Schema Bernoulli. Exemple de rezolvare a problemelor

1

1. Bogolyubov A.N. Matematică. Mecanica: un ghid biografic. - Kiev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analiza și evaluarea priorității secțiilor disciplinelor matematice studiate de studenții specialităților economice ai universităților agricole // Buletinul APK din Stavropol. - 2013. - Nr. 1 (9). - P. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Perspective de aplicare metode matematiceîn cercetare economică // Știința agrară, creativitate, creștere. - 2013. - S. 255-257.

În matematică, destul de des există probleme în care există un numar mare de repetări ale aceleiași condiții, test sau experiment. Rezultatul fiecărei probe va fi considerat un rezultat complet diferit de cel precedent. De asemenea, dependența de rezultate nu va fi observată. Ca rezultat al testului, se pot distinge mai multe posibilități de consecințe elementare: apariția unui eveniment (A) sau apariția unui eveniment care îl completează pe A.

Atunci să încercăm să presupunem că probabilitatea de apariție a evenimentului Р(А) este regulată și egală cu р (0<р<1).

Exemple de astfel de provocări pot fi un număr mare de sarcini, cum ar fi aruncarea unei monede, extragerea de bile albe și negre dintr-o pungă întunecată sau nașterea iepurilor alb și negru.

Un astfel de experiment se numește o configurație de testare independentă repetată sau o schemă Bernoulli.

Jacob Bernoulli s-a născut într-o familie de farmaciști. Tatăl a încercat să-și instruiască fiul pe calea medicală, dar J. Bernoulli a devenit interesat de matematică pe cont propriu, iar mai târziu a devenit profesia lui. Deține diverse trofee în lucrări pe teme din teoria probabilității și a numerelor, serii și calcul diferențial. După ce a studiat teoria probabilității dintr-una dintre lucrările lui Huygens „Despre calculele în jocuri de noroc”, Jacob a devenit interesat de acest lucru. În această carte, nici măcar nu a existat o definiție clară a conceptului de „probabilitate”. J. Bernoulli a fost cel care a introdus în matematică majoritatea conceptelor moderne ale teoriei probabilităților. Bernoulli a fost și primul care a exprimat versiunea sa despre legea numerelor mari. Numele lui Jacob este purtat de diverse lucrări, teoreme și scheme: „Numerele Bernoulli”, „polinomul Bernoulli”, „Ecuația diferențială Bernoulli”, „Distribuția Bernoulli” și „Ecuația Bernoulli”.

Să revenim la repetiție. După cum sa menționat deja mai sus, în urma diferitelor teste, sunt posibile două rezultate: fie va apărea evenimentul A, fie opusul acestui eveniment. Schema Bernoulli în sine denotă producerea celui de-al n-lea număr de experimente libere tipice, iar în fiecare dintre aceste experimente poate apărea evenimentul A de care avem nevoie (probabilitatea acestui eveniment este cunoscută: P (A) \u003d p), probabilitatea evenimentului opus evenimentului A este indicată de q \u003d P ( A)=1-p. Este necesar să se determine probabilitatea ca, la testarea unui număr necunoscut, evenimentul A să se producă exact de k ori.

Este important să ne amintim că principala condiție atunci când rezolvați probleme folosind schema Bernoulli este constanța. Fără ea, schema își pierde orice sens.

Această schemă poate fi folosită pentru a rezolva probleme de diferite niveluri de complexitate: de la simplu (aceeași monedă) la complexe (dobândă). Cu toate acestea, mai des, schema Bernoulli este utilizată pentru a rezolva astfel de probleme care sunt asociate cu controlul proprietăților diferitelor produse și încrederea într-o varietate de mecanisme. Doar pentru a rezolva problema, înainte de a începe lucrul, toate condițiile și valorile trebuie cunoscute în prealabil.

Nu toate problemele din teoria probabilității sunt reduse la constanță în condiții. Chiar dacă luăm ca exemplu bile albe și negre într-o pungă întunecată: atunci când este extrasă o minge, raportul dintre numărul și culorile bilelor din pungă s-a schimbat, ceea ce înseamnă că probabilitatea în sine s-a schimbat.

