Aplicarea unor limite remarcabile exemple tg. Prima limită remarcabilă: teorie și exemple

Acum, cu sufletul calm, să trecem la considerare limite minunate.
arata ca .

În locul variabilei x pot fi prezente diferite funcții, principalul lucru este că tind la 0.

Este necesar să se calculeze limita

După cum puteți vedea, această limită este foarte asemănătoare cu prima remarcabilă, dar acest lucru nu este în întregime adevărat. În general, dacă observați păcat în limită, atunci ar trebui să vă gândiți imediat dacă este posibil să folosiți prima limită remarcabilă.

Conform regulii noastre nr. 1, înlocuim zero în loc de x:

Primim incertitudine.

Acum să încercăm să organizăm singuri prima limită minunată. Pentru a face acest lucru, să facem o combinație simplă:

Deci, organizăm numărătorul și numitorul pentru a evidenția 7x. Acum a apărut deja limita minunată familiară. Este recomandabil să o evidențiați atunci când decideți:

Să înlocuim soluția cu primul exemplu remarcabil și să obținem:

Simplificarea fracției:

Raspuns: 7/3.

După cum puteți vedea, totul este foarte simplu.

Se pare că , unde e = 2,718281828... este un număr irațional.

În locul variabilei x pot fi prezente diferite funcții, principalul lucru este că acestea tind să .

Este necesar să se calculeze limita

Aici vedem prezența unui grad sub semnul unei limite, ceea ce înseamnă că este posibil să se utilizeze o a doua limită remarcabilă.

Ca întotdeauna, vom folosi regula nr. 1 - înlocuiți x în loc de:

Se poate observa că la x baza gradului este , iar exponentul este 4x > , adică. obținem o incertitudine de forma:

Să folosim a doua limită minunată pentru a ne dezvălui incertitudinea, dar mai întâi trebuie să o organizăm. După cum puteți vedea, trebuie să obținem prezența în indicator, pentru care ridicăm baza la puterea de 3x și, în același timp, la puterea de 1/3x, astfel încât expresia să nu se schimbe:

Nu uitați să subliniați limita noastră minunată:

Așa sunt cu adevărat limite minunate!
Dacă mai aveți întrebări despre prima și a doua limite minunate, apoi nu ezitați să-i întrebați în comentarii.
Vom răspunde tuturor cât mai mult posibil.

De asemenea, puteți lucra cu un profesor pe această temă.
Suntem încântați să vă oferim serviciile de selectare a unui tutor calificat în orașul dumneavoastră. Partenerii noștri vor selecta rapid un profesor bun pentru tine, în condiții favorabile.

Nu sunt suficiente informații? - Puteți!

Puteți scrie calcule matematice în blocnotes. Este mult mai plăcut să scrieți individual în caiete cu logo (http://www.blocnot.ru).

Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este un derivat și să-i găsești cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și în scopul acestei lecții vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunate Şi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, studenții cu fracțiune de normă în 95% din cazuri au două limite minunate: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, ele înțeleg prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi literă greacă„alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar ne vom uita la semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea în sarcini practice funcțiile pot fi aranjate diferit, nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja singur numitorul și numitorul! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu numai o variabilă, ci și o funcție elementară poate acționa ca parametru, functie complexa. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: care este limita? ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu, aproape niciodată unui student nu este oferit să rezolve o limită gratuită și să obțină o trecere ușoară. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi fi hotărât între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve un exemplu simplu („poate că el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinusul avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Raspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. În clasă Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca urmare, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia notă! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, principiul după care se face acest lucru este discutat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este relevată tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu se află pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Puteți raționa astfel: în acest exemplu parametrul este , ceea ce înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .

Formula pentru a doua limită remarcabilă este lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. O altă formă de scriere arată astfel: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Când vorbim despre a doua limită remarcabilă, trebuie să ne ocupăm de incertitudinea formei 1 ∞, i.e. unitate într-un grad infinit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Să luăm în considerare problemele în care capacitatea de a calcula a doua limită remarcabilă va fi utilă.

Exemplul 1

Aflați limita limită x → ​​∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluţie

Să înlocuim formula necesară și să efectuăm calculele.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Răspunsul nostru s-a dovedit a fi unul la puterea infinitului. Pentru a determina metoda de rezolvare, folosim tabelul de incertitudine. Să alegem a doua limită remarcabilă și să facem o schimbare de variabile.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Dacă x → ​​∞, atunci t → - ∞.

