.
Decizie. Găsirea determinantului
Deoarece , atunci matricea este nedegenerată, iar inversul pentru ea există. Găsirea adunărilor algebrice: 
Compunem matricea inversă plasând adunările algebrice găsite astfel încât primul indice să corespundă coloanei, iar al doilea rândului: 
(2)
Matricea rezultată (2) este răspunsul la problemă.
Cometariu.În exemplul anterior, ar fi mai corect să scrieți răspunsul astfel: 
(3)
Cu toate acestea, notația (2) este mai compactă și este mai convenabil să efectuați calcule suplimentare, dacă există, cu ea. Prin urmare, scrierea răspunsului în forma (2) este de preferat dacă elementele matricelor sunt numere întregi. Invers, dacă elementele matricei sunt zecimale, atunci este mai bine să scrieți matricea inversă fără un factor în față.
Cometariu. Când găsiți matricea inversă, trebuie să efectuați destul de multe calcule și o regulă neobișnuită pentru aranjarea adunărilor algebrice în matricea finală. Prin urmare, există șanse mari de eroare. Pentru a evita erorile, ar trebui să faceți o verificare: calculați produsul matricei originale cu cel final într-o ordine sau alta. Dacă rezultatul este o matrice de identitate, atunci matricea inversă este găsită corect. În caz contrar, trebuie să căutați o eroare.
Exemplu. Aflați inversul unei matrice 
.
Decizie.
- exista.
Răspuns: 
.
Concluzie. Găsirea matricei inverse prin formula (1) necesită prea multe calcule. Pentru matricele de ordinul al patrulea și mai mari, acest lucru este inacceptabil. Algoritmul real pentru găsirea matricei inverse va fi dat mai târziu.
Calculul determinantului și al matricei inverse folosind metoda Gauss
Metoda Gauss poate fi folosită pentru a găsi determinantul și matricea inversă.
Și anume, determinantul matricei este egal cu det .
Matricea inversă se găsește prin rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda de eliminare gaussiană:
Unde este j-a coloană a matricei de identitate, este vectorul dorit.
Vectorii soluție rezultați - formează, evident, coloanele matricei, deoarece .
Formule pentru determinant
1. Dacă matricea este nesingulară, atunci și (produsul elementelor conducătoare).
Conceptul de determinant este unul dintre cele mai importante în cursul algebrei liniare. Acest concept este inerent NUMAI MATRICE PĂTRATE, iar acest articol este dedicat acestui concept. Aici vom vorbi despre determinanții matricilor ale căror elemente sunt numere reale (sau complexe). În acest caz, determinantul este un număr real (sau complex). Toate prezentările ulterioare vor fi un răspuns la întrebările despre cum se calculează determinantul și ce proprietăți are acesta.
În primul rând, dăm definiția determinantului unei matrici pătrate de ordin n cu n ca sumă a produselor permutărilor elementelor matricei. Pe baza acestei definiții, scriem formule pentru calcularea determinanților matricelor de ordinul întâi, al doilea și al treilea și analizăm în detaliu soluțiile mai multor exemple.
În continuare, ne întoarcem la proprietățile determinantului, pe care le vom formula sub formă de teoreme fără demonstrație. Aici se va obține o metodă de calcul a determinantului prin extinderea acestuia peste elementele unui rând sau coloane. Această metodă reduce calculul determinantului unei matrici de ordin n cu n la calculul determinanților matricelor de ordin 3 cu 3 sau mai puțin. Asigurați-vă că arătați soluții la mai multe exemple.
În concluzie, să ne oprim asupra calculului determinantului prin metoda Gauss. Această metodă este bună pentru a găsi determinanți ai matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3 deoarece necesită mai puțin efort de calcul. Vom analiza și soluția de exemple.
Navigare în pagină.
Definiția matricei determinant, calculul matricei determinant prin definiție.
Reamintim câteva concepte auxiliare.
Definiție.
Permutarea ordinului n se numeste multime ordonata de numere, formata din n elemente.
Pentru o mulțime care conține n elemente, există n! (n factorial) de permutări de ordinul n. Permutările diferă între ele numai în ordinea elementelor.
De exemplu, să considerăm o mulțime formată din trei numere: . Notăm toate permutările (sunt șase în total, deoarece 
):
Definiție.
Inversarea într-o permutare a ordinului n se numește orice pereche de indici p și q, pentru care elementul p al permutației este mai mare decât q-lea.
În exemplul anterior, inversul permutației 4 , 9 , 7 este p=2 , q=3 , deoarece al doilea element al permutației este 9 și este mai mare decât al treilea element, care este 7 . Inversul permutării 9 , 7 , 4 va fi trei perechi: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) şi p=2, q=3 (7>4).
Vom fi mai interesați de numărul de inversiuni dintr-o permutare, mai degrabă decât de inversarea în sine.
