Definiția celui de-al patrulea ordin. Determinant de matrice
În cursul rezolvării problemelor de matematică superioară, este foarte adesea necesar să calculați determinantul matricei. Determinantul unei matrice apare în algebra liniară, geometrie analitică, analiză matematică și alte secțiuni matematică superioară. Astfel, pur și simplu nu se poate face fără priceperea de a rezolva determinanți. De asemenea, pentru autotestare, puteți descărca gratuit calculatorul de determinanți, nu vă va învăța cum să rezolvați determinanții de la sine, dar este foarte convenabil, deoarece este întotdeauna benefic să cunoașteți răspunsul corect în avans!
Nu voi da o definiție matematică strictă a determinantului și, în general, voi încerca să minimizez terminologia matematică, acest lucru nu va ușura majoritatea cititorilor. Scopul acestui articol este să vă învețe cum să rezolvați determinanții de ordinul al doilea, al treilea și al patrulea. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă și chiar și un ibric plin (gol) la matematică superioară, după un studiu atent al materialului, va putea rezolva corect determinanții.
În practică, cel mai adesea puteți găsi un determinant de ordinul doi, de exemplu: , și un determinant de ordinul trei, de exemplu: 
.
Determinant de ordinul al patrulea 
De asemenea, nu este o antichitate și vom ajunge la el la sfârșitul lecției.
Sper ca toata lumea sa inteleaga urmatoarele: Numerele din interiorul determinantului trăiesc de la sine și nu se pune problema vreunei scăderi! Nu poți schimba numerele!
(În special, este posibil să se efectueze permutări în perechi ale rândurilor sau coloanelor unui determinant cu o schimbare a semnului său, dar adesea acest lucru nu este necesar - vezi lecția următoare Proprietățile unui determinant și scăderea ordinii acestuia)
Astfel, dacă este dat vreun determinant, atunci nu atinge nimic în interiorul ei!
Notaţie: Dacă i se oferă o matrice 
, atunci determinantul său se notează cu . De asemenea, foarte des se notează determinantul Literă latină sau greacă.
1)Ce înseamnă a rezolva (găsește, dezvălui) un determinant? Pentru a calcula determinantul este să GĂSIȚI NUMĂRUL. Semnele de întrebare din exemplele de mai sus sunt numere complet obișnuite.
2) Acum rămâne de dat seama CUM să găsesc acest număr? Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați anumite reguli, formule și algoritmi, care vor fi discutate acum.
Să începem cu determinantul „doi” la „doi”:
ASTA TREBUIE REAMINAT, cel puțin pentru perioada studierii matematicii superioare la universitate.
Să ne uităm imediat la un exemplu:
Gata. Cel mai important, NU CONFUNDA SEMNE.
Determinant de matrice trei câte trei poate fi deschis în 8 moduri, 2 dintre ele sunt simple și 6 sunt normale.
Să începem cu două moduri simple
Similar cu determinantul „doi cu doi”, determinantul „trei cu trei” poate fi extins folosind formula:
Formula este lungă și este ușor să faci o greșeală din cauza neatenției. Cum să eviți greșelile jenante? Pentru aceasta, a fost inventată o a doua metodă de calcul a determinantului, care de fapt coincide cu prima. Se numește metoda Sarrus sau metoda „fâșiilor paralele”.
Linia de jos este că prima și a doua coloană sunt atribuite la dreapta determinantului, iar liniile sunt desenate cu atenție cu un creion:
Factorii localizați pe diagonalele „roșii” sunt incluși în formulă cu un semn „plus”.
Factorii localizați pe diagonalele „albastre” sunt incluși în formula cu semnul minus:
Exemplu:
Comparați cele două soluții. Este ușor de observat că acesta este ACEȘI, doar în al doilea caz factorii formulei sunt ușor rearanjați și, cel mai important, probabilitatea de a face o greșeală este mult mai mică.
Acum luați în considerare cele șase moduri normale de a calcula determinantul
De ce normal? Pentru că în marea majoritate a cazurilor, determinanții trebuie deschiși în acest fel.
După cum puteți vedea, determinantul de trei câte trei are trei coloane și trei rânduri.
Puteți rezolva determinantul extinzându-l pe orice rând sau pe orice coloană.
Astfel, se dovedește 6 moduri, în timp ce în toate cazurile se utilizează de acelasi tip algoritm.
Determinantul matricei este egal cu suma produselor elementelor rândului (coloanei) și adunărilor algebrice corespunzătoare. De frică? Totul este mult mai simplu, vom folosi o abordare neștiințifică, dar de înțeles, accesibilă chiar și unei persoane care este departe de matematică.
În exemplul următor, vom extinde determinantul pe prima linie.
Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o matrice de semne: . Este ușor de observat că semnele sunt eșalonate.
Atenţie! Matricea semnelor este propria mea invenție. Acest concept nu este științific, nu trebuie utilizat în proiectarea finală a sarcinilor, ci doar vă ajută să înțelegeți algoritmul de calcul al determinantului.
Voi da mai întâi soluția completă. Din nou, luăm determinantul nostru experimental și efectuăm calcule:
Și întrebarea principală: CUM să obțineți acest lucru din determinantul „trei cu trei”: 
?
Deci, determinantul „trei cu trei” se rezumă la rezolvarea a trei determinanți mici, sau așa cum se mai numesc, MINORI. Vă recomand să vă amintiți termenul, mai ales că este memorabil: minor - mic.
De îndată ce se alege metoda de expansiune a determinantului pe prima linie, evident totul se invarte in jurul lui:
Elementele sunt de obicei vizualizate de la stânga la dreapta (sau de sus în jos dacă ar fi selectată o coloană)
Să mergem, mai întâi ne ocupăm de primul element al șirului, adică de unitatea:
1) Scriem semnul corespunzător din matricea de semne: 
2) Apoi scriem elementul în sine: 
3) Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care primul element este: 
Cele patru numere rămase formează determinantul „două câte doi”, care se numește MINOR elementul (unitatea) dat.
Trecem la al doilea element al liniei.
4) Scriem semnul corespunzător din matricea de semne:
5) Apoi scriem al doilea element: 
6) Trimiteți MENTAL rândul și coloana care conțin al doilea element: 
Ei bine, al treilea element din prima linie. Fără originalitate
7) Scriem semnul corespunzător din matricea de semne: 
8) Notați al treilea element: 
9) Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care al treilea element este: 
Celelalte patru numere sunt scrise cu un mic determinant.
Restul pașilor nu sunt dificili, deoarece știm deja să numărăm determinanții „doi câte doi”. NU CONFUNDATI SEMNELE!
În mod similar, determinantul poate fi extins pe orice rând sau peste orice coloană. Desigur, în toate cele șase cazuri răspunsul este același.
Determinantul „patru cu patru” poate fi calculat folosind același algoritm.
În acest caz, matricea semnelor va crește:
În exemplul următor, am extins determinantul pe coloana a patra:
Și cum s-a întâmplat, încercați să vă dați seama singur. Mai multe informații vor veni mai târziu. Dacă cineva dorește să rezolve determinantul până la capăt, răspunsul corect este: 18. Pentru antrenament, este mai bine să deschideți determinantul într-o altă coloană sau altă linie.
A exersa, a dezvălui, a face calcule este foarte bine și util. Dar cât timp vei petrece pe un factor determinant mare? Nu există o modalitate mai rapidă și mai fiabilă? Vă sugerez să vă familiarizați cu metode eficiente calculul determinanților la a doua lecție - Proprietățile determinantului. Reducerea ordinii determinantului .
ATENȚIE!
Al doilea ordin este un număr egal cu diferența dintre produsul numerelor care formează diagonala principală și produsul numerelor de pe diagonala laterală, puteți găsi următoarele denumiri ale determinantului: ; ; ; detA(determinant).
.
Exemplu: 
.
Determinantul unei matrice de ordinul trei se numește un număr sau o expresie matematică, calculată după următoarea regulă
Cel mai simplu mod de a calcula determinantul de ordinul trei este să adăugați determinantul primelor două rânduri de jos.
În tabelul format al numerelor se înmulțesc elementele de pe diagonala principală și de pe diagonalele paralele cu cea principală, semnul rezultatului produsului nu se modifică. Următoarea etapă a calculelor este o înmulțire similară a elementelor pe diagonala secundară și pe cele paralele cu aceasta. Semnele rezultatelor produsului sunt inversate. Apoi adăugați cei șase termeni rezultați.
Exemplu:
Descompunerea determinantului de elementele unui rând (coloană).
Minor M ij element şi ij matrice pătrată ȘI numit determinant, compus din elementele matricei ȘI, rămânând după ștergere eu- oh linie și j-a coloană.
De exemplu, un minor la un element un 21 matrici de ordinul trei 
va fi un determinant 
.
Vom spune că elementul şi ij ocupă o poziţie egală dacă i+j(suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora este element dat) - număr par, loc impar, dacă i+j- numar impar.
Adunarea algebrică Și ij element şi ij matrice pătrată ȘI numită expresie 
(sau valoarea minorului corespunzător, luată cu semnul „+” dacă elementul matricei ocupă un loc par și cu semnul „-” dacă elementul ocupă un loc impar).
Exemplu: 
un 23= 4;
- complement algebric al unui element un 22= 1.
teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui rând (coloană) și adunărilor algebrice corespunzătoare.
Să ilustrăm cu exemplul unui determinant de ordinul trei. Puteți calcula determinantul de ordinul al treilea extinzând pe primul rând după cum urmează
În mod similar, puteți calcula determinantul de ordinul trei prin extinderea pe orice rând sau coloană. Este convenabil să extindeți determinantul de-a lungul rândului (sau coloanei) care conține mai multe zerouri.
Exemplu: 
Astfel, calculul determinantului de ordinul 3 se reduce la calculul a 3 determinanți de ordinul doi. LA caz general se poate calcula determinantul unei matrice pătrate n-a ordinul, reducându-l la calcul n determinanti ( n-1)-a ordine
Cometariu. Nu există o modalitate ușoară de a calcula determinanții ordin înalt, similar metodelor de calcul a determinanților de ordinul 2 și 3. Prin urmare, numai metoda de descompunere poate fi utilizată pentru a calcula determinanții de peste ordinul trei.
Exemplu. Calculați determinantul de ordinul al patrulea.
Extindeți determinantul cu elementele celui de-al treilea rând
Proprietățile determinanților:
1. Determinantul nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane și invers.
2. La permutarea a două rânduri (coloane) adiacente, determinantul își schimbă semnul în opus.
3. Determinantul cu două rânduri (coloane) identice este 0.
4. Factorul comun al tuturor elementelor unui rând (coloană) a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.
5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare oricărei alte coloane (rânduri) înmulțite cu un număr sunt adăugate elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) ale acesteia.
Fie o matrice pătrată A de dimensiunea n x n .
Definiție. Determinantul este suma algebrică a tuturor produselor posibile ale elementelor, luate pe rând din fiecare coloană și fiecare rând al matricei A . Dacă în fiecare astfel de produs (termenul determinantului) factorii sunt aranjați în ordinea coloanelor (adică cei doi indici ai elementelor a ij din produs sunt în ordine crescătoare), atunci cu semnul (+) acele produse se iau pentru care permutarea primilor indici este pară, iar cu semnul (-) - cele pentru care este impară.
.
Iată numărul de inversiuni în permutarea indicilor i 1 , i 2 , …, i n .
Metode de găsire a determinanților
- Determinant al unei matrice prin extinderea în rânduri și coloane prin minore.
- Determinant prin reducere la formă triunghiulară (metoda Gauss)
Proprietatea determinanților
- Transpunerea unei matrice nu schimbă determinantul acesteia.
- Dacă schimbați două rânduri sau două coloane ale unui determinant, atunci determinantul își va schimba semnul, dar nu se va schimba în valoare absolută.
- Fie C = AB unde A și B sunt matrici pătrate. Atunci detC = detA ∙ detB .
- Un determinant cu două rânduri identice sau două coloane identice este 0. Dacă toate elementele unui rând sau al unei coloane sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.
- Un determinant cu două rânduri sau coloane proporționale este 0.
- Determinantul unei matrici triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonale. Determinantul unei matrici diagonale este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
- Dacă toate elementele unui rând (coloană) sunt înmulțite cu același număr, atunci determinantul va fi înmulțit cu acest număr.
- Dacă fiecare element dintr-un anumit rând (coloană) al unui determinant este reprezentat ca o sumă a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți în care toate rândurile (coloanele) cu excepția celui dat sunt aceleași, iar în rândul (coloana) dat primul determinant îi conține pe primii, iar în al doilea - al doilea termen.
- Teorema lui Jacobi: Dacă la elementele unei coloane a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare unei alte coloane, înmulțite cu un factor arbitrar λ, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.
- matrice de transpunere;
- adăugați la orice șir un alt șir înmulțit cu orice număr.
Exercitiul 1. Calculați determinantul extinzându-l pe rând sau coloană.
Soluție :xml :xls
Exemplul 1 :xml :xls
Sarcina 2. Calculați determinantul în două moduri: a) după regula „triunghiurilor”; b) extinderea corzilor.
Soluţie.
a) Termenii incluși în semnul minus se construiesc în același mod față de diagonala secundară.
| = |
b) Scriem matricea sub forma:
| A= |
|
Principalul determinant:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34
Sarcina 3. Care este determinantul unei matrice pătrate de ordinul al patrulea A dacă rangul ei este r(A)=1.
Răspuns: det(A) = 0.
„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, apoi rezolva-le.»
D. Poya (1887-1985)
(Matematician. A contribuit contribuție uriașă la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi problemele și cum să predai rezolvarea problemelor.)
Asociat cu fiecare matrice pătrată număr. Acest număr este numit determinant matrici. Determinantul se calculează după reguli speciale și se notează cu |A|, det A, ΔA.
Numărul de rânduri (coloane) ale unui determinant se numește acestuia în ordine.
Determinant de ordinul întâi matricea este egală cu elementul a 11: |A|=a 11
Nu confundați determinantul de ordinul întâi cu modulul.
Determinant de ordinul doi notat cu simbolul
si este egal cu |A|=a 11 a 22 -a 12 a 21
determinant de ordinul 3 notat cu simbolul
Pentru memorarea acestei formule se folosesc reguli schematice ( regula triunghiului sau Sarrus)
domnia Sarrus.
Regula triunghiului.
Să ne uităm la un exemplu despre cum sunt utilizate aceste reguli.
EXEMPLU:
domnia Sarrus
Adăugăm primele două coloane la determinant.
regula triunghiului
Această metodă de calculare a determinanților nu este potrivită pentru determinanții de ordinul 4 și mai mari. Înainte de a specifica o regulă care să permită găsirea determinanților de orice ordine, să luăm în considerare conceptul de complement algebric al unui element de matrice.
Adunarea algebrică (Și ij) element şi ij determinant matriceal ȘI numit număr egal cu produsul lui (-1) i + j (la puterea numărului rândului plus numărul coloanei acestui element) de determinant, care se obține din cel dat ca urmare a ștergerii rândului și coloana unde se află acest element.
EXEMPLU:
Calculați complementul algebric A 21 element un 21 .
SOLUŢIE:
Prin definiția complementului algebric
Calculul determinantului unei ordine arbitrare. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricăruia dintre rândurile (sau coloanele) sale și adunările algebrice corespunzătoare.
, extinderea determinantului de ordinul 4 din primul rând este după cum urmează:
