Modul de distribuție a unei variabile aleatoare. Mediana și modul unei variabile aleatoare continue

Modă() variabila aleatoare continuă este valoarea sa, care corespunde valorii maxime a densității sale de probabilitate.

median() O variabilă aleatoare continuă este valoarea ei, care este determinată de egalitatea:

B15. legea binomială distribuția și caracteristicile sale numerice. Distribuție binomială descrie experiențe independente repetate. Această lege determină producerea unui eveniment o dată la teste independente, dacă probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare dintre aceste experiențe nu se modifică de la o experiență la alta. Probabilitate:

,

unde: este probabilitatea cunoscută de apariție a unui eveniment în experiment, care nu se schimbă de la experiență la experiență;

este probabilitatea ca evenimentul să nu apară în experiment;

este numărul specificat de apariție a evenimentului în experimente;

este numărul de combinații de elemente prin .

B15. Legea distribuției uniforme, grafice ale funcției de distribuție și densitate, caracteristici numerice. Se consideră o variabilă aleatoare continuă distribuite uniform, dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

Valorea estimata variabilă aleatoare cu distribuție uniformă:

Dispersia poate fi calculată după cum urmează:

Deviație standard va arata ca:

.

B17. Legea exponențială a distribuției, grafice ale funcției și densității distribuției, caracteristici numerice. distribuție exponențială O variabilă aleatoare continuă este o distribuție care este descrisă de următoarea expresie pentru densitatea de probabilitate:

,

unde este o valoare pozitivă constantă.

Funcția de distribuție a probabilității în acest caz are forma:

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare cu o distribuție exponențială se obține pe baza formula generalaținând cont de faptul că atunci când:

.

Integrând această expresie pe părți, găsim: .

Varianta pentru distribuția exponențială poate fi obținută folosind expresia:

.

Înlocuind expresia pentru densitatea de probabilitate, găsim:

Calculând integrala pe părți, obținem: .

B16. Legea distribuției normale, grafice ale funcției și densitatea distribuției. Distribuție normală standard. Funcția reflectată distributie normala. Normal se numește o astfel de distribuție a unei variabile aleatoare, a cărei densitate de probabilitate este descrisă de funcția Gaussiană:

unde este abaterea standard;

este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.

Un grafic normal al densității distribuției se numește curbă Gaussiană normală.

B18. inegalitatea lui Markov. Inegalitatea generalizată a lui Cebyshev. Dacă pentru o variabilă aleatoare X există, atunci pentru oricare inegalitatea lui Markov .

Acesta provine din inegalitatea generalizată a Cebîşev: Fie ca funcția să fie monoton crescătoare și nenegativă pe . Dacă pentru o variabilă aleatoare X există, atunci pentru orice inegalitate .

B19. Legea numerelor mari sub forma lui Cebyshev. Intelesul sau. Consecința legii numerelor mari sub forma lui Cebyshev. Legea numerelor mari în forma Bernoulli. Sub legea numerelor mariîn teoria probabilităților se înțeleg un număr de teoreme, în fiecare dintre acestea fiind stabilit faptul aproximării asimptotice a valorii medii a unui număr mare de date experimentale la așteptarea matematică a unei variabile aleatorii. Demonstrațiile acestor teoreme se bazează pe inegalitatea lui Chebyshev. Această inegalitate poate fi obținută prin luarea în considerare a unei variabile aleatoare discrete cu valori posibile.

Teorema. Să existe o secvență finită independent variabile aleatoare, cu aceeași așteptare matematică și variații limitate de aceeași constantă:

Apoi, indiferent de numărul, probabilitatea evenimentului

tinde spre unitate la .

Teorema lui Cebyshev stabilește o legătură între teoria probabilității, care ia în considerare caracteristicile medii ale întregului set de valori ale unei variabile aleatoare, și statistica matematică, care operează pe un set limitat de valori ale acestei variabile. Arată că pentru un număr suficient de mare de măsurători ale unei anumite variabile aleatoare, media aritmetică a valorilor acestor măsurători se apropie de așteptarea matematică.

