Transformări afine pe plan. Probleme inverse ale transformărilor afine sau despre o formulă frumoasă Tipuri de transformări afine

06.08.2020 | Jurisprudenţă

Orice transformare afină complexă poate fi reprezentată ca o compoziție a mai multor transformări afine elementare. Analiza arată că în grafica 2D există patru transformări afine elementare - rotație, întindere, reflexie, translație.

Întoarce-te.

Luați în considerare rotația unui punct arbitrar Oîn jurul originii printr-un unghi (Fig. 6).

O transformare afină elementară este rotația cu un unghi .

Din geometrie analitică Se știe că rotația este descrisă prin următoarea transformare afină.

(5)

Este convenabil să combinați coordonatele unui punct sub forma unui vector bidimensional (coloană). Apoi trecerea punctului O până la poziția punctului O

(6)

În această notație, rotația poate fi exprimată ca o înmulțire matriceală.

(7)

Aici R– matrice de rotație (Rotation). Structura acestei matrice este obținută din ecuațiile (5).

(8)

Stretching-compresie, scalare.

Să luăm în considerare operația de întindere-comprimare de-a lungul axelor de coordonate cu coeficienți de întindere k 1 ,k 2. Această operație este adesea numită scalare.
.

De exemplu, să arătăm (Fig. 7) întinderea unui segment cu coeficienți de întindere egali cu
.

Transformare afină elementară - dilatare cu coeficienți

(9)

Întinderea este descrisă prin următoarea transformare afină.

(10)

Aici Transformarea (9) poate fi exprimată ca înmulțire matriceală. S

(11)

– matricea de scalare. Structura acestei matrice este obținută din ecuațiile (9).

Reflecţie. Să luăm în considerare operația de reflexie în raport cu axele de coordonate. De exemplu, să arătăm (Fig. 8) reflexia în raport cu axa.

Transformare afină elementară – reflexie în raport cu axa Ox.

(12)

Reflexia este descrisă de următoarea transformare afină.

(13)

Aici Transformarea (12) poate fi exprimată ca înmulțire matriceală. M

(14)

– matrice de reflexie (Mirror – mirror, reflection). Structura acestei matrice este obținută din ecuațiile (12). În mod similar, găsim matricea de reflexie în raport cu axa.

(15)

Transfer.
Luați în considerare operația de transfer la vectorul de translație

. Cu această operație, orice obiect se mișcă fără distorsiuni și orice parte rămâne paralelă cu sine. De exemplu, arătăm în Figura 9 transferul unui segment. Transformare afină elementară - transfer la vectorul de translație .

Transferul este descris prin următoarea transformare afină.

(16)

Am dori să exprimăm transformarea (16) sub formă de tip de multiplicare matriceală.

(17)

Aici T– trebuie să fie o matrice de traducere (Traducere – traducere, transfer). Cu toate acestea, este imposibil să construiți o matrice T dimensiunea 22, astfel încât ecuațiile (16) și (17) sunt satisfăcute simultan.

Și totuși, o astfel de matrice poate fi creată dacă luăm în considerare formal transformările 2D afine în spațiul tridimensional. Pentru a face acest lucru, trebuie să trecem la coordonate omogene.

Coordonate omogene.

Conceptul de coordonate omogene ne-a venit din geometria proiectivă. Lasă punctul O se află în plan și are coordonate ( Să luăm în considerare operația de reflexie în raport cu axele de coordonate. De exemplu, să arătăm (Fig. 8) reflexia în raport cu axa,În mod similar, găsim matricea de reflexie în raport cu axa). Apoi coordonate omogene acest punct este orice triplu de numere x 1 , x 2 , x 3 asociat cu numere date Să luăm în considerare operația de reflexie în raport cu axele de coordonate. De exemplu, să arătăm (Fig. 8) reflexia în raport cu axaŞi În mod similar, găsim matricea de reflexie în raport cu axa următoarele relații.

(18)

La rezolvarea problemelor de grafică pe computer, următoarele trei numere sunt de obicei alese ca coordonate omogene.

Astfel, într-un punct arbitrar O(Să luăm în considerare operația de reflexie în raport cu axele de coordonate. De exemplu, să arătăm (Fig. 8) reflexia în raport cu axa,În mod similar, găsim matricea de reflexie în raport cu axa) planului i se atribuie un punct O(Să luăm în considerare operația de reflexie în raport cu axele de coordonate. De exemplu, să arătăm (Fig. 8) reflexia în raport cu axa,În mod similar, găsim matricea de reflexie în raport cu axa, 1) în spațiu. În esență, luăm în considerare transformările afine în plan z= 1, așa cum se arată în Figura 10.

Transformare afină în coordonate omogene.

Coordonatele punctelor situate în plan z= 1 sunt combinate sub formă de vectori tridimensionali. Punct de tranziție O până la poziția punctului O* poate fi gândit ca o transformare vectorială.

(20)

În această notație, transformarea generală afină (1) poate fi exprimată ca o multiplicare matriceală.

(21)

Iată matricea P de dimensiunea 33 este matricea transformării afine generale (1) și are forma.

(22)

Să notăm un punct important , asociate cu coordonate omogene. Trecerea la vectori și matrice tridimensionale (20, 21, 22) ar putea fi realizată complet formal, fără a fi legată de spațiul tridimensional real (x,y,z). Această abordare permite introducerea de coordonate omogene pentru transformări afine 3D și efectuarea de înmulțiri de matrice în spațiu vectorial 4-dimensional.