Fie o matrice pătrată de ordin n de n peste câmpul numerelor reale (sau complexe). Fie mulțimea tuturor permutărilor de ordin n ale mulțimii. Setul contine n! permutări. Să notăm a k-a permutare a mulțimii ca , iar numărul de inversiuni în a k-a permutare ca .
Definiție.
Determinant de matriceȘi există un număr egal cu 
.
Să descriem această formulă în cuvinte. Determinantul unei matrici pătrate de ordinul n de n este suma care conține n! termeni. Fiecare termen este un produs al n elemente ale matricei și fiecare produs conține un element din fiecare rând și din fiecare coloană a matricei A. Un coeficient (-1) apare înaintea termenului k, dacă elementele matricei A din produs sunt ordonate după numărul de rând, iar numărul de inversiuni în permutarea k a setului de numere de coloane este impar.
Determinantul unei matrice A este de obicei notat ca și det(A) este, de asemenea, utilizat. De asemenea, puteți auzi că determinantul se numește determinant.
Asa de, 
.
Aceasta arată că determinantul matricei de ordinul întâi este elementul acestei matrice.
Calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul doi - Formula și exemplu.
cam 2 pe 2 în general.
În acest caz n=2, deci n!=2!=2.
.
Avem 
Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 2 cu 2, are forma 
.
Exemplu.
Ordin.
Decizie.
În exemplul nostru. Aplicam formula rezultata 
:
Calculul determinantului unei matrice pătrate de ordinul trei - formulă și exemplu.
Să găsim determinantul unei matrice pătrate 
cam 3 pe 3 în general.
În acest caz n=3 , deci n!=3!=6 .
Să aranjam sub forma unui tabel datele necesare pentru aplicarea formulei .
Avem 
Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 3 cu 3, are forma 
În mod similar, se pot obține formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 4 cu 4, 5 cu 5 și mai mari. Vor arăta foarte voluminoase.
Exemplu.
Calculați determinantul matricei pătrate 
cam 3 pe 3.
Decizie.
În exemplul nostru 
Aplicăm formula rezultată pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei: 
Formulele pentru calcularea determinanților matricelor pătrate de ordinul doi și trei sunt foarte des folosite, așa că vă recomandăm să le amintiți.
Proprietăți ale unui determinant de matrice, calculul unui determinant de matrice folosind proprietăți.
Pe baza definiției de mai sus, următoarele sunt adevărate. proprietățile determinante ale matricei.
- prin elemente de pe al 3-lea rând,
- de elementele coloanei a 2-a.
Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A T , adică .
Exemplu.
Asigurați-vă că determinantul matricei 
este egală cu determinantul matricei transpuse.
Decizie.
Să folosim formula pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul 3 cu 3: 
Transpunem matricea A: 
Calculați determinantul matricei transpuse: 
Într-adevăr, determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale.
Dacă într-o matrice pătrată toate elementele cel puțin unuia dintre rânduri (una dintre coloane) sunt zero, determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero.
Exemplu.
Verificați dacă determinantul matricei 
ordinul 3 cu 3 este zero.
Decizie.
Într-adevăr, determinantul unei matrice cu o coloană zero este zero.
Dacă schimbați oricare două rânduri (coloane) într-o matrice pătrată, atunci determinantul matricei rezultate va fi opus celui inițial (adică semnul se va schimba).
Exemplu.
Date două matrice pătrate de ordinul 3 cu 3 
și 
. Arătați că determinanții lor sunt opuși.
Decizie.
Matrice B se obține din matricea A prin înlocuirea celui de-al treilea rând cu primul și primul cu al treilea. În funcție de proprietatea considerată, determinanții unor astfel de matrici trebuie să difere ca semn. Să verificăm acest lucru calculând determinanții folosind o formulă binecunoscută. 
Într-adevăr, .
Dacă cel puțin două rânduri (două coloane) sunt aceleași într-o matrice pătrată, atunci determinantul său este egal cu zero.
Exemplu.
Să se arate că determinantul matricei 
este egal cu zero.
Decizie.
În această matrice, a doua și a treia coloană sunt aceleași, deci, conform proprietății luate în considerare, determinantul acesteia trebuie să fie egal cu zero. Hai să verificăm. 
De fapt, determinantul unei matrice cu două coloane identice este zero.
Dacă într-o matrice pătrată toate elementele oricărui rând (coloană) sunt înmulțite cu un număr k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale, înmulțit cu k. De exemplu, 
Exemplu.
Demonstrați că determinantul matricei 
este egal cu de trei ori determinantul matricei 
.
Decizie.
Elementele primei coloane a matricei B se obțin din elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei A prin înmulțirea cu 3. Atunci, în virtutea proprietății considerate, egalitatea ar trebui să se mențină. Să verificăm acest lucru calculând determinanții matricelor A și B. 
