Exemplu de variație a unei variabile aleatorii. Calculul variației în Microsoft Excel

27.09.2019 | Stat

Dispersia în statistică se găsește ca valori individuale ale caracteristicii în pătratul lui . În funcție de datele inițiale, acesta este determinat de formulele de varianță simple și ponderate:

1. (pentru date negrupate) se calculează prin formula:

2. Varianta ponderată (pentru o serie de variații):

unde n este frecvența (factor de repetabilitate X)

Un exemplu de găsire a varianței

Această pagină descrie un exemplu standard de găsire a varianței, puteți consulta și alte sarcini pentru găsirea acesteia

Exemplul 1. Avem următoarele date pentru un grup de 20 de studenți prin corespondență. Trebuie să construiești serie de intervale distribuția caracteristicii, calculați valoarea medie a caracteristicii și studiați varianța acesteia

Să construim o grupare de intervale. Să determinăm intervalul intervalului cu formula:

unde X max este valoarea maximă a caracteristicii de grupare;
X min este valoarea minimă a caracteristicii de grupare;
n este numărul de intervale:

Acceptăm n=5. Pasul este: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6

Să facem o grupare pe intervale

Pentru calcule suplimentare, vom construi un tabel auxiliar:

X'i este mijlocul intervalului. (de exemplu, mijlocul intervalului 159 - 165,6 = 162,3)

Creșterea medie a studenților este determinată de formula mediei ponderate aritmetice:

Determinăm dispersia prin formula:

Formula de variație poate fi convertită după cum urmează:

Din această formulă rezultă că varianţa este diferența dintre media pătratelor opțiunilor și pătratul și media.

Dispersia în serie de variații Cu la intervale egale prin metoda momentelor se poate calcula în felul următor folosind a doua proprietate a dispersiei (împărțirea tuturor opțiunilor la valoarea intervalului). Definiţia variance, calculat prin metoda momentelor, conform următoarei formule necesită mai puțin timp:

unde i este valoarea intervalului;
A - zero condiționat, care este convenabil să se folosească mijlocul intervalului cu cea mai mare frecvență;
m1 este pătratul momentului de ordinul întâi;
m2 - momentul de ordinul doi

(dacă în populația statistică atributul se modifică în așa fel încât există doar două opțiuni care se exclud reciproc, atunci o astfel de variabilitate se numește alternativă) poate fi calculată prin formula:

Înlocuind în această formulă de dispersie q = 1- p, obținem:

Tipuri de dispersie

Varianta totala măsoară variaţia unei trăsături asupra întregii populaţii în ansamblu sub influenţa tuturor factorilor care provoacă această variaţie. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale atributului x față de valoarea medie totală x și poate fi definită ca varianță simplă sau varianță ponderată.

caracterizează variația aleatoare, adică parte a variației, care se datorează influenței factorilor necontabiliați și nu depinde de factorul-semn care stă la baza grupării. Această varianță este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale atributului din grupul X față de media aritmetică a grupului și poate fi calculată ca varianță simplă sau ca varianță ponderată.

Prin urmare, măsuri de variație în cadrul grupului variația unei trăsături în cadrul unui grup și este determinată de formula:

unde xi - media grupului;
ni este numărul de unități din grup.

De exemplu, variațiile intra-grup, care trebuie determinate în sarcina de a studia influența calificărilor lucrătorilor asupra nivelului de productivitate a muncii în atelier, arată variații ale producției în fiecare grup cauzate de toți factorii posibili ( stare tehnica echipamente, disponibilitatea sculelor și materialelor, vârsta lucrătorilor, intensitatea muncii etc.), cu excepția diferențelor de categorie de calificare (în cadrul grupului, toți lucrătorii au aceleași calificări).

Media variațiilor în interiorul grupului reflectă aleatoriu, adică acea parte a variației care a avut loc sub influența tuturor celorlalți factori, cu excepția factorului de grupare. Se calculează prin formula:

Caracterizează variația sistematică a trăsăturii rezultate, care se datorează influenței factorului-trăsătură care stă la baza grupării. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor mediilor grupului de la media generală. Varianta intergrup este calculată prin formula:

Regula de adăugare a variației în statistică

Conform regula de adunare a varianței varianța totală este egală cu suma mediei variațiilor intragrup și intergrup:

Sensul acestei reguli este că varianța totală care apare sub influența tuturor factorilor este egală cu suma varianțelor care apar sub influența tuturor celorlalți factori și cu varianța care apare datorită factorului de grupare.