Totuși, dacă condițiile noastre sunt constante, atunci putem determina cu exactitate probabilitatea necesară de la noi ca evenimentul A să se producă exact de k ori din n posibil.

Acest fapt a fost compilat de Jacob Bernoulli într-o teoremă, care mai târziu a devenit cunoscută drept numele său. „Teorema lui Bernoulli” este una dintre principalele teoreme din teoria probabilităților. A fost publicat pentru prima dată în lucrarea lui J. Bernoulli „Arta asumărilor”. Ce este această teoremă? „Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea Pk,n ca evenimentul să se producă de k ori în n încercări care sunt independente unele de altele este egală cu: , unde q=1-p .”

În dovada eficacității formulei se pot da sarcini.

Sarcina 1:

Din n borcane de sticlă pe lună de depozitare, k sunt sparte. Am luat la întâmplare m cutii. Găsiți probabilitatea ca printre aceste borcane să nu mă rup. n=250, k=10, m=8, l=4.

Soluție: Avem o schemă Bernoulli cu valori:

p=10/250=0,04 (probabilitate ca băncile să se rupă);

n=8 (număr de încercări);

k=8-4=4 (numar de borcane sparte).

Folosim formula Bernoulli

A primit:

Răspuns: 0,0141

Sarcina #2:

Probabilitatea de a produce un produs defect în producție este de 0,2. Găsiți probabilitatea ca din 10 produse fabricate la această unitate de producție, exact k să fie în stare bună. Rulați soluția pentru k = 0, 1, 10.

Ne interesează evenimentul A - producția de piese reparabile, care se întâmplă o dată pe oră cu o probabilitate p=1-0,2=0,8. Trebuie să găsim probabilitatea ca evenimentul dat să se producă de k ori. Evenimentul A este opus evenimentului „nu A”, adică. fabricarea unui produs defect.

Prin urmare, avem: n=10; p=0,8; q=0,2.

Ca urmare, găsim probabilitatea ca din 10 produse fabricate toate produsele să fie defecte (k=0), ca un produs să fie în stare bună (k=1), să nu existe deloc defecte (k=10) :

În concluzie, aș dori să remarc că în timpurile moderne, mulți oameni de știință încearcă să demonstreze că „formula Bernoulli” nu respectă legile naturii și că problemele pot fi rezolvate fără a o aplica pentru utilizare. Desigur, acest lucru este posibil, majoritatea problemelor din teoria probabilității pot fi efectuate fără formula Bernoulli, principalul lucru este să nu vă confundați în volume mari de numere.

Link bibliografic

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. FORMULA LUI BERNULLI ÎN TEORIA PROBABILITĂȚII // Buletinul științific al studenților internaționali. - 2015. - Nr. 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (data accesului: 03/12/2019). Vă aducem la cunoștință revistele publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”

În această lecție, vom găsi probabilitatea ca un eveniment să apară în studii independente atunci când încercările sunt repetate. . Studiile sunt numite independente dacă probabilitatea unui rezultat sau altul al fiecărui studiu nu depinde de rezultatele pe care le-au avut alte studii. . Testele independente pot fi efectuate atât în ​​aceleași condiții, cât și în condiții diferite. În primul caz, probabilitatea ca un eveniment să apară în toate încercările este aceeași; în al doilea caz, aceasta variază de la proces la proces.

Exemple de retestări independente :

• unul dintre nodurile dispozitivului sau două sau trei noduri vor eșua, iar eșecul fiecărui nod nu depinde de celălalt nod, iar probabilitatea de eșec a unui nod este constantă în toate testele;
• o piesă produsă în anumite condiții tehnologice constante, sau trei, patru, cinci părți, se va dovedi a fi nestandard, iar o parte se poate dovedi a fi nestandard, indiferent de orice altă parte și probabilitatea ca piesa să fie se dovedește a fi nestandard este constant în toate testele;
• din mai multe lovituri pe țintă, una, trei sau patru lovituri lovesc ținta indiferent de rezultatul altor lovituri și probabilitatea de a lovi ținta este constantă în toate încercările;
• atunci când moneda este introdusă, aparatul va funcționa corect de una, de două sau de un alt număr de ori, indiferent de ce au avut alte inserții de monede, iar probabilitatea ca aparatul să funcționeze corect este constantă în toate încercările.