Matricele de transformări afine elementare introduse anterior vor lua acum următoarea formă în coordonate omogene.

Matrice de rotație Rîn coordonate omogene va avea următoarea formă.

(23)

Stretch Matrix Transformarea (9) poate fi exprimată ca înmulțire matriceală. se va schimba după cum urmează.

(24)

Matrici de reflexie Transformarea (12) poate fi exprimată ca înmulțire matriceală. raportat la axele de coordonate va avea forma.

(25)

Matricea de transfer T a difuza vector în coordonate omogene va avea următoarea formă.

(26)

O transformare afină este una care păstrează paralelismul liniilor, dar nu neapărat unghiurile sau lungimile.
În grafica computerizată, tot ceea ce aparține cazului bidimensional este de obicei notat cu simbolul 2D (2-dimensiune). Să presupunem că un sistem de coordonate rectiliniu este introdus în plan. Apoi fiecărui punct M i se atribuie o pereche ordonată de numere (x, y) de coordonatele sale (Fig. 1).

Formulele de mai sus pot fi luate în considerare în două moduri: fie se păstrează punctul și se schimbă sistemul de coordonate, caz în care un punct arbitrar M rămâne același, doar coordonatele sale (x, y) (x*, y*) se modifică, fie punctul se modifică și sistemul de coordonate este păstrat în acest caz. În acest caz, formulele definesc o mapare care duce un punct arbitrar M(x, y) la un punct M*(x*, y*), ale cărui coordonate sunt definite în același sistem de coordonate. În viitor, vom interpreta formulele, de regulă, că punctele planului sunt transformate într-un sistem dat de coordonate rectilinii.
În transformările afine ale planului, un rol deosebit îl joacă câteva cazuri speciale importante care au caracteristici geometrice bine urmăribile. Când studiem semnificația geometrică a coeficienților numerici în formulele pentru aceste cazuri, este convenabil să presupunem că sistemul de coordonate dat este cartezian dreptunghiular.
Cele mai utilizate tehnici de grafică pe computer sunt: translația, scalarea, rotația, reflexia. Expresiile algebrice și figurile care explică aceste transformări sunt rezumate în Tabelul 1.

Transformări afine pe plan

Prin transfer înțelegem deplasarea primitivelor de ieșire la același vector.
Scalare înseamnă mărirea sau reducerea întregii imagini sau a unei părți a acesteia. La scalare, coordonatele punctelor imaginii sunt înmulțite cu un anumit număr.
Rotația se referă la rotația primitivelor de ieșire în jurul unei axe date. (În planul de desen, rotația are loc în jurul unui punct.)
Reflecția se referă la obținerea unei imagini în oglindă a unei imagini în raport cu una dintre axe (de exemplu, X).
Alegerea acestor patru cazuri speciale este determinată de două circumstanțe:
1. Fiecare dintre transformările de mai sus are o semnificație geometrică simplă și clară (numerele constante incluse în formulele de mai sus sunt și ele înzestrate cu sens geometric).
2. După cum se dovedește în cursul geometriei analitice, orice transformare a formei (*) poate fi întotdeauna reprezentată ca o execuție secvențială (suprapunere) a celor mai simple transformări ale formei A, B, C și D (sau părți ale acestora). transformări).
Astfel, următoarea proprietate importantă a transformărilor afine ale planului este adevărată: orice mapare de forma (*) poate fi descrisă folosind mapările specificate de formulele A, B, C și D.
Pentru a utiliza eficient aceste formule binecunoscute în probleme de grafică pe computer, notația lor matriceală este mai convenabilă.
Pentru a combina aceste transformări se introduc coordonate omogene. Coordonatele omogene ale unui punct sunt orice triplu de numere simultan nenule x1, x2, x3, legate de numerele date x și y prin următoarele relații:

Atunci punctul M(x, y) se scrie ca M(hX, hY, h), unde h 0 este factorul de scară. Coordonatele carteziene bidimensionale pot fi găsite ca

În geometria proiectivă, aceste coordonate sunt introduse pentru a elimina incertitudinile care apar la specificarea elementelor infinit îndepărtate (improprii). Coordonatele omogene pot fi interpretate ca o încorporare a unui plan scalat de un factor h în planul Z=h în spațiul tridimensional.
Punctele în coordonate omogene sunt scrise în vectori rând cu trei elemente. Matricele de transformare trebuie să aibă dimensiunea de 3x3.
Folosind triple de coordonate omogene și matrice de ordinul trei, poate fi descrisă orice transformare afină a unui plan.
De fapt, presupunând h = 1, să comparăm două intrări: cea marcată cu simbolul (*) și următoarea matrice:

Acum puteți utiliza compoziții de transformări, folosind o rezultantă în loc de o serie de transformări care se succed. Puteți, de exemplu, să împărțiți o problemă complexă într-un număr de probleme simple. Rotirea punctului A în jurul unui punct arbitrar B poate fi împărțită în trei sarcini:
transfer, în care B = 0 (unde 0 este originea);
întoarce;
transfer invers, în care punctul B revine la locul său etc.
Cea mai generală compoziție a operațiilor T, D, R, M are matricea:

Partea superioară 2x2 în dimensiune - o matrice combinată de rotație și scalare, iar tx și ty descriu translația totală.
Transformările fundamentale prezentate sunt următoarele:
defilare mutarea unei ferestre pe suprafața de randare (dacă mișcarea este limitată doar la direcții în sus și în jos, atunci se numește defilare verticală);

zoom schimbarea treptată a scalei imaginii;
tumbă o imagine dinamică a primitivelor de ieșire care se rotesc în jurul unei anumite axe, a cărei orientare se modifică continuu în spațiu;
pan transferul gradual al unei imagini pentru a crea un sentiment vizual de mișcare.