Folosind formula pentru adăugarea variațiilor, putem determina cu doi variații cunoscute a treia necunoscută, precum și pentru a judeca puterea influenței caracteristicii de grupare.

Proprietăți de dispersie

1. Dacă toate valorile atributului sunt reduse (mărite) cu aceeași valoare constantă, atunci varianța nu se va schimba de la aceasta.
2. Dacă toate valorile atributului sunt reduse (mărește) de același număr de ori n, atunci varianța va scădea (crește) în consecință de n^2 ori.

Principalii indicatori generalizatori ai variației statisticilor sunt dispersia și abaterea standard.

Dispersia ea medie aritmetică abaterile pătrate ale fiecărei valori caracteristice de la media totală. Varianta se numește de obicei pătratul mediu al abaterilor și se notează  2 . În funcție de datele inițiale, varianța poate fi calculată din media aritmetică, simplă sau ponderată:

 dispersie neponderată (simple);

 varianţa ponderată.

Deviație standard este o caracteristică generalizantă a dimensiunilor absolute variatii trăsătură în agregat. Se exprimă în aceleași unități ca și semnul (în metri, tone, procente, hectare etc.).

Abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței și se notează cu :

 abaterea standard neponderată;

 abaterea standard ponderată.

Abaterea standard este o măsură a fiabilității mediei. Cu cât abaterea standard este mai mică, cu atât media aritmetică reflectă mai bine întreaga populație reprezentată.

Calculul abaterii standard este precedat de calculul varianței.

Procedura de calcul a variației ponderate este următoarea:

1) determinați media ponderată aritmetică:

2) calculați abaterile opțiunilor de la medie:

3) la pătrat abaterea fiecărei opțiuni de la medie:

4) înmulțiți abaterile pătrate cu greutăți (frecvențe):

5) rezumați lucrările primite:

6) suma rezultată se împarte la suma greutăților:

Exemplul 2.1

Calculați media ponderată aritmetică:

Valorile abaterilor de la medie și pătratele lor sunt prezentate în tabel. Să definim varianța:

Abaterea standard va fi egală cu:

Dacă datele sursă sunt prezentate ca un interval serie de distribuție , apoi trebuie mai întâi să determinați valoarea discretă a caracteristicii și apoi să aplicați metoda descrisă.

Exemplul 2.2

Să arătăm calculul varianței pentru seria de intervale pe datele privind distribuția suprafeței însămânțate a fermei colective în funcție de producția de grâu.

Media aritmetica este:

Să calculăm varianța:

6.3. Calculul dispersiei conform formulei pentru datele individuale

Tehnica de calcul dispersie complex, iar pentru valori mari de opțiuni și frecvențe pot fi greoaie. Calculele pot fi simplificate folosind proprietățile de dispersie.

Dispersia are următoarele proprietăți.

1. O scădere sau creștere a ponderilor (frecvențelor) unei caracteristici variabile de un anumit număr de ori nu modifică dispersia.

2. Scăderea sau creșterea valorii fiecărei caracteristici cu aceeași valoare constantă A dispersia nu se modifică.

3. Scăderea sau creșterea valorii fiecărei caracteristici de un anumit număr de ori k respectiv reduce sau mărește varianța în k de 2 ori deviație standard  în k o singura data.

4. Varianța unei caracteristici în raport cu o valoare arbitrară este întotdeauna mai mare decât varianța relativă la media aritmetică prin pătratul diferenței dintre valorile medii și arbitrare:

Dacă A 0, atunci ajungem la următoarea egalitate:

adică, varianța unei caracteristici este egală cu diferența dintre pătratul mediu al valorilor caracteristicii și pătratul mediei.

Fiecare proprietate poate fi utilizată singură sau în combinație cu altele atunci când se calculează varianța.

Procedura de calcul a varianței este simplă:

1) determina medie aritmetică :

2) la pătrat media aritmetică:

3) la pătrat abaterea fiecărei variante a seriei:

X i 2 .

4) găsiți suma pătratelor opțiunilor:

5) împărțiți suma pătratelor opțiunilor la numărul lor, adică determinați pătratul mediu:

6) determinați diferența dintre pătratul mediu al caracteristicii și pătratul mediei:

Exemplul 3.1 Avem următoarele date despre productivitatea lucrătorilor:

Să facem următoarele calcule:

Pentru date grupate dispersie reziduala- medie de variaţiile intra-grup:

Unde σ 2 j este varianța intra-grup a grupului j --lea.