Aceste evenimente pot fi descrise printr-o singură schemă. Fiecare eveniment are loc în fiecare studiu cu aceeași probabilitate, care nu se schimbă dacă rezultatele studiilor anterioare devin cunoscute. Astfel de teste sunt numite independente, iar schema este numită Schema Bernoulli . Se presupune că astfel de teste pot fi repetate de câte ori se dorește.

Dacă probabilitatea p eveniment A este constantă în fiecare încercare, apoi probabilitatea ca în n eveniment de testare independent A va veni m ori, situat pe formula Bernoulli :

(Unde q= 1 – p- probabilitatea ca evenimentul să nu se producă)

Să stabilim sarcina - pentru a găsi probabilitatea ca un eveniment de acest tip să intre n vor veni procese independente m o singura data.

Formula Bernoulli: exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Găsiți probabilitatea ca dintre cele cinci părți alese aleatoriu două să fie standard, dacă probabilitatea ca fiecare parte să fie standard este de 0,9.

Soluţie. Probabilitatea evenimentului A, constând în faptul că o parte luată la întâmplare este standard, este p=0,9, iar probabilitatea ca acesta să fie nestandard este q=1–p=0,1. Evenimentul indicat în starea problemei (o notăm prin ÎN) apare dacă, de exemplu, primele două părți sunt standard, iar următoarele trei sunt nestandard. Dar evenimentul ÎN apare, de asemenea, dacă prima și a treia părți sunt standard, iar restul sunt non-standard, sau dacă a doua și a cincea părți sunt standard, iar restul sunt non-standard. Există și alte posibilități ca evenimentul să aibă loc. ÎN. Oricare dintre ele se caracterizează prin faptul că din cinci părți luate, două, ocupând orice locuri din cinci, se vor dovedi a fi standard. Prin urmare, numărul total de posibilități diferite pentru apariția unui eveniment ÎN este egal cu numărul de posibilități de plasare a două piese standard în cinci locuri, i.e. este egal cu numărul de combinații de cinci elemente cu doi și .

Probabilitatea fiecărei posibilități, conform teoremei înmulțirii probabilității, este egală cu produsul a cinci factori, dintre care doi, corespunzători aspectului părților standard, sunt egali cu 0,9, iar restul de trei, corespunzător apariției non-ului. -piese standard, sunt egale cu 0,1, i.e. această probabilitate este . Deoarece aceste zece posibilități sunt evenimente incompatibile, prin teorema de adunare, probabilitatea unui eveniment ÎN, pe care o notăm

Exemplul 2 Probabilitatea ca mașina să necesite atenția unui muncitor într-o oră este de 0,6. Presupunând că defecțiunile la mașini sunt independente, găsiți probabilitatea ca în decurs de o oră să fie solicitată atenția lucrătorului de către oricare dintre cele patru mașini deservite de acesta.

Soluţie. Folosind formula lui Bernoulli la n=4 , m=1 , p=0,6 și q=1–p=0,4, obținem

Exemplul 3 Pentru funcționarea normală a depozitului auto trebuie să existe cel puțin opt mașini pe linie și sunt zece. Probabilitatea de neieșire a fiecărei mașini pe linie este egală cu 0,1. Găsiți probabilitatea funcționării normale a depozitului în ziua următoare.

Soluţie. Autobase va funcționa bine (eveniment F) dacă oricare sau opt vor intra pe linie (evenimentul A), sau nouă (eveniment ÎN), sau evenimentul cu toate cele zece mașini (eveniment C). Conform teoremei de adunare a probabilității,

Găsim fiecare termen conform formulei Bernoulli. Aici n=10 , m=8; 10 și p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, deoarece p ar trebui să însemne probabilitatea ca o mașină să intre pe linie; Apoi q=0,1. Drept urmare, obținem

Exemplul 4 Fie probabilitatea ca un client să aibă nevoie de un pantof pentru bărbați mărimea 41 să fie de 0,25. Găsiți probabilitatea ca din șase cumpărători cel puțin doi să aibă nevoie de pantofi de mărimea 41.

