Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior.
DE liniar de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Exemple de soluții.

Trecem la considerarea ecuațiilor diferențiale de ordinul doi și a ecuațiilor diferențiale de ordinul superior. Dacă aveți o idee vagă despre ce este o ecuație diferențială (sau nu înțelegeți deloc ce este), atunci vă recomand să începeți cu o lecție Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții... Multe principii de soluție și concepte de bază ale difuzelor de ordinul întâi sunt extinse automat la ecuații diferențiale de ordin superior, prin urmare este foarte important să înțelegem mai întâi ecuațiile de ordinul întâi.

Mulți cititori pot avea o prejudecată că a doua, a treia și alte ordine de control sunt ceva foarte dificil și inaccesibil de stăpânit. Nu este adevarat ... Învață să rezolvi difuzia de ordin superior cu greu mai dificil decât sistemele de control „obișnuite” de ordinul 1... Și în unele locuri este și mai ușor, deoarece soluțiile folosesc în mod activ materialul din programa școlară.

Cel mai popular ecuații diferențiale de ordinul doi... В ecuație diferențială de ordinul doi neapărat derivata a doua intra si nu este inclus

Trebuie remarcat faptul că unii dintre bebeluși (și chiar toți deodată) pot lipsi din ecuație, important este ca tatăl să fie acasă. Cea mai primitivă ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:

Ecuațiile diferențiale de ordinul trei în sarcinile practice sunt mult mai puțin frecvente, conform observațiilor mele subiective din Duma de Stat, acestea ar fi câștigat aproximativ 3-4% din voturi.

В ecuație diferențială de ordinul trei neapărat include derivata a treia și nu este inclus derivate de ordin superior:

Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul trei arată astfel: - Tata este acasă, toți copiii sunt la plimbare.

Ecuațiile diferențiale de ordinul 4, 5 și superior pot fi definite într-un mod similar. În problemele practice, astfel de DE se strecoară rar; cu toate acestea, voi încerca să dau exemple relevante.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior, care sunt propuse în probleme practice, pot fi împărțite în două grupe principale.

1) Primul grup - așa-numitul ecuații de ordin inferior... Pune înăuntru!

2) Al doilea grup - ecuatii lineare ordine superioare cu coeficienți constanți... La care vom începe să ne uităm chiar acum.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi
cu coeficienți constanți

În teorie și practică, se disting două tipuri de astfel de ecuații - ecuație omogenă și ecuație neomogenă.

Ecuație diferențială omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți arata asa:
, unde și sunt constante (numere), iar în partea dreaptă - strict zero.

După cum puteți vedea, nu există dificultăți speciale cu ecuațiile omogene, principalul lucru este decide corect ecuație pătratică .

Uneori există ecuații omogene non-standard, de exemplu, o ecuație în formă , unde la derivata a doua există o constantă, diferită de unitate (și, firește, diferită de zero). Algoritmul de soluție nu se schimbă deloc; ar trebui să elaborăm cu calm o ecuație caracteristică și să-i găsim rădăcinile. Dacă ecuaţia caracteristică va avea două rădăcini valide diferite, de exemplu: , atunci decizie comună va fi scris în modul obișnuit: .

În unele cazuri, din cauza unei greșeli de tipar în stare, rădăcinile „rele” pot apărea, ceva de genul ... Ce să faci, răspunsul va trebui scris astfel:

Cu rădăcini complexe conjugate „rele” ca nici o problema, solutie generala:

Acesta este, solutie generala exista oricum... Pentru că orice ecuație pătratică are două rădăcini.

În ultimul paragraf, așa cum am promis, vom lua în considerare pe scurt:

Ecuații liniare omogene de ordin superior

Totul este foarte, foarte asemănător.

O ecuație liniară omogenă de ordinul trei are următoarea formă:
, unde sunt constante.
Pentru această ecuație de asemenea, trebuie să întocmiți o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Ecuația caracteristică, după cum mulți au ghicit, arată astfel:
si el oricum Are exact trei rădăcină.