IN 20. Subiectul și sarcinile de statistică matematică. Populații generale și eșantion. Metoda de selecție. Statistici matematice- știința de metode matematice sistematizarea și utilizarea datelor statistice pentru concluzii științifice și practice, bazate pe teoria probabilității.

Obiectele de studiu ale statisticii matematice sunt evenimente aleatorii, mărimi și funcții care caracterizează fenomenul aleatoriu considerat. Următoarele evenimente sunt aleatorii: câștigarea unui bilet la loteria cash, conformitatea produsului controlat cu cerințele stabilite, funcționarea fără probleme a mașinii în prima lună de funcționare a acestuia, îndeplinirea de către antreprenor a programului zilnic de lucru.

set de prelevare este o colecție de obiecte selectate aleatoriu.

Populatie generala denumește setul de obiecte din care este realizată proba.

LA 21. Metode de selecție.

Metode de selecție: 1 selecție care nu necesită dezmembrare populatiaîn părți. Acestea includ a) selecție aleatorie simplă nerepetitivă și b) reselecție aleatorie simplă. 2) Selecția, în care populația generală este împărțită în părți. Acestea includ a) selecția tipului, b) selecția mecanică și c) selecția în serie.

Aleatoriu simplu numită selecție, în care obiectele sunt extrase unul câte unul din populația generală.

Tipic numită selecție, în care obiectele sunt selectate nu din întreaga populație generală, ci din fiecare dintre părțile sale „tipice”.

Mecanic numită selecție, în care populația generală este împărțită mecanic în atâtea grupuri câte obiecte sunt incluse în eșantion și se selectează câte un obiect din fiecare grup.

Serial numită selecție, în care obiectele sunt selectate din populația generală nu unul câte unul, ci „serie”, care sunt supuse unui sondaj continuu.

B22. Serii statistice și variaționale. Funcția de distribuție empirică și proprietățile acesteia. Seria de variații pentru variabile aleatoare discrete și continue. Să fie prelevat un eșantion din populația generală, iar valoarea parametrului studiat a fost observată o dată, o dată etc. Cu toate acestea, dimensiunea eșantionului Se numesc valorile observate Opțiuni, iar secvența este o variantă scrisă în ordine crescătoare - serie variațională . Numărul de observații se numește frecvente, și relația lor cu dimensiunea eșantionului - frecvențe relative.Seria de variații poate fi reprezentat ca un tabel:

X			…..
n			….

Distribuția statistică a eșantionului apelați lista de opțiuni și frecvențele relative respective ale acestora. Distribuția statistică poate fi imaginat ca:

X			…..
w			….

unde sunt frecventele relative.

Funcția de distribuție empirică numiți funcția care determină pentru fiecare valoare x frecvența relativă a evenimentului X

Dintre caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare, este necesar, în primul rând, să le remarcăm pe cele care caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor, adică. indicați o valoare medie, aproximativă, în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr, care este, parcă, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare a lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m la dreapta”, indicăm prin aceasta o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care îi descrie amplasarea pe axa numerică, adică descriere a pozitiei.

Dintre caracteristicile unei poziții în teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, care uneori este numită pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Luați în considerare o variabilă aleatoare discretă care are valori posibile cu probabilități. Trebuie să caracterizăm printr-un anumit număr poziția valorilor variabilei aleatoare pe axa x, ținând cont de faptul că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să se folosească așa-numita „medie ponderată” a valorilor, iar fiecare valoare trebuie luată în considerare în timpul medierii cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare, pe care o vom nota cu:

sau, având în vedere că,

. (5.6.1)

Această medie ponderată se numește așteptarea matematică a variabilei aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul așteptări matematice.

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.

Rețineți că în formularea de mai sus, definiția așteptării matematice este valabilă, strict vorbind, doar pentru variabile aleatoare discrete; Mai jos, vom generaliza acest concept la cazul cantităților continue.

