Care este rangul matricei pentru diferite valori. Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare

Și luați în considerare, de asemenea, o aplicație practică importantă a subiectului: cercetarea sistemului ecuatii lineare pentru compatibilitate.

Care este rangul unei matrice?

Epigraful plin de umor a articolului conține mult adevăr. Cuvântul „rang” în sine este de obicei asociat cu un fel de ierarhie, cel mai adesea cu scara carierei. Cu cât o persoană are mai multe cunoștințe, experiență, abilități, conexiuni etc. - cu cât este mai mare poziţia şi gama de oportunităţi. În termeni de tineret, rangul se referă la gradul general de „rezistență”.

Iar frații noștri matematici trăiesc după aceleași principii. Să ne plimbăm câteva arbitrare matrice zero:

Să ne gândim dacă în matrice doar zerouri, atunci despre ce rang putem vorbi? Toată lumea este familiarizată cu expresia informală „zero total”. În societatea matriceală, totul este exact la fel:

Rang matrice zeroorice dimensiune este zero.

Notă : se notează matricea nulă Literă greacă"theta"

Pentru a înțelege mai bine rangul matricei, în continuare mă voi baza pe materiale geometrie analitică. Luați în considerare zero vector a spațiului nostru tridimensional, care nu stabilește o anumită direcție și este inutil pentru construcție bază afină. Din punct de vedere algebric, sunt scrise coordonatele unui vector dat matrice„unul câte trei” și logic (în sensul geometric specificat) să presupunem că rangul acestei matrice este zero.

Acum să ne uităm la câteva diferit de zero vectori coloanăși vectori rând:


Fiecare instanță are cel puțin un element non-null și asta e ceva!

Rangul oricărui vector rând diferit de zero (vector coloană) este egal cu unu

Și în general vorbind - dacă în matrice dimensiuni arbitrare are cel puțin un element diferit de zero, apoi rangul său nu mai puțin unitati.

Vectorii algebrici rând și coloană sunt abstracti într-o anumită măsură, așa că să ne întoarcem din nou la asocierea geometrică. diferit de zero vector stabilește o direcție bine definită în spațiu și este potrivit pentru construcție bază, deci rangul matricei se va presupune a fi egal cu unu.

Context teoretic : în algebra liniară, un vector este un element al unui spațiu vectorial (definit prin 8 axiome), care, în special, poate fi un rând (sau coloană) ordonat de numere reale cu operațiile de adunare și înmulțire cu un număr real definite. pentru ei. Pentru mai multe informații despre vectori, consultați articolul Transformări liniare.

dependent liniar(exprimate unul prin altul). Din punct de vedere geometric, a doua linie conține coordonatele vectorului coliniar , care nu a avansat chestiunea în clădire bază tridimensională, fiind redundant în acest sens. Astfel, rangul acestei matrice este, de asemenea, egal cu unu.

Rescriem coordonatele vectorilor în coloane ( transpune matricea):

Ce s-a schimbat în ceea ce privește rangul? Nimic. Coloanele sunt proporționale, ceea ce înseamnă că rangul este egal cu unu. Apropo, rețineți că toate cele trei linii sunt, de asemenea, proporționale. Ele pot fi identificate cu coordonatele Trei vectori coliniari ai planului, din care unul singur util pentru construirea unei baze „plate”. Și acest lucru este în deplin acord cu simțul nostru geometric al rangului.

Din exemplul de mai sus rezultă o afirmație importantă:

Rangul unei matrice pe rânduri este egal cu rangul unei matrice pe coloane. Am menționat deja puțin acest lucru în lecția despre eficient metode de calcul a determinantului.

Notă : din dependența liniară a șirurilor rezultă dependență liniară coloane (și invers). Dar pentru a economisi timp și din obișnuință, aproape întotdeauna voi vorbi despre dependența liniară a șirurilor.

Să continuăm să dresăm animalul nostru iubit. Adăugați coordonatele altui vector coliniar la matricea din al treilea rând :

Ne-a ajutat să construim o bază tridimensională? Desigur că nu. Toți cei trei vectori merg înainte și înapoi pe aceeași cale, iar rangul matricei este de os. Puteți lua oricât de mulți vectori coliniari doriți, să zicem 100, să le puneți coordonatele într-o matrice de 100 pe 3, iar rangul unui astfel de zgârie-nori va rămâne în continuare unul.

Să facem cunoștință cu matricea ale cărei rânduri liniar independent. O pereche de vectori necoliniari este potrivită pentru construirea unei baze tridimensionale. Rangul acestei matrice este doi.

Care este rangul matricei? Liniile par să nu fie proporționale... deci, teoretic, trei. Cu toate acestea, rangul acestei matrice este, de asemenea, egal cu doi. Am adăugat primele două rânduri și am notat rezultatul în partea de jos, adică. exprimată liniar a treia linie prin primele două. Geometric, rândurile matricei corespund coordonatele a trei vectori coplanari, iar printre acest triplu se află o pereche de camarazi necoliniari.

După cum puteți vedea dependență liniarăîn matricea considerată nu este evidentă, iar astăzi vom învăța doar cum să o aducem „la apă curată”.

Cred că mulți oameni ghicesc care este rangul unei matrice!

Luați în considerare o matrice ale cărei rânduri liniar independent. Se formează vectori bază afină, iar rangul acestei matrice este de trei.

După cum știți, orice al patrulea, al cincilea, al zecelea vector al spațiului tridimensional va fi exprimat liniar în termeni de vectori de bază. Prin urmare, dacă se adaugă orice număr de rânduri la matrice, atunci rangul acesteia vor mai fi trei.

Raționament similar poate fi efectuat pentru matrici de dimensiuni mai mari (în mod clar, deja fără semnificație geometrică).

Definiție : rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente. Sau: rangul unei matrice este numărul maxim de coloane liniar independente. Da, se potrivesc mereu.

Din cele de mai sus rezultă un ghid practic important: rangul unei matrice nu depășește dimensiunea minimă a acesteia. De exemplu, în matrice patru rânduri și cinci coloane. Dimensiunea minimă este patru, prin urmare, rangul acestei matrice cu siguranță nu va depăși 4.

Notaţie: în teoria și practica lumii nu există un standard general acceptat pentru desemnarea rangului matricei, cel mai comun poate fi găsit: - după cum se spune, un englez scrie una, un german alta. Prin urmare, pe baza cunoscutei anecdote despre iadul american și rusesc, să desemnăm rangul matricei cu un cuvânt nativ. De exemplu: . Și dacă matricea este „fără nume”, dintre care există o mulțime, atunci puteți scrie pur și simplu .

Cum să găsiți rangul unei matrice folosind minori?

Dacă bunica noastră avea o a cincea coloană în matrice, atunci ar fi trebuit calculată o altă coloană de ordinul 4 („albastru”, „zmeura” + coloana a 5-a).

Concluzie: ordinul maxim al unui minor diferit de zero este trei, deci .

Poate că nu toată lumea a înțeles pe deplin această frază: minorul de ordinul 4 este egal cu zero, dar printre minorii de ordinul 3 a fost unul diferit de zero - prin urmare, ordinul maxim diferit de zero minor și egal cu trei.

Apare întrebarea, de ce să nu calculăm imediat determinantul? Ei bine, în primul rând, în majoritatea sarcinilor matricea nu este pătrată și, în al doilea rând, chiar dacă obțineți o valoare diferită de zero, atunci sarcina va fi respinsă cu o probabilitate mare, deoarece de obicei implică un standard „de jos în sus” soluţie. Și în exemplul considerat, determinantul zero al ordinului al patrulea ne permite chiar să afirmăm că rangul matricei este doar mai mic de patru.

Trebuie să recunosc că problema analizată mi-am venit chiar eu pentru a explica mai bine metoda limitării minorilor. În practică, totul este mai simplu:

Exemplul 2

Găsiți rangul unei matrice prin metoda franjării minorilor

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Când algoritmul rulează cel mai repede? Să revenim la aceeași matrice patru pe patru . Evident, soluția va fi cea mai scurtă în cazul „bunului” minori de colt:

Și, dacă , atunci , altfel - .

Gândirea nu este deloc ipotetică - există multe exemple în care totul se limitează doar la minorii unghiular.

Cu toate acestea, în unele cazuri, o altă metodă este mai eficientă și de preferat:

Cum să găsiți rangul unei matrice folosind metoda Gauss?

Această secțiune este destinată cititorilor care sunt deja familiarizați cu metoda Gaussși încetul cu încetul au pus mâna pe ea.

Din punct de vedere tehnic, metoda nu este nouă:

1) folosind transformări elementare, aducem matricea într-o formă de pas;

2) rangul matricei este egal cu numărul de rânduri.

Este destul de clar că folosind metoda Gauss nu se modifică rangul matricei, iar esența aici este extrem de simplă: conform algoritmului, în cursul transformărilor elementare, toate liniile proporționale inutile (dependente liniar) sunt identificate și eliminate, în urma cărora rămâne un „reziduu uscat” - numărul maxim de linii liniar independente.

Să transformăm vechea matrice familiară cu coordonate de trei vectori coliniari:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie.

(2) Liniile zero sunt șterse.

Deci a mai rămas o linie, deci. Inutil să spun că acest lucru este mult mai rapid decât calcularea a nouă zero minori de ordinul 2 și abia apoi tragerea unei concluzii.

Vă reamintesc că în sine matrice algebrică nimic nu poate fi schimbat, iar transformările sunt efectuate doar în scopul de a afla rangul! Apropo, să ne oprim din nou la întrebare, de ce nu? Matricea surselor transportă informații care sunt fundamental diferite de informațiile de matrice și rând. În unele modele matematice(fără exagerare) diferența dintr-un număr poate fi o chestiune de viață și de moarte. ...Amintit profesori de școală matematicieni din clasele primare și secundare, care au tăiat fără milă nota cu 1-2 puncte pentru cea mai mică inexactitate sau abatere de la algoritm. Și a fost teribil de dezamăgitor când, în loc de „cinci” aparent garantat, a ieșit „bine” sau chiar mai rău. Înțelegerea a venit mult mai târziu - cum altfel să-i încredințezi unei persoane sateliți, focoase nucleare și centrale electrice? Dar nu vă faceți griji, nu lucrez în aceste domenii =)

Să trecem la sarcini mai semnificative, unde, printre altele, ne vom familiariza cu tehnici de calcul importante metoda Gauss:

Exemplul 3

Găsiți rangul unei matrice folosind transformări elementare

Decizie: având o matrice de patru câte cinci, ceea ce înseamnă că rangul său este cu siguranță nu mai mult de 4.

În prima coloană, nu există 1 sau -1, prin urmare, sunt necesari pași suplimentari pentru a obține cel puțin o unitate. De-a lungul întregii existențe a site-ului, mi s-a pus în repetate rânduri întrebarea: „Este posibil să rearanjam coloanele în timpul transformărilor elementare?”. Aici - a rearanjat prima sau a doua coloană și totul este bine! În majoritatea sarcinilor unde metoda Gauss, coloanele pot fi într-adevăr rearanjate. DAR NU. Și ideea nu este nici măcar o posibilă confuzie cu variabile, ideea este că în cursul clasic de studiu matematică superioarăîn mod tradițional, această acțiune nu este luată în considerare, prin urmare, o astfel de reverență va fi privită FOARTE strâmb (sau chiar forțată să refacă totul).

Al doilea punct se referă la numere. În cursul deciziei, este util să vă ghidați după următoarea regulă generală: transformările elementare ar trebui, dacă este posibil, să reducă numerele matricei. Într-adevăr, este mult mai ușor să lucrezi cu unu-doi-trei decât, de exemplu, cu 23, 45 și 97. Și prima acțiune vizează nu numai obținerea unei unități în prima coloană, ci și eliminarea numerelor. 7 și 11.

Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3. Și la grămadă: prima linie, înmulțită cu -1, a fost adăugată la a patra linie.

(2) Ultimele trei rânduri sunt proporționale. S-au șters rândurile a 3-a și a 4-a, a doua linie a fost mutată pe primul loc.

(3) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -3.

Matricea redusă la o formă în trepte are două rânduri.

Răspuns:

Acum este rândul tău să torturezi matricea de patru câte patru:

Exemplul 4

Găsiți rangul unei matrice folosind metoda Gaussiană

iti amintesc ca metoda Gauss nu implică o rigiditate clară, iar soluția dvs. va fi cel mai probabil diferită de soluția mea. O scurtă mostră a sarcinii la sfârșitul lecției.

Ce metodă să folosiți pentru a găsi rangul unei matrice?

În practică, adesea nu se spune deloc ce metodă ar trebui folosită pentru a găsi rangul. Într-o astfel de situație, ar trebui să se analizeze condiția - pentru unele matrice este mai rațional să se efectueze soluția prin minori, în timp ce pentru altele este mult mai profitabil să se aplice transformări elementare:

Exemplul 5

Aflați rangul unei matrice

Decizie: primul mod cumva dispare imediat =)

Puțin mai sus, am sfătuit să nu ating coloanele matricei, dar când există o coloană zero, sau coloane proporționale / potrivite, atunci merită amputat:

(1) A cincea coloană este zero, o scoatem din matrice. Astfel, rangul matricei este de cel mult patru. Primul rând se înmulțește cu -1. Aceasta este o altă caracteristică caracteristică a metodei Gauss, care face ca următoarea acțiune să fie o plimbare plăcută:

(2) La toate rândurile, începând cu a doua, s-a adăugat primul rând.

(3) Primul rând a fost înmulțit cu -1, al treilea rând a fost împărțit cu 2, al patrulea rând a fost împărțit cu 3. Al doilea rând înmulțit cu -1 a fost adăugat la al cincilea rând.

(4) A treia linie a fost adăugată la a cincea linie, înmulțită cu -2.

(5) Ultimele două rânduri sunt proporționale, îl ștergem pe al cincilea.

Rezultatul sunt 4 rânduri.

Răspuns:

Clădire standard cu cinci etaje pentru autoexplorare:

Exemplul 6

Aflați rangul unei matrice

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că expresia „rangul matricei” nu este atât de comună în practică, iar în majoritatea problemelor te poți descurca fără ea. Dar există o sarcină în care conceptul luat în considerare este personajul principal, iar în încheierea articolului vom lua în considerare această aplicație practică:

Cum se investighează sistemul de ecuații liniare pentru compatibilitate?

Adesea, pe lângă rezolvare sisteme de ecuații liniare conform condiției, se cere mai întâi să o examinăm pentru compatibilitate, adică să se dovedească că există vreo soluție. Un rol cheie în această verificare îl joacă Teorema Kronecker-Capelli, pe care o voi formula în forma cerută:

Dacă rang matrice de sistem egal cu rangul sistem de matrice augmentată, atunci sistemul este consistent, iar dacă numărul dat coincide cu numărul de necunoscute, atunci soluția este unică.

Astfel, pentru a studia sistemul pentru compatibilitate, este necesar să se verifice egalitatea , Unde - matricea sistemului(amintiți-vă terminologia din lecție metoda Gauss), A - sistem de matrice augmentată(adică matrice cu coeficienți la variabile + coloana de termeni liberi).

Definiție. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului unei matrice. Rangul matricei este ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Conceptul de minor am discutat deja în lecția despre determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm câteva rânduri și câteva coloane din matrice, iar acest „ceva” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „ceva” ar trebui să fie același număr. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de o ordine mai mică decât matricea noastră originală. Determinantul acestei matrice va fi de ordinul k minor dacă „ceva” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r+1)-al-lea ordin, în interiorul căruia se află minorul ales r-al-lea ordin, se numește margine pentru minorul dat.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate aflarea rangului unei matrice. aceasta mod de a frange minoriiși metoda transformărilor elementare(prin metoda Gauss).

Metoda limitării minorilor folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului unei matrice. Dacă se poate compune un minor din elementele matricei r al treilea ordin, care nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Cu metoda transformărilor elementare, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, cu excepția liniilor formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda limitării minorilor

Un minor învecinat este un minor de ordin superior în raport cu cel dat, dacă acest minor de ordin superior îl conține pe minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

marginile vor fi astfel de minori:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsim minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minori de ordinul trei limită. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați cu acesta. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea învecinați sunt zero, atunci rangul matricei este de trei ( r =2 ).

4. Continuați atâta timp cât o permite dimensiunea matricei.

Exemplul 1 Aflați rangul unei matrice

.

Decizie. Minor de ordinul doi .

Îl încadram. Vor fi patru minori în graniță:

,

,

Astfel, toți minorii de ordinul trei învecinați sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este de doi ( r =2 ).

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

Decizie. Rangul acestei matrice este 1, deoarece toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în acest sens, ca și în cazurile minorilor învecinați din următoarele două exemple, dragii studenți sunt invitați să verifice singuri, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar între minorii de ordinul întâi, adică dintre elementele matricei, nu sunt egale cu zero.

Exemplul 3 Aflați rangul unei matrice

Decizie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toți minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4 Aflați rangul unei matrice

Decizie. Rangul acestei matrice este 3 deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare (prin metoda Gauss)

Deja în Exemplul 1, se poate observa că problema determinării rangului unei matrice prin metoda minorilor limită necesită calcularea unui număr mare de determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Transformările elementare ale unei matrice înseamnă următoarele operații:

1) înmulțirea oricărui rând sau a oricărei coloane a matricei cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau a oricărei coloane a matricei a elementelor corespunzătoare din alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale unei matrice;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică acelea, ale căror elemente sunt egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale, cu excepția uneia.

Teorema. Transformarea elementară nu schimbă rangul matricei. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A mergi la matrice B, apoi .

Fie A o matrice de dimensiuni m\x n , iar k un număr natural care nu depășește m și n : k\leqslant\min\(m;n\). Ordine k-a minoră matricea A este determinantul matricei de ordin k formată din elementele de la intersecția dintre k rânduri și k coloane alese arbitrar ale matricei A . Indicând minori, numerele rândurilor selectate vor fi indicate prin indici superiori, iar numerele coloanelor selectate prin indici inferiori, aranjandu-i în ordine crescătoare.

Exemplul 3.4. Scrieți minori de diferite ordine de matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Decizie. Matricea A are dimensiuni de 3\x4 . Are: 12 minori de ordinul I, de exemplu, minor M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 minori de ordinul 2, de exemplu, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 minori de ordinul 3, de exemplu,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Într-o matrice A de m\x n, se numește minorul de ordinul r de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii (r + 1)-ro de ordin sunt egali cu zero sau nu există deloc.

Rangul matricei se numește ordinea de bază minoră. Nu există o bază minoră în matricea zero. Prin urmare, rangul unei matrice zero, prin definiție, se presupune a fi zero. Se notează rangul unei matrice A \operatorname(rg)A.

Exemplul 3.5. Găsiți toate minorii de bază și rangul unei matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Decizie. Toți minorii de ordinul trei ai acestei matrice sunt egali cu zero, deoarece al treilea rând al acestor determinanți este zero. Prin urmare, doar un minor de ordinul doi situat în primele două rânduri ale matricei poate fi de bază. Trecând prin 6 minori posibili, selectăm non-zero

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Fiecare dintre acești cinci minori este de bază. Prin urmare, rangul matricei este 2.

Observații 3.2

1. Dacă în matrice toți minorii de ordinul k sunt egali cu zero, atunci ei sunt egali cu zero și minorii sunt mai mult decât ordin înalt. Într-adevăr, extinzând minorul de ordin (k + 1)-ro peste orice rând, obținem suma produselor elementelor acestui rând prin minore de ordinul k-lea, iar acestea sunt egale cu zero.

2. Rangul unei matrice este egal cu cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

3. Dacă o matrice pătrată este nedegenerată, atunci rangul ei este egal cu ordinea sa. Dacă o matrice pătrată este degenerată, atunci rangul ei este mai mic decât ordinul său.

4. Desemnările sunt folosite și pentru rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rank)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Block Matrix Rank este definit ca rangul unei matrice obișnuite (numerice), adică indiferent de structura sa bloc. În acest caz, rangul matricei blocurilor nu este mai mic decât rangurile blocurilor sale: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Ași \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, deoarece toate minorele matricei A (sau B ) sunt și minore ale matricei bloc (A\mid B) .

Teoreme pe baza minoră și pe rangul unei matrice

Să luăm în considerare principalele teoreme care exprimă proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice.

Teorema 3.1 asupra minorului de bază.Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară de coloane (rânduri) în care se află baza minoră.

Într-adevăr, fără pierderi de generalitate, presupunem că în matricea m\x n A, baza minoră este situată în primele r rânduri și primele r coloane. Luați în considerare determinantul

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

care se obţine prin atribuirea bazei minore a matricei A a corespunzătoare elementele s-a rând și k-a coloană. Rețineți că pentru orice 1\leqslant s\leqslant m iar acest determinant este zero. Dacă s\leqslant r sau k\leqslant r , atunci determinantul D conține două rânduri identice sau două coloane identice. Dacă s>r și k>r , atunci determinantul D este egal cu zero, deoarece este minor de ordinul (r+l)-ro. Extinderea determinantului pe ultimul rând, obținem

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

unde D_(r+1\,j) sunt complementele algebrice ale elementelor ultimului rând. Rețineți că D_(r+1\,r+1)\ne0 , deoarece acesta este un minor de bază. prin urmare

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Unde \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Scriind ultima egalitate pentru s=1,2,\ldots,m , obținem

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

acestea. k-a coloană (pentru orice 1\leqslant k\leqslant n) este o combinație liniară a coloanelor minorului de bază, care urma să fie dovedită.

Teorema minoră de bază servește la demonstrarea următoarelor teoreme importante.

Condiția ca determinantul să fie egal cu zero

Teorema 3.2 (condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca un determinant să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca una dintre coloanele sale (unul dintre rândurile sale) să fie o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.

Într-adevăr, necesitatea decurge din teorema minoră de bază. Dacă determinantul unei matrici pătrate de ordinul al n-lea este egal cu zero, atunci rangul său este mai mic decât n, adică. cel puțin o coloană nu este inclusă în baza minoră. Atunci această coloană aleasă, de teorema 3.1, este o combinație liniară a coloanelor care conțin baza minoră. Adăugând, dacă este necesar, la această combinație alte coloane cu coeficienți zero, obținem că coloana selectată este o combinație liniară a coloanelor rămase ale matricei. Suficiența rezultă din proprietățile determinantului. Dacă, de exemplu, ultima coloană A_n a determinantului \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) exprimată liniar în termeni de restul

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

apoi adăugând la A_n coloana A_1 înmulțită cu (-\lambda_1) , apoi coloana A_2 înmulțită cu (-\lambda_2) și așa mai departe. coloana A_(n-1) înmulțită cu (-\lambda_(n-1)) , obținem determinantul \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) cu o coloană zero care este egală cu zero (proprietatea 2 a determinantului).

Invarianța rangului matricei în cadrul transformărilor elementare

Teorema 3.3 (asupra invarianței de rang în cadrul transformărilor elementare). În cadrul transformărilor elementare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice, rangul acesteia nu se schimbă.

Într-adevăr, să . Să presupunem că, în urma unei transformări elementare a coloanelor matricei A, am obținut matricea A ". Dacă a fost efectuată o transformare de tip I (permutarea a două coloane), atunci orice minor (r + l)-ro al ordinul matricei A" sau egal cu minorul corespunzător (r + l )-ro al ordinului matricei A , sau diferă de acesta prin semn (proprietatea 3 a determinantului). Dacă a fost efectuată o transformare de tip II (înmulțirea coloanei cu numărul \lambda\ne0 ), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul matricei A" este fie egal cu minorul corespunzător (r+l)- ro de ordinul matricei A , sau diferă de acesta multiplicatorul \lambda\ne0 (proprietatea 6 a determinantului).Dacă s-a efectuat o transformare de tip III (adăugând la o coloană a altei coloane înmulțit cu numărul \Lambda ), atunci orice minor din ordinul (r + 1) al matricei A" este fie egal cu ordinul minor corespunzător (r+1) al matricei A (proprietatea 9 a determinantului), fie este egal cu suma două minore de ordinul (r+l)-ro ale matricei A (proprietatea 8 a determinantului). Prin urmare, sub o transformare elementară de orice tip, toate minorele (r + l) - ro din ordinul matricei A" sunt egale cu zero, deoarece toate minorele (r + l) - ro din ordinul matricei A sunt egal cu zero.Astfel, se demonstrează că la transformările elementare ale coloanelor, matricele de rang nu pot crește.Deoarece transformările inverse cu elementare sunt elementare, rangul unei matrice nu poate scădea la transformările elementare ale coloanelor, adică nu se modifică. se demonstrează în mod similar că rangul unei matrice nu se modifică la transformările elementare ale rândurilor.

Consecința 1. Dacă un rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri (coloane), atunci acest rând (coloană) poate fi șters din matrice fără a-și schimba rangul.

Într-adevăr, un astfel de șir poate fi făcut nul folosind transformări elementare, iar șirul nul nu poate fi inclus în minorul de bază.

Consecința 2. Dacă matricea este redusă la forma sa cea mai simplă (1.7), atunci

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Într-adevăr, matricea formei celei mai simple (1.7) are o bază minoră de ordinul r-a.

Consecința 3. Orice matrice pătrată nesingulară este elementară, cu alte cuvinte, orice matrice pătrată nesingulară este echivalentă cu matricea de identitate de același ordin.

Într-adevăr, dacă A este o matrice pătrată nesingulară de ordinul n, atunci \operatorname(rg)A=n(a se vedea punctul 3 din observațiile 3.2). Prin urmare, reducând matricea A la forma cea mai simplă (1.7) prin transformări elementare, se obține matricea identitate \Lambda=E_n , deoarece \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vezi Corolarul 2). Prin urmare, matricea A este echivalentă cu matricea de identitate E_n și poate fi obținută din aceasta ca urmare a unui număr finit de transformări elementare. Aceasta înseamnă că matricea A este elementară.

Teorema 3.4 (asupra rangului unei matrice). Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente ale acestei matrice.

Într-adevăr, să \operatorname(rg)A=r. Atunci matricea A are r rânduri liniar independente. Acestea sunt liniile în care se află minorul de bază. Dacă ar fi dependente liniar, atunci acest minor ar fi egal cu zero prin Teorema 3.2, iar rangul matricei A nu ar fi egal cu r . Să arătăm că r este numărul maxim de rânduri liniar independente, adică. orice p rânduri sunt dependente liniar pentru p>r . Într-adevăr, formăm o matrice B din aceste p rânduri. Deoarece matricea B face parte din matricea A, atunci \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Aceasta înseamnă că cel puțin un rând al matricei B nu este inclus în minorul de bază al acestei matrice. Apoi, după teorema bazei minore, este egală cu o combinație liniară de rânduri în care se află baza minoră. Prin urmare, rândurile matricei B sunt dependente liniar. Astfel, matricea A are cel mult r rânduri liniar independente.

Consecința 1. Numărul maxim de rânduri liniar independente dintr-o matrice este egal cu numărul maxim de coloane liniar independente:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Această afirmație rezultă din Teorema 3.4 dacă se aplică rândurilor matricei transpuse și se ține cont de faptul că minorii nu se modifică la transpunere (proprietatea 1 a determinantului).

Consecința 2. Cu transformări elementare ale rândurilor matriceale, o dependență liniară (sau independență liniară) al oricărui sistem de coloane din această matrice se păstrează.

Într-adevăr, alegem oricare k coloane ale matricei date A și formăm matricea B din ele. Fie ca urmare a transformărilor elementare ale rândurilor matricei A s-a obţinut matricea A" şi ca urmare a aceloraşi transformări ale rândurilor matricei B s-a obţinut matricea B". Prin teorema 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Prin urmare, dacă coloanele matricei B au fost liniar independente, i.e. k=\operatorname(rg)B(vezi Corolarul 1), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea independente liniar, deoarece k=\operatorname(rg)B". Dacă coloanele matricei B ar fi liniar dependente (k>\operatorname(rg)B), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea dependente liniar (k>\operatorname(rg)B"). Prin urmare, pentru orice coloană a matricei A, dependența liniară sau independența liniară este păstrată sub transformări elementare de rând.

Observații 3.3

1. În virtutea Corolarului 1 al Teoremei 3.4, proprietatea coloanei indicată în Corolarul 2 este valabilă și pentru orice sistem de rânduri matriceale dacă transformările elementare sunt efectuate numai pe coloanele sale.

2. Corolarul 3 al teoremei 3.3 poate fi rafinat după cum urmează: orice matrice pătrată nesingulară, folosind transformări elementare doar ale rândurilor sale (sau numai coloanelor sale), poate fi redusă la o matrice de identitate de același ordin.

Într-adevăr, folosind doar transformări elementare de rând, orice matrice A poate fi redusă la forma simplificată \Lambda (Fig. 1.5) (vezi Teorema 1.1). Deoarece matricea A este nesingulară (\det(A)\ne0) , coloanele sale sunt liniar independente. Prin urmare, coloanele matricei \Lambda sunt de asemenea independente liniar (Corolarul 2 al Teoremei 3.4). Prin urmare, forma simplificată \Lambda a matricei nesingulare A coincide cu forma sa cea mai simplă (Fig. 1.6) și este matricea de identitate \Lambda=E (vezi Corolarul 3 al teoremei 3.3). Astfel, transformând doar rândurile unei matrice nesingulare, aceasta poate fi redusă la cea identitară. Raționament similar este valabil și pentru transformările elementare ale coloanelor unei matrice nesingulare.

Rangul produsului și suma matricelor

Teorema 3.5 (cu privire la rangul produsului matricelor). Rangul produsului matricelor nu depășește rangul factorilor:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Într-adevăr, să fie matricele A și B dimensiuni m\x p și p\time n . Să atribuim matricei A matricea C=AB\colon\,(A\mid C). Este de la sine înțeles că \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), deoarece C este o parte a matricei (A\mid C) (vezi punctul 5 din Observația 3.2). Rețineți că fiecare coloană a lui C_j , conform operației de înmulțire a matricei, este o combinație liniară a coloanelor A_1,A_2,\ldots,A_p matrici A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

O astfel de coloană poate fi ștearsă din matrice (A\mid C) fără a-și schimba rangul (Corolarul 1 al Teoremei 3.3). Tăiind toate coloanele matricei C, obținem: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. De aici, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. În mod similar, se poate dovedi că condiția \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, și trageți o concluzie despre validitatea teoremei.

Consecinţă. Dacă A este o matrice pătrată nedegenerată, atunci \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bși \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, adică rangul unei matrice nu se schimbă atunci când este înmulțită la stânga sau la dreapta cu o matrice pătrată nesingulară.

Teorema 3.6 asupra rangului sumei matricelor. Rangul sumei matricelor nu depășește suma rândurilor termenilor:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Într-adevăr, să creăm o matrice (A+B\mid A\mid B). Rețineți că fiecare coloană a matricei A+B este o combinație liniară a coloanelor matricelor A și B . prin urmare \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Avand in vedere ca numarul de coloane liniar independente din matrice (A\mid B) nu depaseste \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, A \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vezi punctul 5 din Observațiile 3.2), obținem inegalitatea necesară.

Elementar Următoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea unui rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană) înmulțit cu un număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele se obține de la cealaltă cu ajutorul unui set finit de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci aceasta se scrie astfel: A ~ B.

Canonic O matrice este o matrice care are mai multe 1 pe rând la începutul diagonalei principale (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Cu ajutorul transformărilor elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la una canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Decizie. Scădeți primul rând din al doilea rând și rearanjați aceste rânduri:

.

Acum, din al doilea și al treilea rând, scădeți primul, înmulțit cu 2 și, respectiv, 5:

;

scădeți primul din al treilea rând; obținem matricea

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din aceasta folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la cea canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele corespunzătoare, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

.

Kronecker - teorema Capelli- criteriul de compatibilitate a sistemului de liniare ecuații algebrice:

Pentru a sistem liniar este consecvent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Dovada (condiții de compatibilitate a sistemului)

Necesitate

Lăsa sistem comun. Apoi sunt numerele sunt, ce . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei. Din faptul că rangul unei matrice nu se va schimba dacă sistemul rândurilor (coloanelor) acesteia este șters sau i se atribuie un rând (coloană), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că .

Adecvarea

Lăsa . Să luăm unele minore de bază în matrice. Deoarece, atunci va fi, de asemenea, baza minoră a matricei. Apoi, conform teoremei de bază minor, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei . Prin urmare, coloana de membri liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei.

Consecințe

Numărul de variabile principale sisteme egal cu rangul sistemului.

comun sistem va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.

Sistem omogen de ecuații

Oferi15 . 2 Sistem omogen de ecuații

este întotdeauna colaborativ.

Dovada. Pentru acest sistem, mulțimea numerelor , , , este o soluție.

În această secțiune, vom folosi notația matricială a sistemului: .

Oferi15 . 3 Suma soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. O soluție înmulțită cu un număr este, de asemenea, o soluție.

Dovada. Lăsați și servi ca soluții ale sistemului. Apoi și . Lăsa . Apoi

Din moment ce , atunci este o soluție.

Fie un număr arbitrar, . Apoi

Din moment ce , atunci este o soluție.

Consecinţă15 . 1 Dacă sistem omogen ecuația liniară are o soluție diferită de zero, apoi are infinit de soluții diferite.

Într-adevăr, înmulțind o soluție diferită de zero cu numere diferite, vom obține soluții diferite.

Definiție15 . 5 Vom spune că soluțiile forme de sisteme sistem fundamental de decizie dacă coloanele formează un sistem liniar independent și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor coloane.