Să vedem ce avem după înlocuire:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Răspuns: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​∞ x - 1 x + 1 x .

Soluţie

Să înlocuim infinitul și să obținem următoarele.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

În răspuns, am primit din nou același lucru ca în problema anterioară, prin urmare, putem folosi din nou a doua limită minunată. În continuare trebuie să selectăm la bază functie de putereîntreaga parte:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

După aceasta, limita ia următoarea formă:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Înlocuiți variabilele. Să presupunem că t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; dacă x → ​​∞, atunci t → ∞.

După aceea, notăm ce am obținut în limita inițială:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Pentru a efectua această transformare, am folosit proprietățile de bază ale limitelor și puterilor.

Răspuns: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

După aceea, trebuie să transformăm funcția pentru a aplica cea de-a doua mare limită. Avem următoarele:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Deoarece acum avem aceiași exponenți în numărătorul și numitorul fracției (egal cu șase), limita fracției la infinit va fi egală cu raportul acestor coeficienți la puteri mai mari.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Prin înlocuirea t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 obținem o a doua limită remarcabilă. Aceasta înseamnă că:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

Concluzii

Incertitudinea 1 ∞, i.e. unitatea la o putere infinită este o incertitudine a legii puterii, prin urmare, poate fi dezvăluită folosind regulile pentru găsirea limitelor funcțiilor de putere exponențiale.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dovada:

Să demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul șirului

Conform formulei binomiale a lui Newton:

Presupunând că primim

Din această egalitate (1) rezultă că pe măsură ce n crește, numărul de termeni pozitivi din partea dreaptă crește. În plus, pe măsură ce n crește, numărul scade, deci valorile sunt în creștere. Prin urmare, succesiunea crescând și (2)*Arătăm că este mărginit. Înlocuiți fiecare paranteză din partea dreaptă a egalității cu una, partea dreaptă crește, obținem inegalitate

Să întărim inegalitatea rezultată, înlocuim 3,4,5, ..., stând în numitorii fracțiilor, cu numărul 2: Găsim suma între paranteze folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice: Prin urmare (3)*

Deci, șirul este mărginit de sus și inegalitățile (2) și (3) sunt satisfăcute: Prin urmare, pe baza teoremei Weierstrass (criteriul de convergență a unei secvențe), secvența crește monoton și este limitat, ceea ce înseamnă că are o limită, notată cu litera e. Aceste.

Știind că a doua limită remarcabilă este adevărată pentru valorile naturale ale lui x, demonstrăm a doua limită remarcabilă pentru x real, adică demonstrăm că . Să luăm în considerare două cazuri:

1. Fie fiecare valoare a lui x inclusă între două numere întregi pozitive: ,unde este partea întreagă a lui x. => =>

Dacă , atunci Prin urmare, în funcție de limită Avem

Pe baza criteriului (despre limita unei funcţii intermediare) al existenţei limitelor

2. Fie . Să facem înlocuirea − x = t, atunci

Din aceste două cazuri rezultă că pentru x real.

Consecințe:

9 .) Comparația infinitezimale. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente în limită și teorema privind partea principală a infinitezimalelor.

Fie funcțiile a( x) și b( x) – b.m. la x ® x 0 .

DEFINIȚII.

1)a( x) numit infinitezimal mai mult ordin înalt Cum b (x) Dacă

Scrieți: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) Şi b( x)sunt numite infinitezimale de același ordin, Dacă

unde CÎℝ și C¹ 0 .

Scrieți: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) Şi b( x) sunt numite echivalent , Dacă

Scrieți: a( x) ~ b( x).

4)a( x) numit infinitezimal de ordinul k relativ
absolut infinitezimal b( x), dacă infinitezimal o( x)Şi(b( x))k au aceeași ordine, adică Dacă

unde CÎℝ și C¹ 0 .

TEOREMA 6 (despre înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente).

Lasă o( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. la x ® x 0 . Dacă o( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Că

Dovada: fie a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Atunci

TEOREMA 7 (despre partea principală a infinitezimalului).

Lasă o( x)Şi b( x)– b.m. la x ® x 0 , și b( x)– b.m. ordin mai mare decât o( x).