Pentru a face conceptul de așteptare matematică mai ilustrativ, să ne întoarcem la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Punctele cu abscise să fie situate pe axa absciselor, în care sunt concentrate masele, respectiv, și . Atunci, evident, așteptarea matematică definită prin formula (5.6.1) nu este altceva decât abscisa centrului de greutate al sistemului dat de puncte materiale.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt legate de o dependență particulară de media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare cu un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip cu dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare se apropie (converge în probabilitate) de așteptarea sa matematică. Din prezența unei relații între frecvență și probabilitate, se poate deduce ca o consecință existența unei relații similare între media aritmetică și așteptarea matematică.

Într-adevăr, luăm în considerare o variabilă aleatoare discretă caracterizată printr-o serie de distribuție:

Unde .

Să se facă experimente independente, în fiecare dintre ele cantitatea să ia o anumită valoare. Să presupunem că valoarea a apărut o dată, valoarea a apărut o dată, în general valoarea a apărut o dată. Evident,

Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale mărimii, pe care, spre deosebire de așteptările matematice, o vom nota:

Dar nu există nimic mai mult decât frecvența (sau probabilitatea statistică) a unui eveniment; această frecvență poate fi numită . Apoi

,

acestea. media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și frecvențele acestor valori.

Odată cu creșterea numărului de experimente, frecvențele se vor apropia (converge în probabilitate) de probabilitățile corespunzătoare. În consecință, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare cu o creștere a numărului de experimente se va apropia (converge în probabilitate) de așteptarea sa matematică.

Legătura dintre media aritmetică și așteptarea matematică formulată mai sus constituie conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari. Vom oferi o dovadă riguroasă a acestei legi în capitolul 13.

Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că anumite medii sunt stabile pe un număr mare de experimente. Aici vorbim despre stabilitatea mediei aritmetice dintr-o serie de observații de aceeași valoare. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape deloc aleatoriu” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - așteptarea matematică.

Proprietatea de stabilitate a mediilor pentru un număr mare de experimente este ușor de verificat experimental. De exemplu, cântărind orice corp din laborator pe cântare precise, ca urmare a cântăririi obținem de fiecare dată o nouă valoare; pentru a reduce eroarea de observație cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de observat că odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri), media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin, iar cu un număr suficient de mare de experimente practic încetează să se schimbe.

Formula (5.6.1) pentru așteptarea matematică corespunde cazului unei variabile aleatoare discrete. Pentru o valoare continuă, așteptarea matematică, desigur, nu mai este exprimată ca sumă, ci ca o integrală:

, (5.6.2)

unde este densitatea de distribuție a cantității .

Formula (5.6.2) este obținută din formula (5.6.1), dacă înlocuim valorile individuale în ea cu un parametru în schimbare continuă x, probabilitățile corespunzătoare - cu un element de probabilitate, iar suma finală - cu o integrală. În cele ce urmează, vom folosi adesea această metodă de extindere a formulelor derivate pentru cantități discontinue la cazul cantităților continue.

În interpretarea mecanică, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue păstrează același sens - abscisa centrului de greutate în cazul în care masa este distribuită de-a lungul axei absciselor în mod continuu, cu densitate . Această interpretare face deseori posibilă găsirea așteptării matematice fără a calcula integrala (5.6.2), din considerații mecanice simple.

Mai sus, am introdus notația pentru așteptarea matematică a mărimii . În unele cazuri, atunci când o valoare este inclusă în formule ca un anumit număr, este mai convenabil să o notați cu o singură literă. În aceste cazuri, vom desemna așteptarea matematică a valorii prin:

Notația și pentru așteptarea matematică vor fi folosite în paralel în viitor, în funcție de comoditatea uneia sau alteia notări de formule. De asemenea, să fim de acord, dacă este cazul, să prescurtăm cuvintele „aşteptare matematică” cu literele m.o.

De remarcat că cea mai importantă caracteristică a poziției - așteptarea matematică - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se facă exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care așteptarea matematică nu există, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge.

Luați în considerare, de exemplu, o variabilă aleatoare discontinuă cu o serie de distribuție:

Este ușor de verificat că , i.e. seria de distribuție are sens; totuși, suma în acest caz diverge și, prin urmare, așteptarea matematică a valorii nu există. Cu toate acestea, pentru practică, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ. De obicei, variabilele aleatoare cu care avem de-a face au o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare.

