Cum să găsiți un element al unei matrice invers față de unul dat. Matricea inversă și proprietățile ei

Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv cel transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află acest element, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare vor rămâne netașate.

• De exemplu, pentru a găsi matricea 2x2 pentru elementul care se află la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
• Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
• Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare anumitor elemente ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori.Înregistrați rezultatele obținute anterior sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), notați determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unui anumit model, care este prezentat în figură.

• Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-”, care sunt prezentate în diagramă (vezi figura), nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică faptul că semnul elementului s-a schimbat.
• Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
• Acesta este modul în care găsiți matricea asociată matricei originale. Uneori este numită matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinant. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Înregistrați rezultatul fiecărei operațiuni de împărțire în care se află elementul corespunzător. Deci veți găsi matricea, inversul originalului.

• Determinantul matricei prezentate în figură este 1. Astfel, aici matricea asociată este matricea inversă (deoarece împărțirea oricărui număr la 1 nu îl schimbă).
• În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). În acest caz, rezultatul final nu se schimbă.

Notează matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este o matrice inversă.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului depinde de modelul calculatorului).

Introduceți denumirea matricei. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi notate literele A-J. Ca regulă generală, trebuie doar să selectați [A] pentru a indica matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați butonul Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați din nou butonul Enter.

Introduceți fiecare element al matricei. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă o matrice a fost deja introdusă în calculator înainte, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea primului element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element al matricei.

Continuăm să vorbim despre acțiuni cu matrice. Și anume, în cursul studierii acestei prelegeri, veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este îngustă.

Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu reciprocele: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și reciproca acestuia. Produsul acestor numere este egal cu unu: . La fel este și cu matricele! Produsul unei matrice și inversul acesteia este - matrice de identitate, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, mai întâi, vom rezolva o problemă practică importantă, și anume, vom învăța cum să găsim această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide determinanți. Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin utilizarea adunări algebriceȘi folosind transformări elementare.

Astăzi vom studia primul mod, mai ușor.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Considera pătrat matrice . Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Notaţie: După cum probabil ați observat deja, inversul unei matrice este notat cu un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, este necesar „trei câte trei”, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a învăța principiu general solutii.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Noi decidem. Secvența de acțiuni este descompusă convenabil în puncte.

1) Mai întâi găsim determinantul matricei.

Dacă înțelegerea acestei acțiuni nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important! Dacă determinantul matricei este ZERO– matrice inversă NU EXISTA.

În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea , adică în acest caz .
Cazul este mic, rămâne să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Înapoi la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor al elementului dat, pe care o scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți mental rândul și coloana în care se află acest element:

Ceea ce rămâne este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:


Gata.

E simplu. În matricea minorilor, ai nevoie SCHIMBARE SEMNE pentru doua numere:

Aceste numere sunt pe care le-am încercuit!

este matricea complementelor algebrice ale elementelor corespondente ale matricei .

Și doar ceva...

4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.

este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

5) Răspuns.

Amintiți-vă formula noastră
Toate găsite!

Deci matricea inversă este:

Cel mai bine este să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei cu 2, după cum obțineți numere fracționare. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.

Cum se verifică soluția?

Înmulțirea matriceală trebuie efectuată fie

Examinare:

deja menționate matrice de identitate este o matrice cu unități activate diagonala principalăși zerouri în altă parte.

Astfel, matricea inversă este găsită corect.

Dacă efectuați o acțiune, atunci rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai multe informații găsiți în articol Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o luare standard.

Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul doi câte doi.

Găsim matricea inversă prin formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are dimensiunea „trei câte trei” , și trebuie să găsim nouă numere.

Voi arunca o privire la câțiva minori în detaliu:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Cele patru numere rămase sunt scrise cu determinantul „două câte doi”

Acest determinant doi câte doi și este un minor al elementului dat. Trebuie calculat:


Asta e, minorul este găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, există nouă determinanți doi câte doi de calculat. Procesul, desigur, este trist, dar cazul nu este cel mai dificil, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida - găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri restul minorilor.

Rezultat final:
este matricea de minore a elementelor corespondente ale matricei .

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pură coincidență.

3) Aflați matricea adunărilor algebrice.

În matricea minorilor, este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Găsirea matricei inverse pentru matricea „patru cu patru” nu este luată în considerare, deoarece doar un profesor sadic poate da o astfel de sarcină (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei”). . În practica mea, a existat un singur astfel de caz și clientul munca de control plătit scump pentru chinul meu =).

Într-o serie de manuale, manuale, puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție de mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.

Aflarea matricei inverse.