Pentru date negrupate dispersie reziduala este o măsură a preciziei de aproximare, adică aproximarea dreptei de regresie la datele originale:
unde y(t) este prognoza conform ecuației tendinței; y t – serie inițială de dinamică; n este numărul de puncte; p este numărul de coeficienți ai ecuației de regresie (numărul de variabile explicative).
În acest exemplu se numește estimare imparțială a varianței.

Exemplul #1. Repartizarea lucrătorilor a trei întreprinderi ale unei asociații pe categorii tarifare se caracterizează prin următoarele date:

Categoria salarială a muncitorului	Numărul de lucrători la întreprindere
Categoria salarială a muncitorului	intreprindere 1	intreprindere 2	intreprindere 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Defini:
1. dispersie pentru fiecare întreprindere (dispersie intragrup);
2. media dispersiilor intragrup;
3. dispersie intergrup;
4. varianţa totală.

Soluţie.
Înainte de a trece la rezolvarea problemei, este necesar să aflați care caracteristică este eficientă și care este factorială. În exemplul luat în considerare, caracteristica efectivă este „Categoria tarifară”, iar caracteristica factorului este „Numărul (numele) întreprinderii”.
Apoi avem trei grupuri (întreprinderi) pentru care este necesar să se calculeze media grupului și variațiile intragrup:

Companie	media grupului,	variație în cadrul grupului,
1	4	1,8

Media variațiilor intragrup ( dispersie reziduala) calculat prin formula:

unde poti calcula:

Apoi:
Dispersia totală va fi egală cu: s 2 \u003d 1,6 + 0 \u003d 1,6.
De asemenea, variația totală poate fi calculată folosind una dintre următoarele două formule:

Atunci când rezolvi probleme practice, de multe ori trebuie să te confrunți cu un semn care ia doar două valori alternative. În acest caz, ei nu vorbesc despre ponderea unei anumite valori a unei caracteristici, ci despre ponderea acesteia în agregat. Dacă proporția unităților populației care au trăsătura studiată este notă cu „ R", și nu posedă - prin" q”, atunci dispersia poate fi calculată prin formula:
s 2 = p×q

Exemplul #2. Conform datelor privind dezvoltarea a șase lucrători ai brigăzii, se determină varianța intergrup și se evaluează impactul schimbului de muncă asupra productivității muncii lor dacă varianța totală este de 12,2.

Nr al brigăzii de lucru	Putere de lucru, buc.
Nr al brigăzii de lucru	în primul schimb	in schimbul 2
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

Soluţie. Datele inițiale

X	f1	f2	f 3	f4	f5	f6	Total
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
Total	31	33	37	37	40	38

Apoi avem 6 grupuri pentru care este necesar să se calculeze media grupului și variațiile intragrup.
1. Găsiți valorile medii ale fiecărui grup.

2. Aflați pătratul mediu al fiecărui grup.

Rezumăm rezultatele calculului într-un tabel:

Număr de grup	Media grupului	Varianta intragrup
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. Varianta intragrup caracterizează schimbarea (variația) trăsăturii studiate (rezultate) în cadrul grupului sub influența tuturor factorilor, cu excepția factorului care stă la baza grupării:
Calculam media dispersiilor intragrup folosind formula:

4. Varianta intergrup caracterizează schimbarea (variaţia) trăsăturii studiate (rezultate) sub influenţa unui factor (trăsătură factorială) care stă la baza grupării.
Dispersia intergrup este definită ca:

Unde

Apoi

Varianta totala caracterizează schimbarea (variația) trăsăturii studiate (rezultate) sub influența tuturor factorilor (trăsăturilor factoriale) fără excepție. După condiția problemei, este egal cu 12.2.
Relația de corelație empirică măsoară cât de mult din fluctuația totală a atributului rezultat este cauzată de factorul studiat. Acesta este raportul dintre varianța factorială și varianta totala:

Determinăm relația de corelație empirică:

Relațiile dintre caracteristici pot fi slabe sau puternice (strânse). Criteriile lor sunt evaluate pe scara Chaddock:
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 În exemplul nostru, relația dintre caracteristica Y factorul X este slabă
Coeficient de determinare.