UDC 004.932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

Instituția de învățământ bugetar de stat federal de învățământ profesional superior „Universitatea Aerospațială de Stat Samara numită după Ak. S.P. Korolev (universitate națională de cercetare)”, Samara, Rusia

TRANSFORMĂRI AFINE ALE OBIECTELOR ÎN GRAFICA CALCULATORULUI

Una dintre sarcinile tipice care trebuie rezolvată folosind grafica raster este transformarea atât a întregii imagini ca întreg, cât și a fragmentelor sale individuale, cum ar fi deplasarea, rotirea în jurul unui anumit centru, schimbarea dimensiunilor liniare etc.

Această problemă este rezolvată folosind transformări afine.

Transformările afine pot fi foarte utile în următoarele situații:

1. Să compună o imagine plată sau o scenă tridimensională prin aranjarea elementelor de același tip, prin copierea, transformarea și mutarea acestora în locuri diferite din imagine. De exemplu, pentru a crea obiecte simetrice, cum ar fi un fulg de zăpadă. Puteți dezvolta un motiv și apoi creați o imagine a întregului obiect prin reflectarea, rotirea și mișcarea acestui motiv.

2. Pentru a vizualiza obiecte tridimensionale din diferite puncte de vedere. În acest caz, puteți fixa poziția camerei și roti scena sau invers, lăsați scena nemișcată și mișcați camera în jurul ei. Astfel de manipulări pot fi efectuate folosind transformări afine tridimensionale.

3. Pentru a proiecta obiecte tridimensionale pe un plan și a afișa scena într-o fereastră. Deci, de exemplu, pentru proiecția axonometrică, se folosește o secvență de două rotații ale planului de proiecție, iar pentru afișarea într-o fereastră se folosește o combinație de scalare și translație.

Transformări afine pe planul în vedere generală sunt descrise prin următoarele formule:

J X = Ax + By + C, . Programul vă permite să automatizați procesul de compunere a sarcinilor de testare.

LITERATURĂ

1. Porev V.N. Grafică pe computer. - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2002. - 432 p. : bolnav.

2. Dealul F. Open GL. Programare grafica pe computer. Pentru profesionisti. - Sankt Petersburg: Peter,

2002. - 1088 p.: ill. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Dezvoltarea sistemului învăţământ la distanţă pentru cursul „Computer Graphics” folosind Moodle: Proceedings of the international symposium Reliability and quality. 2010. T. I. P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Certificare material pedagogic de măsurare pentru cursul „Grafică pe calculator” // Fiabilitate și calitate 2008. Proceedings of the international. simpozion. Penza, 2008, p. 162-163.

5. Kudrina M.A. Utilizarea materialelor de certificare și măsurare pedagogică pentru curs

„Grafica pe computer” în procesul educațional”//Educație - investiții în succes: Materiale științifice -

Mai jos $f$ denotă o transformare afină scrisă în sistemul de coordonate carteziene $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)$ prin formule
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( ref1)
$$
dat fiind
$$
\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) și b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Să considerăm o dreaptă pe plan cu ecuația $\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t$ și să găsim imaginea acesteia sub transformarea $f$. (Imaginea unei linii este înțeleasă ca mulțime de imagini ale punctelor sale.) Vectorul rază al imaginii $M^(*)$ a unui punct arbitrar $M$ poate fi calculat după cum urmează:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\nonumber
$$

Aici $\boldsymbol(c)$ este un vector constant $\overrightarrow(Of)(O)$, iar $\boldsymbol(r)$ este vectorul rază al punctului $M$. Conform (11) §2 obţinem
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Deoarece $f$ este o transformare afină și $\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)$, atunci $\boldsymbol(a)$ va intra în vectorul $f(\boldsymbol( a) ) \neq 0$, iar ecuația \eqref(ref3) este ecuația unei drepte. Deci, imaginile tuturor punctelor dreptei $\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t$ se află pe linia \eqref(ref3).

Mai mult decât atât, transformarea $f$ determină o mapare unu-la-unu a unei linii la alta, deoarece cu alegerea punctelor inițiale și a vectorilor de direcție făcută aici, punctul $M^(*)$ are același valoarea pe linia \eqref(ref3) parametrul $t$, la fel ca punctul $M$ de pe linia originală. De aici obținem prima declarație.

Afirmația 1.

Cu o transformare afină:

o linie dreaptă se transformă într-o linie dreaptă;
un segment intră într-un segment;
liniile paralele devin paralele.

Dovada.

Pentru a demonstra a doua afirmație, este suficient să rețineți că un segment de linie dreaptă este format din puncte pentru care valorile parametrilor satisfac o inegalitate de forma $t_(1) \leq t \leq t_(2)$ a treia afirmație decurge din faptul că în cadrul unei transformări afine vectorii -th coliniari devin coliniari.