În acest articol, ne vom ocupa de conceptul de matrice inversă, proprietățile sale și modalitățile de a o găsi. Să ne oprim în detaliu asupra rezolvării exemplelor în care este necesar să construim o matrice inversă pentru una dată.

Navigare în pagină.

Matrice inversă - definiție.

Găsirea matricei inverse folosind o matrice de adunări algebrice.

Proprietățile matricei inverse.

Găsirea matricei inverse prin metoda Gauss-Jordan.

Găsirea elementelor matricei inverse prin rezolvarea sistemelor corespunzătoare de ecuații algebrice liniare.

Matrice inversă - definiție.

Conceptul de matrice inversă este introdus numai pentru matricele pătrate al căror determinant este diferit de zero, adică pentru matricele pătrate nesingulare.

Definiție.

Matricese numește inversul matricei, al cărui determinant este diferit de zero, dacă egalitățile sunt adevărate , Unde E este matricea identitară a ordinii n pe n.

Găsirea matricei inverse folosind o matrice de adunări algebrice.

Cum să găsiți matricea inversă pentru una dată?

În primul rând, avem nevoie de concepte matrice transpusă, minorul de matrice și complementul algebric al elementului de matrice.

Definiție.

Minork-a Ordin matrici A Ordin m pe n este determinantul matricei de ordine k pe k, care se obține din elementele matricei A situat în selectat k linii şi k coloane. ( k nu depășește cel mai mic număr m sau n).

Minor (n-1)-a ordine, care este alcătuită din elementele tuturor rândurilor, cu excepția i-a, și toate coloanele, cu excepția j-a, matrice pătrată A Ordin n pe n să-l notăm ca .

Cu alte cuvinte, minorul se obține din matricea pătrată A Ordin n pe n taierea elementelor i-a linii şi j-a coloană.

De exemplu, să scriem, minor al 2-lea ordine, care se obține din matrice selecția elementelor din al doilea, al treilea rând și din prima și a treia coloană . Arătăm și minorul, care se obține din matrice ștergerea celui de-al doilea rând și a treia coloană . Să ilustrăm construcția acestor minori: și .

Definiție.

Adunare algebrică elementul unei matrice pătrate se numește minor (n-1)-a ordine, care se obține din matrice A, ștergând elemente ale acestuia i-a linii şi j-a coloană înmulțită cu .

Complementul algebric al unui element se notează ca . Prin urmare, .

De exemplu, pentru o matrice complementul algebric al elementului este .

În al doilea rând, vom avea nevoie de două proprietăți ale determinantului, despre care am discutat în secțiune calculul determinantului matriceal:

Pe baza acestor proprietăți ale determinantului, definițiile operații de înmulțire a unei matrice cu un număr iar conceptul de matrice inversă, avem egalitatea , unde este o matrice transpusă ale cărei elemente sunt complemente algebrice .

Matrice este într-adevăr inversul matricei A, din moment ce egalitățile . Să o arătăm

Hai să compunem algoritm de matrice inversă folosind egalitatea .

Să analizăm algoritmul pentru găsirea matricei inverse folosind un exemplu.

Exemplu.

Dată o matrice . Aflați matricea inversă.

Soluţie.

Calculați determinantul matricei A, extinzându-l cu elementele coloanei a treia:

Determinantul este diferit de zero, deci matricea A reversibil.

Să găsim o matrice din adunări algebrice:

De aceea

Să realizăm transpunerea matricei din adunări algebrice:

Acum găsim matricea inversă ca :

Să verificăm rezultatul:

Egalitatea sunt executate, prin urmare, matricea inversă este găsită corect.

Proprietățile matricei inverse.

Conceptul de matrice inversă, egalitate , definițiile operațiilor pe matrice și proprietățile determinantului unei matrici fac posibilă fundamentarea următoarelor proprietăți inverse ale matricei:

Găsirea elementelor matricei inverse prin rezolvarea sistemelor corespunzătoare de ecuații algebrice liniare.

Luați în considerare o altă modalitate de a găsi matricea inversă pentru o matrice pătrată A Ordin n pe n.

Această metodă se bazează pe soluție n sisteme de ecuaţii algebrice liniare neomogene cu n necunoscut. Variabilele necunoscute din aceste sisteme de ecuații sunt elementele matricei inverse.

Ideea este foarte simplă. Notați matricea inversă ca X, acesta este, . Deoarece prin definiția matricei inverse , atunci

Echivalând elementele corespunzătoare prin coloane, obținem n sisteme de ecuații liniare

Le rezolvăm în orice fel și formăm o matrice inversă din valorile găsite.

Să analizăm această metodă cu un exemplu.

Exemplu.

Dată o matrice . Aflați matricea inversă.

Soluţie.

Accept . Egalitatea ne oferă trei sisteme de ecuații algebrice liniare neomogene:

Nu vom descrie soluția acestor sisteme; dacă este necesar, consultați secțiunea rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare.

Din primul sistem de ecuații avem , din al doilea - , din al treilea - . Prin urmare, matricea inversă dorită are forma . Vă recomandăm să verificați pentru a vă asigura că rezultatul este corect.

Rezuma.

Am luat în considerare conceptul de matrice inversă, proprietățile sale și trei metode de găsire a acesteia.

Exemplu de soluții cu matrice inversă

Exercitiul 1. Rezolvați SLAE folosind metoda matricei inverse. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Începutul formularului

Sfârșitul formularului

Soluţie. Să scriem matricea sub forma: Vector B: B T = (1,2,3,4) Determinant major Minor pentru (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor pentru (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor pentru (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor pentru (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinant minor ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Matrice transpusă Complemente algebrice ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4) )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matrice inversă Rezultatul Vector X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Vezi si Soluții SLAE prin metoda matricei inverse pe net. Pentru a face acest lucru, introduceți datele și obțineți o decizie cu comentarii detaliate.

Sarcina 2. Scrieți sistemul de ecuații sub formă de matrice și rezolvați-l folosind matricea inversă. Verificați soluția obținută. Soluţie:xml:xls

Exemplul 2. Scrieți sistemul de ecuații sub formă de matrice și rezolvați folosind matricea inversă. Soluţie:xml:xls

Exemplu. Este dat un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute. Necesar: 1) găsiți soluția folosind formulele lui Cramer; 2) scrieți sistemul sub formă de matrice și rezolvați-l folosind calculul matriceal. Instrucțiuni. După rezolvarea prin metoda lui Cramer, găsiți butonul „Soluție matrice inversă pentru datele inițiale”. Veți primi o decizie adecvată. Astfel, datele nu vor trebui completate din nou. Soluţie. Notăm cu A - matricea coeficienților pentru necunoscute; X - matricea coloanei de necunoscute; B - matrice-coloana de membri liberi:

Vector B: B T =(4,-3,-3) Având în vedere aceste notații, acest sistem de ecuații ia următoarea formă de matrice: А*Х = B. Dacă matricea А este nesingulară (determinantul ei este diferit de zero, atunci are un matrice inversă А -1. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu A -1, obținem: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Această egalitate se numește notarea matricială a soluției sistemului de ecuații liniare. Pentru a găsi o soluție la sistemul de ecuații, este necesar să se calculeze matricea inversă A -1 . Sistemul va avea o soluție dacă determinantul matricei A este diferit de zero. Să găsim determinantul principal. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Deci, determinantul este 14 ≠ 0, deci continuam solutia. Pentru a face acest lucru, găsim matricea inversă prin adunări algebrice. Să avem o matrice nesingulară A:

Calculăm adunări algebrice.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Examinare. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Răspuns: -1,1,2.

Să existe o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A * A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată, în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrice care au același număr de rânduri și coloane.

Teorema condiției de existență a matricei inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nedegenerată.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat dacă vectorii coloanei sunt liniar independenţi. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda Gauss și în dreapta (în locul părților din dreapta ale ecuațiilor) atribuiți-i matricea E.
2. Folosind transformările Jordan, aduceți matricea A într-o matrice formată din coloane simple; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât matricea de identitate E să fie obținută sub matricea A a tabelului original.
4. Scrieți matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Notam matricea A si in dreapta atribuim matricea de identitate E. Folosind transformarile Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt prezentate in Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei, se obține matricea de identitate. Prin urmare, calculele sunt corecte.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, XA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt date matrice, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea dintr-o ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece inversul matricei este egal (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de alții, își găsesc și aplicație metode matriceale . Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se compare funcționarea organizațiilor și diviziunile lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor matriceale de analiză se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se realizează formarea unui sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele de sistem sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar de-a lungul graficelor verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă pentru fiecare coloană verticală, este dezvăluită cea mai mare dintre valorile disponibile ale indicatorilor, care este luată ca unitate.

După aceea, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoareși se formează o matrice coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator al matricei i se atribuie un anumit coeficient de ponderare k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de un expert.

Pe ultimul a patra etapă au găsit valori ale evaluărilor Rj grupate în ordinea crescătoare sau descrescătoare.

Metodele matriceale de mai sus ar trebui utilizate, de exemplu, când analiza comparativa variat proiecte de investitii, precum și în evaluarea altor indicatori de performanță economică a organizațiilor.