Schema de teste independente repetate. formula Bernoulli

Să nu ne gândim multă vreme la înalt - să începem imediat cu o definiție.

Schema Bernoulli este atunci când se efectuează n experimente independente de același tip, în fiecare dintre ele poate apărea un eveniment de interes pentru noi A, iar probabilitatea acestui eveniment este cunoscută P (A) \u003d p. Este necesar să se determine probabilitatea ca evenimentul A să se producă exact de k ori în timpul n încercări.

Sarcinile care sunt rezolvate conform schemei Bernoulli sunt extrem de diverse: de la cele simple (cum ar fi „găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească 1 dată din 10”) până la cele foarte severe (de exemplu, sarcini pentru procente sau carti de joc). În realitate, această schemă este adesea folosită pentru a rezolva probleme legate de controlul calității produselor și fiabilitatea diferitelor mecanisme, ale căror caracteristici trebuie cunoscute înainte de începerea lucrului.

Să revenim la definiție. Deoarece vorbim despre studii independente și în fiecare încercare probabilitatea evenimentului A este aceeași, sunt posibile doar două rezultate:

1. A este apariția evenimentului A cu probabilitatea p;
2. „nu A” - evenimentul A nu a apărut, ceea ce se întâmplă cu probabilitatea q = 1 − p.

Cea mai importantă condiție fără de care schema Bernoulli își pierde sensul este constanța. Indiferent câte experimente facem, suntem interesați de același eveniment A care are loc cu aceeași probabilitate p.

De altfel, nu toate problemele din teoria probabilității pot fi reduse la condiții constante. Orice tutore competent vă va spune despre asta. matematică superioară. Chiar și ceva la fel de simplu precum strângerea bilelor colorate dintr-o cutie nu este un experiment cu condiții constante. Au scos o altă minge - raportul culorilor din cutie s-a schimbat. Prin urmare, probabilitățile s-au schimbat și ele.

Dacă condițiile sunt constante, se poate determina cu exactitate probabilitatea ca evenimentul A să se producă exact de k ori din n posibil. Formulăm acest fapt sub forma unei teoreme:

teorema lui Bernoulli. Fie probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare experiment să fie constantă și egală cu p. Atunci probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul A să apară exact de k ori este calculată prin formula:

unde C n k este numărul de combinații, q = 1 − p.

Această formulă se numește formula Bernoulli. Este interesant de observat că problemele de mai jos sunt rezolvate complet fără a utiliza această formulă. De exemplu, puteți aplica formule de adunare a probabilității. Cu toate acestea, cantitatea de calcul va fi pur și simplu nerealistă.

Sarcină. Probabilitatea de a produce un produs defect pe mașină este de 0,2. Determinați probabilitatea ca într-un lot de zece piese produse pe o mașină dată exact k să fie fără defecte. Rezolvați problema pentru k = 0, 1, 10.

Prin ipoteză, ne interesează evenimentul A de eliberare a produselor fără defecte, care se întâmplă de fiecare dată cu o probabilitate p = 1 − 0,2 = 0,8. Trebuie să determinăm probabilitatea ca acest eveniment să se producă de k ori. Evenimentul A este opus evenimentului „nu A”, adică. producerea unui produs defect.

Astfel, avem: n = 10; p=0,8; q = 0,2.

Deci, găsim probabilitatea ca toate piesele din lot să fie defecte (k = 0), ca o singură parte să fie defectă (k = 1) și să nu existe deloc piese defecte (k = 10):

Sarcină. Moneda este aruncată de 6 ori. Pierderea stemei și a cozilor este la fel de probabilă. Găsiți probabilitatea ca:

1. stema va scădea de trei ori;
2. stema va scădea o dată;
3. stema va apărea de cel puțin două ori.

Deci, ne interesează evenimentul A când cade stema. Probabilitatea acestui eveniment este p = 0,5. Evenimentul A este opus evenimentului „nu A”, când cozile apar, ceea ce se întâmplă cu probabilitatea q = 1 − 0,5 = 0,5. Este necesar să se determine probabilitatea ca stema să cadă de k ori.

