Sarcinile rezolvate prin metodele LP sunt foarte diverse ca conținut. Dar modelele lor matematice sunt similare și sunt combinate condiționat în trei grupuri mari de probleme:

• sarcini de transport;
• sarcini de planificare;

Să luăm în considerare exemple de probleme economice specifice de fiecare tip și să ne oprim în detaliu asupra construirii unui model pentru fiecare problemă.

Sarcina de transport

Pe două baze de tranzacționare Ași V Există 30 de seturi de mobilier, câte 15 pentru fiecare. Toată mobila trebuie livrată la două magazine de mobilă, CUși D si in CU trebuie să livrați 10 căști și în D- 20. Se știe că livrarea unei căști de la bază A la magazin CU costă o unitate monetară, la magazin D- în trei unităţi monetare. Conform bazei V la magazine CUși D: două și cinci unități monetare. Faceți un plan de transport, astfel încât costul tuturor transportului să fie cel mai mic.
Pentru comoditate, notăm aceste sarcini într-un tabel. La intersecția rândurilor și coloanelor se află numere care caracterizează costul transportului respectiv (Tabelul 3.1).

Tabelul 3.1

Să facem un model matematic al problemei.
Trebuie introduse variabile. Formularea întrebării spune că este necesar să se întocmească un plan de transport. Notează prin X 1 , X 2 număr de căști transportate de la bază A la magazine CUși D respectiv, şi prin la 1 , la 2 - numărul de căști transportate de la bază V la magazine CUși D respectiv. Apoi cantitatea de mobilier scoasă din depozit A, este egal cu ( X 1 + X 2) bine din stoc V - (la 1 + la 2). Nevoia magazinului CU este egal cu 10 căști și l-au adus ( X 1 + la 1) bucăți, adică X 1 + la 1 = 10. La fel, pentru magazin D noi avem X 2 + la 2 = 20. Rețineți că nevoile magazinelor sunt exact egale cu numărul de căști din stoc, deci X 1 + la 2 = 15 și la 1 + la 2 = 15. Daca ai lua mai putin de 15 seturi din depozite, atunci magazinele nu ar avea suficient mobilier pentru a le satisface nevoile.
Deci variabilele X 1 , X 2 , la 1 , la 2 sunt nenegative în sensul problemei și satisfac sistemul de constrângeri:
(3.1)
Indicând prin F costurile de transport, să le numărăm. pentru transportul unui set de mobilier din A v CU petrece o zi. unitati, pentru transport X 1 set - X 1 zi unitati La fel, pentru transport X 2 seturi de A v D cost 3 X 2 zile unități; din V v CU - 2y 1 zi unitati, de la V v D - 5y 2 zile unitati
Asa de,
F = 1X 1 + 3X 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3,2)
(dorim ca costul total al transportului sa fie cat mai mic posibil).
Să formulăm problema matematic.
Pe setul de soluții ale sistemului de constrângeri (3.1), găsiți o soluție care minimizează funcția obiectiv F(3.2) sau găsiți planul optim ( X 1 , X 2, y 1 , y 2) determinată de sistemul de constrângeri (3.1) și funcția obiectiv (3.2).
Problema pe care am luat-o în considerare poate fi reprezentată într-un mai mult vedere generala, cu orice număr de furnizori și consumatori.
În problema pe care am luat-o în considerare, disponibilitatea mărfurilor de la furnizori (15 + 15) este egală cu nevoia totală a consumatorilor (10 + 20). Un astfel de model se numește închis, iar sarcina corespunzătoare este transport echilibrat sarcină.
În calculele economice, așa-numitul modele deschise, în care nu se respectă egalitatea specificată. Fie oferta furnizorilor este mai mare decât cererea consumatorilor, fie cererea depășește disponibilitatea bunurilor. rețineți că atunci sistemul de constrângeri al problemei transportului dezechilibrat, împreună cu ecuațiile, vor include și inegalități.

Luați în considerare un exemplu de problemă de transport dezechilibrată.
În puncte Ași V fabricile de cărămidă sunt situate, iar în CUși D- Cariere care le aprovizionează cu nisip. necesarul de nisip în fabrici este mai mic decât productivitatea carierelor. Se stie de cat nisip are nevoie fiecare dintre fabrici si cat se extrage in fiecare cariera. Se cunoaște și costul transportului a 1 tonă de nisip din fiecare carieră la fabrici (numerele de pe săgeți). Este necesar să se planifice aprovizionarea fabricilor cu nisip în așa fel încât costul de transport să fie cel mai mic. Datele sarcinii din diagramă.

Construim un model matematic al problemei.
Să introducem variabile:
X 11 - numărul de tone de nisip transportate din carieră CU la fabrică A;
X 12 - dintr-o cariera CU la fabrică A;
X 21 - numărul de tone de nisip în A dintr-o cariera D;
X 22 - numărul de tone de nisip din carieră D la fabrică V.
La fabrică A Din ambele cariere trebuie livrate 40 de tone, adică X 11 + X 21 = 40, din fabrică V Trebuie livrate 50 de tone, adică X 12 + X 22 = 50. Din cariera CU nu au fost exportate mai mult de 70 de tone, i.e. X 11 + X 12 ≤ 70, similar X 21 + X 22 ≤ 30. Avem un sistem de restricții:
(3.3)
Și funcția obiectivă F, exprimând costul transportului, are forma
F = 2X 11 + 6X 12 + 5X 21 + 3X 22→min. (3,4)

Sarcina de a elabora un plan

O anumită fabrică trebuie să elaboreze un plan optim pentru producția a două tipuri de produse care sunt procesate pe patru tipuri de mașini. Sunt cunoscute anumite capacități și performanțe hardware; prețul produselor care oferă un profit fabricii este de 4 mii de ruble. pentru un produs de tip I, 6 mii de ruble. - pentru un produs de tip II. Întocmește un plan de producție a acestor produse, astfel încât fabrica să primească cel mai mare profit din vânzarea acestora. Tabelul arată timpul necesar procesării fiecăruia dintre cele două tipuri de produse pe echipamente de toate cele patru tipuri (Tabelul 3.2).

Tabelul 3.2

Produse	Tipuri de mașini
	1	2	3	4
eu	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Orele posibile ale mașinii	18	12	12	9

Să construim un model matematic.
În problemă, este necesar să se determine planul pentru producția de produse, notează prin X numarul de produse de tip I, pt y- numarul de produse de tip II. Apoi calculăm cât timp va petrece prima mașină pentru procesarea tuturor produselor de producție. Ea petrece o unitate de timp pe un articol de tip I, ceea ce înseamnă X bucăți de produse vor cheltui 1 X unitati timp pentru procesare y produsele de tip II vor costa 1 y unitati timp. În total, rezerva de timp pentru funcționarea primei mașini este de 18 unități de timp. Mijloace, X + y≤ 18. Raționament similar cu a doua mașină, a treia și a patra va da un sistem de restricții:
(3.5)
Profitul total va fi exprimat în funcție obiectivă:
F = 4X + 6y → max. (3,6)
Problema este de a găsi pe mulțimea soluțiilor sistemului (3.5) o astfel de soluție pentru care valoarea funcției obiectiv (3.6) să fie maximă.

Sarcina de amestecare

O altă problemă comună LP este problema compoziției amestecului. Un exemplu de astfel de sarcini poate fi sarcina de a compila astfel de amestecuri de produse petroliere care să îndeplinească anumite cerințe tehnice și să fie cele mai ieftine din punct de vedere al costului. Sau sarcini legate de alimentație, când se cunoaște nevoia anumitor substanțe și conținutul acestor substanțe în diverse produse. Este necesar să se compună dieta în așa fel încât să satisfacă nevoile de substanțe necesare și în același timp coșul alimentar ar avea un cost minim la prețuri date la alimente.
Sarcini aproape similare sunt stabilite, de exemplu, în orice fermă de animale și au o gamă foarte largă de aplicații.
Luați în considerare un exemplu. Pentru puii de îngrășat într-o fermă de păsări, dieta lor trebuie să includă cel puțin 33 de unități din substanță A, 23 de unități nutritive V, 12 unitati CU. Pentru îngrășare se folosesc trei tipuri de furaje. Datele privind conținutul de nutrienți din fiecare tip de furaj sunt date în tabel. Costul hranei este de asemenea cunoscut. Este necesar să se facă cea mai ieftină dietă (Tabelul 3.3).

Tabelul 3.3

Produse furajere	Substanțe			Costul 1 unitate. rautacios
	A	V	CU
eu	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Pentru a înțelege problema, vă puteți imagina că substanțele A, V, CU- acestea sunt grăsimi, proteine, carbohidrați, iar produsele I, II, III sunt cu care se hrănesc puii, de exemplu, mei, hrana compusă, suplimente de vitamine. Apoi, prima linie a tabelului arată conținutul într-o unitate de mei: 4 unități. proteine, 3 unități. grăsime, o unitate carbohidrați. A doua linie - conținutul de proteine, grăsimi, carbohidrați într-o unitate. II produs etc.
Dacă enunțul problemei este clar, se trece la construirea unui model matematic.
Ca răspuns la sarcină, trebuie să oferim o dietă, adică să indicăm cât de mult și ce fel de hrană să luăm astfel încât cantitatea necesară de nutrienți să fie îndeplinită și, în același timp, să coste cât mai puțin posibil.
Prin urmare, să notăm X 1 cantitate de hrană de tip I în dietă, per X 2 - cantitatea de furaj de tip II și, în consecință, X 3 - cantitatea de furaj III din dietă. Apoi substanțele A atunci când mănâncă această dietă, puii vor primi 4 X 1 - la consumarea produselor de tip I, 3 X 2 - la consumarea produsului II, 2 X 3 - la consum III. Substanța totală Aîn funcție de starea problemei, este necesar să se utilizeze cel puțin 33 de unități, deci 4 X 1 + 3X 2 + 2X 3 ≥ 33.
Argumentând în mod similar cu substanțele Vși CU, noi avem:
3X 1 + 2X 2 + 1X 3 ≥ 23 și X 1 + X 2 + 2X 3 ≥ 12.
Astfel, obținem un sistem de restricții:
(3.7)
Variabilele sunt nenegative în sensul problemei. În acest caz, costul dietei este exprimat prin funcția:
F = 20X 1 + 20X 2 + 10X 3 → min, (3,8)
deoarece 20, 20, 10 - costul unei unități. produse de tipurile I, II, respectiv III, iar dieta lor conține X 1 , X 2 , X 3 unitati.
Sistemul de constrângeri (3.7) împreună cu funcția obiectiv (3.8) constituie modelul matematic al problemei inițiale. A rezolva înseamnă a găsi X 1 , X 2 , X 3 satisfacerea sistemului de constrângeri și inversarea valorii funcției F la minim.

Aranjarea tipurilor de nave de-a lungul liniilor

Construiți un astfel de plan pentru amplasarea a două tipuri de nave de-a lungul a trei linii care ar asigura capacitatea totală maximă de transport a flotei, dar nu mai puțin decât volumul de trafic specificat pe linii.

Tipul vasului	Productivitatea navei, milioane de tone-mile pe zi			Perioada de funcționare, zile
	prima linie	a 2-a linie	a 3-a linie
1	p 11	p 12	p 13	s 1
2	p21	p22	p 23	s2
Volumul țintă de transport, milioane de tone-mile	V 1	V 2	V 3

Modelul economico-matematic al problemei.
Restricții pentru perioada de funcționare:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Restricții de aprovizionare:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

funcție obiectivă
p 11 x 1 +p 12 x 2 +p 13 x 3 +p 21 x 4 +p 22 x 5 +p 23 x 6 → max

Întrebări pentru autocontrol
1. Enunțarea problemei transportului. descrie construirea unui model matematic.
2. Ce este o problemă de transport echilibrat și dezechilibrat?
3. Ce se calculează în funcția obiectivă a sarcinii de transport?
4. Ce reflectă fiecare inegalitate a sistemului de constrângeri a problemei planului?
5. Ce reflectă fiecare inegalitate a sistemului de constrângeri a problemei amestecului?
6. Ce înseamnă variabilele în problema planului și problema amestecului?

Modelare matematică

1. Ce este modelarea matematică?

De la mijlocul secolului XX. utilizat pe scară largă în diverse domenii ale activității umane metode matematice si calculator. Au apărut noi discipline precum „economia matematică”, „chimia matematică”, „lingvistica matematică” etc., care studiază modelele matematice ale obiectelor și fenomenelor relevante, precum și metodele de studiu a acestor modele.

Un model matematic este o descriere aproximativă a oricărei clase de fenomene sau obiecte lumea realaîn limbajul matematicii. Scopul principal al modelării este de a explora aceste obiecte și de a prezice rezultatele observațiilor viitoare. Cu toate acestea, modelarea este și o metodă de cunoaștere a lumii înconjurătoare, ceea ce face posibilă controlul acesteia.

Modelarea matematică și experimentul computerizat asociat sunt indispensabile în cazurile în care un experiment la scară completă este imposibil sau dificil dintr-un motiv sau altul. De exemplu, este imposibil să înființați un experiment la scară completă în istorie pentru a verifica „ce s-ar întâmpla dacă...” Este imposibil să verificați corectitudinea uneia sau aceleia dintre teorii cosmologice. În principiu, este posibil, dar deloc rezonabil, să experimentezi răspândirea unui fel de boală, cum ar fi ciuma, sau să faci o explozie nucleară pentru a studia consecințele acesteia. Totuși, toate acestea se pot face pe un computer, având în prealabil construit modele matematice ale fenomenelor studiate.

2. Principalele etape ale modelării matematice

1) Construire model. În această etapă, este specificat un obiect „nematematic” - un fenomen natural, construcție, plan economic, proces de producție etc. În acest caz, de regulă, o descriere clară a situației este dificilă. În primul rând, sunt identificate principalele trăsături ale fenomenului și relația dintre ele la nivel calitativ. Apoi dependențele calitative găsite sunt formulate în limbajul matematicii, adică se construiește un model matematic. Aceasta este cea mai dificilă parte a modelării.

2) Rezolvare problema matematica, la care duce modelul. În această etapă, se acordă multă atenție dezvoltării algoritmilor și metodelor numerice de rezolvare a problemei pe un computer, cu ajutorul cărora rezultatul poate fi găsit cu precizia necesară și în timpul permis.

3) Interpretarea consecinţelor obţinute din modelul matematic. Consecințele derivate din modelul în limbajul matematicii sunt interpretate în limbajul acceptat în acest domeniu.

4) Verificarea adecvării modelului.În această etapă, se află dacă rezultatele experimentului sunt de acord cu consecințele teoretice ale modelului într-o anumită acuratețe.

5) Modificarea modelului.În această etapă, fie modelul devine mai complex astfel încât să fie mai adecvat realității, fie se simplifică pentru a obține o soluție practic acceptabilă.

3. Clasificarea modelelor

Modelele pot fi clasificate după diferite criterii. De exemplu, în funcție de natura problemelor care se rezolvă, modelele pot fi împărțite în funcționale și structurale. În primul caz, toate mărimile care caracterizează un fenomen sau obiect sunt exprimate cantitativ. În același timp, unele dintre ele sunt considerate ca variabile independente, în timp ce altele sunt considerate ca funcții ale acestor cantități. Un model matematic este de obicei un sistem de ecuații de diferite tipuri (diferențial, algebric etc.) care stabilesc relații cantitative între mărimile luate în considerare. În al doilea caz, modelul caracterizează structura unui obiect complex, format din părți separate, între care există anumite conexiuni. De obicei, aceste relații nu sunt cuantificabile. Pentru a construi astfel de modele, este convenabil să folosiți teoria grafurilor. Un graf este un obiect matematic, care este un set de puncte (vârfurile) pe un plan sau în spațiu, dintre care unele sunt conectate prin linii (margini).

După natura datelor inițiale și a rezultatelor predicției, modelele pot fi împărțite în deterministe și probabilistic-statistice. Modelele de primul tip oferă predicții clare, fără ambiguitate. Modelele de al doilea tip se bazează pe informații statistice, iar predicțiile obținute cu ajutorul lor sunt de natură probabilistică.

4. Exemple de modele matematice

1) Probleme legate de mișcarea proiectilului.

Luați în considerare următoarea problemă în mecanică.

Proiectil tras de pe Pământ viteza initiala v 0 = 30 m/s la un unghi a = 45° față de suprafața sa; este necesar să se găsească traiectoria mișcării sale și distanța S dintre punctele de început și de sfârșit ale acestei traiectorii.

Apoi, după cum se știe de la cursul de fizică școlară, mișcarea proiectilului este descrisă prin formulele:

unde t - timpul, g = 10 m / s 2 - accelerația de cădere liberă. Aceste formule oferă modelul matematic al sarcinii. Exprimând t în termeni de x din prima ecuație și înlocuindu-l în a doua, obținem ecuația pentru traiectoria proiectilului:

Această curbă (parabola) intersectează axa x în două puncte: x 1 \u003d 0 (începutul traiectoriei) și (locul unde a căzut proiectilul). Înlocuind valorile date v0 și a în formulele obținute, obținem

răspuns: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Rețineți că în construcția acestui model au fost utilizate o serie de ipoteze: de exemplu, se presupune că Pământul este plat, iar aerul și rotația Pământului nu afectează mișcarea proiectilului.

2) Problema unui rezervor cu cea mai mică suprafață.

Se cere să se afle înălțimea h 0 și raza r 0 a unui rezervor de tablă cu volumul V = 30 m 3, având forma unui cilindru circular închis, la care suprafața sa S este minimă (în acest caz, cea mai mică cantitatea de cositor va fi folosită pentru fabricarea acestuia).

Scriem următoarele formule pentru volumul și suprafața unui cilindru cu înălțimea h și raza r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Exprimând h în termeni de r și V din prima formulă și înlocuind expresia rezultată în a doua, obținem:

Astfel, din punct de vedere matematic, problema se reduce la determinarea valorii lui r la care functia S(r) atinge minimul ei. Să găsim acele valori ale lui r 0 pentru care derivată

merge la zero: Puteți verifica că derivata a doua a funcției S(r) își schimbă semnul din minus în plus când argumentul r trece prin punctul r 0 . Prin urmare, funcția S(r) are un minim în punctul r0. Valoarea corespunzătoare h 0 = 2r 0 . Substituind valoarea dată V în expresia pentru r 0 și h 0, obținem raza dorită si inaltime

3) Sarcina de transport.

În oraș există două depozite de făină și două brutării. În fiecare zi, din primul depozit se exportă 50 de tone de făină, iar din al doilea către fabrici 70 de tone, cu 40 de tone către primul și 80 de tone către al doilea.

Notează prin A ij este costul transportului a 1 tonă de făină de la i-a depozit la j-a uzină (i, j = 1,2). Lăsa

A 11 \u003d 1,2 p., A 12 \u003d 1,6 p., A 21 \u003d 0,8 p., A 22 = 1 p.

Cum ar trebui planificat transportul astfel încât costul lor să fie minim?

Să dăm problemei o formulare matematică. Notăm cu x 1 și x 2 cantitatea de făină care trebuie transportată din primul depozit la prima și a doua fabrică, iar prin x 3 și x 4 - de la al doilea depozit la prima, respectiv a doua fabrică. Atunci:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Costul total al tuturor transportului este determinat de formula

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Din punct de vedere matematic, sarcina este de a găsi patru numere x 1 , x 2 , x 3 și x 4 care să satisfacă toate condițiile date și să dea minimul funcției f. Să rezolvăm sistemul de ecuații (1) în raport cu xi (i = 1, 2, 3, 4) prin metoda eliminării necunoscutelor. Înțelegem asta

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

iar x 4 nu poate fi determinat în mod unic. Deoarece x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), din ecuațiile (2) rezultă că 30J x 4 J 70. Înlocuind expresia pentru x 1 , x 2 , x 3 în formula pentru f, obținem

f \u003d 148 - 0,2x 4.

Este ușor de observat că minimul acestei funcții este atins la valoarea maximă posibilă a x 4, adică la x 4 = 70. Valorile corespunzătoare ale altor necunoscute sunt determinate de formulele (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problema dezintegrarii radioactive.

Fie N(0) numărul inițial de atomi ai substanței radioactive și N(t) numărul de atomi nedezintegrați la momentul t. S-a stabilit experimental că rata de modificare a numărului acestor atomi N „(t) este proporțională cu N (t), adică N” (t) \u003d -l N (t), l > 0 este constanta de radioactivitate a unei substanțe date. În cursul școlar de analiză matematică se arată că soluția acestei ecuații diferențiale are forma N(t) = N(0)e –l t . Timpul T, în care numărul de atomi inițiali s-a redus la jumătate, se numește timp de înjumătățire și este o caracteristică importantă a radioactivității unei substanțe. Pentru a determina T, este necesar să introduceți formula Atunci De exemplu, pentru radon l = 2,084 10–6 și, prin urmare, T = 3,15 zile.

5) Problema vânzătorului ambulant.

Un vânzător ambulant care locuiește în orașul A 1 trebuie să viziteze orașele A 2 , A 3 și A 4 , fiecare oraș exact o dată, apoi să se întoarcă înapoi la A 1 . Se știe că toate orașele sunt conectate în perechi prin drumuri, iar lungimile drumurilor b ij dintre orașele A i și A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sunt următoarele:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Este necesar să se determine ordinea orașelor vizitate, în care lungimea căii corespunzătoare este minimă.

Să înfățișăm fiecare oraș ca un punct pe plan și să-l marchem cu eticheta corespunzătoare Ai (i = 1, 2, 3, 4). Să conectăm aceste puncte cu segmente de linie: ele vor reprezenta drumuri între orașe. Pentru fiecare „drum”, indicăm lungimea în kilometri (Fig. 2). Rezultatul este un grafic - un obiect matematic format dintr-un anumit set de puncte de pe plan (numite vârfuri) și un anumit set de linii care leagă aceste puncte (numite muchii). Mai mult decât atât, acest grafic este etichetat, deoarece unele etichete sunt atribuite vârfurilor și muchiilor sale - numere (margini) sau simboluri (verduri). Un ciclu pe un grafic este o succesiune de vârfuri V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 astfel încât vârfurile V 1 , ..., V k sunt diferite și orice pereche de vârfuri Vi , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) și perechea V 1 , V k sunt legate printr-o muchie. Astfel, problema luată în considerare este de a găsi un astfel de ciclu pe graficul care trece prin toate cele patru vârfuri pentru care suma tuturor greutăților muchiilor este minimă. Să căutăm prin toate ciclurile diferite care trec prin patru vârfuri și începând cu A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Acum să aflăm lungimile acestor cicluri (în km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Deci, traseul cu cea mai mică lungime este primul.

Rețineți că dacă există n vârfuri într-un grafic și toate vârfurile sunt conectate în perechi prin muchii (un astfel de grafic se numește complet), atunci numărul de cicluri care trec prin toate nodurile este egal. Prin urmare, în cazul nostru există exact trei cicluri .

6) Problema găsirii unei legături între structura și proprietățile substanțelor.

Luați în considerare câțiva compuși chimici numiți alcani normali. Ele constau din n atomi de carbon și n + 2 atomi de hidrogen (n = 1, 2 ...), interconectați așa cum se arată în figura 3 pentru n = 3. Fie cunoscute valorile experimentale ale punctelor de fierbere ale acestor compuși:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Este necesar să se găsească o relație aproximativă între punctul de fierbere și numărul n pentru acești compuși. Presupunem că această dependență are forma

y » A n+b

Unde A, b - constante de determinat. Pentru găsire Ași b înlocuim în această formulă succesiv n = 3, 4, 5, 6 și valorile corespunzătoare ale punctelor de fierbere. Noi avem:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+b.

Pentru a determina cel mai bun Ași b există multe metode diferite. Să folosim cele mai simple dintre ele. Exprimăm b în termeni de A din aceste ecuații:

b" - 42 - 3 A, b » – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Să luăm ca b dorită media aritmetică a acestor valori, adică punem b » 16 - 4,5 A. Să substituim această valoare b în sistemul original de ecuații și, calculând A, primim pentru A urmatoarele valori: A» 37, A» 28, A» 28, A» 36 A valoarea medie a acestor numere, adică stabilim A» 34. Deci, ecuaţia dorită are forma

y » 34n – 139.

Să verificăm acuratețea modelului pe primii patru compuși, pentru care calculăm punctele de fierbere folosind formula obținută:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Astfel, eroarea de calcul a acestei proprietăți pentru acești compuși nu depășește 5°. Folosim ecuația rezultată pentru a calcula punctul de fierbere al unui compus cu n = 7, care nu este inclus în mulțimea inițială, pentru care înlocuim n = 7 în această ecuație: y р (7) = 99°. Rezultatul s-a dovedit a fi destul de precis: se știe că valoarea experimentală a punctului de fierbere y e (7) = 98°.

7) Problema determinării fiabilității circuitului electric.

Aici luăm în considerare un exemplu de model probabilistic. Mai întâi, să oferim câteva informații din teoria probabilității - o disciplină matematică care studiază tiparele fenomenelor aleatorii observate în timpul repetății repetate a unui experiment. Să numim un eveniment aleatoriu A un posibil rezultat al unei anumite experiențe. Evenimentele A 1 , ..., A k formează un grup complet dacă unul dintre ele are loc în mod necesar ca rezultat al experimentului. Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot avea loc simultan în aceeași experiență. Fie ca evenimentul A să se întâmple de m ori în timpul repetării de n ori a experimentului. Frecvența evenimentului A este numărul W = . În mod evident, valoarea lui W nu poate fi prezisă exact până când nu au fost efectuate o serie de n experimente. Cu toate acestea, natura evenimentelor aleatoare este de așa natură încât în ​​practică se observă uneori următorul efect: odată cu creșterea numărului de experimente, valoarea practic încetează să fie aleatoare și se stabilizează în jurul unui număr non-aleatoriu P(A), numit probabilitatea evenimentului A. Pentru un eveniment imposibil (care nu are loc niciodată în experiment) P(A)=0, iar pentru un anumit eveniment (care are loc întotdeauna în experiment) P(A)=1. Dacă evenimentele A 1 , ..., A k formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci P(A 1)+...+P(A k)=1.

Să fie, de exemplu, experiența constă în aruncarea unui zar și observarea numărului de puncte aruncate X. Apoi putem introduce următoarele evenimente aleatoare A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Ele formează un grup complet de evenimente incompatibile la fel de probabile, deci P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Suma evenimentelor A și B este evenimentul A + B, care constă în faptul că cel puțin unul dintre ele are loc în experiment. Produsul evenimentelor A și B este evenimentul AB, care constă în apariția simultană a acestor evenimente. Pentru evenimentele independente A și B, formulele sunt adevărate

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Luați în considerare acum următoarele sarcină. Să presupunem că trei elemente sunt conectate în serie într-un circuit electric, funcționând independent unul de celălalt. Probabilitățile de eșec ale elementului 1, 2 și 3 sunt respectiv P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Vom considera circuitul fiabil dacă probabilitatea ca în circuit să nu existe curent nu este mai mare de 0,4. Este necesar să se determine dacă lanțul dat este fiabil.

Deoarece elementele sunt conectate în serie, nu va exista curent în circuit (evenimentul A) dacă cel puțin unul dintre elemente se defectează. Fie A i evenimentul care i-lea element lucrează (i = 1, 2, 3). Atunci P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Evident, A 1 A 2 A 3 este evenimentul în care toate cele trei elemente lucrează simultan și

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Atunci P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, deci P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

În concluzie, remarcăm că exemplele de modele matematice de mai sus (printre care se numără funcționale și structurale, deterministe și probabiliste) sunt ilustrative și, evident, nu epuizează întreaga varietate de modele matematice care apar în științele naturale și umane.

1. Modelare matematică

și procesul de creare a unui model matematic.

Modelare matematică este o metodă de studiu a obiectelor și proceselor din lumea reală folosind descrierile lor aproximative în limbajul matematicii - modele matematice.

Procesul de creare a unui model matematic poate fi împărțit condiționat în mai multe etape principale:

1) construirea unui model matematic;

2) formularea, cercetarea și rezolvarea problemelor de calcul corespunzătoare;

3) verificarea calitatii modelului in practica si modificarea modelului.

Luați în considerare conținutul principal al acestor etape.

Construirea unui model matematic. Un model matematic este o expresie analitică care se găsește ca urmare a analizei unui anumit sistem fizic sau fenomen, care include mai mulți parametri necunoscuți ai acestui sistem sau fenomen, care urmează să fie determinați pe baza datelor experimentale. Cu ajutorul observațiilor și experimentelor, practicile relevă principalele „caracteristici” ale fenomenului, care sunt comparate cu unele cantități. De regulă, aceste mărimi iau valori numerice, adică sunt variabile, vectori, matrice, funcții etc.

Legăturile interne stabilite între „caracteristicile” fenomenului sunt date sub formă de egalități, inegalități, ecuații și structuri logice care leagă mărimile incluse în modelul matematic. Astfel, modelul matematic devine o înregistrare în limbajul matematicii a legilor naturii.

Subliniem că modelul matematic reprezintă inevitabil un compromis între complexitatea infinită a fenomenului studiat și simplitatea dorită a descrierii acestuia.

Modelele matematice sunt adesea împărțite în statice și dinamice. Model static descrie un fenomen sau o situație pe presupunerea completității, imuabilității lor (adică în statică). Model dinamic descrie modul în care un fenomen decurge sau o situație se schimbă de la o stare la alta (adică, în dinamică). Când se utilizează modele dinamice, de regulă, se setează starea inițială a sistemului, apoi se studiază schimbarea acestei stări în timp. În modelele dinamice, soluția dorită este adesea o funcție de timp y=y(t), variabil tîn astfel de modele, de regulă, se distinge și joacă un rol special.

Enunțarea, cercetarea și rezolvarea problemelor de calcul. Pentru a afla valorile cantităților care prezintă interes pentru cercetător sau pentru a afla caracterul dependenței de alte mărimi incluse în modelul matematic, se pun și apoi se rezolvă probleme matematice.

Să dezvăluim principalele tipuri de probleme de rezolvat. Pentru a face acest lucru, împărțim condiționat toate cantitățile incluse în modelul matematic în trei grupuri:

1) date inițiale (de intrare) x,

2) parametrii modeluluiA,

3) soluția dorită (date de ieșire) y.

unu). Cea mai comună soluție este așa-numita sarcini directe, a cărui setare este următoarea: valoare dată date de intrare X pentru valori fixe ale parametrilor A trebuie sa gasesti o solutie y. Procesul de rezolvare a unei probleme directe poate fi considerat ca o modelare matematică a unei relații cauză-efect inerente unui fenomen. Apoi intrarea X caracterizează „cauzele” fenomenului, care sunt date și variate în procesul cercetării, și soluția dorită y -"consecinţă".

Pentru ca descrierea matematică să fie aplicabilă nu unui singur fenomen, ci unei game largi de fenomene apropiate în natură, în realitate nu se construiește un singur model matematic, ci o anumită familie parametrică de modele. Alegerea unui model specific din această familie se realizează prin fixarea valorilor parametrilor modelului A. De exemplu, unii dintre coeficienții incluși în ecuații pot acționa ca atare parametri.

2). Un rol important îl joacă soluția așa-zisului probleme inverse constând în definirea datelor de intrare X pentru această valoare la(parametrii modelului A, ca în problema directă, sunt remediate). Rezolvarea problemei inverse este, într-un anumit sens, o încercare de a afla ce „motive” X a dus la binecunoscuta „consecință” y. De obicei, probleme inverse sunt mai greu de rezolvat decât cele directe.

3). Pe lângă cele două tipuri de sarcini luate în considerare, trebuie menționat încă un tip - sarcini de identificare.În sens larg, sarcina identificării unui model este sarcina de a alege dintre numeroasele modele posibile pe cel care descrie cel mai bine fenomenul studiat. În această formulare, această problemă arată ca o problemă practic de nerezolvat. Cel mai adesea, problema identificării este înțeleasă în sens restrâns, ca problema alegerii unui anumit model matematic dintr-o familie parametrică dată de modele (folosind alegerea parametrilor săi a), pentru a coordona consecințele modelului cu rezultate ale observaţiilor într-un mod optim în sensul unui anumit criteriu.

Aceste trei tipuri de probleme (probleme directe, inverse și de identificare) vor fi numite sarcini de calcul. Pentru comoditatea prezentării, în cele ce urmează, indiferent de tipul problemei care se rezolvă, vom numi setul de mărimi de determinat solutia doritași notat cu y,și setul de valori date de intrareși notat cu X.

De regulă, soluția unei probleme de calcul nu poate fi exprimată în termeni de date de intrare sub forma unei formule finite. Totuși, asta nu înseamnă deloc că nu poate fi găsită o soluție la o astfel de problemă. Există metode speciale numite numeric(sau tehnica de calcul). Ele vă permit să reduceți primirea valorii numerice a soluției la o secvență de operații aritmetice asupra valorilor numerice ale datelor de intrare. Cu toate acestea, metodele numerice au fost rareori folosite pentru a rezolva probleme, deoarece utilizarea lor implică efectuarea unei cantități gigantice de calcule. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, înainte de apariția computerelor, a fost necesar să se evite utilizarea modelelor matematice complexe și să se studieze fenomene în cele mai simple situații, când este posibil să se găsească solutie analitica. Imperfecțiunea aparatului de calcul a devenit un factor care împiedică utilizarea pe scară largă a modelelor matematice în știință și tehnologie.

Apariția computerelor a schimbat dramatic situația. Clasa de modele matematice care pot fi studiate în detaliu s-a extins dramatic. Rezolvarea multor probleme de calcul, până de curând inaccesibile, a devenit o realitate de zi cu zi.

Verificarea calitatii modelului in practica si modificarea modelului. În această etapă, este clarificată adecvarea modelului matematic pentru descrierea fenomenului studiat. Concluziile teoretice și rezultatele specifice care decurg dintr-un model matematic ipotetic sunt comparate cu datele experimentale. Dacă acestea se contrazic, atunci modelul ales este nepotrivit și ar trebui revizuit, revenind la prima etapă. Dacă rezultatele coincid cu acuratețea acceptabilă pentru descrierea acestui fenomen, atunci modelul poate fi considerat adecvat. Desigur, sunt necesare cercetări suplimentare pentru a stabili gradul de fiabilitate al modelului și limitele aplicabilității acestuia.

Întrebări de revizuire:

1. Ce este un model matematic?

2. Care sunt principalele etape ale construirii unui model matematic?

3. Principalele tipuri de sarcini de rezolvat?

2. Principalele etape ale rezolvării ingineriei

sarcini asistate de calculator

Rezolvarea unei probleme de inginerie folosind un calculator poate fi împărțită în mai multe etape succesive. Evidențiem următoarele etape:

1) enunţarea problemei;

2) alegerea sau construirea unui model matematic;

3) enunţul problemei de calcul;

4) analiza preliminară (pre-mașină) a proprietăților problemei de calcul;

5) alegerea sau construirea unei metode numerice;

6) algoritmizare și programare;

7) depanare program;

8) cont pentru program;

9) prelucrarea și interpretarea rezultatelor;

10) utilizarea rezultatelor și corectarea modelului matematic.

punerea în scenă Probleme. Inițial, problema aplicată este formulată în cea mai generală formă:

Explorează un anumit fenomen

Proiectați un dispozitiv cu proprietăți date

Dați o prognoză a comportamentului unui obiect în anumite condiții etc.

În această etapă are loc specificarea enunțului problemei. În același timp, o atenție primordială este acordată clarificării scopului studiului.

Această etapă foarte importantă și responsabilă se încheie cu o formulare specifică a problemei în limbajul acceptat în acest domeniu. Cunoașterea posibilităților oferite de utilizarea computerelor poate avea o influență semnificativă asupra formulării finale a problemei.

Selectarea sau construirea unui model matematic. Pentru analiza ulterioară a fenomenului sau obiectului studiat, este necesar să se dea descrierea sa formalizată în limbajul matematicii, adică să se construiască un model matematic. Este adesea posibil să se aleagă un model dintre cele cunoscute și acceptate pentru descrierea proceselor corespunzătoare, dar adesea este necesară și o modificare semnificativă a modelului cunoscut și uneori devine necesară construirea unui model fundamental nou.

Enunțul problemei de calcul. Pe baza modelului matematic acceptat, se formulează o problemă de calcul (sau un număr de astfel de probleme). Analizând rezultatele soluției sale, cercetătorul se așteaptă să obțină răspunsuri la întrebările sale.

Analiza preliminară a proprietăților problemei de calcul.În această etapă, un studiu preliminar (pre-mașină) al proprietăților problemei de calcul, clarificarea existenței și unicității soluției, precum și studiul stabilității soluției problemei la erori în datele de intrare. sunt efectuate.

Alegerea sau construirea unei metode numerice. Pentru a rezolva o problemă de calcul pe un computer este necesară utilizarea metodelor numerice.

Adesea soluția unei probleme de inginerie se reduce la solutie consistenta probleme de calcul standard pentru care au fost dezvoltate metode numerice eficiente. În această situație, există fie o alegere între metodele cunoscute, fie adaptarea acestora la caracteristicile problemei care se rezolvă. Cu toate acestea, dacă problema de calcul emergentă este nouă, atunci este posibil să nu existe metode gata făcute pentru a o rezolva.

Mai multe metode pot fi utilizate de obicei pentru a rezolva aceeași problemă de calcul. Este necesar să se cunoască caracteristicile acestor metode, criteriile după care se apreciază calitatea lor, pentru a alege o metodă care să permită rezolvarea problemei în cel mai eficient mod. Aici alegerea este departe de a fi clară. Depinde semnificativ de cerințele pentru soluție, de resursele disponibile, de tehnologia de calcul disponibilă pentru utilizare etc.

Algoritmizare si programare. De regulă, metoda numerică aleasă în etapa anterioară conține doar schema circuitului rezolvarea unei probleme care nu include multe detalii, fără de care implementarea metodei pe un computer este imposibilă. O specificare detaliată a tuturor etapelor de calcul este necesară pentru a obține un algoritm implementat pe un computer. Compilarea unui program se reduce la traducerea acestui algoritm în limbajul de programare ales.

Există biblioteci din care utilizatorii din modulele gata făcute își programează programele sau, în cazuri extreme, trebuie să scrie un program de la zero.

Depanare program.În această etapă, cu ajutorul unui computer, erorile din program sunt detectate și corectate.

După eliminarea erorilor de programare, este necesar să se efectueze o testare amănunțită a programului - verificarea corectitudinii funcționării acestuia pe probleme de testare special selectate cu soluții cunoscute.

Contul programului.În această etapă, problema este rezolvată pe un computer conform programului compilat în modul automat. Acest proces, în timpul căruia datele de intrare sunt convertite de un computer într-un rezultat, este numit proces de calcul. De regulă, calculul se repetă de mai multe ori cu date de intrare diferite pentru a obține o imagine destul de completă a dependenței soluției problemei de acestea.

prelucrare şi interpretarea rezultatelor. Datele de ieșire obținute ca rezultat al calculelor computerizate, de regulă, sunt matrice mari de numere, care sunt apoi prezentate într-o formă convenabilă pentru percepție.

Utilizarea rezultatelor și corectarea modelului matematic. Etapa finală este utilizarea rezultatelor calculului în practică, cu alte cuvinte, implementarea rezultatelor.

De foarte multe ori, analiza rezultatelor efectuată în etapa prelucrării și interpretării acestora indică imperfecțiunea modelului matematic utilizat și necesitatea corectării acestuia. În acest caz, modelul matematic este modificat (în acest caz, de regulă, devine mai complicat) și se începe un nou ciclu de rezolvare a problemei.

Întrebări de revizuire:

1. Principalele etape ale rezolvării unei probleme de inginerie folosind un calculator?

3. Experiment de calcul

Crearea de modele matematice și rezolvarea problemelor de inginerie cu ajutorul unui computer necesită o cantitate mare de muncă. Este ușor de văzut analogia cu munca corespunzătoare efectuată în organizarea experimentelor la scară largă: întocmirea unui program de experimente, realizarea unui set-up experimental, efectuarea de experimente de control, efectuarea de experimente în serie) prelucrarea datelor experimentale și interpretarea acestora etc. Cu toate acestea, un experiment de calcul este efectuat nu pe un obiect real, ci pe modelul său matematic, iar rolul configurației experimentale este jucat de un computer echipat cu un program special dezvoltat. În acest sens, este firesc să se ia în considerare efectuarea de calcule complexe mari în rezolvarea problemelor de inginerie și științifice și tehnice ca experiment de calcul,și succesiunea etapelor soluției descrise în paragraful anterior ca unul dintre ciclurile acesteia.

Să notăm câteva avantaje ale unui experiment de calcul în comparație cu unul natural:

1. Un experiment de calcul este de obicei mai ieftin decât unul fizic.

2. Acest experiment poate fi modificat cu ușurință și în siguranță.

3. Poate fi repetat din nou (dacă este necesar) și întrerupt în orice moment.

4. În timpul acestui experiment, puteți simula condiții care nu pot fi create în laborator.

Observăm că într-o serie de cazuri este dificil (și uneori imposibil) să se realizeze un experiment la scară largă, deoarece sunt studiate procese rapide, obiecte care sunt greu de accesat sau în general inaccesibile sunt investigate. Adesea, un experiment natural la scară largă este asociat cu consecințe dezastruoase sau imprevizibile (război nuclear, întoarcerea râurilor siberiei) sau pericol pentru viața sau sănătatea umană. De multe ori este necesar să se studieze și să prezică rezultatele evenimentelor catastrofale (accidentul unui reactor nuclear la o centrală nucleară, încălzirea globală, cutremur). În aceste cazuri, un experiment de calcul poate deveni principalul mijloc de cercetare. Rețineți că, cu ajutorul acestuia, este posibil să se prezică proprietățile unor structuri și materiale noi, încă necreate, în stadiul de proiectare.

Un dezavantaj semnificativ al unui experiment de calcul este că aplicabilitatea rezultatelor acestuia este limitată de modelul matematic acceptat.

Crearea unui nou produs sau proces tehnologic presupune alegerea dintr-un număr mare de opțiuni alternative, precum și optimizarea pentru o serie de parametri. Prin urmare, în cursul unui experiment de calcul, calculele sunt efectuate în mod repetat cu valori diferite parametrii de intrare. Pentru a obține rezultatele dorite cu acuratețea necesară și într-un interval de timp acceptabil, este necesar ca timpul minim să fie alocat calculului fiecărei opțiuni.

Dezvoltarea de software pentru un experiment de calcul într-un domeniu specific de activitate de inginerie duce la crearea unui pachet software mare. Constă din programe de aplicație interconectate și instrumente de sistem, inclusiv instrumente furnizate utilizatorului pentru gestionarea cursului unui experiment de calcul, procesarea și prezentarea rezultatelor acestuia. Acest set de programe este uneori denumit pachet de aplicații orientat către probleme.

Întrebări de revizuire:

1. Avantajele unui experiment de calcul comparativ cu unul natural?

2. Dezavantajele unui experiment de calcul?

4. Cele mai simple metode de rezolvare a problemelor

4.1. Găsirea rădăcinii unei funcții.

Metoda de împărțire a segmentului pe sex(metoda Willi).

Împărțim segmentul în jumătate ( AC=SW). Selectați jumătatea în care funcția intersectează axa 0x, apoi notează CU pe V, adică C=Bși împarte din nou în jumătate. Alegerea jumătății este efectuată de produsul ¦( A)´¦( V). Dacă produsul este mai mare decât 0, atunci nu există rădăcină.

Metoda acordurilor (secantelor).

(B-A)/2£ En³ Buturuga 2((B-A)/2)

(a-a 0)(x-x 1)=(a-a 1)(x-x 0)

y=0; y 0(x-x 1)=y 1(x-x 0)

Conceptul de model matematic

Imaginați-vă un avion: aripi, fuselaj, coadă, toate acestea împreună - un adevărat avion imens, imens, întreg. Si poti sa faci un model de avion, mic, dar totul este real, aceleasi aripi etc., dar compact. La fel și modelul matematic. Există o problemă de text, greoaie, poți să o privești, să o citești, dar să nu o înțelegi prea bine și, cu atât mai mult, nu este clar cum să o rezolvi. Dar dacă facem un model mic al acestuia, un model matematic, dintr-o sarcină verbală mare? Ce înseamnă matematică? Deci, folosind regulile și legile notatie matematica, convertiți textul într-o reprezentare logic corectă folosind numere și semne aritmetice. Asa de, Un model matematic este o reprezentare a unei situații reale folosind un limbaj matematic.

Să începem simplu: numărul este mai mare decât numărul cu. Trebuie să-l notăm fără a folosi cuvinte, doar limbajul matematicii. Dacă mai mult, atunci se dovedește că dacă scădem din, atunci însăși diferența acestor numere va rămâne egală. Acestea. sau. Ai intelesul?

Acum e mai complicat, acum va fi un text pe care ar trebui să încerci să-l prezinți sub forma unui model matematic, până când vei citi cum o să fac, încearcă și tu! Există patru numere: , și. Un produs și mai multe produse și de două ori.

Ce s-a întâmplat?

Sub forma unui model matematic, va arăta astfel:

Acestea. produsul este legat de doi la unu, dar acest lucru poate fi simplificat și mai mult:

Ei bine, cu exemple simple, înțelegi ideea, cred. Să trecem la sarcini cu drepturi depline în care trebuie rezolvate și aceste modele matematice! Aici este sarcina.

Model matematic în practică

Sarcina 1

După ploaie, nivelul apei din fântână poate crește. Băiatul măsoară timpul căderii pietricelelor mici în fântână și calculează distanța până la apă folosind formula, unde este distanța în metri și este timpul căderii în secunde. Înainte de ploaie, timpul pentru căderea pietricelelor era s. Cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s? Exprimați răspunsul în metri.

Oh Doamne! Ce formule, ce fel de puț, ce se întâmplă, ce să faci? Ți-am citit gândurile? Relaxează-te, în sarcinile de acest tip, condițiile sunt și mai groaznice, principalul lucru de reținut este că în această sarcină te interesează formulele și relațiile dintre variabile, iar ceea ce înseamnă toate acestea în majoritatea cazurilor nu este foarte important. Ce vi se pare util aici? Eu personal văd. Principiul rezolvării acestor probleme este următorul: luați toate cantitățile cunoscute și le înlocuiți.Dar uneori trebuie să te gândești!

Urmând primul meu sfat și înlocuind toate cele cunoscute în ecuație, obținem:

Eu am înlocuit timpul secundului și am găsit înălțimea pe care a zburat piatra înaintea ploii. Și acum trebuie să numărăm după ploaie și să găsim diferența!

Ascultă acum al doilea sfat și gândește-te, întrebarea specifică „cât trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe cu s”. Trebuie să vă dați seama imediat, așa că, după ploaie, nivelul apei crește, ceea ce înseamnă că timpul pentru ca piatra să cadă la nivelul apei este mai mic, iar aici expresia ornamentată „pentru ca timpul măsurat să se schimbe” ia pe o anumită semnificație: timpul de cădere nu crește, ci se reduce cu secundele specificate. Aceasta înseamnă că, în cazul unei aruncări după ploaie, trebuie doar să scădem c din timpul inițial c și obținem ecuația pentru înălțimea la care piatra va zbura după ploaie:

Și, în sfârșit, pentru a afla cât de mult ar trebui să crească nivelul apei după ploaie, astfel încât timpul măsurat să se schimbe cu s, trebuie doar să scădeți al doilea din prima înălțime a căderii!

Primim răspunsul: pe metru.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat, cel mai important, nu vă deranjați prea mult de unde a venit o astfel de ecuație de neînțeles și uneori complexă în condiții și ce înseamnă totul în ea, credeți-mă pe cuvânt, majoritatea acestor ecuații sunt luate din fizică și acolo jungla este mai rea decât în ​​algebră. Uneori mi se pare că aceste sarcini au fost inventate pentru a intimida elevul la examen cu o abundență de formule și termeni complexi și, în majoritatea cazurilor, nu necesită aproape deloc cunoștințe. Citiți cu atenție condiția și înlocuiți valorile cunoscute în formulă!

Iată o altă problemă, nu mai în fizică, ci din lumea teoriei economice, deși aici nu se impun cunoștințe de alte științe decât matematică.

Sarcina 2

Dependența volumului cererii (unități pe lună) pentru produsele unei întreprinderi cu monopol de preț (mii de ruble) este dată de formula

Venitul lunar al companiei (în mii de ruble) este calculat folosind formula. Determinați cel mai mare preț la care venitul lunar va fi de cel puțin o mie de ruble. Dați răspunsul în mii de ruble.

Ghici ce voi face acum? Da, voi începe să înlocuiesc ceea ce știm, dar, din nou, mai trebuie să te gândești puțin. Să mergem de la final, trebuie să aflăm la care. Deci, există, egal cu unii, găsim cu ce altceva este egal, și este egal, și îl vom scrie. După cum puteți vedea, nu mă deranjez în mod deosebit cu semnificația tuturor acestor cantități, mă uit doar din condiții, ce este egal cu ce, asta este ceea ce trebuie să faceți. Să revenim la sarcină, o ai deja, dar după cum îți amintești, dintr-o ecuație cu două variabile, nu se găsește niciuna dintre ele, ce să faci? Da, mai avem o particulă nefolosită în stare. Aici, există deja două ecuații și două variabile, ceea ce înseamnă că acum pot fi găsite ambele variabile - grozav!

Poți rezolva un astfel de sistem?

Rezolvăm prin substituție, am exprimat-o deja, ceea ce înseamnă că o vom înlocui în prima ecuație și o vom simplifica.

Se pare că aici este o astfel de ecuație pătratică: , rezolvăm, rădăcinile sunt așa, . În sarcină, este necesar să se găsească cel mai mare preț la care vor fi îndeplinite toate condițiile pe care le-am luat în considerare atunci când am compilat sistemul. Oh, se pare că acesta era prețul. Cool, așa că am găsit prețurile: și. Cel mai mare preț, zici? Bine, cel mai mare dintre ei, evident, îl scriem ca răspuns. Ei bine, este greu? Cred că nu și nu trebuie să te aprofundezi prea mult în asta!

Și iată o fizică înfricoșătoare pentru tine, sau mai degrabă, o altă problemă:

Sarcina 3

Pentru a determina temperatura efectivă a stelelor, se folosește legea Stefan-Boltzmann, conform căreia, unde este puterea radiantă a stelei, este o constantă, este aria suprafeței stelei și este temperatura. Se știe că suprafața unei anumite stele este egală, iar puterea radiației sale este egală cu W. Găsiți temperatura acestei stele în grade Kelvin.

Unde este clar? Da, condiția spune ce este egal cu ce. Anterior, am recomandat ca toate necunoscutele să fie imediat înlocuite, dar aici este mai bine să exprimăm mai întâi necunoscutul căutat. Uite cât de simplu este totul: există o formulă și ei sunt cunoscuți în ea și (aceasta este litera greacă „sigma”. În general, fizicienii iubesc Litere grecești, obisnuieste-te). Temperatura este necunoscută. Să o exprimăm sub forma unei formule. Cum să o faci, sper că știi? Astfel de sarcini pentru GIA în clasa a 9-a oferă de obicei:

Acum rămâne să înlocuiți numerele în loc de litere din partea dreaptă și să simplificați:

Iată răspunsul: grade Kelvin! Și ce sarcină groaznică a fost!

Continuăm să chinuim problemele de fizică.

Sarcina 4

Înălțimea deasupra solului a unei mingi aruncate în sus se modifică conform legii, unde este înălțimea în metri, este timpul în secunde care a trecut de la aruncare. Câte secunde va fi mingea la o înălțime de cel puțin trei metri?

Acestea au fost toate ecuațiile, dar aici este necesar să se determine cât de mult era mingea la o înălțime de cel puțin trei metri, adică la o înălțime. Ce vom face? Inegalitate, da! Avem o funcție care descrie modul în care mingea zboară, unde este exact aceeași înălțime în metri, avem nevoie de înălțime. Mijloace

Și acum doar rezolvați inegalitatea, cel mai important, nu uitați să schimbați semnul inegalității de la mai mult sau egal la mai mic sau egal atunci când înmulțiți cu ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de minusul din față.

Iată rădăcinile, construim intervale pentru inegalitate:

Ne interesează intervalul în care semnul este minus, deoarece inegalitatea ia valori negative acolo, acesta este de la la ambele inclusiv. Și acum pornim creierul și gândim cu atenție: pentru inegalitate, am folosit o ecuație care descrie zborul mingii, zboară cumva de-a lungul unei parabole, adică. decolează, atinge un vârf și cade, cum să înțelegi cât de mult va fi la o înălțime de cel puțin metri? Am găsit 2 puncte de cotitură, adică momentul în care se înalță deasupra metrilor și momentul în care atinge același reper în timpul căderii, aceste două puncte sunt exprimate în forma noastră sub forma timpului, adică. știm în ce secundă a zborului a intrat în zona de interes pentru noi (peste metri) și în care a părăsit-o (a căzut sub marcajul metrului). Câte secunde a fost în această zonă? Este logic să luăm timpul de ieșire din zonă și să scădem din el timpul de intrare în această zonă. În consecință: - atât de mult era în zona peste metri, acesta este răspunsul.

Ești atât de norocos că majoritatea exemplelor pe această temă pot fi luate din categoria problemelor din fizică, așa că mai prinde unul, este cel final, așa că împinge-te, a mai rămas foarte puțin!

Sarcina 5

Pentru un element de încălzire al unui anumit dispozitiv, dependența de temperatură de timpul de funcționare a fost obținută experimental:

Unde este timpul în minute. Se știe că la o temperatură a elementului de încălzire deasupra dispozitivului se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Găsiți timpul maxim după începerea lucrului pentru a opri dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Acționăm după o schemă bine stabilită, tot ceea ce este dat, mai întâi scriem:

Acum luăm formula și o echivalăm cu valoarea temperaturii la care dispozitivul poate fi încălzit cât mai mult posibil până când se arde, adică:

Acum înlocuim numerele în loc de litere acolo unde sunt cunoscute:

După cum puteți vedea, este descrisă temperatura în timpul funcționării dispozitivului ecuație pătratică, ceea ce înseamnă că este distribuit de-a lungul unei parabole, adică dispozitivul se încălzește până la o anumită temperatură și apoi se răcește. Am primit răspunsuri și, prin urmare, în timpul și în timpul minutelor de încălzire, temperatura este critică, dar între și minute este chiar mai mare decât limita!

Deci, trebuie să opriți dispozitivul după un minut.

MODELE MATEMATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Cel mai adesea, modelele matematice sunt folosite în fizică: la urma urmei, probabil a trebuit să memorezi zeci de formule fizice. Iar formula este reprezentarea matematică a situației.

În OGE și Unified State Examination există sarcini doar pe acest subiect. În USE (profil) aceasta este sarcina numărul 11 ​​(fostă B12). În OGE - sarcina numărul 20.

Schema soluției este evidentă:

1) Din textul condiției, este necesar să „izolăm” informații utile - ceea ce scriem în probleme de fizică sub cuvântul „Dat”. Acest Informatii utile sunt:

• Formulă
• Mărimi fizice cunoscute.

Adică, fiecărei litere din formulă trebuie să i se atribuie un anumit număr.

2) Luați toate cantitățile cunoscute și înlocuiți-le în formulă. Valoarea necunoscută rămâne ca o literă. Acum trebuie doar să rezolvați ecuația (de obicei destul de simplă), iar răspunsul este gata.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că se deschid multe în fața lor. mai multe posibilitatiși viața devine mai strălucitoare? Nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Documente similare

Importanța matematicii în viața noastră. Istoricul contului. Dezvoltarea metodelor de matematică computațională în prezent. Utilizarea matematicii în alte științe, rolul modelării matematice. Starea educației matematice în Rusia.

articol, adăugat 01.05.2010


Concepte de bază de modelare matematică, caracteristici ale etapelor de creare a modelelor sarcinilor de planificare a producției și sarcinilor de transport; abordări analitice și programatice ale soluției acestora. Metoda simplex pentru rezolvarea problemelor programare liniară.

lucrare de termen, adăugată 12.11.2011


Procesul de selectare sau de construire a unui model pentru a investiga anumite proprietăți ale unui original în anumite condiții. Etapele procesului de modelare. Modele matematice și tipurile acestora. Adecvarea modelelor matematice. Nepotrivire între original și model.

test, adaugat 10.09.2016


Esența modelării matematice. Modele matematice analitice și de simulare. Analiza geometrică, cinematică și de putere a mecanismelor dispozitivelor de ridicare cu balamale. Calcul pentru stabilitatea unei unități agricole mobile.

lucrare de termen, adăugată 18.12.2015


Modelarea matematică a problemelor activității comerciale pe exemplul modelării procesului de alegere a unui produs. Metode și modele de programare liniară (determinarea planului zilnic de producție a produselor care asigură veniturile maxime din vânzare).

test, adaugat 16.02.2011


Matematica ca instrument extrem de puternic și flexibil în studiul lumii. Rolul matematicii în sfera industrială, construcții, medicină și viața umană. Locul modelării matematice în realizarea diverselor modele arhitecturale.

prezentare, adaugat 31.03.2015


Principalele etape ale modelării matematice - o descriere aproximativă a unei clase de fenomene sau obiecte din lumea reală în limbajul matematicii. Metode de codificare a informațiilor. Construirea unui dispozitiv care vă permite să traduceți codul Morse în cod mașină.

lucrare de termen, adăugată 28.06.2011


Aplicarea sistemului MathCAD în rezolvarea problemelor aplicate de natură tehnică. Mijloace de bază de modelare matematică. Soluţie ecuatii diferentiale. Utilizarea sistemului MathCad pentru implementarea modelelor matematice ale circuitelor electrice.

lucrare de termen, adăugată 17.11.2016