Afirmația 2.

În timpul unei transformări afine, raportul dintre lungimile segmentelor paralele nu se modifică.

Dovada.

Fie segmentele $AB$ și $CD$ paralele. Aceasta înseamnă că există un număr $\lambda$ astfel încât $\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)$. Imaginile vectorilor $\overrightarrow(AB)$ și $\overrightarrow(CD)$ sunt legate de aceeași dependență $\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ săgeată la dreapta(C^( *)D^(*))$. De aici rezultă că
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\lambda|.\nonumber
$$

Consecinţă.

Dacă un punct $C$ împarte segmentul $AB$ într-o relație $\lambda$, atunci imaginea sa $C^(*)$ împarte imaginea $A^(*)B^ (*) $ segment $AB$ în aceeași relație $\lambda$.

Schimbarea zonelor în timpul transformării afine.

Mai întâi, să aruncăm o privire. Să alegem un sistem de coordonate carteziene general $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)$ și îl notăm cu $(p_(1), p_(2)) $ și \ ((q_(1), q_(2))\) componente ale vectorilor $\boldsymbol(p)$ și $\boldsymbol(q)$ pe care este construit. Putem calcula aria unui paralelogram folosind:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$

Fie ca transformarea afină $f$ să fie scrisă în sistemul de coordonate ales prin formulele \eqref(ref1). Din ceea ce s-a dovedit anterior rezultă că vectorii $f(\boldsymbol(p))$ și $f(\boldsymbol(q))$ au $f(\boldsymbol(e)_(1)) în baza lor, f(\boldsymbol(e)_(2))$ aceleași componente $(p_(1), p_(2))$ și $(q_(1), q_(2)) $ că și vectorii $\boldsymbol(p)$ și $\boldsymbol(q)$ din baza $\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\ ). Imaginea paralelogramului este construită pe vectorii \(f(\boldsymbol(p))$ și $f(\boldsymbol(q))$, iar aria sa este egală cu
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\nonnumber
$$

Să calculăm ultimul factor. După cum știm din ceea ce sa dovedit deja, coordonatele vectorilor $f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))$ sunt egale, respectiv, \ ((a_(1), a_( 2))\) și $(b_(1), b_(2))$. Prin urmare, $S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))$ și
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$
De aici vedem asta
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) și b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Astfel, raportul dintre aria imaginii unui paralelogram orientat și aria acestui paralelogram este același pentru toate paralelogramele și este egal cu $a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)$.

Rezultă că acest determinant nu depinde de alegerea sistemului de coordonate în care este scrisă transformarea, deși se calculează din coeficienți care depind de sistemul de coordonate. Această mărime este un invariant care exprimă proprietatea geometrică a transformării.

Din formula \eqref(ref4) este clar că raportul dintre aria imaginii unui paralelogram neorientat și aria sa este egal cu
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

Dacă $a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0$, atunci orientările tuturor paralelogramelor orientate sunt păstrate în timpul transformării și dacă $a_(1)b_(2) -a_(2 )b_(1)< 0$, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Să ne ocupăm acum de domeniile altor figuri. Fiecare triunghi poate fi extins pentru a forma un paralelogram a cărui aria este de două ori mai mare decât aria triunghiului. Prin urmare, raportul dintre aria imaginii unui triunghi și aria acestui triunghi satisface egalitatea \eqref(ref5).

Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri. Prin urmare, formula \eqref(ref5) este valabilă și pentru poligoane arbitrare.

Nu ne vom referi aici la determinarea ariei unei figuri curbilinii arbitrare. Vom spune doar că în acele cazuri când această zonă este definită, ea este egală cu limita ariilor unei anumite secvențe de poligoane înscrise în figura luată în considerare. Din teoria limitelor se cunoaște următoarea presupunere: dacă șirul $S_(n)$ tinde spre limită $S$, atunci șirul $\delta S_(n)$, unde $\ delta$ este constantă, tinde să limiteze $\delta S$. Pe baza acestei propuneri, concluzionăm că formula \eqref(ref5) este valabilă în cazul cel mai general.

De exemplu, să găsim expresia pentru aria unei elipse în termenii semi-axelor sale. Mai devreme am observat că o elipsă cu semiaxele $a$ și $b$ poate fi obținută prin comprimarea unui cerc cu raza $a$ la o dreaptă care trece prin centrul său. Raportul de compresie este $b/a$. Într-una dintre ele am primit o înregistrare de coordonate a compresiei la linia dreaptă $x^(*)=x$, $y^(*)=\lambda y$. Determinantul coeficienților din aceste formule este egal cu $\lambda$, adică în cazul nostru $b/a$. Astfel, raportul dintre aria elipsei și aria cercului este $b/a$, iar această zonă este \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). În sfârșit avem
$$
S=\pi ab.\nonnumber
$$

Imagini ale liniilor de ordinul doi.

Am văzut că o linie dreaptă se transformă într-o linie dreaptă. Acesta este un caz special al următoarei afirmații.

Afirmația 3.

O transformare afină transformă o linie algebrică într-o linie algebrică de același ordin.

Dovada.

