Derivata unei funcții compuse este regula l'Hopital. Calculator online Rezolvarea limitelor
Imaginați-vă un stol de vrăbii cu ochii bombați. Nu, acesta nu este un tunet, nu este un uragan și nici măcar un băiețel cu praștia în mâini. Doar că o ghiulea uriașă, uriașă, zboară în grosul puilor. Exact regulile spitalului se ocupă de limitele în care există incertitudine sau .
Regulile lui L'Hopital sunt o metodă foarte puternică care vă permite să eliminați rapid și eficient aceste incertitudini, nu este o coincidență că în colecțiile de probleme, în teste, teste, se găsește adesea o ștampilă stabilă: „calculați limita, fără a folosi regula lui L'Hopital". Cerința îndrăzneață poate fi conștiință curată atribuiți și la orice limită de lecție Limite. Exemple de soluții, Limite remarcabile. Metode de rezolvare a limitelor, Echivalențe remarcabile, unde apare incertitudinea „de la zero la zero” sau „de la infinit la infinit”. Chiar dacă sarcina este formulată pe scurt – „calculați limitele”, atunci se înțelege implicit că veți folosi orice vă place, dar nu regulile L'Hospital.
Sunt două reguli în total și sunt foarte asemănătoare între ele, atât în esență, cât și în modul în care sunt aplicate. Pe lângă exemplele directe pe această temă, vom studia și material suplimentar, care va fi util în cursul studiilor ulterioare ale analizei matematice.
Voi face imediat o rezervare că regulile vor fi date într-o formă „practică” concisă, iar dacă trebuie să treceți teoria, vă recomand să apelați la manual pentru calcule mai riguroase.
Prima regulă a L'Hospital
Luați în considerare funcțiile care infinit de mici la un moment dat. Dacă există o limită a relației lor, atunci pentru a elimina incertitudinea, putem lua Două derivate- de la numărător și de la numitor. în care: 
, acesta este .
Notă : trebuie sa existe si limita, altfel regula nu se aplica.
Ce rezultă din cele de mai sus?
În primul rând, trebuie să poți găsi derivate ale funcţiilor Si cu cat mai bine, cu atat mai bine =)
În al doilea rând, derivatele sunt luate SEPARAT de numărător și SEPARAT de numitor. Vă rugăm să nu confundați cu regula de diferențiere a coeficientului 
!!!
Și, în al treilea rând, „x” poate tinde oriunde, inclusiv la infinit - dacă ar exista incertitudine.
Să revenim la exemplul 5 al primului articol despre limite, care a produs următorul rezultat: 
Pentru incertitudinea 0:0, aplicăm prima regulă a L'Hospital:
După cum vedeți, diferențierea numărătorului și numitorului ne-a condus la răspuns cu o jumătate de tură: am găsit două derivate simple, substituite în ele „două” și s-a dovedit că incertitudinea a dispărut fără urmă!
Nu este neobișnuit ca regulile L'Hopital să fie aplicate consecutiv de două sau mai multe ori (acest lucru este valabil și pentru a doua regulă). Să-l scoatem pentru o seară retro Exemplul 2 lecții despre limite minunate:
Două covrigi se răcesc din nou pe patul supraetajat. Să aplicăm regula lui L'Hospital: 
Vă rugăm să rețineți că în primul pas se ia numitorul derivată a unei funcții compuse. După aceea, efectuăm o serie de simplificări intermediare, în special, scăpăm de cosinus, indicând faptul că acesta tinde spre unitate. Incertitudinea nu a fost eliminată, așa că aplicăm din nou regula L'Hopital (linia a doua).
Am ales în mod special să nu fie cel mai ușor exemplu pentru tine să faci puțină autotestare. Dacă nu este complet clar cum au fost găsite derivate, ar trebui să vă întăriți tehnica de diferențiere, dacă nu înțelegeți trucul cosinus, vă rugăm să reveniți la limite minunate. Nu văd sens specialîn comentarii pas cu pas, deoarece am vorbit deja despre derivate și limite suficient de detaliat. Noutatea articolului constă în regulile în sine și în unele soluții tehnice.