Mai sus, am dat formulele (5.6.1) și (5.6.2) care exprimă așteptările matematice pentru o variabilă aleatoare discontinuă și, respectiv, continuă.

Dacă valoarea aparține valorilor de tip mixt, atunci așteptarea sa matematică este exprimată printr-o formulă de forma:

, (5.6.3)

unde suma se extinde la toate punctele în care funcția de distribuție se întrerupe, iar integrala se extinde la toate secțiunile în care funcția de distribuție este continuă.

Pe lângă cele mai importante dintre caracteristicile de poziție - așteptarea matematică - alte caracteristici de poziție sunt uneori folosite în practică, în special, modul și mediana unei variabile aleatoare.

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă”, strict vorbind, se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă. Suntem de acord să desemnăm modul cu litera . Pe fig. 5.6.1 și 5.6.2 arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.

Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, distribuția se numește „polimodală” (Figurile 5.6.3 și 5.6.4).

Uneori există distribuții care au la mijloc nu un maxim, ci un minim (Fig. 5.6.5 și 5.6.6). Astfel de distribuții sunt numite „antimodale”. Un exemplu de distribuție antimodală este distribuția obținută în exemplul 5, nr. 5.1.

În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. Într-un caz particular, când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există o așteptare matematică, atunci aceasta coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.

O altă caracteristică a poziției este adesea folosită - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei utilizată numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definită formal și pentru o variabilă discontinuă.

Mediana unei variabile aleatoare este valoarea acesteia pentru care

acestea. este la fel de probabil ca variabila aleatoare să fie mai mică sau mai mare decât . Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate (Fig. 5.6.7).

Scopul lecției: formarea înțelegerii de către elevi a medianei unui set de numere și a capacității de a o calcula pentru mulțimi numerice simple, fixând conceptul de mulțime medie aritmetică de numere.

Tipul lecției: explicația materialului nou.

Dotare: tablă, manual, ed. Yu.N Tyurina „Teoria și statistica probabilității”, computer cu proiector.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Informați subiectul lecției și formulați obiectivele acesteia.

2. Actualizarea cunoștințelor anterioare.

Întrebări pentru studenți:

• Care este media aritmetică a unui set de numere?
• Unde se află media aritmetică într-un set de numere?
• Ce caracterizează media aritmetică a unui set de numere?
• Unde se folosește des media aritmetică a unui set de numere?

Sarcini orale:

Aflați media aritmetică a unui set de numere:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Verificarea temelor cu un proiector ( Anexa 1):

Manual:: nr. 12 (b, d), nr. 18 (c, d)

3. Învățarea de material nou.

În lecția anterioară, ne-am familiarizat cu o astfel de caracteristică statistică precum media aritmetică a unui set de numere. Astăzi vom dedica o lecție unei alte caracteristici statistice - mediana.

Nu numai media aritmetică arată unde pe linia numerică sunt situate numerele oricărei mulțimi și unde este centrul lor. Un alt indicator este mediana.

Mediana unui set de numere este numărul care împarte mulțimea în două părți egale. În loc de „mediană” s-ar putea spune „mijloc”.

Mai întâi, folosind exemple, vom analiza cum să găsim mediana și apoi vom da o definiție strictă.

Luați în considerare următorul exemplu oral folosind un proiector ( Anexa 2)

La sfârșitul anului școlar, 11 elevi din clasa a VII-a au trecut standardul de alergare de 100 de metri. Au fost înregistrate următoarele rezultate:

După ce băieții au alergat pe distanță, Petya s-a apropiat de profesor și l-a întrebat care a fost rezultatul lui.

„Cea mai mare medie: 16,9 secunde”, a răspuns profesorul

"De ce?" Petya a fost surprinsă. - La urma urmei, media aritmetică a tuturor rezultatelor este de aproximativ 18,3 secunde și am alergat cu o secundă sau mai bine. Și, în general, rezultatul Katya (18,4) este mult mai aproape de medie decât al meu.”