= , a deoarece b( x) – ordin mai mare decât a( x), atunci, i.e. din este clar că un( x) + b( x) ~ a( x)

10) Continuitatea unei funcții într-un punct (în limbajul epsilon-delta, limite geometrice) Continuitate unilaterală. Continuitate pe un interval, pe un segment. Proprietățile funcțiilor continue.

1. Definiții de bază

Lasă f(x) este definită într-o vecinătate a punctului x 0 .

DEFINIȚIA 1. Funcția f(x) numit continuu la un punct x 0 dacă egalitatea este adevărată

Note.

1) În virtutea teoremei 5 §3, egalitatea (1) se poate scrie sub forma

Condiție (2) - definirea continuității unei funcții într-un punct în limbajul limitelor unilaterale.

2) Egalitatea (1) poate fi scrisă și ca:

Ei spun: „dacă o funcție este continuă într-un punct x 0, atunci semnul limitei și funcția pot fi schimbate."

DEFINIȚIA 2 (în limbajul e-d).

Funcția f(x) numit continuu la un punct x 0 Dacă„e>0 $d>0 astfel de, Ce

dacă xОU( x 0, d) (adică | x – x 0 | < d),

apoi f(x)ÎU( f(x 0), e) (adică | f(x) – f(x 0) | < e).

Lasă x, x 0 Î D(f) (x 0 – fix, x – arbitrar)

Să notăm: D x= x – x 0 – increment de argument

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – creșterea funcției la punctulx 0

DEFINIȚIA 3 (geometrică).

Funcția f(x) pe numit continuu la un punct x 0 dacă în acest moment un increment infinitezimal în argument îi corespunde unui increment infinitezimal în funcție, adică

Lasă funcția f(x) este definită pe intervalul [ x 0 ; x 0 + d) (pe intervalul ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINIŢIE. Funcția f(x) numit continuu la un punct x 0 corect (stânga ), dacă egalitatea este adevărată

Este evident că f(x) este continuă la punct x 0 Û f(x) este continuă la punct x 0 dreapta si stanga.

DEFINIŢIE. Funcția f(x) numit continuu pentru un interval e ( o; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

Funcția f(x) se numeste continuu pe segment [o; b] dacă este continuă pe interval (o; b) și are continuitate unidirecțională la punctele de limită(adică continuu la punctul o pe dreapta, la punct b- stânga).

11) Puncte de break, clasificarea lor

DEFINIŢIE. Dacă funcția f(x) definit într-o vecinătate a punctului x 0 , dar nu este continuă în acest moment, atunci f(x) numită discontinuă în punctul x 0 , și punctul în sine x 0 numit punct de întrerupere funcții f(x) .

Note.

1) f(x) poate fi definită într-o vecinătate incompletă a punctului x 0 .

Apoi luați în considerare continuitatea unilaterală corespunzătoare a funcției.

2) Din definiția punctului Þ x 0 este punctul de întrerupere al funcției f(x) în două cazuri:

a) U( x 0, d)О D(f), dar pentru f(x) egalitatea nu este valabilă

b) U * ( x 0, d)О D(f) .

Pentru funcțiile elementare, este posibil doar cazul b).

Lasă x 0 – punctul de întrerupere a funcției f(x) .

DEFINIŢIE. Punctul x 0 numit punct de rupere eu un fel de dacă funcția f(x)are limite finite în stânga și în dreapta în acest moment.

Dacă aceste limite sunt egale, atunci punctul x 0 numit punct de rupere detașabil , altfel - punct de salt .

DEFINIŢIE. Punctul x 0 numit punct de rupere II un fel de dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției f(x)în acest punct este egal¥ sau nu exista.

12) Proprietăți ale funcțiilor continue pe un interval (teoreme ale lui Weierstrass (fără dovezi) și Cauchy

teorema lui Weierstrass

Fie funcția f(x) continuă pe interval, atunci

1)f(x) este limitat la

2)f(x) ia cea mai mică valoare pe intervalul și cea mai mare valoare

Definiţie: Valoarea funcției m=f se numește cea mai mică dacă m≤f(x) pentru orice x€ D(f).

Se spune că valoarea funcției m=f este cea mai mare dacă m≥f(x) pentru orice x € D(f).

Funcția poate lua cea mai mică/mai mare valoare în mai multe puncte ale segmentului.

f(x 3)=f(x 4)=max

teorema lui Cauchy.

Fie funcția f(x) continuă pe segment și x numărul conținut între f(a) și f(b), atunci există cel puțin un punct x 0 € astfel încât f(x 0)= g