După cum s-a menționat deja, în majoritatea cazurilor regulile L'Hopital nu trebuie să fie utilizate, dar adesea este recomandabil să le folosiți pentru o verificare brută a soluției. Deseori, dar nu întotdeauna. Deci, de exemplu, este mult mai profitabil să verifici exemplul luat în considerare echivalențe minunate.
A doua regulă a L'Hospital
Brother-2 se luptă cu doi opt dormitori. În mod similar:
Dacă există o limită de relație infinit de mare la punctul de funcție: , apoi pentru a elimina incertitudinea, putem lua două derivate– SEPARĂ de numărător și SEPARĂ de numitor. în care: 
, acesta este la diferențierea numărătorului și numitorului, valoarea limitei nu se modifică.
Notă : trebuie să existe limită
Din nou, în diverse exemple practice valoarea poate fi diferită, inclusiv infinit. Este important să existe incertitudine.
Să verificăm Exemplul #3 din prima lecție: 
. Folosim a doua regulă a L'Hospital:
Întrucât vorbim de giganți, să analizăm două limite canonice:
Exemplul 1
Calculați Limita
Nu este ușor să obțineți un răspuns prin metode „convenționale”, prin urmare, pentru a dezvălui incertitudinea „de la infinit la infinit”, folosim regula L'Hopital: 
Prin urmare, o funcție liniară de ordin mai mare de creștere decât un logaritm cu o bază mai mare decât unu( etc.). Desigur, „x” în puteri mai mari va „trage” și astfel de logaritmi. Într-adevăr, funcția crește destul de lent și ea programa este mai blând în raport cu același „x”.
Exemplul 2
Calculați Limita
Un alt cadru decolorat. Pentru a elimina incertitudinea, folosim regula L'Hopital, în plus, de două ori la rând:
Functie exponentiala, cu baza mai mare de unu( etc.) ordin de creştere mai mare decât functie de putere cu grad pozitiv.
Limite similare sunt întâlnite în timpul studiu complet al funcției, și anume, la găsirea asimptotă de grafice. Ele sunt, de asemenea, văzute în unele sarcini pe teoria probabilității. Vă sfătuiesc să luați notă de cele două exemple luate în considerare, acesta este unul dintre puținele cazuri în care nu există nimic mai bun decât diferențierea numărătorului și numitorului.
Mai departe în text, nu voi face distincția între prima și a doua regulă a L'Hopital, aceasta a fost făcută doar în scopul structurării articolului. În general, din punctul meu de vedere, este oarecum dăunător axiomelor, teoremelor, regulilor, proprietăților matematice supranumărate, deoarece fraze precum „conform Corolarul 3 conform Teoremei 19...” sunt informative doar în cadrul uneia. sau alt manual. Într-o altă sursă de informații, același ar fi „corolarul 2 și teorema 3”. Astfel de declarații sunt formale și convenabile doar pentru autorii înșiși. În mod ideal, este mai bine să ne referim la esența unui fapt matematic. Excepția o reprezintă termenii stabiliți istoric, de exemplu, prima limită minunată sau a doua limită minunată.
Continuăm să dezvoltăm tema, care ne-a fost prezentată de membrul Academiei de Științe din Paris, marchizul Guillaume Francois de Lopital. Articolul capătă o colorare practică pronunțată și într-o sarcină destul de comună este necesar:
Pentru a ne încălzi, să ne ocupăm de câteva vrăbii mici:
Exemplul 3
Limita poate fi simplificată preliminar eliminând cosinusul, dar vom arăta respect pentru condiție și vom diferenția imediat numărătorul și numitorul: 
În chiar procesul de găsire a derivatelor, nu există nimic nestandard, de exemplu, se folosește numitorul obișnuit regula de diferentiere lucrări 
.
Exemplul considerat este distrus și prin limite minunate, un caz similar este discutat la finalul articolului Limite complexe.