De exemplu, să fie toate rădăcinile reale și diferite: , atunci soluția generală se va scrie după cum urmează:

Dacă o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt conjugate complexe, atunci soluția generală se scrie după cum urmează:

Un caz special când toate cele trei rădăcini sunt multiple (la fel). Luați în considerare cel mai simplu DE omogen de ordinul trei cu un singur tată:. Ecuația caracteristică are trei rădăcini zero coincidente. Scriem soluția generală după cum urmează:

Dacă ecuaţia caracteristică are, de exemplu, trei rădăcini multiple, atunci soluția generală, respectiv, este următoarea:

Exemplul 9

Rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul trei

Soluţie: Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:

, - se obtin o radacina reala si doua radacini complexe conjugate.

Răspuns: decizie comună

În mod similar, putem considera ecuația liniară omogenă al patrulea ordin cu coeficienți constanți:, unde sunt constante.

În unele probleme de fizică, nu se poate stabili o legătură directă între mărimile care descriu procesul. Dar este posibil să se obțină o egalitate care să conțină derivatele funcțiilor studiate. Așa apar ecuațiile diferențiale și necesitatea de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.

Acest articol este destinat celor care se confruntă cu problema rezolvării ecuație diferențială, în care funcția necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este structurată astfel încât, cu reprezentarea zero a ecuațiilor diferențiale, veți putea face față sarcinii dvs.

Fiecărui tip de ecuații diferențiale i se atribuie o metodă de rezolvare cu explicații detaliate și soluții la exemple și probleme tipice. Trebuie doar să determinați forma ecuației diferențiale a problemei dvs., să găsiți un exemplu analizat similar și să efectuați acțiuni similare.

Pentru a rezolva cu succes ecuații diferențiale, din partea dvs., veți avea nevoie și de capacitatea de a găsi seturi de antiderivate ( integrale nedefinite) diverse funcţii. Dacă este necesar, vă recomandăm să consultați secțiunea.

În primul rând, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi care pot fi rezolvate în raport cu derivata, apoi ne întoarcem la EDO de ordinul doi, apoi ne oprim asupra ecuațiilor de ordin superior și terminăm cu sistemele diferențiale. ecuații.

Reamintim că dacă y este o funcție a argumentului x.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi a formei.

Să scriem câteva exemple de astfel de DE .

Ecuatii diferentiale poate fi rezolvată în raport cu derivata împărțind ambele părți ale egalității la f (x). În acest caz, ajungem la o ecuație care va fi echivalentă cu cea inițială pentru f (x) ≠ 0. Exemple de astfel de ODE sunt.

Dacă există valori ale argumentului x pentru care funcțiile f (x) și g (x) dispar simultan, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare pentru ecuație dat x sunt orice funcții definite pentru acele valori de argument. Pot fi date exemple de astfel de ecuații diferențiale.

Ecuații diferențiale de ordinul doi.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

LODE cu coeficienți constanți este o formă foarte comună de ecuații diferențiale. Soluția lor nu este deosebit de dificilă. Rădăcinile se găsesc mai întâi ecuație caracteristică ... Pentru p și q diferite, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale și diferite, reale și coincide sau conjugat complex. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, soluția generală a ecuației diferențiale se scrie ca , sau , sau respectiv.

De exemplu, luați în considerare o ecuație diferențială omogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt k 1 = -3 și k 2 = 0. Rădăcinile sunt reale și diferite; prin urmare, soluția generală a LODE cu coeficienți constanți are forma


Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Soluția generală a LDE de ordinul doi cu coeficienți constanți y este căutată ca sumă a soluției generale a LDE corespunzătoare și o soluție specială a originalului ecuație neomogenă, acesta este, . Secțiunea anterioară este dedicată găsirii unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. O anumită soluție este determinată fie prin metoda coeficienților nedefiniti pentru o anumită formă a funcției f (x), care se află în partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda variației constantelor arbitrare.

Ca exemple de LDE de ordinul doi cu coeficienți constanți, dăm


Pentru a înțelege teoria și a vă familiariza cu soluții detaliate de exemple, vă oferim pe pagina ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Ecuații diferențiale liniare omogene (LODE) și ecuații diferențiale neomogene liniare (LDE) de ordinul doi.

Un caz special de ecuații diferențiale de acest tip sunt LODE și LDE cu coeficienți constanți.

Soluția generală a LODE pe un anumit segment este reprezentată de o combinație liniară a două soluții particulare liniar independente y 1 și y 2 ale acestei ecuații, adică .

Principala dificultate constă tocmai în găsirea unor soluții particulare liniar independente ale unei ecuații diferențiale de acest tip. De obicei, anumite soluții sunt alese dintre următoarele sisteme de funcții liniar independente:


Cu toate acestea, soluțiile private nu sunt întotdeauna prezentate în această formă.