Prin urmare, , ceea ce trebuia demonstrat.
NOTĂ.
Nu confundați sau confundați conceptele de matrice și determinant! Proprietatea considerată a determinantului unei matrice și operația de înmulțire a unei matrice cu un număr sunt departe de același lucru. 
, dar 
.
Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate sunt suma a s termeni (s este un număr natural mai mare decât unu), atunci determinantul unei astfel de matrice va fi egal cu suma a s determinanți ai matricelor obținute din cel original, dacă ca elemente ale rândului (coloanei) lasă câte un termen. De exemplu, 
Exemplu.
Demonstrați că determinantul unei matrici este egal cu suma determinanților matricelor 
.
Decizie.
În exemplul nostru 
, prin urmare, datorită proprietății considerate a determinantului matricei, egalitatea 
. O verificăm calculând determinanții corespunzători ai matricelor de ordin 2 cu 2 folosind formula .
Din rezultatele obținute se poate observa că 
. Aceasta completează dovada.
Dacă la elementele unui rând (coloană) a matricei adăugăm elementele corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțite cu un număr arbitrar k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei inițiale.
Exemplu.
Asigurați-vă că dacă elementele coloanei a treia a matricei 
se adună elementele corespunzătoare din a doua coloană a acestei matrice, înmulțite cu (-2), și se adună elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei, înmulțite cu un număr real arbitrar, apoi determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale.
Decizie.
Dacă pornim de la proprietatea considerată a determinantului, atunci determinantul matricei obținut după toate transformările indicate în problemă va fi egal cu determinantul matricei A.
Mai întâi, calculăm determinantul matricei originale A: 
Acum să efectuăm transformările necesare ale matricei A.
Să adăugăm elementelor din a treia coloană a matricei elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei, înmulțindu-le anterior cu (-2) . După aceea, matricea va arăta astfel: 
La elementele coloanei a treia a matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din prima coloană, înmulțite cu: 
Calculați determinantul matricei rezultate și asigurați-vă că este egal cu determinantul matricei A, adică -24: 
Determinantul unei matrice pătrate este suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) după lor. adunări algebrice.
Iată complementul algebric al elementului de matrice , .
Această proprietate permite calcularea determinanților matricilor de ordin mai mare decât 3 cu 3 prin reducerea acestora la suma mai multor determinanți ai matricelor de ordin cu una mai mică. Cu alte cuvinte, aceasta este o formulă recurentă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Vă recomandăm să-l amintiți datorită aplicabilității sale destul de frecvente.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplu.
comandați 4 cu 4, extinzându-l
Decizie.
Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele din al 3-lea rând 
Avem 
Deci problema găsirii determinantului unei matrici de ordin 4 cu 4 a fost redusă la calculul a trei determinanți ai matricelor de ordin 3 cu 3: 
Inlocuind valorile obtinute ajungem la rezultatul: 
Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele coloanei a 2-a 
și acționăm în același mod.
Nu vom descrie în detaliu calculul determinanților matricilor de ordinul trei. 
Exemplu.
Calculați determinantul matricei 
cam 4 pe 4.
Decizie.
Este posibil să descompuneți determinantul unei matrice în elemente ale oricărei coloane sau ale oricărei rânduri, dar este mai avantajos să alegeți un rând sau o coloană care să conțină cel mai mare număr zero elemente, deoarece acest lucru va ajuta la evitarea calculelor inutile. Să extindem determinantul cu elementele primului rând: 
Calculăm determinanții obținuți ai matricelor de ordin 3 cu 3 după formula cunoscută nouă: 
Înlocuim rezultatele și obținem valoarea dorită 
Exemplu.
Calculați determinantul matricei 
cam 5 pe 5.
Decizie.
Al patrulea rând al matricei are cel mai mare număr de zero elemente dintre toate rândurile și coloanele, așa că este recomandabil să extindem determinantul matricei tocmai cu elementele din al patrulea rând, deoarece în acest caz avem nevoie de mai puține calcule. 
Determinanții obținuți ai matricelor de ordinul 4 cu 4 au fost găsiți în exemplele anterioare, așa că vom folosi rezultatele gata făcute: 
Exemplu.
Calculați determinantul matricei 
cam 7 pe 7.
Decizie.
Nu trebuie să vă grăbiți imediat să descompuneți determinantul prin elementele oricărui rând sau coloană. Dacă te uiți atent la matrice, vei observa că elementele celui de-al șaselea rând al matricei pot fi obținute prin înmulțirea cu două a elementelor corespunzătoare din al doilea rând. Adică, dacă adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând înmulțite cu (-2) la elementele celui de-al șaselea rând, atunci determinantul nu se va modifica din cauza proprietății a șaptea, iar al șaselea rând al matricei rezultate va consta din zerouri. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero prin a doua proprietate.