Exemplul 4
Calculați limita conform regulii lui L'Hopital 
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Buna gluma =)
O situație tipică este atunci când, după diferențiere, se obțin fracții cu trei sau patru etaje:
Exemplul 5
Calculați limita folosind regula lui L'Hospital
Cerșind cerere echivalență remarcabilă, dar calea este codificată de condiție:
După diferențiere, recomand insistent să scăpați de fracția cu mai multe etaje și să faceți simplificări maxime. Desigur, studenții mai avansați pot sări peste ultimul pas și notează imediat: 
, dar în anumite limite chiar și studenții excelenți se vor încurca.
Exemplul 6
Calculați limita folosind regula lui L'Hospital
Exemplul 7
Calculați limita folosind regula lui L'Hospital
Acestea sunt exemple de autoajutorare. În exemplul 7, nu puteți simplifica nimic, se dovedește prea simplu după diferențierea fracției. Dar în Exemplul 8, după aplicarea regulii L'Hopital, este foarte de dorit să scapi de structura cu trei etaje, deoarece calculele nu vor fi cele mai convenabile. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Daca ai probleme - tabel trigonometric a ajuta.
Și, simplificări sunt absolut necesare atunci când, după diferențiere, incertitudinea neeliminat.
Exemplul 8
Calculați limita folosind regula lui L'Hospital
Merge: 
Interesant este că incertitudinea inițială după prima diferențiere sa transformat în incertitudine, iar regula lui L'Hôpital este aplicată imperturbabil mai departe. De asemenea, observați cum după fiecare „apropiere” fracția de patru etaje este eliminată, iar constantele sunt scoase din semnul limită. În exemple mai simple, este mai convenabil să nu scoatem constante, dar când limita este complexă, simplificăm totul-totul-totul. Insidiositatea exemplului rezolvat constă și în faptul că atunci când 
, dar, prin urmare, în cursul eliminării sinusurilor, nu este de mirare să se încurce în semne. În penultima linie, sinusurile nu ar fi putut fi ucise, dar exemplul este destul de greu, de iertare.
Zilele trecute am dat peste o sarcină interesantă:
Exemplul 9
Sincer să fiu, m-am îndoit puțin cu ce ar fi egală această limită. După cum sa demonstrat mai sus, „x” este mai mult ordin înalt creștere decât logaritmul, dar va depăși logaritmul cub? Încercați să aflați singur cine va câștiga.
Da, regulile de la L'Hopital nu sunt doar tragerea în vrăbii dintr-un tun, ci și munca minuțioasă ....
Pentru a aplica regulile L'Hôpital la covrigi sau obosiți, incertitudinile de formă sunt reduse.
Tratarea incertitudinii este discutată în detaliu în Exemplele #9-13 ale lecției. Metode de rezolvare a limitelor. Să luăm altul doar de dragul ei:
Exemplul 10
Calculați limita unei funcții folosind regula lui L'Hopital 
La primul pas, aducem expresia la un numitor comun, transformând astfel incertitudinea în incertitudine. Și apoi percepem regula L'Hopital: 
Iată, apropo, cazul când este inutil să atingem expresia cu patru etaje.
De asemenea, incertitudinea nu rezistă transformării în sau:
Exemplul 11
Calculați limita unei funcții folosind regula lui L'Hopital
Limita de aici este unilaterală și astfel de limite au fost deja discutate în manual Grafice și proprietăți ale funcțiilor. După cum vă amintiți, graficul logaritmului „clasic” nu există în stânga axei, așa că ne putem apropia de zero doar din dreapta.
Regulile L'Hôpital pentru limitele unilaterale funcționează, dar incertitudinea trebuie tratată mai întâi. La primul pas, facem fracția cu trei etaje, obținând incertitudinea , apoi soluția urmează schema șablonului: 
După diferențierea numărătorului și numitorului, scăpăm de fracția cu patru etaje pentru a face simplificări. Ca urmare, a apărut incertitudinea. Repetăm truc: facem din nou fracția cu trei etaje și aplicăm din nou regula L'Hopital incertitudinii rezultate:
Gata.
S-ar putea încerca să reducă limita inițială la două gogoși: 
Dar, în primul rând, derivata din numitor este mai dificilă și, în al doilea rând, nu va ieși nimic bun din ea.