Să fie efectuate n încercări cu privire la evenimentul A. Să introducem următoarele evenimente: Аk -- evenimentul А a fost realizat în timpul testului k-lea, $ k=1,2,\dots , n$. Atunci $\bar(A)_(k) $ este evenimentul opus (evenimentul A nu a avut loc în timpul testului k-lea, $k=1,2,\dots , n$).

Ce sunt studiile peer și independente

Definiție

Testele sunt numite de același tip față de evenimentul A dacă probabilitățile evenimentelor $A1, A2, \dots , An$ sunt aceleași: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (adică, probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare este constantă în toate încercările).

Evident, în acest caz, probabilitățile de evenimente opuse coincid și ele: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definiție

Încercările sunt numite independente în raport cu evenimentul A dacă evenimentele $A1, A2, \dots , An$ sunt independente.

În acest caz

În acest caz, egalitatea este păstrată atunci când orice eveniment Ak este înlocuit cu $\bar(A)_(k) $.

Să fie efectuate o serie de n încercări independente similare cu privire la evenimentul A. Purtam notatia: p - probabilitatea evenimentului A intr-un test; q este probabilitatea evenimentului opus. Astfel P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ pentru orice k și p+q=1.

Probabilitatea ca într-o serie de n încercări evenimentul A să apară exact de k ori (0 ≤ k ≤ n) se calculează prin formula:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Egalitatea (1) se numește formula Bernoulli.

Probabilitatea ca într-o serie de n încercări independente de același tip evenimentul A să apară de cel puțin k1 ori și de cel mult k2 ori este calculată prin formula:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Aplicarea formulei Bernoulli pentru valori mari ale lui n duce la calcule greoaie, așa că în aceste cazuri este mai bine să folosiți alte formule - asimptotice.

Generalizarea schemei Bernoulli

Luați în considerare o generalizare a schemei Bernoulli. Dacă într-o serie de n încercări independente, fiecare dintre ele are m rezultate incompatibile în perechi și posibile Ak cu probabilități corespunzătoare Рk= рk(Аk). Atunci formula de distribuție polinomială este valabilă:

Exemplul 1

Probabilitatea de a face gripă în timpul unei epidemii este de 0,4. Aflați probabilitatea ca din 6 angajați ai companiei să se îmbolnăvească

1. exact 4 angajati;
2. nu mai mult de 4 angajati.

Soluţie. 1) Evident, pentru a rezolva această problemă se aplică formula Bernoulli, unde n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Aplicând formula (1), obținem: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \aprox 0.138$.

Pentru a rezolva această problemă se aplică formula (2), unde k1=0 și k2=4. Avem:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ aproximativ 0,959.) \end(array)\]

Trebuie menționat că această sarcină este mai ușor de rezolvat folosind evenimentul opus - mai mult de 4 angajați s-au îmbolnăvit. Apoi, ținând cont de formula (7) privind probabilitățile de evenimente opuse, obținem:

Răspuns: $\ $0,959.

Exemplul 2

O urnă conține 20 de bile albe și 10 de bile negre. Se scot 4 bile, iar fiecare bilă scoasă este returnată în urnă înainte ca următoarea să fie extrasă și bilele din urnă sunt amestecate. Găsiți probabilitatea ca din cele patru bile extrase să fie 2 bile albe în Figura 1.

Poza 1.

Soluţie. Fie evenimentul A că -- este extrasă o bilă albă. Atunci probabilitățile $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Conform formulei Bernoulli, probabilitatea necesară este $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Răspuns: $\frac(8)(27) $.

Exemplul 3

Determinați probabilitatea ca o familie cu 5 copii să nu aibă mai mult de 3 fete. Se presupune că probabilitățile de a avea un băiat și o fată sunt aceleași.

Soluţie. Probabilitatea de a avea o fată $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probabilitatea de a avea un băiat. Nu există mai mult de trei fete într-o familie, ceea ce înseamnă că s-au născut fie una, fie două, sau trei fete, fie toți băieții din familie.

Găsiți probabilitățile ca în familie să nu existe fete, să se fi născut una, două sau trei fete: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Prin urmare, probabilitatea necesară este $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Răspuns: $\frac(13)(16)$.