Astfel, avem: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Să determinăm probabilitatea ca stema să cadă de trei ori, adică. k = 3:

Acum să determinăm probabilitatea ca stema să cadă o singură dată, adică. k = 1:

Rămâne de stabilit cu ce probabilitate va cădea stema de cel puțin două ori. Problema principală este în expresia „nu mai puțin”. Se dovedește că orice k ne va potrivi, cu excepția lui 0 și 1, adică. trebuie să găsiți valoarea sumei X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Rețineți că această sumă este, de asemenea, egală cu (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), adică. dintre toate opțiunile posibile, este suficient să le „decupați” pe cele când stema a căzut 1 dată (k = 1) sau nu a căzut deloc (k = 0). Deoarece P 6 (1) știm deja, rămâne de găsit P 6 (0):

Sarcină. Probabilitatea ca un televizor să aibă defecte ascunse este de 0,2. Depozitul a primit 20 de televizoare. Care eveniment este mai probabil: că există două televizoare cu defecte ascunse în acest lot sau trei?

Evenimentul de interes A este prezența unui defect latent. Total televizoare n = 20, probabilitatea unui defect ascuns p = 0,2. În consecință, probabilitatea de a obține un televizor fără un defect ascuns este q = 1 − 0,2 = 0,8.

Obținem condițiile de pornire pentru schema Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Să aflăm probabilitatea de a obține două televizoare „defecte” (k = 2) și trei (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Evident, P 20 (3) > P 20 (2), adică. probabilitatea de a obține trei televizoare cu defecte ascunse este mai probabil să obțină doar două astfel de televizoare. În plus, diferența nu este slabă.

O mică notă despre factoriali. Mulți oameni experimentează un vag sentiment de disconfort când văd intrarea „0!” (a se citi „factorial zero”). Deci, 0! = 1 prin definiție.

P. S. Și cea mai mare probabilitate în ultima sarcină este să obțineți patru televizoare cu defecte ascunse. Fă calculul și vezi singur.

Studiile independente repetate sunt numite studii Bernoulli dacă fiecare studiu are doar două rezultate posibile și probabilitățile de rezultate rămân aceleași pentru toate studiile.

De obicei, aceste două rezultate sunt numite „succes” (S) sau „eșec” (F) și probabilitățile corespunzătoare sunt notate pȘi q. Este clar că p 0, q³ 0 și p+q=1.

Spațiul de eveniment elementar al fiecărei încercări este format din două evenimente Y și H.

Spațiul evenimentelor elementare n Procesele Bernoulli Ω contine 2 n evenimente elementare, care sunt secvențe (lanțuri) de n simbolurile Y și H. Fiecare eveniment elementar este unul dintre posibilele rezultate ale secvenței n Procesele Bernoulli. Întrucât testele sunt independente, atunci, conform teoremei înmulțirii, probabilitățile sunt înmulțite, adică probabilitatea oricărei secvențe anume este produsul obținut prin înlocuirea simbolurilor U și H cu pȘi q respectiv, adică, de exemplu: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Rețineți că rezultatul testului Bernoulli este adesea notat cu 1 și 0, iar apoi evenimentul elementar din secvența n Testele Bernoulli - există un lanț format din zerouri și unu. De exemplu:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Încercările Bernoulli sunt cea mai importantă schemă luată în considerare în teoria probabilității. Această schemă poartă numele matematicianului elvețian J. Bernoulli (1654-1705), care a studiat în profunzime acest model în lucrările sale.

Principala problemă care ne va interesa aici este: care este probabilitatea evenimentului care în n Au avut loc procesele lui Bernoulli m succes?

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, probabilitatea ca în timpul teste independente eveniment va fi respectat exact m ori (indiferent în ce experimente), este determinată de formula Bernoulli:

(21.1)

Unde - probabilitatea de a avea loc în fiecare test, și
este probabilitatea ca într-o experiență dată un eveniment Nu s-a intamplat.

Dacă luăm în considerare P n (m) ca o funcție m, apoi definește o distribuție de probabilitate, care se numește binom. Să explorăm această relație P n (m) din m, 0£ m£ n.

Evenimente B m ( m = 0, 1, ..., n) constând dintr-un număr diferit de apariții ale evenimentului A V n teste, sunt incompatibile și formează un grup complet. Prin urmare,
.

Luați în considerare raportul:

=
=
=
.

De aici rezultă că P n (m+1)>P n (m), Dacă (n- m)p> (m+1)q, adică funcţie P n (m) crește dacă m< np- q. De asemenea, P n (m+1)< P n (m), Dacă (n- m)p< (m+1)q, adică P n (m) scade daca m> np- q.

Astfel, există un număr m 0 , la care P n (m) atinge cea mai mare valoare. Sa gasim m 0 .

După semnificația numărului m 0 avem P n (m 0)³ P n (m 0 -1) și P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), prin urmare

, (21.2)

. (21.3)

Rezolvarea inegalităților (21.2) și (21.3) cu privire la m 0, obținem:

p/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ np+ p,

q/(n- m 0 ) ³ p/(m 0 +1) Þ m 0 ³ np- q.

Deci numărul dorit m 0 satisface inegalitățile

np- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Deoarece p+q=1, atunci lungimea intervalului definit de inegalitatea (21.4) este egală cu unu și există cel puțin un număr întreg m 0 care satisface inegalitățile (21.4):

1) dacă np - q este un întreg, atunci există două valori m 0, și anume: m 0 = np - qȘi m 0 = np - q + 1 = np + p;

2) dacă np - q- fracționar, atunci există un număr m 0 , și anume singurul întreg cuprins între numere fracționare obţinut din inegalitate (21,4);

3) dacă np este un număr întreg, atunci există un număr m 0 și anume m 0 = np.

Număr m 0 se numește valoarea (numărul) cea mai probabilă sau cea mai probabilă a producerii evenimentului Aîntr-o serie de n teste independente.

În această lecție, vom găsi probabilitatea ca un eveniment să apară în studii independente atunci când încercările sunt repetate. . Studiile sunt numite independente dacă probabilitatea unui rezultat sau altul al fiecărui studiu nu depinde de rezultatele pe care le-au avut alte studii. . Testele independente pot fi efectuate atât în ​​aceleași condiții, cât și în condiții diferite. În primul caz, probabilitatea ca un eveniment să apară în toate încercările este aceeași; în al doilea caz, aceasta variază de la proces la proces.

Exemple de retestări independente :

• unul dintre nodurile dispozitivului sau două sau trei noduri vor eșua, iar eșecul fiecărui nod nu depinde de celălalt nod, iar probabilitatea de eșec a unui nod este constantă în toate testele;
• o piesă produsă în anumite condiții tehnologice constante, sau trei, patru, cinci părți, se va dovedi a fi nestandard, iar o parte se poate dovedi a fi nestandard, indiferent de orice altă parte și probabilitatea ca piesa să fie se dovedește a fi nestandard este constant în toate testele;
• din mai multe lovituri pe țintă, una, trei sau patru lovituri lovesc ținta indiferent de rezultatul altor lovituri și probabilitatea de a lovi ținta este constantă în toate încercările;
• atunci când moneda este introdusă, aparatul va funcționa corect de una, de două sau de un alt număr de ori, indiferent de ce au avut alte inserții de monede, iar probabilitatea ca aparatul să funcționeze corect este constantă în toate încercările.

Aceste evenimente pot fi descrise printr-o singură schemă. Fiecare eveniment are loc în fiecare studiu cu aceeași probabilitate, care nu se schimbă dacă rezultatele studiilor anterioare devin cunoscute. Astfel de teste sunt numite independente, iar schema este numită Schema Bernoulli . Se presupune că astfel de teste pot fi repetate de câte ori se dorește.

Dacă probabilitatea p eveniment A este constantă în fiecare încercare, apoi probabilitatea ca în n eveniment de testare independent A va veni m ori, situat pe formula Bernoulli :

(Unde q= 1 – p- probabilitatea ca evenimentul să nu se producă)

Să stabilim sarcina - pentru a găsi probabilitatea ca un eveniment de acest tip să intre n vor veni procese independente m o singura data.

Formula Bernoulli: exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Găsiți probabilitatea ca dintre cele cinci părți alese aleatoriu două să fie standard, dacă probabilitatea ca fiecare parte să fie standard este de 0,9.

Soluţie. Probabilitatea evenimentului A, constând în faptul că o parte luată la întâmplare este standard, este p=0,9, iar probabilitatea ca acesta să fie nestandard este q=1–p=0,1. Evenimentul indicat în starea problemei (o notăm prin ÎN) apare dacă, de exemplu, primele două părți sunt standard, iar următoarele trei sunt nestandard. Dar evenimentul ÎN apare, de asemenea, dacă prima și a treia părți sunt standard, iar restul sunt non-standard, sau dacă a doua și a cincea părți sunt standard, iar restul sunt non-standard. Există și alte posibilități ca evenimentul să aibă loc. ÎN. Oricare dintre ele se caracterizează prin faptul că din cinci părți luate, două, ocupând orice locuri din cinci, se vor dovedi a fi standard. Prin urmare, numărul total diverse posibilităţi de producere a unui eveniment ÎN este egal cu numărul de posibilități de plasare a două piese standard în cinci locuri, i.e. este egal cu numărul de combinații de cinci elemente cu doi și .

Probabilitatea fiecărei posibilități, conform teoremei înmulțirii probabilității, este egală cu produsul a cinci factori, dintre care doi, corespunzători aspectului părților standard, sunt egali cu 0,9, iar restul de trei, corespunzător apariției non-ului. -piese standard, sunt egale cu 0,1, i.e. această probabilitate este . Deoarece aceste zece posibilități sunt evenimente incompatibile, prin teorema de adunare, probabilitatea unui eveniment ÎN, pe care o notăm

Exemplul 2 Probabilitatea ca mașina să necesite atenția unui muncitor într-o oră este de 0,6. Presupunând că defecțiunile la mașini sunt independente, găsiți probabilitatea ca în decurs de o oră să fie solicitată atenția lucrătorului de către oricare dintre cele patru mașini deservite de acesta.

Soluţie. Folosind formula lui Bernoulli la n=4 , m=1 , p=0,6 și q=1–p=0,4, obținem

Exemplul 3 Pentru funcționarea normală a depozitului auto trebuie să existe cel puțin opt mașini pe linie și sunt zece. Probabilitatea de neieșire a fiecărei mașini pe linie este egală cu 0,1. Găsiți probabilitatea funcționării normale a depozitului în ziua următoare.

Soluţie. Autobase va funcționa bine (eveniment F) dacă oricare sau opt vor intra pe linie (evenimentul A), sau nouă (eveniment ÎN), sau evenimentul cu toate cele zece mașini (eveniment C). Conform teoremei de adunare a probabilității,

Găsim fiecare termen conform formulei Bernoulli. Aici n=10 , m=8; 10 și p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, deoarece p ar trebui să însemne probabilitatea ca o mașină să intre pe linie; Apoi q=0,1. Drept urmare, obținem

Exemplul 4 Fie probabilitatea ca un client să aibă nevoie de un pantof pentru bărbați mărimea 41 să fie de 0,25. Găsiți probabilitatea ca din șase cumpărători cel puțin doi să aibă nevoie de pantofi de mărimea 41.

Dacă sunt efectuate mai multe încercări, iar probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare nu depinde de rezultatele altor studii, atunci astfel de încercări se numesc independent față de evenimentul A .

În diferite încercări independente, evenimentul A poate avea fie probabilități diferite, fie aceeași probabilitate. Vom lua în considerare în continuare doar astfel de încercări independente în care evenimentul A are aceeași probabilitate.

Mai jos folosim conceptul complex evenimente, înțelegând prin ea combinație de mai multe evenimente separate, care sunt numite simplu .

Lasă-l să fie produs n studii independente, în fiecare din care eveniment A poate să apară sau nu. Să fim de acord să presupunem că probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare este aceeași, și anume, este egală cu R . Prin urmare, probabilitatea de neapariție a evenimentului A în fiecare încercare este, de asemenea, constantă și egală cu q = 1 - p .

Să ne punem sarcina de a calcula probabilitatea ca n teste, evenimentul A va avea loc exact k ori şi, prin urmare, nu se vor realiza n-k o singura data. Este important de subliniat că nu este necesar ca evenimentul A să se repete exact k ori într-o anumită succesiune.

De exemplu, dacă vorbim despre apariția unui eveniment A de trei ori în patru încercări, sunt posibile următoarele evenimente complexe: AAA, AAA, AAA, AAA. Înregistrare AAAînseamnă că în primul, al doilea și al treilea proces evenimentul A a venit, dar la a patra probă nu a apărut, adică. s-a întâmplat contrariul A; alte intrări au un sens corespunzător.

Indicați probabilitatea dorită R p (k) . De exemplu, simbolul R 5 (3) înseamnă probabilitatea ca în cinci încercări evenimentul să se producă exact de 3 ori și, prin urmare, să nu aibă loc de 2 ori.

Problema poate fi rezolvată folosind așa-numita formulă Bernoulli.

Derivarea formulei Bernoulli. Probabilitatea unui eveniment compus constând în faptul că în P eveniment de testare A va veni k o dată și nu va veni n - k ori, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente este egală cu p k q n - k . Pot exista atâtea evenimente complexe câte combinații există P elemente prin k elemente, adică C n k .

De la aceste evenimente complexe incompatibil, Acea conform teoremei de adunare a probabilităţilor de evenimente incompatibile probabilitatea dorită este egală cu suma probabilităților tuturor evenimentelor complexe posibile. Deoarece probabilitățile tuturor acestor evenimente complexe sunt aceleași, probabilitatea dorită (a apariției k orele evenimentului A V P teste) este egală cu probabilitatea unui eveniment complex, înmulțită cu numărul lor:

Formula rezultată se numește formula Bernoulli .

Exemplul 1. Probabilitatea ca consumul de energie electrică pe parcursul unei zile să nu depășească norma stabilită, este egal cu p = 0,75 . Aflați probabilitatea ca în următoarele 6 zile consumul de energie electrică pentru 4 zile să nu depășească norma.

Soluţie. Probabilitatea consumului normal de energie electrică în fiecare dintre cele 6 zile este constantă și egală cu p = 0,75 . Prin urmare, probabilitatea de supracheltuire a energiei electrice în fiecare zi este, de asemenea, constantă și egală cu q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.

Probabilitatea dorită conform formulei Bernoulli este egală cu:

formula Bernoulli- o formulă în teoria probabilității care vă permite să aflați probabilitatea ca un eveniment să se producă A (\displaystyle A)în teste independente. Formula Bernoulli vă permite să scăpați de un număr mare de calcule - adunarea și multiplicarea probabilităților - cu suficient în număr mare teste. Numit după remarcabilul matematician elvețian Jacob Bernoulli, care a derivat această formulă.

YouTube enciclopedic

1 / 3

✪ Teoria probabilității. 22. Formula Bernoulli. Rezolvarea problemelor

✪ Formula Bernoulli

✪ 20 de teste repetate Formula Bernoulli

Subtitrări

Cuvântare

Teorema. Dacă probabilitatea p (\displaystyle p) eveniment A (\displaystyle A) este constantă în fiecare încercare, apoi probabilitatea P k , n (\displaystyle P_(k,n)) că evenimentul A (\displaystyle A) vine exact k (\displaystyle k) odata n (\displaystyle n) teste independente este egal cu: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Unde q = 1 - p (\displaystyle q=1-p).

Dovada

Să se țină n (\displaystyle n) teste independente și se știe că în urma fiecărui test, un eveniment A (\displaystyle A) vine cu o probabilitate P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)și prin urmare nu are loc cu probabilitate P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Să fie, de asemenea, în cursul testelor de probabilitate p (\displaystyle p)Și q (\displaystyle q) ramane neschimbat. Care este probabilitatea ca ca urmare n (\displaystyle n) test independent, eveniment A (\displaystyle A) vine exact k (\displaystyle k) o singura data?

Se pare că este posibil să se calculeze cu exactitate numărul de combinații „reușite” de rezultate ale testului pentru care evenimentul A (\displaystyle A) vine k (\displaystyle k) odata n (\displaystyle n) studii independente, este exact numărul combinațiilor de n (\displaystyle n) De k (\displaystyle k) :

C n (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

În același timp, deoarece toate studiile sunt independente și rezultatele lor sunt incompatibile (eveniment A (\displaystyle A) fie apare, fie nu), atunci probabilitatea de a obține o combinație „reușită” este exact: .

În cele din urmă, pentru a găsi probabilitatea ca n (\displaystyle n) eveniment de testare independent A (\displaystyle A) vine exact k (\displaystyle k) ori, trebuie să adunați probabilitățile de a obține toate combinațiile „reușite”. Probabilitățile de a obține toate combinațiile „reușite” sunt aceleași și egale p k ⋅ q n - k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), numărul de combinații „reușite” este C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), așa că în sfârșit obținem:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 - p) n - k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Ultima expresie nu este altceva decât formula Bernoulli. De asemenea, este util să rețineți că, datorită completității grupului de evenimente, va fi adevărat:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).