„Rezultatul tău este mediu pentru că cinci persoane au alergat mai bine decât tine și cinci mai proaste. Deci ești chiar la mijloc”, a spus profesorul. [ 2 ]

Scrieți un algoritm pentru găsirea medianei unui set de numere:

1. Ordonați setul numeric (compuneți o serie clasată).
2. În același timp, tăiem numerele „mai mari” și „mai mici” ale acestui set de numere până când rămân un număr sau două numere.
3. Dacă există un singur număr, atunci acesta este mediana.
4. Dacă au mai rămas două numere, atunci mediana va fi media aritmetică a celor două numere rămase.

Invitați cursanții să formuleze în mod independent definiția medianei unui set de numere, apoi citiți două definiții ale medianei din manual (pag. 50), apoi analizați exemplele 4 și 5 din manual (pag. 50-52)

Cometariu:

Atrageți atenția elevilor asupra unei circumstanțe importante: mediana este practic insensibilă la abaterile semnificative ale valorilor individuale extreme ale seturilor de numere. În statistică, această proprietate se numește stabilitate. Stabilitatea unui indicator statistic este o proprietate foarte importantă, ne asigură împotriva erorilor aleatorii și a datelor individuale nesigure.

4. Consolidarea materialului studiat.

Decizia numerelor din manual la punctul 11 ​​„Media”.

Set de numere: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Set de numere: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Set de numere: 3,4,11,17,21

b) Set de numere: 17,18,19,25,28

c) Set de numere: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Concluzie: mediana unui set de numere format dintr-un număr impar de membri este egală cu numărul din mijloc.

a) Set de numere: 2, 4, 8 , 9.

Eu = (4+8):2=12:2=6

b) Set de numere: 1,3, 5,7 ,8,9.

Eu = (5+7):2=12:2=6

Mediana unui set de numere care conține un număr par de membri este jumătate din suma celor două numere din mijloc.

Elevul a primit următoarele note la algebră în timpul trimestrului:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Găsiți scorul mediu și mediana acestui set. [ 3 ]

Să comandăm un set de numere: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Doar 10 numere, pentru a găsi mediana trebuie să luați două numere din mijloc și să găsiți jumătatea lor.

Eu = (5+5):2 = 5

Întrebare pentru elevi: Dacă ai fi profesor, ce notă i-ai da acestui elev pentru un sfert? Justificați răspunsul.

Președintele companiei primește un salariu de 300.000 de ruble. trei dintre adjuncții săi primesc câte 150.000 de ruble fiecare, patruzeci de angajați - câte 50.000 de ruble fiecare. iar salariul unui curățenie este de 10.000 de ruble. Aflați media aritmetică și mediana salariilor din companie. Care dintre aceste caracteristici este mai profitabilă pentru președinte să le folosească în scopuri publicitare?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (ruble)

Sarcina 3. (Invitați elevii să rezolve singuri, proiectați sarcina folosind un proiector)

Tabelul arată volumul aproximativ de apă din cele mai mari lacuri și rezervoare din Rusia în metri cubi. km. (Anexa 3) [ 4 ]

A) Aflați volumul mediu de apă din aceste rezervoare (media aritmetică);

B) Aflați volumul de apă în dimensiunea medie a rezervorului (mediana datelor);

C) În opinia dumneavoastră, care dintre aceste caracteristici - media aritmetică sau mediana - descrie cel mai bine volumul unui rezervor tipic rusesc mare? Explicați răspunsul.

a) 2459 cu. km

b) 60 cu. km

c) Median, deoarece datele conțin valori care sunt foarte diferite de toate celelalte.

Sarcina 4. Oral.

A) Câte numere sunt în mulțime dacă mediana este al nouălea membru?

B) Câte numere sunt în mulțime dacă mediana ei este media aritmetică a termenilor 7 și 8?

C) Într-un set de șapte numere, cel mai mare număr a fost mărit cu 14. Va schimba acest lucru atât media aritmetică, cât și mediana?

D) Fiecare dintre numerele din mulțime a fost mărit cu 3. Ce se va întâmpla cu media aritmetică și cu mediana?

