Scrieți expansiunea vectorului x în vectori. Dependența liniară și independența liniară a vectorilor

Bază(greaca veche βασις, bază) - un set de astfel de vectori într-un spațiu vectorial încât orice vector al acestui spațiu poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de vectori din această mulțime - vectori de bază

O bază în spațiul R n este orice sistem din n-vectori liniar independenţi. Fiecare vector din R n care nu este inclus în bază poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază, i.e. extinde peste bază.
Fie o bază a spațiului R n și . Atunci există numere λ 1 , λ 2 , …, λ n astfel încât .
Coeficienții de expansiune λ 1 , λ 2 , ..., λ n , se numesc coordonatele vectorului din baza B. Dacă baza este dată, atunci coeficienții vectorului sunt determinați în mod unic.

Cometariu. În fiecare n-spațiu vectorial dimensional, puteți alege un număr infinit de baze diferite. În baze diferite, același vector are coordonate diferite, dar singurele din baza selectată. Exemplu. Extinde vectorul în termeni de .
Soluţie. . Înlocuiți coordonatele tuturor vectorilor și efectuați acțiuni asupra acestora:

Echivalând coordonatele, obținem un sistem de ecuații:

Hai sa o rezolvam: .
Astfel, obținem expansiunea: .
În bază, vectorul are coordonatele .

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Conceptul de vector. Operații liniare pe vectori

Un vector este un segment direcționat care are o anumită lungime, adică un segment de o anumită lungime care are unul dintre punctele sale de limită.

Dacă aveți nevoie material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

L. 2-1 Concepte de bază ale algebrei vectoriale. Operații liniare pe vectori.

Descompunerea unui vector în termeni de bază.

Concepte de bază ale algebrei vectoriale

Un vector este mulțimea tuturor segmentelor direcționate având aceeași lungime și direcție
.

Proprietăți:

Operații liniare peste vectori

1.

Regula paralelogramului:

CU ummah doi vectori Și numit vector , ieșind din originea lor comună și fiind diagonala unui paralelogram construit pe vectori Și ca pe laturi.

Regula poligonului:

Pentru a construi suma oricărui număr de vectori, trebuie să plasați începutul celui de-al 2-lea vector la sfârșitul primului termen, începutul celui de-al 3-lea la sfârșitul celui de-al 2-lea și așa mai departe. Vectorul care închide polilinia rezultată este suma. Începutul său coincide cu începutul primului, iar sfârșitul cu sfârșitul ultimului.

Proprietăți:

2.

Produs vectorial pe număr , se numește vector care îndeplinește condițiile:
.

Proprietăți:

3.

diferență vectori Și vector de apel egală cu suma vectorului și un vector opus vectorului , adică
.

- legea elementului opus (vector).

Descompunerea unui vector în termeni de bază

Suma vectorilor este determinată într-un mod unic
(doar daca ). Operația inversă, descompunerea unui vector în mai multe componente, este ambiguă: Pentru a o face lipsită de ambiguitate, este necesar să se indice direcțiile în care are loc expansiunea vectorului considerat sau, după cum se spune, este necesar să se indice bază.

La determinarea bazei, cerința de non-coplanaritate și non-colinearitate a vectorilor este esențială. Pentru a înțelege semnificația acestei cerințe, este necesar să se ia în considerare conceptul de dependență liniară și independență liniară a vectorilor.

Expresie arbitrară a formei: , numit combinație liniară vectori
.

Se numește o combinație liniară de mai mulți vectori banal dacă toți coeficienții săi sunt egali cu zero.

Vectori
numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu zero:
(1), prevazut
. Dacă egalitatea (1) este valabilă numai pentru toți
simultan egal cu zero, apoi vectori nenuli
voi liniar independent.

Este ușor de dovedit: oricare doi vectori coliniari sunt dependenți liniar, iar doi vectori necoliniari sunt independenți liniar.

Începem demonstrația cu prima afirmație.

Lasă vectorii Și coliniare. Să arătăm că ele sunt dependente liniar. Într-adevăr, dacă sunt coliniare, atunci ele diferă între ele doar printr-un factor numeric, adică.
, prin urmare
. Deoarece combinația liniară rezultată este în mod clar non-trivială și este egală cu „0”, atunci vectorii Și dependent liniar.

Luați în considerare acum doi vectori necoliniari Și . Să demonstrăm că sunt liniar independente. Construim dovada prin contradicție.

Presupunem că acestea sunt dependente liniar. Atunci trebuie să existe o combinație liniară non-trivială
. Să ne prefacem că
, Apoi
. Egalitatea rezultată înseamnă că vectorii Și sunt coliniare, contrar presupunerii noastre inițiale.

În mod similar, se poate dovedi: oricare trei vectori coplanari sunt dependenți liniar și doi vectori necoplanari sunt independenți liniar.

Revenind la conceptul de bază și la problema extinderii unui vector într-o anumită bază, putem spune că baza pe plan și în spațiu este formată dintr-un set de vectori liniar independenți. Un astfel de concept de bază este general, deoarece este aplicabil unui spațiu de orice număr de dimensiuni.

Expresie ca:
, se numește descompunerea vectorului prin vectori ,…,.

Dacă luăm în considerare o bază în spațiul tridimensional, atunci descompunerea vectorului bază
voi
, Unde
-coordonate vectoriale.

În problema extinderii unui vector arbitrar într-o anumită bază, următoarea afirmație este foarte importantă: orice vectorpot fi descompuse într-un mod unic în baza dată
. Cu alte cuvinte, coordonatele
pentru orice vector raportat la bază
este definit fără ambiguitate.

Introducerea unei baze în spațiu și pe un plan face posibilă atribuirea fiecărui vector triplu ordonat (pereche) de numere - coordonatele sale. Acest rezultat foarte important, care face posibilă stabilirea unei legături între obiectele geometrice și numere, face posibilă descrierea și studierea analitică a poziției și mișcării obiectelor fizice.

Se numește combinația dintre un punct și o bază sistem de coordonate.

Dacă vectorii care formează baza sunt perpendiculari unitare și perechi, atunci se numește sistemul de coordonate dreptunghiular, si baza ortonormal.

L. 2-2 Produsul vectorilor

Descompunerea unui vector în termeni de bază

Luați în considerare vectorul
, dat de coordonatele sale:
.

- componente vectoriale în direcţiile vectorilor de bază
.

Exprimarea formei
se numește descompunerea vectorului bază
.

Într-un mod similar, se poate descompune bază
vector
:

.

Cosinusurile unghiurilor formate de vectorul considerat cu vectori de bază
numit cosinus de direcție

;
;
.

Produsul scalar al vectorilor.

Produsul scalar a doi vectori Și se numeste numarul egal cu produsul modulelor acestor vectori prin cosinusul unghiului dintre ei

Produsul scalar a doi vectori poate fi considerat ca produsul dintre modulul unuia dintre acești vectori și proiecția ortogonală a celuilalt vector pe direcția primului.
.

Proprietăți:

Dacă se cunosc coordonatele vectorilor
Și
, apoi, extinzând vectorii în termeni de bază
:
Și
, găsi

, deoarece
,
, Acea

.

.

Condiția de perpendicularitate a vectorilor:
.

Condiția de coliniaritate pentru rectori:
.

Produsul încrucișat al vectorilor

sau

arta vectoriala pe vector se numeste un astfel de vector
, care îndeplinește condițiile:

Proprietăți:

Proprietățile algebrice luate în considerare ne permit să găsim o expresie analitică pentru produs vectorial prin coordonatele vectorilor constitutivi în bază ortonormală.

Dat:
Și
.

deoarece ,
,
,
,
,
,
, Acea

. Această formulă poate fi scrisă mai scurt, sub forma unui determinant de ordinul trei:

.

Produs mixt al vectorilor

Produs mixt a trei vectori ,Și numit număr egal cu produsul vectorial
, înmulțit scalar cu vectorul .

Următoarea egalitate este adevărată:
, deci produsul mixt este scris
.

După cum rezultă din definiție, rezultatul produsului mixt a trei vectori este un număr. Acest număr are o semnificație geometrică clară:

Modul produs mixt
este egal cu volumul paralelipipedului construit pe vectori redusi la o origine comuna ,Și .

Proprietăți mixte ale produsului:

Dacă vectorii ,,sunt date în bază ortonormală
coordonatele lor, calculul produsului amestecat se efectuează conform formulei

.

Într-adevăr, dacă
, Acea

;
;
, Apoi
.

Dacă vectorii ,,sunt coplanare, apoi produsul vectorial
perpendicular pe vector . Și invers, dacă
, atunci volumul paralelipipedului este zero, iar acest lucru este posibil numai dacă vectorii sunt coplanari (dependenți liniar).

Astfel, trei vectori sunt coplanari dacă și numai dacă produsul lor mixt este zero.

Baza spațiului numiți un astfel de sistem de vectori în care toți ceilalți vectori ai spațiului pot fi reprezentați ca o combinație liniară de vectori incluși în bază.
În practică, totul este destul de simplu. Baza, de regulă, este verificată pe un plan sau în spațiu, iar pentru aceasta trebuie să găsiți determinantul unei matrice de ordinul doi, al treilea, compusă din coordonatele vectorilor. Scris schematic mai jos condiţiile în care vectorii formează o bază

La extinde vectorul b în termeni de vectori de bază
e,e...,e[n] este necesar să se găsească coeficienții x, ..., x[n] pentru care combinația liniară a vectorilor e,e...,e[n] este egală cu vectorul b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Pentru a face acest lucru, ecuația vectorială ar trebui convertită în sistem ecuatii lineareși găsiți soluții. De asemenea, este destul de ușor de implementat.
Se numesc coeficienții găsiți x, ..., x[n]. coordonatele vectorului b din bază e,e...,e[n].
Să trecem la partea practică a subiectului.

Descompunerea unui vector în vectori de bază

Sarcina 1. Verificați dacă vectorii a1, a2 formează o bază pe plan

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rezolvare: Compuneți determinantul din coordonatele vectorilor și calculați-l

Determinantul nu este egal cu zero, prin urmare vectorii sunt liniar independenți, ceea ce înseamnă că formează o bază.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Rezolvare: Se calculează determinantul compus din vectori

Determinantul este egal cu 13 (nu este egal cu zero) - de aici rezultă că vectorii a1, a2 sunt o bază pe plan.

---=================---

Să luăm în considerare exemple tipice din programul IAPM la disciplina „Matematică superioară”.

Sarcina 2. Să se arate că vectorii a1, a2, a3 formează baza unui spațiu vectorial tridimensional și extind vectorul b în această bază (când se rezolvă un sistem de ecuații algebrice utilizați metoda lui Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rezolvare: În primul rând, luați în considerare sistemul de vectori a1, a2, a3 și verificați determinantul matricei A

construit pe alți vectori decât zero. Matricea conține un element zero, deci este mai oportun să se calculeze determinantul ca program pentru prima coloană sau al treilea rând.

În urma calculelor, am constatat că determinantul este diferit de zero, prin urmare vectorii a1, a2, a3 sunt liniar independenți.
Prin definiție, vectorii formează o bază în R3. Să notăm graficul vectorului b în termeni de bază

Vectorii sunt egali atunci când coordonatele lor corespunzătoare sunt egale.
Prin urmare, din ecuația vectorială obținem un sistem de ecuații liniare

Rezolvați SLAE metoda lui Cramer. Pentru a face acest lucru, scriem sistemul de ecuații sub forma

Principalul determinant al SLAE este întotdeauna egal cu determinantul compus din vectori de bază

Prin urmare, în practică nu se calculează de două ori. Pentru a găsi determinanți auxiliari, punem o coloană de termeni liberi în locul fiecărei coloane a determinantului principal. Determinanții se calculează după regula triunghiurilor



Înlocuiți determinanții găsiți în formula lui Cramer



Deci, expansiunea vectorului b în termeni de bază are forma b=-4a1+3a2-a3 . Coordonatele vectorului b în baza a1, a2, a3 vor fi (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rezolvare: Verificăm vectorii pentru bază - compunem determinantul din coordonatele vectorilor și îl calculăm

Prin urmare, determinantul nu este egal cu zero vectorii formează o bază în spațiu. Rămâne de găsit orarul vectorului b în termenii bazei date. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația vectorială

și se transformă într-un sistem de ecuații liniare

Noi scriem ecuația matriceală

În continuare, pentru formulele Cramer, găsim determinanți auxiliari



Aplicarea formulelor lui Cramer



Deci vectorul dat b are un program prin doi vectori de bază b=-2a1+5a3, iar coordonatele sale din bază sunt egale cu b(-2,0, 5).