Prin urmare, înainte de a rezolva exemple similare, trebuie să analizați(oral sau pe o schiță) LA CE incertitudine este mai profitabil să reduceți - la „zero la zero” sau la „infinit la infinit”.
La rândul lor, tovarășii de băutură și tovarășii mai exotici sunt atrași la lumină. Metoda de transformare este simplă și standard.
Acest calculator de matematică online vă va ajuta dacă aveți nevoie calculați limita funcției. Program solutii limita nu numai că oferă răspunsul problemei, ci conduce solutie detaliata cu explicatii, adică afișează progresul calculului limitei.
Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.
Introduceți o expresie de funcțieCalculați Limita
S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Un pic de teorie.
Limita funcției la x-> x 0
Fie definită funcția f(x) pe o mulțime X și fie punctul \(x_0 \in X \) sau \(x_0 \notin X \)
Luați din X o succesiune de puncte altele decât x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergând spre x*. Valorile funcției în punctele acestei secvențe formează, de asemenea, o secvență numerică
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
și se poate pune problema existenței limitei sale.
Definiție. Numărul A se numește limita funcției f (x) în punctul x \u003d x 0 (sau la x -> x 0), dacă pentru orice succesiune (1) de valori \u200b\u200a argumentului x care converge la x 0, diferit de x 0, funcția de succesiune corespunzătoare (2) de valori converge către numărul A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funcția f(x) poate avea o singură limită în punctul x 0. Aceasta rezultă din faptul că secvența
(f(x n)) are o singură limită.
Există o altă definiție a limitei unei funcții.
Definiție Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 dacă pentru orice număr \(\varepsilon > 0 \) există un număr \(\delta > 0 \) astfel încât pentru toate \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) care satisface inegalitatea \(|x-x_0| Folosind simboluri logice, această definiție poate fi scrisă ca
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Rețineți că inegalitățile \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Prima definiție se bazează pe noțiunea de limită a unei secvențe numerice, deci este adesea numită definiția „limbajului secvenței”. A doua definiție se numește „\(\varepsilon - \delta \)" definiție.
Aceste două definiții ale limitei unei funcții sunt echivalente și puteți utiliza oricare dintre ele, oricare dintre ele este mai convenabil pentru rezolvarea unei anumite probleme.
Rețineți că definiția limitei unei funcții „în limbajul secvențelor” se mai numește și definiția limitei unei funcții conform Heine, iar definiția limitei unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)" se mai numește și definiția limitei unei funcții după Cauchy.
Limita funcției la x->x 0 - și la x->x 0 +
În cele ce urmează, vom folosi conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, care sunt definite după cum urmează.
Definiție Numărul A se numește limita din dreapta (stânga) a funcției f (x) în punctul x 0 dacă pentru orice succesiune (1) convergentă către x 0, ale cărei elemente x n sunt mai mari (mai mici) decât x 0 , șirul corespunzătoare (2) converge spre A.
Simbolic este scris astfel:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Se poate da o definiție echivalentă a limitelor unilaterale ale unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)”:
Definiție numărul A se numește limita dreaptă (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice \(\varepsilon > 0 \) există \(\delta > 0 \) astfel încât pentru toate x care satisface inegalitățile \(x_0 intrări simbolice:
Am început deja să ne ocupăm de limite și de soluționarea lor. Să continuăm în căutarea fierbinte și să ne ocupăm de soluția limitelor după regula lui L'Hopital. Această regulă simplă vă poate ajuta să scăpați din capcanele insidioase și dificile pe care profesorii le place să le folosească în exemplele de chestionare. matematică superioară si analiza matematica. Soluția prin regula lui L'Hopital este simplă și rapidă. Principalul lucru este să poți diferenția.
Regula lui L'Hopital: istorie și definiție
De fapt, aceasta nu este tocmai regula lui L'Hopital, ci regula Spitalul-Bernoulli. Formulat de un matematician elvețian Johann Bernoulli, iar francezii Guillaume Lopital publicat pentru prima dată în manualul său infinitezimals in the glorious 1696 an. Vă puteți imagina cum au trebuit oamenii să rezolve limitele prin dezvăluirea incertitudinilor înainte ca acest lucru să se întâmple? Nu suntem.