Un exemplu de LODU este .

Soluția generală a LHDE este căutată sub forma, unde este soluția generală a LHDE corespunzătoare și este o soluție particulară a ecuației diferențiale inițiale. Tocmai am vorbit despre găsire, dar poate fi determinată folosind metoda variației constantelor arbitrare.

Un exemplu de LNDE este .

Ecuații diferențiale de ordin superior.

Ecuații diferențiale care admit o reducere în ordine.

Ordinea ecuațiilor diferențiale , care nu conține funcția dorită și derivatele ei până la ordinul k-1, poate fi redusă la n-k prin înlocuire.

În acest caz, și ecuația diferențială inițială va fi redusă la. După găsirea soluției sale p (x), rămâne să revenim la înlocuire și să determinăm funcția necunoscută y.

De exemplu, ecuația diferențială după înlocuire, devine o ecuație separabilă, iar ordinea ei va scădea de la a treia la prima.

Adesea o singură mențiune ecuatii diferentialeîi face pe elevi să se simtă inconfortabil. De ce se întâmplă? Cel mai adesea, pentru că atunci când se studiază elementele fundamentale ale materialului, apare o lacună în cunoștințe, din cauza căreia studiul suplimentar al difurei devine doar tortură. Nu este clar ce să faci, cum să decizi de unde să începi?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că diffura nu este atât de dificilă pe cât pare.

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale

Din școală știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsim necunoscutul x. De fapt ecuatii diferentiale doar puțin diferit de ele - în loc de o variabilă NS trebuie să găsiți o funcție în ele y (x) , care transformă ecuația în identitate.

D ecuatii diferentiale sunt de mare importanţă practică. Aceasta nu este o matematică abstractă care nu are nimic de-a face cu lumea din jurul nostru. Multe procese naturale reale sunt descrise folosind ecuații diferențiale. De exemplu, vibrațiile unei corzi, mișcarea unui oscilator armonic, prin intermediul ecuațiilor diferențiale în probleme de mecanică, găsesc viteza și accelerația unui corp. De asemenea DU găsi o largă aplicație în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (DU) Este o ecuație care conține derivatele funcției y (x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diverse combinații.

Există multe tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, liniare și neliniare, omogene și neomogene, ecuații diferențiale de ordinul întâi și superior, ecuații diferențiale parțiale și așa mai departe.

Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care o face o identitate. Există soluții DM generale și specifice.

Soluția generală a DE este setul general de soluții care fac din ecuație o identitate. O soluție parțială a unei ecuații diferențiale este o soluție care satisface conditii suplimentare setat initial.

Ordinea unei ecuații diferențiale este determinată de ordinul cel mai înalt al derivatelor sale.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite Sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Luați în considerare cea mai simplă ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi. Arată ca:

Această ecuație poate fi rezolvată pur și simplu prin integrarea părții sale din dreapta.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații separabile

V vedere generala acest tip de ecuații arată astfel:

Să dăm un exemplu:

Rezolvând o astfel de ecuație, trebuie să separați variabilele, aducând-o la forma:

După aceea, rămâne să integrăm ambele părți și să obținem o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Astfel de ecuații sunt de forma:

Aici p (x) și q (x) sunt câteva funcții ale variabilei independente, iar y = y (x) este funcția necesară. Să dăm un exemplu de astfel de ecuație:

La rezolvarea unei astfel de ecuații, se folosește cel mai adesea metoda de variație a unei constante arbitrare sau funcția dorită este reprezentată ca produs al altor două funcții y (x) = u (x) v (x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesară o anumită pregătire și va fi destul de dificil să le scoateți „de la capăt”.

Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile

Așa că am examinat cele mai simple tipuri de telecomenzi. Acum să analizăm soluția pentru una dintre ele. Să fie o ecuație separabilă.