Exemplul 4

Primul trăgător cu o singură lovitură poate lovi primii zece cu o probabilitate de 0,6, pe cei nouă cu o probabilitate de 0,3, iar cei opt cu o probabilitate de 0,1. Care este probabilitatea ca, cu 10 lovituri, să lovească de zece de șase ori, de nouă de trei ori și de opt de opt ori?

Luați în considerare distribuția binomială, calculați așteptarea, varianța, modul ei matematic. Folosind funcția MS EXCEL BINOM.DIST(), vom reprezenta graficul funcției de distribuție și al densității probabilității. Să estimăm parametrul de distribuție p, așteptarea matematică a distribuției și abaterea standard. Luați în considerare și distribuția Bernoulli.

Definiție. Lasă-le să fie ținute n teste, în fiecare dintre ele pot apărea doar 2 evenimente: evenimentul „succes” cu o probabilitate p sau evenimentul „eşec” cu probabilitatea q =1-p (așa-numitul Schema Bernoulli,Bernoulliîncercări).

Probabilitatea de a obține exact X succes in acestea n teste este egal cu:

Numărul de succese din eșantion X este o variabilă aleatoare care are Distribuție binomială(Engleză) Binomdistributie) pȘi n– sunt parametri ai acestei distribuţii.

Amintiți-vă că pentru a aplica Scheme Bernoulliși în mod corespunzător distribuție binomială, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

• fiecare încercare trebuie să aibă exact două rezultate, numite condiționat „succes” și „eșec”.
• rezultatul fiecărui test nu trebuie să depindă de rezultatele testelor anterioare (independența testului).
• rata de succes p ar trebui să fie constantă pentru toate testele.

Distribuție binomială în MS EXCEL

În MS EXCEL, începând cu versiunea 2010, pt Distribuție binomială există o funcție BINOM.DIST(), numele englezesc este BINOM.DIST(), care vă permite să calculați probabilitatea ca eșantionul să aibă exact X„succesuri” (adică funcția de densitate de probabilitate p(x), vezi formula de mai sus) și funcția de distribuție integrală(probabilitatea ca eșantionul să aibă X sau mai puține „reușite”, inclusiv 0).

Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea funcția BINOMDIST(), care vă permite, de asemenea, să calculați funcția de distribuțieȘi probabilitate densitate p(x). BINOMDIST() este lăsat în MS EXCEL 2010 pentru compatibilitate.

Fișierul exemplu conține grafice densitatea distribuției de probabilitateȘi .

Distribuție binomială are denumirea B(n; p) .

Notă: Pentru constructii funcția de distribuție integrală tip grafic de potrivire perfectă Programa, Pentru densitatea distributiei – Histogramă cu grupare. Pentru mai multe informații despre construirea diagramelor, citiți articolul Principalele tipuri de diagrame.

Notă: Pentru confortul scrierii formulelor în fișierul exemplu, au fost create Nume pentru parametri Distribuție binomială: n și p.

Fișierul exemplu arată diferite calcule de probabilitate folosind funcțiile MS EXCEL:

După cum se vede în imaginea de mai sus, se presupune că:

• Populația infinită din care este făcut eșantionul conține 10% (sau 0,1) elemente bune (parametru p, al treilea argument al funcției =BINOM.DIST() )
• Pentru a calcula probabilitatea ca într-un eșantion de 10 elemente (parametrul n, al doilea argument al funcției) vor fi exact 5 elemente valide (primul argument), trebuie să scrieți formula: =BINOM.DIST(5; 10; 0,1; FALSE)
• Ultimul, al patrulea element este setat = FALSE, i.e. valoarea funcției este returnată densitatea distributiei.

Dacă valoarea celui de-al patrulea argument = TRUE, atunci funcția BINOM.DIST() returnează valoarea funcția de distribuție integrală sau pur și simplu funcția de distribuție. În acest caz, puteți calcula probabilitatea ca numărul de elemente bune din eșantion să fie dintr-un anumit interval, de exemplu, 2 sau mai puțin (inclusiv 0).

Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți formula:
= BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Notă: Pentru o valoare neîntregătoare a lui x, . De exemplu, următoarele formule vor returna aceeași valoare:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; ADEVĂRAT)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; ADEVĂRAT)

Notă: În fișierul exemplu probabilitate densitateȘi funcția de distribuție de asemenea, calculat folosind definiția și funcția COMBIN().

Indicatori de distribuție

ÎN fișier exemplu pe foaie Exemplu există formule pentru calcularea unor indicatori de distribuție:

• =n*p;
• (abaterea standard pătrată) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Deducem formula așteptări matematice Distribuție binomială folosind Schema Bernoulli.

Prin definiție, o variabilă aleatoare X în Schema Bernoulli(variabilă aleatoare Bernoulli) are funcția de distribuție:

Această distribuție se numește distribuția Bernoulli.

Notă: distribuția Bernoulli- caz special Distribuție binomială cu parametrul n=1.

Să generăm 3 matrice de 100 de numere cu diferite probabilități de succes: 0,1; 0,5 și 0,9. Pentru a face acest lucru, în fereastră Generarea numerelor aleatorii setați următorii parametri pentru fiecare probabilitate p:

Notă: Dacă setați opțiunea Imprăștire aleatorie (Sămânță aleatorie), apoi puteți alege un anumit set aleatoriu de numere generate. De exemplu, setând această opțiune =25, puteți genera aceleași seturi de numere aleatorii pe computere diferite (dacă, desigur, alți parametri de distribuție sunt aceiași). Valoarea opțiunii poate lua valori întregi de la 1 la 32 767. Numele opțiunii Imprăștire aleatorie poate deruta. Ar fi mai bine să o traducem ca Setați un număr cu numere aleatorii.

Ca urmare, vom avea 3 coloane de 100 de numere, pe baza cărora, de exemplu, putem estima probabilitatea de succes p dupa formula: Număr de succese/100(cm. exemplu de fișă de fișier Generarea lui Bernoulli).

Notă: Pentru distribuții Bernoulli cu p=0,5, puteți folosi formula =RANDBETWEEN(0;1) , care corespunde cu .

Generarea numerelor aleatorii. Distribuție binomială

Să presupunem că există 7 articole defecte în eșantion. Aceasta înseamnă că este „foarte probabil” ca proporția produselor defecte să se fi schimbat. p, care este o caracteristică a procesului nostru de producție. Deși această situație este „foarte probabilă”, există o posibilitate (risc alfa, eroare de tip 1, „alarma falsă”) ca p a rămas neschimbată, iar numărul crescut de produse defecte s-a datorat prelevării aleatorii.

După cum se poate observa în figura de mai jos, 7 este numărul de produse defecte care este acceptabil pentru un proces cu p=0,21 la aceeași valoare Alfa. Acest lucru ilustrează faptul că, atunci când pragul de articole defecte dintr-o probă este depășit, p„probabil” a crescut. Expresia „cel mai probabil” înseamnă că există doar o șansă de 10% (100%-90%) ca abaterea procentului de produse defecte peste prag să se datoreze doar unor cauze aleatorii.

Astfel, depășirea numărului prag de produse defecte din probă poate servi drept semnal că procesul a devenit deranjat și a început să producă b O procent mai mare de produse defecte.

Notă: Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea o funcție CRITBINOM() , care este echivalentă cu BINOM.INV() . CRITBINOM() este lăsat în MS EXCEL 2010 și mai sus pentru compatibilitate.

Relația distribuției binomiale cu alte distribuții

Dacă parametrul n Distribuție binomială tinde spre infinit şi p tinde spre 0, atunci în acest caz Distribuție binomială poate fi aproximată.
Este posibil să se formuleze condiții când aproximarea Distribuția Poisson functioneaza bine:

• p<0,1 (mai putin pși altele n, cu atât aproximarea este mai precisă);
• p>0,9 (având în vedere că q=1- p, calculele în acest caz trebuie efectuate folosind q(A X trebuie inlocuit cu n- X). Prin urmare, cu atât mai puțin qși altele n, cu atât aproximarea este mai precisă).

La 0,1<=p<=0,9 и n*p>10 Distribuție binomială poate fi aproximată.

La randul lui, Distribuție binomială poate servi ca o bună aproximare atunci când dimensiunea populației este N Distribuție hipergeometrică mult mai mare decât dimensiunea eșantionului n (adică N>>n sau n/N<<1).