Înainte de a continua cu analiza regulii L'Hopital, vă recomandăm să citiți articolul introductiv despre și metodele de rezolvare a acestora. Adesea, în sarcini există o formulare: găsiți limita fără a utiliza regula L'Hopital. De asemenea, puteți citi despre tehnicile care vă vor ajuta în acest sens în articolul nostru.
Dacă aveți de-a face cu limitele unei fracțiuni din două funcții, fiți pregătiți: în curând vă veți întâlni cu o incertitudine de forma 0/0 sau infinit/infinit. Ce înseamnă? La numărător și numitor, expresiile tind spre zero sau infinit. Ce să faci cu o astfel de limită, la prima vedere, este complet de neînțeles. Totuși, dacă aplici regula lui L'Hopital și te gândești puțin, totul cade la locul lui.
Dar să formulăm regula L'Hospital-Bernoulli. Pentru a fi perfect precis, este exprimat printr-o teoremă. Regula lui L'Hopital, definiție:
Dacă două funcții sunt diferențiabile într-o vecinătate a unui punct x=a dispar în acest punct și există o limită a raportului dintre derivatele acestor funcții, atunci pentru X aspirând la A există o limită a raportului funcțiilor în sine, care este egală cu limita raportului dintre derivate.
Să scriem formula și totul va deveni imediat mai ușor. Regula lui L'Hopital, formula:
Deoarece ne interesează partea practică a problemei, nu vom prezenta aici demonstrarea acestei teoreme. Va trebui fie să ne credeți pe cuvânt, fie să îl găsiți în orice manual de calcul și să vă asigurați că teorema este corectă.
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la
Dezvăluirea incertitudinilor conform regulii L'Hopital
Ce incertitudini poate ajuta regula L'Hospital să le descopere? Mai devreme am vorbit în principal despre incertitudine 0/0 . Cu toate acestea, aceasta este departe de singura incertitudine care poate fi întâlnită. Iată și alte tipuri de incertitudini:
Să luăm în considerare transformările care pot fi folosite pentru a aduce aceste incertitudini la forma 0/0 sau infinit/infinit. După transformare, va fi posibil să aplicați regula L'Hospital-Bernoulli și să faceți clic pe exemple precum nuci.
Incertitudinea speciei infinit/infinit se reduce la o nedeterminare a formei 0/0 transformare simpla:
Să existe un produs a două funcții, dintre care una prima tinde spre zero, iar a doua - la infinit. Aplicăm transformarea, iar produsul dintre zero și infinit se transformă în nedeterminare 0/0 :
Pentru a găsi limite cu incertitudini de tip infinit minus infinit folosim următoarea transformare care duce la incertitudine 0/0 :
Pentru a utiliza regula lui L'Hopital, trebuie să fiți capabil să luați derivate. Mai jos este un tabel cu derivate ale funcțiilor elementare, pe care le puteți utiliza atunci când rezolvați exemple, precum și regulile de calcul a derivatelor funcțiilor complexe:
Acum să trecem la exemple.
Exemplul 1
Găsiți limita după regula lui L'Hospital:
Exemplul 2
Calculați folosind regula lui L'Hopital:
Punct important! Dacă există limita derivatelor a doua și ulterioare ale funcțiilor pentru X aspirând la A , atunci regula lui L'Hopital poate fi aplicată de mai multe ori.
Să găsim limita ( n - numar natural). Pentru a face acest lucru, aplicați regula L'Hospital n o singura data:
Vă dorim mult succes în stăpânirea analizei matematice. Și dacă trebuie să găsiți limita folosind regula L'Hopital, scrieți un rezumat conform regulii L'Hopital, calculați rădăcinile ecuație diferențială sau chiar calculați tensorul de inerție al unui corp, consultați autorii noștri. Vor fi bucuroși să vă ajute să vă dați seama de complexitatea soluției.