Mai întâi, să rescriem derivata într-o formă mai familiară:

Apoi împărțim variabilele, adică într-o parte a ecuației vom colecta toate „jocurile”, iar în cealaltă - „xurile”:

Acum rămâne să integrăm ambele părți:

Integram si obtinem solutia generala a acestei ecuatii:

Desigur, rezolvarea ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să fii capabil să înțelegi din ce tip aparține ecuația și, de asemenea, să înveți să vezi ce transformări trebuie să faci cu ea pentru a duce la o formă sau alta, ca să nu mai vorbim doar de capacitatea de diferențiere și integrare. Și este nevoie de practică (ca și în cazul tuturor) pentru a reuși să rezolvi DM. Și dacă ai acest moment nu există timp să ne ocupăm de modul în care se rezolvă ecuațiile diferențiale sau problema Cauchy a devenit ca un os în gât, sau nu știți, contactați autorii noștri. În scurt timp, vă vom oferi un gata făcut și soluție detaliată, pentru a înțelege detaliile cărora le puteți oricând convenabil pentru dvs. Între timp, vă sugerăm să vizionați un videoclip cu tema „Cum se rezolvă ecuații diferențiale”:

O ecuație de forma: se numește ecuație diferențială liniară de ordin superior, unde a 0, a 1, ... și n sunt funcții ale unei variabile x sau ale unei constante și a 0, a 1, ... și n și f (x) sunt considerate continue.

Dacă a 0 = 1 (dacă
atunci poate fi împărțit în el)
ecuația devine:

Dacă
ecuația este neomogenă.

ecuația este omogenă.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n

Ecuații de forma: se numesc ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n.

Următoarele teoreme sunt valabile pentru aceste ecuații:

Teorema 1: Dacă
- solutie , apoi suma
- de asemenea o solutie

Dovada: Înlocuiți suma în

Deoarece derivata oricărui ordin al sumei este egală cu suma derivatelor, atunci se poate regrupa prin extinderea parantezelor:

deoarece y 1 și y 2 sunt o soluție.

0 = 0 (adevărat)
suma este, de asemenea, o decizie.

se demonstrează teorema.

Teorema 2: Dacă y 0 este soluția , atunci
- de asemenea o solutie .

Dovada: Inlocuitor
în ecuație

întrucât C este scos din semnul derivatei, atunci

deoarece soluție, 0 = 0 (adevărat)
Сy 0 este, de asemenea, o soluție.

se demonstrează teorema.

Corolar de la T1 și T2: dacă
- solutii (*)
combinația liniară este de asemenea o soluție (*).

Sisteme de funcții liniar independente și liniar dependente. Determinantul lui Vronsky și proprietățile sale

Definiție: Sistem de funcții
- se numește liniar independent dacă combinația liniară a coeficienților
.

Definiție: Sistem de funcții
- se numește dependent liniar dacă și există coeficienți
.

Luați un sistem de două funcții dependente liniar
deoarece
sau
- condiție independență liniară doua functii.

1)
liniar independent

2)
dependent liniar

3) dependent liniar

Definiție: Este dat un sistem de funcții
- funcţiile variabilei x.

Determinant
-Vronsky determinant pentru un sistem de funcții
.

Pentru un sistem cu două funcții, determinantul Vronsky arată după cum urmează:

Proprietățile determinantului Vronsky:

Teorema: Despre soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi.

Dacă y 1 și y 2 sunt liniare solutii independente ecuația diferențială liniară omogenă de ordinul 2, atunci

solutia generala este:

Dovada:
- decizie pe baza anchetei din T1 si T2.

Daca sunt date conditiile initiale atunci și trebuie găsit fără ambiguitate.

- condiții inițiale.

Să compunem un sistem de găsire și ... Pentru a face acest lucru, înlocuim condițiile inițiale în soluția generală.

determinantul acestui sistem:
- determinant Wronski calculat la punctul x 0

deoarece și liniar independent
(20 fiecare)

întrucât determinantul sistemului nu este egal cu 0, atunci sistemul are o soluție unică și și sunt găsite în mod unic din sistem.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n

Se poate demonstra că ecuația are n soluții liniar independente

Definiție: n soluții liniar independente
se numește ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul n sistem fundamental de decizie.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n, adică (*) este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții:

Unde
- sistemul de soluţie fundamentală.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul 2 cu coeficienți constanți

Acestea sunt ecuații de forma:
, unde p și g sunt numere (*)

Definiție: Ecuația
- sunat ecuație caracteristică ecuație diferențială (*) - o ecuație pătratică obișnuită, a cărei soluție depinde de D, sunt posibile următoarele cazuri:

1) D> 0
- două soluții diferite valide.

2) D = 0
- o rădăcină reală a multiplicității 2.

3) D<0
- două rădăcini complexe conjugate.