De fapt, fie linia $L$ din sistemul de coordonate cartezian $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)$ are o ecuație algebrică de ordinul $p $. Știm deja că imaginile tuturor punctelor dreptei $L$ sub transformarea afină $f$ au în sistemul de coordonate $f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol(e)_(2))$ sunt aceleași coordonate ca și imaginile lor inverse în sistemul de coordonate $O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2) $. În consecință, coordonatele imaginilor din sistem $f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))$ sunt legate prin același ecuație algebrică comanda $p$. Este suficient pentru a trage concluzia de care avem nevoie.

Din afirmația dovedită mai sus, în special, rezultă că o linie de ordinul doi sub o transformare afină se va transforma într-o linie de ordinul doi. Vom dovedi o afirmație mai puternică. După cum știm deja, liniile de ordinul doi pot fi împărțite în . Vom vedea că clasa liniei este păstrată sub transformarea afină. Pe această bază, clasele de linii enumerate în teorema menționată sunt numite clase afine. Deci, să demonstrăm o nouă afirmație.

Afirmația 4.

O linie de ordinul doi aparținând uneia dintre clasele afine se poate transforma doar într-o linie a aceleiași clase în cadrul oricărei transformări afine. Fiecare linie de ordinul doi poate fi transformată printr-o transformare afină adecvată în orice altă linie din aceeași clasă afină.

Dovada.

Vom numi o dreaptă mărginită dacă se află în interiorul unui paralelogram. Este ușor de observat că, cu o transformare afină, o linie mărginită trebuie să devină mărginită, iar o linie nemărginită trebuie să devină nemărginită.

O elipsă este o linie de ordinul doi mărginită. Pe lângă elipse, sunt limitate doar liniile formate dintr-un punct, adică o pereche de linii imaginare care se intersectează. Deoarece o elipsă este limitată și constă din mai mult de un punct, se poate transforma doar într-o elipsă.
Hiperbola are două ramuri separate. Această proprietate poate fi formulată în așa fel încât invarianța ei în cadrul transformărilor afine să fie clară. Și anume, există o linie dreaptă care nu intersectează o hiperbolă, ci intersectează unele dintre acordurile acesteia Dintre toate liniile de ordinul doi, numai hiperbolele și perechile de linii paralele au această proprietate. Ramurile unei hiperbole nu sunt linii drepte și, prin urmare, sub o transformare afină, se poate transforma doar într-o hiperbolă.
O parabolă este o linie nelimitată de ordinul doi, constând dintr-o bucată nerectilinie. Nicio altă linie de ordinul doi nu are această proprietate și, prin urmare, o parabolă se poate transforma doar într-o parabolă.
Dacă o linie de ordinul doi reprezintă un punct (o pereche de drepte care se intersectează imaginare), o linie (o pereche de drepte care coincid), o pereche de drepte care se intersectează sau o pereche de drepte paralele, atunci din proprietățile demonstrate anterior ale transformărilor afine rezultă că această linie nu se poate transforma într-o linie de altă clasă.

Să demonstrăm a doua parte a propoziției. În ceea ce am demonstrat deja ecuații canonice linii de ordinul doi sunt scrise într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și conțin parametrii $a, b, …$ Dacă renunțăm la ortonormalitatea bazei, putem face și mai multe simplificări ale ecuațiilor canonice și le putem aduce la o formă care nu contine parametri. De exemplu, înlocuind coordonatele $x'=x/a$, $y'=y/b$ transformă ecuația elipsei $x^(2)a^(2)+y^(2)b ^(2 )=1$ în ecuația $x'^(2)+y'^(2)=1$, oricare ar fi $a$ și $b$. (Ultima ecuație nu este o ecuație a unui cerc, deoarece sistem nou coordonatele nu sunt dreptunghiulare carteziene.)

Cititorul poate arăta cu ușurință că ecuațiile canonice ale liniilor de ordinul doi pot fi transformate în următoarele ecuații prin trecerea la un sistem de coordonate adecvat:

$x^(2)+y^(2)=1$;
$x^(2)+y^(2)=0$;
$x^(2)-y^(2)=1$;
$x^(2)-y^(2)=0$;
$y^(2)=2x$;
$y^(2)-1=0$;
$y^(2)=0$.

Vom numi un astfel de sistem de coordonate un sistem de coordonate canonic afin.

Rezultă de mai devreme că o transformare afină care combină sistemele de coordonate canonice afine a două linii din aceeași clasă afină combină și aceste linii. Aceasta completează dovada.

Descompunerea transformării ortogonale.

Teorema 1.

Fiecare transformare ortogonală este descompusă într-un produs de translație paralelă, rotație și, eventual, simetrie axială.

Dovada.

Fie $f$ o transformare ortogonală și $\vartriangle ABC$ o isoscelă triunghi dreptunghic cu unghi drept $A$. La transformarea $f$, se va transforma într-un triunghi egal $\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)$ cu un unghi drept la vârful $A^(*) $. Teorema se va dovedi dacă, efectuând translația paralelă secvenţială $p$, rotația $q$ și (dacă este necesar) simetria axială $r$, putem combina triunghiurile $ABC$ și $ A^ (*)B^(*)C^(*)$. Într-adevăr, produsul $rqp$ este o transformare afină la fel ca $f$, iar o transformare afină este determinată în mod unic de imaginile a trei puncte care nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, $rqp$ coincide cu $f$.