Să definim coeficientul de determinare:

Astfel, 0,67% din variație se datorează diferențelor dintre trăsături, iar 99,37% se datorează altor factori.
Concluzie: în acest caz, producția lucrătorilor nu depinde de munca într-un anumit schimb, adică influenţa schimbului de muncă asupra productivităţii muncii lor nu este semnificativă şi se datorează altor factori.

Exemplul #3. Bazat pe medie salariileși abaterile pătrate de la valoarea sa pentru două grupuri de lucrători, găsiți varianța totală prin aplicarea regulii de adăugare a variațiilor:

Soluţie:
Media variațiilor în cadrul grupului

Dispersia intergrup este definită ca:

Varianta totală va fi: 480 + 13824 = 14304

Cu toate acestea, această caracteristică singură nu este suficientă pentru a fi studiată variabilă aleatorie. Imaginați-vă doi trăgători care trag într-o țintă. Unul trage cu precizie și lovește aproape de centru, iar celălalt... doar se distrează și nici măcar nu țintește. Dar ce e amuzant este că in medie rezultatul va fi exact același cu primul shooter! Această situație este ilustrată condiționat de următoarele variabile aleatoare:

Așteptarea matematică „lunetist” este egală cu , însă, pentru „persoana interesantă”: - este și zero!

Astfel, este necesar să se cuantifice cât de departe risipite gloanțe (valori aleatoare) în raport cu centrul țintei ( așteptări matematice). bine si împrăștiere tradus din latină numai ca dispersie .

Să vedem cum se determină această caracteristică numerică într-unul dintre exemplele din prima parte a lecției:

Acolo am găsit o așteptare matematică dezamăgitoare a acestui joc, iar acum trebuie să calculăm varianța acestuia, care notat prin .

Să aflăm cât de mult sunt „împrăștiate” câștigurile/pierderile față de valoarea medie. Evident, pentru asta trebuie să calculăm diferențeîntre valorile unei variabile aleatoare si ea așteptări matematice:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Acum pare a fi necesar să însumăm rezultatele, dar acest mod nu este bun - din motivul că oscilațiile din stânga se vor anula reciproc cu oscilațiile din dreapta. Deci, de exemplu, trăgătorul „amator”. (exemplu de mai sus) diferențele vor fi , iar atunci când sunt adăugate vor da zero, așa că nu vom obține nicio estimare a împrăștierii împușcării sale.

Pentru a ocoli această supărare, luați în considerare module diferențe, dar motive tehnice abordarea a prins rădăcini atunci când sunt pătrate. Este mai convenabil să aranjați soluția într-un tabel:

Și aici se cere să calculeze medie ponderată valoarea abaterilor pătrate. Ce este? Este a lor valorea estimata, care este măsura împrăștierii:

– definiție dispersie. Din definiție reie imediat clar că varianța nu poate fi negativă- ia notă pentru practică!

Să ne amintim cum să găsim așteptarea. Înmulțiți diferențele la pătrat cu probabilitățile corespunzătoare (continuare tabel):
- la figurat vorbind, aceasta este "forța de tracțiune",
și rezumați rezultatele:

Nu crezi că pe fondul câștigurilor, rezultatul s-a dovedit a fi prea mare? Așa este - ne îndreptam și pentru a reveni la dimensiunea jocului nostru, trebuie să extragem Rădăcină pătrată. Această valoare este numită deviație standard și notat Literă greacă"sigma":

Uneori acest sens este numit deviație standard .

Care este sensul lui? Dacă ne abatem de la așteptarea matematică la stânga și la dreapta prin abaterea standard:

– atunci cele mai probabile valori ale variabilei aleatoare vor fi „concentrate” pe acest interval. Ce vedem de fapt:

Cu toate acestea, sa întâmplat ca în analiza împrăștierii operați aproape întotdeauna cu conceptul de dispersie. Să vedem ce înseamnă în legătură cu jocuri. Dacă în cazul trăgătorilor vorbim despre „precizia” loviturilor în raport cu centrul țintei, atunci dispersia caracterizează două lucruri:

În primul rând, este evident că pe măsură ce ratele cresc, și varianța crește. Deci, de exemplu, dacă creștem de 10 ori, atunci așteptarea matematică va crește de 10 ori, iar varianța va crește de 100 de ori (de îndată ce este o valoare pătratică). Dar rețineți că regulile jocului nu s-au schimbat! Doar ratele s-au schimbat, aproximativ vorbind, obișnuiam să pariam 10 ruble, acum 100.