Răspuns:
Trebuie remarcat faptul că proprietatea luată în considerare permite calcularea determinanților matricilor de orice ordin, totuși, trebuie efectuate o mulțime de operații de calcul. În cele mai multe cazuri, este mai avantajos să găsim determinantul matricelor de ordin mai mare decât a treia prin metoda Gauss, pe care o vom considera mai jos.
Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) este egală cu zero. 
Exemplu.
Să se arate că suma produselor elementelor coloanei a treia a matricei 
pe complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare primei coloane este egală cu zero.
Decizie.
Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor, adică 
, unde m este un număr natural mai mare decât unu, A k , k=1,2,…,m sunt matrici pătrate de același ordin.
Exemplu.
Asigurați-vă că determinantul produsului a două matrici 
și este egal cu produsul determinanților lor.
Decizie.
Să găsim mai întâi produsul determinanților matricelor A și B: 
Acum să efectuăm înmulțirea matricei și să calculăm determinantul matricei rezultate: 
În acest fel, 
, care urma să fie arătat.
Calculul determinantului matricei prin metoda Gauss.
Să descriem esența acestei metode. Folosind transformări elementare, matricea A este redusă la o astfel de formă încât în prima coloană toate elementele cu excepția lui devin zero (acest lucru este întotdeauna posibil dacă determinantul matricei A este diferit de zero). Vom descrie această procedură puțin mai târziu, dar acum vom explica de ce se face acest lucru. Se obțin elemente zero pentru a obține cea mai simplă expansiune a determinantului peste elementele primei coloane. După o astfel de transformare a matricei A, ținând cont de a opta proprietate și , obținem 
Unde - ordinul minor (n-1)., obținut din matricea A prin ștergerea elementelor primului rând și primei sale coloane.
Cu matricea căreia îi corespunde minorul se face aceeași procedură de obținere a zero elemente în prima coloană. Și tot așa până la calculul final al determinantului.
Acum rămâne să răspundem la întrebarea: „Cum să obțineți elemente nule în prima coloană”?
Să descriem algoritmul acțiunilor.
Dacă , atunci elementele primului rând al matricei se adaugă elementelor corespunzătoare ale rândului k, în care . (Dacă, fără excepție, toate elementele primei coloane a matricei A sunt zero, atunci determinantul său este zero prin a doua proprietate și nu este necesară nicio metodă Gaussiană). După o astfel de transformare, elementul „nou” va fi diferit de zero. Determinantul matricei „noii” va fi egal cu determinantul matricei originale datorită celei de-a șaptea proprietăți.
Acum avem o matrice care are . Când la elementele din al doilea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele celui de-al treilea rând, elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Si asa mai departe. În concluzie, la elementele din al n-lea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Deci se va obține matricea transformată A, toate elementele primei coloane din care, cu excepția , vor fi zero. Determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale datorită proprietății a șaptea.
Să analizăm metoda atunci când rezolvăm un exemplu, astfel încât să fie mai clar.
Exemplu.
Calculați determinantul unei matrici de ordinul 5 cu 5 
.
Decizie.
Să folosim metoda Gauss. Să transformăm matricea A astfel încât toate elementele primei ei coloane, cu excepția , să devină zero.
Deoarece elementul este inițial , atunci adăugăm elementelor din primul rând al matricei elementele corespunzătoare, de exemplu, al doilea rând, deoarece: 
Semnul „~” înseamnă echivalență.
Acum adăugăm elementelor din al doilea rând elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu 
, la elementele celui de-al treilea rând - elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu 
și procedați în mod similar până la a șasea linie: 
Primim 
cu matrice 
efectuăm aceeași procedură pentru obținerea zero elemente în prima coloană: 
Prin urmare, 
Acum efectuăm transformări cu matricea 
:
Cometariu.
La o anumită etapă a transformării matricei prin metoda Gauss, poate apărea o situație când toate elementele ultimelor câteva rânduri ale matricei devin zero. Acesta va vorbi despre egalitatea determinantului cu zero.
Rezuma.
Determinantul unei matrice pătrate ale cărei elemente sunt numere este un număr. Am luat în considerare trei moduri de a calcula determinantul:
- prin suma produselor de combinații de elemente ale matricei;
- prin extinderea determinantului de către elementele rândului sau coloanei matricei;
- metoda de reducere a matricei la cea triunghiulară superioară (prin metoda Gauss).
Au fost obținute formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 2 cu 2 și 3 cu 3 .
Am analizat proprietățile determinantului matricei. Unele dintre ele vă permit să înțelegeți rapid că determinantul este zero.
La calcularea determinanților matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3, se recomandă utilizarea metodei Gauss: efectuați transformări elementare ale matricei și aduceți-o la cea triunghiulară superioară. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul tuturor elementelor de pe diagonala principală.