Deci, să transferăm $A$ și $A^(*)$ prin transfer paralel $p$ la vectorul $\overrightarrow(AA^(*))$ (dacă $A=A) ^(* )$, atunci $p$ este transformarea identităţii). Apoi, prin rotirea $q$ în jurul punctului $A^(*)$, $p(B)$ este compatibil cu $B^(*)$ (poate că această transformare va fi, de asemenea, identică ). Punctul $q(p(C))$ fie coincide cu $C^(*)$, fie este simetric cu acesta în raport cu dreapta \(A^(*)B^(*)\ ). În primul caz, obiectivul a fost deja atins, iar în al doilea, va fi necesară simetria axială față de linia dreaptă specificată. Teorema a fost demonstrată.

Trebuie avut în vedere faptul că expansiunea rezultată a transformării ortogonale nu este unică. Mai mult, o rotație sau o translație paralelă poate fi descompusă într-un produs al simetriilor axiale, produsul translației și rotației paralele poate fi reprezentat ca o singură rotație și așa mai departe. Nu vom specifica cum să facem acest lucru, dar vom clarifica următoarea proprietate generală a tuturor acestor extinderi.

Afirmația 5.

Pentru orice extindere a unei transformări ortogonale în produsul oricărui număr de translații paralele, rotații și simetrii axiale, paritatea numărului de simetrii axiale incluse în expansiune este aceeași.

Dovada.

Pentru a dovedi, luați în considerare în avion baza arbitrarăși urmăriți schimbarea orientării sale (direcția celei mai scurte rotații de la $\boldsymbol(e)_(1)$ la $\boldsymbol(e)_(2)$) în timpul transformărilor efectuate. Rețineți că rotația și translația paralelă nu schimbă orientarea niciunei baze, dar simetria axială modifică orientarea oricărei baze. Prin urmare, dacă o anumită transformare ortogonală schimbă orientarea bazei, atunci orice extindere a acesteia trebuie să includă un număr impar de simetrii axiale. Dacă orientarea bazei nu se schimbă, atunci numărul de simetrii axiale incluse în expansiune poate fi doar par.

Definiţie.

Se numesc transformări ortogonale care pot fi descompuse în produsul translației și rotației paralele transformări ortogonale de primul fel , iar restul - transformări ortogonale de al doilea fel .

O transformare ortogonală într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular se scrie:
$$
\begin(array)(cc)

\end(matrice).\nonnumber
$$
Cu semnele superioare ale coeficienților $y$ din aceste formule, determinantul compus din coeficienți este egal cu +1, iar cu semnele inferioare este egal cu -1. De aici și din formula \eqref(ref4) urmează următoarea afirmație.

Afirmația 6.

O transformare ortogonală de primul fel este scrisă într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian prin formule
$$
\begin(array)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\end(matrice).\nonnumber
$$
cu semne superioare pentru coeficienții lui $y$, și o transformare ortogonală de al doilea fel - cu semne inferioare.

Descompunerea unei transformări afine.

Am văzut cât de mult poate schimba un plan o transformare afină: un cerc se poate transforma într-o elipsă, un triunghi regulat într-unul complet arbitrar. S-ar părea că niciun unghi nu poate fi păstrat. Cu toate acestea, următoarea afirmație este valabilă

Afirmația 7.

Pentru fiecare transformare afină, există două drepte reciproc perpendiculare care se transformă în linii reciproc perpendiculare.

Dovada.

Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare un cerc. Cu această transformare afină se va transforma într-o elipsă. Fiecare axă de elipsă este setul de puncte medii ale coardelor paralele cu cealaltă axă. În timpul unei transformări afine, coarda se va transforma într-o coardă, paralelismul trebuie păstrat, iar punctul de mijloc al segmentului se va transforma în punctul de mijloc al imaginii sale. Prin urmare, prototipurile axelor elipsei sunt segmente care au aceeași proprietate: fiecare dintre ele este mulțimea punctelor mijlocii ale coardelor unui cerc paralel cu un alt segment. Astfel de segmente sunt cu siguranță două diametre reciproc perpendiculare ale cercului. Acesta este ceea ce aveam nevoie: există două diametre reciproc perpendiculare ale cercului, care se transformă în segmente reciproc perpendiculare - axele elipsei.

Este demn de remarcat un caz special: un cerc sub o transformare afină se poate transforma într-un cerc. În acest caz, același raționament se aplică oricăror două diametre reciproc perpendiculare ale imaginii-cercului. Evident, în acest caz, oricare două direcții reciproc perpendiculare rămân perpendiculare.

Definiţie.

Două direcții reciproc perpendiculare se numesc direcții principale sau singulare ale unei transformări afine $f$ dacă se transformă în direcții reciproc perpendiculare.

Teorema 2.

Fiecare transformare afină este descompusă în produsul unei transformări ortogonale și două compresii la două drepte reciproc perpendiculare.

Dovada.

Dovada este similară cu dovada. Luați în considerare transformarea afină $f$ și alegeți un triunghi dreptunghic isoscel $ABC$ astfel încât catetele lui $AB$ și $AC$ să fie îndreptate de-a lungul direcțiilor principale ale transformării $f$. Să notăm cu $A^(*)$, $B^(*)$ și $C^(*)$ imaginile vârfurilor sale. Să facem o transformare ortogonală $g$ astfel încât $g(A)=A^(*)$, și, respectiv, punctele $g(B)$ și $g(C)$ să fie situate pe razele $A^(*)B^(*)$ şi $A^(*)C^(*)$. (Acest lucru poate fi realizat cu ușurință, ca în teorema 1, prin translație paralelă, rotație și simetrie axială.)

Fie $\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|$, a $\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|$. Atunci contracția lui $p_(1)$ la dreapta $A^(*)C^(*)$ în relația $\lambda$ va transforma $g(B)$ în \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) și nu va deplasa punctele $A^(*)$ și $g(C)$. În mod similar, contractarea $p_(2)$ la linia $A^(*)B^(*)$ va transforma $g(C)$ în $p_(2)g(C)= C^ (*)$ și nu va deplasa punctele dreptei $A^(*)B^(*)$.

Aceasta înseamnă că produsul $p_(2)p_(1)g$ duce punctele $A$, $B$ și $C$ la punctele $A^(*)$ , \ (B^(*)\) și $C^(*)$ precum și transformarea $f$ dată nouă. Conform celor dovedite anterior, avem $p_(2)p_(1)g=f$, după cum este necesar.

Capitolul I. Conceptul de transformare geometrică

1.1 Ce este o transformare geometrică?

Simetria axială, simetria centrală, rotația, translația paralelă, homotezia au acest lucru în comun că toate „transformă” fiecare figură F într-o nouă figură F1. Prin urmare, se numesc transformări geometrice.

În general, o transformare geometrică este orice regulă care permite fiecărui punct A din plan să indice un nou punct A, la care punctul A este transferat prin transformarea în cauză Dacă pe plan este dată orice cifră F, atunci mulțimea dintre toate punctele la care liniile fine ale figurii F merg transformarea luată în considerare, reprezintă o nouă figură F. În acest caz, spunem că F" se obține din F folosind transformarea luată în considerare.

Exemplu. Simetria cu privire la dreapta l este o transformare geometrică. Regula care vă permite să găsiți punctul corespunzător A" dintr-un punct A" în acest caz este următoarea: din punctul A o perpendiculară AP se coboară pe o dreaptă l și pe prelungirea ei dincolo de punctul P segmentul RA" = AP este concediat.

Adăugarea transformărilor geometrice

Să presupunem că luăm în considerare două transformări geometrice, dintre care una o numim „prima” și cealaltă „a doua”. Să luăm un punct arbitrar A pe plan și să notăm cu A" punctul către care A merge în timpul primei transformări. La rândul său, punctul A" este transferat prin a doua transformare la un nou punct A. Cu alte cuvinte, punctul A" se obține din punctul A utilizând aplicarea secvențială a două transformări - mai întâi prima și apoi a doua.

Rezultatul executării secvențiale a celor două transformări luate este, de asemenea, o transformare geometrică: se duce de la punctul A la punctul A." Această transformare „rezultă” se numește suma primei și a doua transformări luate în considerare.

Să fie dată în plan o figură F. Prima transformare o transformă într-o figură F". A doua transformare transformă această figură F" într-o nouă figură F". Suma primei și celei de-a doua transformări transformă imediat figura F în figura F."

Exemplu. Fie ca prima transformare să reprezinte simetria față de punctul O1, iar a doua transformare să reprezinte simetria față de un alt punct O2. Să găsim suma acestor două transformări.

Fie A un punct arbitrar pe plan. Să presupunem mai întâi că punctul A nu se află pe dreapta O1O2. Să notăm cu A" punctul punct simetric A relativ la O1 și prin A" - un punct simetric față de punctul A" relativ la O2. Deoarece O1O2 este linia de mijloc a triunghiului AA"A"", atunci segmentul AA" este paralel cu segmentul O1O2 și are o lungime de două ori mai mare. Direcția de la punctul A la punctul A" coincide cu direcția de la punctul

O1 până la punctul O2. Să notăm acum cu MN un vector astfel încât segmentele MN și O1 O2 sunt paralele, segmentul MN este de două ori mai lung decât segmentul O1O2, iar razele MN și O1O2 au aceeași direcție. Atunci AA" = MN, adică punctul A" se obține din punctul A prin transfer paralel la vectorul MN.

Același lucru este valabil și pentru un punct situat pe dreapta O1O2.

În final, obținem: suma simetriei în jurul punctului O1 și a simetriei în jurul punctului O2 reprezintă o translație paralelă.

1.2 Mișcări

Simetria axială, rotația (în special simetria centrală) și translația paralelă au în comun faptul că fiecare dintre aceste transformări transformă orice figură F din plan într-o figură egală F". Transformările care au această proprietate se numesc mișcări. Omoteția este un exemplu de o transformare, care nu este o mișcare. Într-adevăr, fiecare mișcare transformă orice figură într-o figură egală, adică schimbă doar poziția figurilor pe plan, de asemenea, modifică și dimensiunile figurilor.

Rolul mișcărilor în geometrie

Mișcările joacă un rol important în geometrie rol important. Ele nu schimbă nici forma, nici dimensiunea figurilor, schimbând doar locația figurii. Dar figurile care diferă doar prin localizarea lor pe plan sunt complet identice din punct de vedere al geometriei. De aceea, ele sunt numite „figuri egale” în geometrie. Nicio proprietate figură geometrică nu diferă de proprietatea corespunzătoare a unei figuri egale. Deci, de exemplu, triunghiurile egale au nu numai laturi identice, ci și unghiuri identice, mediane, bisectoare, arii, raze de cerc înscrise și circumscrise și așa mai departe.

În lecțiile de geometrie, am considerat întotdeauna figurile egale (adică cele care pot fi combinate prin mișcare) ca fiind aceleași sau nedistinse. Astfel de cifre sunt adesea confundate cu aceeași cifră. De aceea putem spune că, de exemplu, problema construcției unui triunghi folosind două laturi a, b și unghiul C dintre ele are o singură soluție. De fapt, desigur, puteți găsi un număr infinit de triunghiuri cu laturile date a și b și un unghi C de o dimensiune dată între ele. Cu toate acestea, toate aceste triunghiuri sunt la fel, egale, deci pot fi luate ca „un singur” triunghi.

Astfel, geometria studiază acele proprietăți ale figurilor care sunt aceleași pentru figuri egale. Astfel de proprietăți pot fi numite „proprietăți geometrice”. Cu alte cuvinte: geometria studiază proprietățile figurilor care nu depind de locația lor. Însă figurile care diferă doar prin locație (cifre egale) sunt cele care pot fi combinate prin mișcare. Așadar, ajungem la următoarea definiție a subiectului geometriei; geometria studiază acele proprietăți ale figurilor care se păstrează în timpul mișcărilor.

Mișcări în geometrie și fizică

Deci, conceptul de mișcare joacă un rol primordial în geometrie. Mișcările („suprapunerea”) au fost folosite în gradul VI pentru a determina cifre egale, pentru a demonstra semnele egalității triunghiurilor; conceptul de mișcare, așa cum am văzut mai sus, ne permite de asemenea să oferim o descriere a subiectului geometriei.

Între timp, există un decalaj în definițiile conceptului de egalitate a figurilor și a conceptului de mișcare. De fapt, cifrele egale au fost definite (în gradul VI) ca acele figuri care pot fi combinate prin suprapunere (adică mișcare). Mișcările au fost definite mai sus ca astfel de transformări care transformă două poligoane F1 și F astfel încât să existe un poligon F" omotetic cu F și egal cu F1, atunci unghiurile poligonului F sunt, respectiv, egale cu unghiurile poligonului F" și laturile poligonului F sunt, respectiv, proporționale cu laturile poligonului F". Dar poligonul F are aceleași unghiuri și laturi ca și poligonul său egal F1. Prin urmare, poligoanele F1 și F sunt similare în sensul în care acesta a fost înțeles la cursul de geometrie clasa a VIII-a.

Dimpotrivă, fie poligoanele F1 și F astfel încât unghiurile lor să fie, respectiv, egale și, respectiv, laturile lor proporționale. Raportul dintre laturile poligonului F1 și laturile corespunzătoare ale poligonului F va fi notat cu k. În continuare, să notăm cu F" poligonul obținut din F printr-o homoteție cu coeficient k (și orice centru de homotezie. În acest caz, în virtutea teoremei, poligoanele F" și F1 vor avea laturile și, respectiv, unghiurile egale, adică, aceste poligoane vor fi egale. Prin urmare, poligoanele F1 și F vor fi similare în sensul definiției de similitudine dată aici.

Capitolul II. Transformări afine

2.1 Transformări afine ale planului

O transformare afină α este o transformare a planului care transformă fiecare linie într-o dreaptă și păstrează relația în care un punct împarte un segment.

În Fig. 1: L"= α(L), A"=α(A), B"=α(B), C"=α(C),

Transformările - mișcarea și asemănarea - sunt cazuri speciale de cele afine, deoarece, datorită proprietăților mișcării și asemănării, toate cerințele pentru definirea transformărilor afine sunt îndeplinite pentru acestea.

Să dăm un exemplu de transformare afină care nu este reductibilă la cele considerate anterior. În acest scop, luăm în considerare mai întâi proiecția paralelă a unui plan pe un plan.

Să fie date planele: w și w1, o linie dreaptă l (direcția de proiectare), care nu este paralelă cu niciunul dintre aceste plane (Fig. 2). Punctul Aєw se numește proiecția punctului A1єw1, dacă AA1||l, atunci linia AA1 se numește linie proiectantă. Proiectarea paralelă este o mapare a planului w1 pe w.

Să notăm următoarele proprietăți ale proiectării paralele.

1) Imaginea oricărei linii a1 este o linie dreaptă.

De fapt, dreptele care proiectează puncte ale dreptei a1 formează un plan (trece prin a1 paralel cu l), care, la intersectarea cu w, dă imaginea dreptei a1 - dreapta a (Fig. 2).

2) Se păstrează relația în care punctul desparte segmentul, i.e.

(Fig.2)

Rezultă imediat din teorema despre intersecția laturilor unui unghi prin drepte paralele.

Să trecem direct la construirea unui exemplu de transformare afină.

Să luăm două copii ale planului w și să mutăm una dintre ele în altă poziție w1 (Fig. 3). Noua poziție a oricărui punct Аєw va fi notată cu А1єw1. Acum proiectăm planul w1 într-o anumită poziție pe w și notăm proiecția punctului A1 cu A."

Rezultatul este o transformare a planului w în sine, în care

. Datorită proprietăților simetrice ale proiecției paralele, pentru această transformare sunt îndeplinite ambele cerințe ale unei anumite transformări afine, prin urmare, transformarea construită acum este perspectivă-afină.