Pentru fiecare dintre aceste cazuri, indicăm sistemul fundamental de soluții, compus din 2 funcții și .

Vom arăta că:

1) și - LNZ

2) și - solutie (*)

Luați în considerare cazul 1 D> 0
- 2 rădăcini diferite reale.

NS
ecuația caracteristică:

Luăm drept FSR:

a) arată LNZ

b) arata ca - soluție (*), înlocuitor

+ p
+ g
=0

egalitate adevărată

solutie (*)

se arată în mod similar pentru y 2.

Ieșire:
- FSR (*)
decizie comună

Luați în considerare cazul 2: D = 0
- 1 rădăcină reală a multiplicității 2.

Luăm drept FSR:

LNZ:
LNZ este.

-rezolvarea ecuatiei (vezi cazul 1). Să arătăm asta
- solutie.

înlocuitor în telecomandă

-soluţie.

Ieșire: FSR

Exemplu:

3 caz: D<0
- 2 rădăcini complexe conjugate.

substitui
in caracter. ecuația

un număr complex este 0 când părțile reale și imaginare sunt 0.

- noi vom folosi.

Să arătăm asta
- formează FSR.

A) LNZ:

B)
-soluție DU

egalitate adevărată
- decizia telecomenzii.

Se arată în mod similar că de asemenea o solutie.

Ieșire: FSR:

Decizie comună:

Dacă se setează n.o.

- apoi găsiți mai întâi o soluție generală
, derivata sa:
, și apoi înlocuiesc n.u în acest sistem și găsesc și .

Bine:

Teoria calculului ecuații diferențiale neomogene(DU) nu va fi dat în această publicație, din lecțiile anterioare puteți găsi suficiente informații pentru a găsi răspunsul la întrebare „Cum se rezolvă o ecuație diferențială neomogenă?” Gradul de DE neomogen nu joacă un rol important aici, nu există atât de multe modalități care să vă permită să calculați soluția unui astfel de DE. Pentru a vă facilita citirea răspunsurilor din exemple, accentul principal este pus doar pe metodologia de calcul și sugestiile care vor facilita rezultatul funcției finale.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația diferențială
Soluție: dat ecuație diferențială omogenă de ordinul al treilea,în plus, conține doar derivata a doua și a treia și nu are o funcție și derivata sa prima. În astfel de cazuri aplica metoda scaderii gradului ecuație diferențială. Pentru aceasta se introduce un parametru - notăm derivata a doua prin parametrul p

atunci derivata a treia a functiei este

DE omogen original va fi simplificat la forma

O notăm în diferențe, atunci se reduce la ecuaţia cu variabile separateși găsiți o soluție prin integrare

Rețineți că parametrul este derivata a doua a funcției

prin urmare, pentru a găsi formula funcției în sine, integrăm de două ori dependența diferențială obținută

În funcție, oțelul C 1, C 2, C 3 sunt egale cu valori arbitrare.
Iată cât de simplă arată schema. găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene prin metoda introducerii unui parametru. Următoarele sarcini sunt mai complexe și din ele veți învăța cum să rezolvați ecuații diferențiale neomogene de ordinul trei. În ceea ce privește calculele, există o anumită diferență între DE omogen și neomogen în ceea ce privește calculele, asta o să vezi acum.

Exemplul 2. Găsi
Soluție: Avem a treia comandă. Prin urmare, soluția sa ar trebui căutată sub forma unei sume a două - soluții ale soluțiilor omogene și particulare ale ecuației neomogene

Să decidem mai întâi

După cum puteți vedea, conține doar derivatele a doua și a treia ale funcției și nu conține funcția în sine. De acest fel dif. ecuațiile se rezolvă prin metoda introducerii unui parametru, care în la rândul său, reduce și simplifică găsirea unei soluții la ecuație. În practică, arată astfel: fie derivata a doua să fie egală cu o anumită funcție, atunci derivata a treia va avea în mod formal notația

DE considerat omogen de ordinul trei se transformă în ecuația de ordinul întâi

de unde împărțind variabilele găsim integrala
x * dp-p * dx = 0;