Puteți citi mai multe despre relația dintre distribuțiile de mai sus în articol. Acolo sunt date și exemple de aproximare, iar condițiile sunt explicate când este posibil și cu ce precizie.

SFAT: Puteți citi despre alte distribuții ale MS EXCEL în articol.

n experimente sunt efectuate conform schemei Bernoulli cu probabilitate de succes p. Fie X numărul de succese. Variabila aleatoare X are intervalul (0,1,2,...,n). Probabilitățile acestor valori pot fi găsite prin formula: , unde C m n este numărul de combinații de la n la m .
Seria de distribuție are forma:

X	0	1	...	m	n
p	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Această lege de distribuție se numește binom.

Atribuirea serviciului. Pentru a reprezenta un grafic se folosește un calculator online serie de distribuție binomialăși calculul tuturor caracteristicilor seriei: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Se întocmește un raport cu o decizie în format Word (exemplu).

Număr de încercări: n= , Probabilitatea p =
Cu o probabilitate mică p și un număr mare de n (np formula Poisson.

Instrucțiuni video

Schema de testare Bernoulli

Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii binomiale

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii binomiale.
M[X]=np

Dispersia unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii binomiale.
D[X]=npq

Exemplul #1. Produsul poate fi defect cu o probabilitate p = 0,3 fiecare. Trei articole sunt selectate dintr-un lot. X este numărul de piese defecte dintre cele selectate. Găsiți (introduceți toate răspunsurile sub formă de fracții zecimale): a) seria de distribuție X; b) funcţia de distribuţie F(x) .
Soluţie. Variabila aleatoare X are un interval (0,1,2,3).
Să găsim seria de distribuție X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
pi	0.34	0.44	0.19	0.027

Așteptările matematice se găsesc prin formula M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Examinare: m = ∑ x i p i .
Așteptări matematice M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Dispersia se găsește prin formula D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Examinare: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersia D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Abaterea standard σ(x).

Funcția de distribuție F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. Probabilitatea ca un eveniment să apară într-o singură încercare este de 0,6. Se fac 5 teste. Alcătuiți legea de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de apariții ale unui eveniment.
2. Alcătuiți legea de distribuție a variabilei aleatoare X a numărului de lovituri cu patru lovituri, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,8.
3. O monedă este aruncată de 7 ori. Găsiți așteptarea și varianța matematică a numărului de apariții ale stemei. Notă: aici probabilitatea apariției stemei este p = 1/2 (deoarece moneda are două fețe).

Exemplul #2. Probabilitatea ca un eveniment să apară într-o singură încercare este de 0,6. Aplicând teorema lui Bernoulli, determinați numărul de încercări independente, pornind de la care probabilitatea de abatere a frecvenței unui eveniment de la probabilitatea lui în valoare absolută este mai mică de 0,1 , mai mare de 0,97 . (Răspuns: 801)

Exemplul #3. Elevii efectuează teste la ora de informatică. Lucrarea constă din trei sarcini. Pentru a obține o notă bună, trebuie să găsiți răspunsurile corecte la cel puțin două probleme. Fiecare problemă are 5 răspunsuri, dintre care doar unul este corect. Elevul alege un răspuns la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să ia o notă bună?
Soluţie. Probabilitatea de a răspunde corect la întrebare: p=1/5=0,2; n=3.
Aceste date trebuie introduse în calculator. Vezi P(2)+P(3) pentru răspuns.

Exemplul #4. Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta cu o singură lovitură este (m+n)/(m+n+2) . se trag n + 4 focuri. Găsiți probabilitatea ca el să rateze de cel mult două ori.

Notă. Probabilitatea ca el să rateze de cel mult două ori include următoarele evenimente: nu ratează niciodată P(4), ratează o dată P(3), ratează de două ori P(2).

Exemplul numărul 5. Determinați distribuția de probabilitate a numărului de aeronave eșuate dacă zboară 4 aeronave. Probabilitatea de funcționare fără eșec a aeronavei Р=0,99. Numărul de aeronave care au eșuat în fiecare ieșire este distribuit conform legii binomului.