Dulciurile din magazin se vând la greutate. Pentru a afla câte dulciuri sunt conținute într-un kilogram, Masha a decis să găsească greutatea unei bomboane. Ea a cântărit mai multe bomboane și a obținut următoarele rezultate:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Ambele caracteristici sunt potrivite pentru estimarea greutății unei bomboane, deoarece nu sunt foarte diferiți unul de celălalt.

Deci, pentru a caracteriza informațiile statistice, se folosesc media aritmetică și mediana. În multe cazuri, unele dintre caracteristici pot să nu aibă vreo semnificație semnificativă (de exemplu, având informații despre ora accidentelor de circulație, nu are sens să vorbim despre media aritmetică a acestor date).

1. Teme: paragraful 11, nr. 3,4,9,11.
2. Rezultatele lecției. Reflecţie.

Literatură:

1. Yu.N. Tyurin și colab. „Teoria probabilității și statistică”, Editura MCNMO, JSC „Moscow Textbooks”, Moscova 2008.
2. E.A. Bunimovici, V.A. Bulychev „Fundamentals of statistics and probability”, DROFA, Moscova 2004.
3. Ziarul „Matematică” nr. 23, 2007.
4. Versiunea demo a testului de teoria probabilitatii si statistica pentru nota a 7-a, cont 2007/2008. an.

Modă- valoarea din setul de observatii care apare cel mai des

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

aici X Mo este marginea din stânga a intervalului modal, h Mo este lungimea intervalului modal, f Mo-1 este frecvența intervalului premodal, f Mo este frecvența intervalului modal, f Mo+1 este frecvența intervalului postmodal.

Modul unei distribuții absolut continue este orice punct al maximului local al densității distribuției. Pentru distribuțiile discrete, un mod este orice valoare a i a cărei probabilitate p i este mai mare decât probabilitățile valorilor învecinate

median variabilă aleatoare continuă X valoarea sa Me se numește astfel, pentru care este la fel de probabil dacă variabila aleatoare se va dovedi a fi mai mică sau mai mare Pe mine, adică

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Eu) = P(X > Pe mine)

Distribuit uniform NOU

Distribuție uniformă. O variabilă aleatoare continuă se numește distribuită uniform pe segmentul () dacă funcția sa de densitate de distribuție (Fig. 1.6, A) se pare ca:

Denumire: - SW este distribuit uniform pe .

În consecință, funcția de distribuție pe segment (Fig. 1.6, b):

Orez. 1.6. Funcții ale unei variabile aleatoare distribuite uniform pe [ A,b]: A– densități de probabilitate f(X); b– distribuții F(X)

Așteptările matematice și varianța acestui RV sunt determinate de expresiile:

Datorită simetriei funcției de densitate, aceasta coincide cu mediana. Moda nu are o distribuție uniformă

Exemplul 4 Timpul de așteptare pentru un răspuns la un apel telefonic este o variabilă aleatorie care respectă o lege de distribuție uniformă în intervalul de la 0 la 2 minute. Găsiți funcțiile de distribuție integrală și diferențială ale acestei variabile aleatoare.

27. Legea normală a distribuției probabilităților

O variabilă aleatoare continuă x are o distribuție normală cu parametrii: m,s > 0, dacă densitatea distribuției de probabilitate are forma:

unde: m este așteptarea matematică, s este abaterea standard.

Distribuția normală este numită și Gauss după matematicianul german Gauss. Faptul că o variabilă aleatoare are o distribuţie normală cu parametrii: m, , se notează astfel: N (m, s), unde: m=a=M[X];

Destul de des, în formule, așteptarea matematică este notă cu A . Dacă o variabilă aleatoare este distribuită conform legii N(0,1), atunci se numește valoare normală normalizată sau standardizată. Funcția de distribuție a acesteia are forma:

Graficul densității distribuției normale, care se numește curbă normală sau curbă Gauss, este prezentat în Fig. 5.4.

Orez. 5.4. Densitatea normală de distribuție

proprietăți o variabilă aleatorie cu o lege de distribuție normală.

1. Dacă , atunci pentru a găsi probabilitatea ca această valoare să se încadreze într-un interval dat ( x 1; x 2) se utilizează formula:

2. Probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice să nu depășească valoarea (în valoare absolută) este egală cu.