În al doilea rând, mai mult punct interesant este că varianța caracterizează stilul jocului. Fixați mental tarifele jocului la un anumit nivelși vezi ce este aici:

Un joc cu variație scăzută este un joc precaut. Jucătorul tinde să aleagă cele mai de încredere scheme, unde nu pierde/câștigă prea mult la un moment dat. De exemplu, sistemul roșu/negru la ruletă (vezi Exemplul 4 al articolului variabile aleatoare) .

Joc cu variație mare. Ea este numită des dispersie joc. Acesta este un stil de joc aventuros sau agresiv în care jucătorul alege scheme de „adrenalină”. Să ne amintim măcar "Martingala", în care sumele puse în joc sunt ordine de mărime mai mari decât jocul „liniștit” din paragraful anterior.

Situația în poker este orientativă: există așa-zise strâmt jucători care tind să fie precauți și să se „agite” cu fondurile lor de joc (rulaj bancar). Nu este surprinzător că bankroll-ul lor nu fluctuează prea mult (varianță scăzută). În schimb, dacă un jucător are o variație mare, atunci acesta este agresorul. El își asumă adesea riscuri, face pariuri mari și poate atât să spargă o bancă uriașă, cât și să facă bucăți.

Același lucru se întâmplă în Forex și așa mai departe - există o mulțime de exemple.

Mai mult, în toate cazurile nu contează dacă jocul este pentru un ban sau pentru mii de dolari. Fiecare nivel are jucătorii săi cu variație scăzută și mare. Ei bine, pentru câștigul mediu, așa cum ne amintim, „responsabil” valorea estimata.

Probabil ați observat că găsirea variației este un proces lung și minuțios. Dar matematica este generoasă:

Formula pentru găsirea varianței

Această formulă este derivată direct din definiția varianței și o punem imediat în circulație. Voi copia placa cu jocul nostru de sus:

si asteptarea gasita .

Calculăm varianța în al doilea mod. Mai întâi, să găsim așteptarea matematică - pătratul variabilei aleatoare. De Definiția așteptărilor matematice:

În acest caz:

Astfel, conform formulei:

După cum se spune, simți diferența. Și în practică, desigur, este mai bine să aplicați formula (cu excepția cazului în care condiția cere altfel).

Stăpânim tehnica de rezolvare și proiectare:

Exemplul 6

Găsiți așteptările sale matematice, varianța și abaterea standard.

Această sarcină se găsește peste tot și, de regulă, nu are un sens semnificativ.
Vă puteți imagina mai multe becuri cu cifre care se aprind într-un cămin de nebuni cu anumite probabilități :)

Soluţie: Este convenabil să rezumați principalele calcule într-un tabel. Mai întâi, scriem datele inițiale în primele două rânduri. Apoi calculăm produsele, apoi și în final sumele din coloana din dreapta:

De fapt, aproape totul este gata. În a treia linie, a fost trasată o așteptare matematică gata făcută: .

Dispersia se calculează prin formula:

Și în sfârșit, abaterea standard:
- personal, de obicei rotunjesc la 2 zecimale.

Toate calculele pot fi efectuate pe un calculator și chiar mai bine - în Excel:

E greu să greșești aici :)

Răspuns:

Cei care doresc își pot simplifica și mai mult viața și pot profita de mine calculator (demo), care nu numai că se va rezolva instantaneu aceasta sarcina, dar și construi grafică tematică (Vino curând). Programul poate descărcați în bibliotecă– dacă ați descărcat cel puțin un material de studiu sau primiți altă cale. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Câteva sarcini pentru o soluție independentă:

Exemplul 7

Calculați varianța variabilei aleatoare din exemplul anterior prin definiție.

Si un exemplu asemanator:

Exemplul 8

O variabilă aleatorie discretă este dată de propria sa lege de distribuție:

Da, valorile variabilei aleatoare pot fi destul de mari (exemplu din munca reală), și aici, dacă este posibil, folosiți Excel. Ca, de altfel, în Exemplul 7 - este mai rapid, mai fiabil și mai plăcut.

Soluții și răspunsuri în partea de jos a paginii.