Vă recomandăm să enumerați oțelurile în astfel de probleme, deoarece soluția unei ecuații diferențiale de ordinul al treilea are 3 constante, a patra - 4 și mai departe prin analogie. Acum revenim la parametrul introdus: întrucât derivata a doua are forma, integrând-o o dată, avem o dependență pentru derivata funcției

iar prin integrare repetată găsim vedere generală a unei funcții omogene

Rezolvare parțială a ecuației poate fi scrisă ca o variabilă înmulțită cu logaritmul. Aceasta rezultă din faptul că partea dreaptă (neuniformă) a DE este egală cu -1 / x și pentru a obține o înregistrare echivalentă

solutia trebuie cautata in forma

Să găsim coeficientul A, pentru aceasta calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea

Înlocuiți expresiile găsite în ecuația diferențială inițială și egalați coeficienții la aceleași puteri ale lui x:

Cel vechi este egal cu -1/2 și are forma

Soluție generală a unei ecuații diferențialeîl notăm ca sumă a celor găsite

unde C 1, C 2, C 3 sunt constante arbitrare care pot fi rafinate din problema Cauchy.

Exemplul 3. Găsiți integrala DE de ordinul trei
Rezolvare: Căutăm integrala generală a DE neomogen de ordinul trei sub forma sumei soluțiilor ecuațiilor omogene și neomogene parțiale. În primul rând, pentru orice tip de ecuații, începem analiza ecuația diferențială omogenă

Conține doar derivatele a doua și a treia ale funcției încă necunoscute. Introducem o modificare de variabile (parametru): notăm cu derivata a doua

Atunci a treia derivată este

Aceleași transformări au fost efectuate în sarcina anterioară. Asta permite reduceți o ecuație diferențială de ordinul trei la o ecuație de ordinul întâi de forma

Integrarea pe care o găsim

Amintiți-vă că, în funcție de schimbarea variabilelor, aceasta este doar derivata a doua

și pentru a găsi o soluție la o ecuație diferențială omogenă de ordinul trei, aceasta trebuie integrată de două ori

Pe baza vederii din partea dreaptă (partea neuniformă = x + 1), căutăm o soluție parțială a ecuației în forma

Cum să știi sub ce formă să cauți o soluție parțială ar fi trebuit să fii învățat în partea teoretică a cursului de ecuații diferențiale. Dacă nu, atunci putem doar sugera ce fel de funcție este aleasă o expresie, astfel încât, atunci când este substituită în ecuație, termenul care conține cea mai mare derivată sau mai tânără să fie de același ordin de mărime (similar) cu partea neomogenă a ecuației

Cred că acum este mai clar pentru tine de unde vine tipul de soluție privată. Să găsim coeficienții A, B, pentru aceasta calculăm derivatele a doua și a treia ale funcției

și înlocuiți-l în ecuația diferențială. După gruparea termenilor similari, obținem ecuația liniară

din care pentru aceleaşi grade ale variabilei compunem un sistem de ecuații

și găsim oțel necunoscut. După înlocuirea lor, se exprimă prin dependență

Soluție generală a unei ecuații diferențiale este egală cu suma omogene și parțiale și are forma

unde С 1, С 2, С 3 sunt constante arbitrare.

Exemplul 4. P Găsiți o ecuație diferențială
Soluție: Avem o soluție pe care o vom găsi prin sumă. Cunoașteți schema de calcul, așa că să trecem la luare în considerare ecuație diferențială omogenă

Conform metodei standard introducem parametrul
Ecuația diferențială inițială va lua forma, de unde împărțind variabilele pe care le găsim

Reamintim că parametrul este egal cu derivata a doua
Integrând DE, obținem derivata întâi a funcției

Reintegrare găsiți integrala generală a ecuației diferențiale omogene

Căutăm o soluție parțială a ecuației în formăîntrucât partea dreaptă este
Găsiți coeficientul A - pentru aceasta înlocuim y * în ecuația diferențială și echivalăm coeficientul la aceleași puteri ale variabilei

După înlocuirea și gruparea termenilor, obținem dependența

din care oţelul este egal cu A = 8/3.
Astfel, putem scrie soluție parțială a DE

Soluție generală a unei ecuații diferențiale este egală cu suma găsite

unde С 1, С 2, С 3 sunt constante arbitrare. Dacă este dată starea Cauchy, atunci acestea pot fi extinse foarte ușor.

Consider că materialul vă va fi de folos în pregătirea exercițiilor practice, modulelor sau testelor. Nu am discutat aici problema Cauchy, dar din lecțiile anterioare știi în general să o faci.