Triunghi dreptunghic este un triunghi în care unul dintre unghiuri este drept, adică egal cu 90 de grade.

• Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. c sau AB)
• Latura adiacentă unghiului drept se numește picior. Fiecare triunghi dreptunghic are două catete (indicate ca Ași b sau AC și BC)

Formule și proprietăți ale unui triunghi dreptunghic

Denumirile formulei:

(vezi poza de mai sus)

a, b- catetele unui triunghi dreptunghic

c- ipotenuza

α, β - unghiurile ascuțite ale unui triunghi

S- pătrat

h- înălțime coborâtă de sus unghi drept la ipotenuză

m a A din coltul opus ( α )

m b- mediana trasă în lateral b din coltul opus ( β )

mc- mediana trasă în lateral c din coltul opus ( γ )

ÎN triunghi dreptunghic oricare catete este mai mic decat ipotenuza(Formula 1 și 2). Această proprietate este o consecință a teoremei lui Pitagora.

Cosinusul oricărui unghi ascuțit mai puțin de unu (Formula 3 și 4). Această proprietate urmează de la precedenta. Deoarece oricare dintre catete este mai mic decât ipotenuză, raportul dintre catete și ipotenuză este întotdeauna mai mic de unu.

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor (teorema lui Pitagora). (Formula 5). Această proprietate este utilizată în mod constant în rezolvarea problemelor.

Aria unui triunghi dreptunghic egal cu jumătate din produsul picioarelor (Formula 6)

Suma medianelor pătrate la catete este egal cu cinci pătrate ale medianei ipotenuzei și cinci pătrate ale ipotenuzei împărțite la patru (Formula 7). Pe lângă cele de mai sus, există Încă 5 formule, așa că este recomandat să vă familiarizați și cu lecția „ Mediana unui triunghi dreptunghic”, care descrie mai detaliat proprietățile medianei.

Înălţime a unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză (Formula 8)

Pătratele catetelor sunt invers proporționale cu pătratul înălțimii coborâte la ipotenuză (Formula 9). Această identitate este și una dintre consecințele teoremei lui Pitagora.

Lungimea ipotenuzei egal cu diametrul (două raze) cercului circumscris (Formula 10). Hipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului circumscris. Această proprietate este adesea folosită în rezolvarea problemelor.

Raza înscrisă V triunghi dreptunghic cercuri poate fi găsită ca jumătate din expresia, care include suma catetelor acestui triunghi minus lungimea ipotenuzei. Sau ca produsul catetelor împărțit la suma tuturor laturilor (perimetrului) unui triunghi dat. (Formula 11)
Sinusul unui unghi opus acest colt picior la ipotenuză(prin definiția unui sinus). (Formula 12). Această proprietate este utilizată la rezolvarea problemelor. Cunoscând dimensiunile laturilor, puteți găsi unghiul pe care îl formează.

Cosinusul unghiului A (α, alfa) dintr-un triunghi dreptunghic va fi egal cu relație adiacent acest colt picior la ipotenuză(prin definiția unui sinus). (Formula 13)

Nivel mediu

Triunghi dreptunghic. Ghid ilustrat complet (2019)

TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.

În probleme, un unghi drept nu este deloc necesar - cel din stânga jos, așa că trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in asa ceva

si in asa ceva

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, există nume deosebite frumoase pentru petrecerile lui.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: catete - două, iar ipotenuza - doar una(singura, unică și cea mai lungă)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru la ea este că este simplă.

Asa de, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm acești pantaloni foarte pitagoreici și să ne uităm la ei.

Chiar arată ca niște pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă suprafata de patrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata construit pe ipotenuză.

Nu sună puțin diferit, nu-i așa? Și așa, atunci când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a inventat această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în vremurile străvechi nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să memoreze totul cu cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​pentru a ne aminti mai bine:

Acum ar trebui să fie ușor:

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi dreptunghic. Dacă sunteți interesat de modul în care se dovedește, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să trecem mai departe... în pădurea întunecată... a trigonometriei! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce este totul despre colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt, sună așa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Desigur că au! Acesta este un catet!

Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, pisica. Deci, pentru unghi, piciorul este adiacent și

Și acum, atenție! Uite ce avem:

Vezi ce grozav este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum să o exprim în cuvinte acum? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și catetul? Adiacent colțului. Deci ce am primit?

Vedeți cum sunt inversate numărătorul și numitorul?

Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:

rezumat

Să scriem pe scurt ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . Dar zona mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:

Este foarte confortabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două picioare

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

A)

b)

Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele - opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?

Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Colţ acut

II. Pe două picioare

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a întâmplat că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

Ce bine se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la eu.

Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Scriem relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabil de aplicat. Să le scriem din nou.

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua picioare:
• de-a lungul catetei și ipotenuzei: or
• de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colţ ascuţit: sau
• din proporționalitatea celor două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel adiacent:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin catetere:

(ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză, latura opusă unghiului drept.

Sfat 1: Cum să găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Desen lateral AD, DC și BD, DC- picioare și laterale ACȘi SW- ipotenuza.

Teorema 1. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30° catetul opus acestui unghi se va rupe la jumătate din ipotenuză.

hC

AB- ipotenuza;

ANUNȚȘi DB

Triunghi
Există o teoremă:
sistem de comentarii CACKLE

Rezolvare: 1) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt egale.Adevărat 2) Dacă există un unghi ascuțit într-un triunghi, atunci acest triunghi este unghi ascuțit. Neadevarat. Tipuri de triunghiuri. Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute, adică mai mici de 90 ° 3) Dacă punctul se află pe.

Sau, într-o altă postare,

Conform teoremei lui Pitagora

Care este înălțimea într-o formulă de triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză poate fi găsită într-un fel sau altul, în funcție de datele din enunțul problemei.

Sau, într-o altă postare,

Unde BK și KC sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (segmentele în care altitudinea împarte ipotenuza).

Altitudinea trasată la ipotenuză poate fi găsită prin aria unui triunghi dreptunghic. Dacă aplicăm formula pentru găsirea ariei unui triunghi

(jumătate din produsul unei laturi și înălțimea trasă de această latură) la ipotenuză și înălțimea trasă la ipotenuză, obținem:

De aici putem găsi înălțimea ca raportul de două ori aria triunghiului și lungimea ipotenuzei:

Deoarece aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor:

Adică, lungimea înălțimii trasate la ipotenuză este egală cu raportul dintre produsul catetelor la ipotenuză. Dacă notăm lungimile catetelor prin a și b, lungimea ipotenuzei prin c, formula poate fi rescrisă ca

Deoarece raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză, lungimea înălțimii poate fi exprimată în termeni de catete și raza cercului circumscris:

Deoarece înălțimea trasată la ipotenuză formează încă două triunghiuri dreptunghiulare, lungimea ei poate fi găsită prin rapoartele din triunghiul dreptunghic.

Din triunghiul dreptunghic ABK

Din triunghiul dreptunghic ACK

Lungimea înălțimii unui triunghi dreptunghic poate fi exprimată în termeni de lungimi ale catetelor. Deoarece

Conform teoremei lui Pitagora

Dacă pătram ambele părți ale ecuației:

Puteți obține o altă formulă pentru a raporta înălțimea unui triunghi dreptunghic la picioare:

Care este înălțimea într-o formulă de triunghi dreptunghic

Triunghi dreptunghic. Nivel mediu.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau OGE?

Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . Dar zona mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:

Ai observat un lucru foarte util? Privește cu atenție farfuria.

Este foarte confortabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa În ambele triunghiuri, piciorul era adiacent sau în ambele - opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncați o privire la subiectul „Triunghi” și acordați atenție faptului că, pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele, sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?

Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.

Desenați o diagonală și luați în considerare punctul în care se intersectează diagonalele. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Punctul de intersecție diagonală bisectează Diagonalele sunt egale

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a întâmplat că

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

Ce bine se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de asta. ".

Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ambele au aceleași colțuri ascuțite!

Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - Două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Scriem relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem Prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Cum să obțineți al doilea?

Și acum aplicăm asemănarea triunghiurilor și.

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabil de aplicat. Să le scriem din nou.

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Comentarii

Distribuirea materialelor fără aprobare este permisă dacă există un link dofollow către pagina sursă.

Politica de confidențialitate

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare. Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante. De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.

Proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic a scăzut la ipotenuză

Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public. În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Multumesc pentru mesaj!

Comentariul dumneavoastră a fost acceptat, după moderare va fi publicat pe această pagină.

Vrei să știi ce se ascunde sub tăietură și să primești materiale exclusive pentru pregătirea pentru OGE și USE? Lasă un e-mail

Proprietățile unui triunghi dreptunghic

Luați în considerare un triunghi dreptunghic (ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză, latura opusă unghiului drept. Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Desen lateral AD, DC și BD, DC- picioare și laterale ACȘi SW- ipotenuza.

Semne de egalitate ale unui triunghi dreptunghic:

Teorema 1. Dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și catetul altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 2. Dacă două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt egale cu două catete ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 3. Dacă ipotenuza și un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și un unghi ascuțit al altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 4. Dacă cateta și unghiul ascuțit adiacent (opus) unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și unghiul ascuțit adiacent (opus) altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Proprietățile unui picior opus unui unghi de 30 °:

Teorema 1.

Înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°, catetul opus acestui unghi se va rupe la jumătate din ipotenuză.

Teorema 2. Dacă într-un triunghi dreptunghic catetul este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus este de 30°.

Dacă înălțimea este trasă de la vârful unghiului drept la ipotenuză, atunci un astfel de triunghi este împărțit în două mai mici, asemănătoare cu cel de ieșire și asemănătoare unul cu celălalt. De aici rezultă următoarele concluzii:

1. Înălțimea este media geometrică (media proporțională) a celor două segmente de ipotenuză.
2. Fiecare catetă a triunghiului este media proporțională cu ipotenuza și segmentele adiacente.

Într-un triunghi dreptunghic, picioarele acționează ca înălțimi. Ortocentrul este punctul în care se intersectează înălțimile triunghiului. Coincide cu partea de sus a unghiului drept al figurii.

hC- inaltimea care iese din unghiul drept al triunghiului;

AB- ipotenuza;

ANUNȚȘi DB- segmentele care au apărut la împărțirea ipotenuzei la înălțime.

Înapoi la vizualizarea referințelor la disciplina „Geometrie”

Triunghi- Acest figură geometrică, format din trei puncte (vârfurile) care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte. Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are unul dintre unghiurile de 90° (un unghi drept).
Există o teoremă: suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este de 90°.
sistem de comentarii CACKLE

Cuvinte cheie: triunghi, dreptunghiular, cateta, ipotenuza, teorema lui Pitagora, cerc

Triunghi numit dreptunghiular dacă are unghi drept.
Un triunghi dreptunghic are două laturi reciproc perpendiculare numite picioare; a treia latură se numește ipotenuză.

• După proprietățile ipotenuzei perpendiculare și oblice, fiecare catete este mai lung (dar mai mic decât suma lor).
• Suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este egală cu unghiul drept.
• Două înălțimi ale unui triunghi dreptunghic coincid cu picioarele sale. Prin urmare, unul dintre cele patru puncte remarcabile cade pe vârfurile unghiului drept al triunghiului.
• Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.
• Mediana unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unghiului drept la ipotenuză este raza cercului circumscris acestui triunghi.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic arbitrar ABC și desenați o înălțime CD = hc din vârful C al unghiului său drept.

Acesta va împărți triunghiul dat în două triunghiuri dreptunghiulare ACD și BCD; fiecare dintre aceste triunghiuri are un unghi ascuțit comun cu triunghiul ABC și, prin urmare, este similar cu triunghiul ABC.

Toate cele trei triunghiuri ABC, ACD și BCD sunt similare unul cu celălalt.

Din asemănarea triunghiurilor se determină următoarele relații:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

teorema lui Pitagora una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic.

Formulare geometrică.Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Formulare algebrică.Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c și lungimile catetelor prin a și b:
a2 + b2 = c2

Teorema inversă a lui Pitagora.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Pentru orice triplu de numere pozitive a, b și c astfel încât
a2 + b2 = c2,
există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
• pe două picioare;
• de-a lungul piciorului și unghi ascuțit;
• ipotenuza si unghiul ascutit.

Vezi si:
Zona triunghiului, triunghiul isoscel, triunghiul echilateral

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

ANUNȚ : CD=CD : B.D. Prin urmare, CD2 = AD ∙ B.D. Ei spun:

ANUNȚ : AC=AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun:

BD : BC=BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ B.D.

Rezolva probleme:

1.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36.

Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30.

Cum să găsești înălțimea într-un triunghi dreptunghic?

Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Verifică răspunsuri!

D8.04.1. Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

În Δ ABC ∠ACV = 90°. Cattele AC și BC, ipotenuza AB.

CD este altitudinea triunghiului trasat la ipotenuză.

Proiecția AD a catetei AC pe ipotenuză,

Proiecția BD a catetei BC pe ipotenuză.

Altitudinea CD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri similare cu acesta (și unul cu celălalt): Δ ADC și Δ CDB.

Din proporționalitatea laturilor similare Δ ADC și Δ CDB rezultă:

ANUNȚ : CD=CD : B.D.

Proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic coborât la ipotenuză.

Prin urmare, CD2 = AD ∙ B.D. Ei spun: înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză,este valoarea proporțională medie dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Din similitudinea dintre Δ ADC și Δ ACB rezultă:

ANUNȚ : AC=AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun: fiecare catenă este valoarea proporțională medie dintre întreaga ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

În mod similar, din similitudinea dintre Δ CDB și Δ ACB rezultă:

BD : BC=BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ B.D.

Rezolva probleme:

1. Aflați înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză dacă împarte ipotenuza în segmente de 25 cm și 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36. Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză este 22, proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați proiecția celuilalt catete.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. catetul unui triunghi dreptunghic este 18, iar proiecția lui pe ipotenuză este 12. Aflați ipotenuza.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Ipotenuza este 32. Aflați catetul a cărui proiecție pe ipotenuză este 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 45. Aflați catetul a cărui proiecție pe ipotenuză este 9.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30. Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 41, iar proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați lungimea altitudinii trasate de la vârful unghiului drept la ipotenuză.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Diferența dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză este 15, iar distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză este 4. Aflați raza cercului circumscris.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.