În încheierea celei de-a doua părți a lecției, vom analiza încă o sarcină tipică, s-ar putea spune chiar un mic rebus:

Exemplul 9

O variabilă aleatoare discretă poate lua doar două valori: și , și . Probabilitatea, așteptările matematice și varianța sunt cunoscute.

Soluţie: Să începem cu o probabilitate necunoscută. Deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar două valori, atunci suma probabilităților evenimentelor corespunzătoare:

iar de atunci .

Rămâne de găsit..., ușor de spus :) Dar ei bine, a început. Prin definiția așteptărilor matematice:
- înlocuiți valorile cunoscute:

- și nimic mai mult nu poate fi scos din această ecuație, cu excepția faptului că o puteți rescrie în direcția obișnuită:

Despre alte acțiuni, cred că puteți ghici. Să creăm și să rezolvăm sistemul:

zecimale- aceasta, desigur, este o rușine totală; înmulțiți ambele ecuații cu 10:

si imparti la 2:

Asa e mai bine. Din prima ecuație exprimăm:
(aceasta este calea mai ușoară)- înlocuiți în a 2-a ecuație:

Construim pătratși faceți simplificări:

Înmulțim cu:

Ca urmare, ecuație pătratică, găsiți-i discriminantul:
- Grozav!

și obținem două soluții:

1) dacă , Acea ;

2) dacă , Acea .

Prima pereche de valori satisface condiția. Cu o probabilitate mare, totul este corect, dar, cu toate acestea, notăm legea distribuției:

și efectuați o verificare, și anume, găsiți așteptarea:

Odată cu studiul variației unei trăsături în întreaga populație în ansamblu, este adesea necesară urmărirea modificărilor cantitative ale trăsăturii în grupuri în care este împărțită populația, precum și între grupuri. Acest studiu al variației se realizează prin calcul și analiză diferite feluri dispersie.
Distingeți dispersia totală, intergrup și intragrup.
Varianta totala σ 2 măsoară variaţia unei trăsături asupra întregii populaţii sub influenţa tuturor factorilor care au determinat această variaţie, .

Varianta intergrup (δ) caracterizează variația sistematică, adică. diferențe de mărime a trăsăturii studiate, apărute sub influența factorului-trăsătură care stă la baza grupării. Se calculează prin formula:
.

Varianta în cadrul grupului (σ) reflectă variația aleatorie, adică parte a variației care apare sub influența unor factori necontabiliați și nu depinde de factorul-trăsătură care stă la baza grupării. Se calculează prin formula:
.

Media variațiilor în cadrul grupului: .

Există o lege care leagă 3 tipuri de dispersie. Varianta totala este egala cu suma mediei intragrupului si varianta intergrup: .
Acest raport se numește regula de adunare a varianței.

În analiză, este utilizată pe scară largă o măsură, care este proporția varianței între grupuri în varianța totală. Poartă numele coeficient empiric de determinare (η 2): .
Se numește rădăcina pătrată a coeficientului empiric de determinare raportul de corelație empirică (η):
.
Caracterizează influența atributului care stă la baza grupării asupra variației atributului rezultat. Raportul de corelație empirică variază de la 0 la 1.
Să o arătăm uz practicîn exemplul următor (Tabelul 1).

Exemplul #1. Tabelul 1 - Productivitatea muncii a două grupuri de lucrători ai unuia dintre atelierele ONG „Ciclon”

Calculați mediile și variațiile totale și de grup:

Datele inițiale pentru calcularea mediei dispersiei intragrup și intergrup sunt prezentate în tabel. 2.
masa 2
Calcul și δ 2 pentru două grupuri de lucrători.

Grupuri de muncitori	Număr de lucrători, pers.	Medie, det./deplasare.	Dispersia
Pregătire tehnică promovată	5	95	42,0
Nu este instruit tehnic	5	81	231,2
Toți muncitorii	10	88	185,6

Să calculăm scorurile. Media variațiilor în cadrul grupului:

.
Varianta intergrup

Varianta totala:
Astfel, raportul de corelație empirică: .

Odată cu variația trăsăturilor cantitative, se poate observa și o variație a trăsăturilor calitative. Acest studiu al variației se realizează prin calcularea următoarelor tipuri de variații:

Varianta intra-grup a cotei este determinata de formula

Unde n i– numărul de unități în grupuri separate.
Proporția trăsăturii studiate în întreaga populație, care este determinată de formula:
Cele trei tipuri de dispersie sunt legate între ele după cum urmează: