Ecuație caracteristică de ordinul doi. Ecuații diferențiale de ordinul doi neomogene

Aici aplicăm metoda variației constantei Lagrange pentru a rezolva neomogene liniare ecuatii diferentiale a doua comanda. Descriere detaliata această metodă de rezolvare a ecuațiilor de ordine arbitrară este prezentată pe pagină
Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior prin metoda Lagrange >>> .

Exemplul 1

Rezolvați o ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți metoda de variație a constantelor Lagrange:
(1)

Soluţie

În primul rând, rezolvăm ecuația diferențială omogenă:
(2)

Aceasta este o ecuație de ordinul doi.

Rezolvăm ecuația pătratică:
.
Rădăcini multiple: . Sistemul fundamental de soluții la ecuația (2) are forma:
(3) .
Din aceasta obținem soluția generală ecuație omogenă (2):
(4) .

Variăm constantele C 1 și C 2 . Adică înlocuim constantele și în (4) cu funcții:
.
Căutăm o soluție la ecuația inițială (1) sub forma:
(5) .

Găsim derivata:
.
Conectăm funcțiile și ecuația:
(6) .
Apoi
.

Găsim derivata a doua:
.
Inlocuim in ecuatia initiala (1):
(1) ;



.
Deoarece și satisfaceți ecuația omogenă (2), suma termenilor din fiecare coloană a ultimelor trei rânduri este zero, iar ecuația anterioară devine:
(7) .
Aici .

Împreună cu ecuația (6), obținem un sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor și:
(6) :
(7) .

Rezolvarea unui sistem de ecuații

Rezolvăm sistemul de ecuații (6-7). Să scriem expresii pentru funcții și:
.
Găsim derivatele lor:
;
.

Rezolvăm sistemul de ecuații (6-7) prin metoda Cramer. Calculăm determinantul matricei sistemului:

.
Prin formulele lui Cramer găsim:
;
.

Deci, am găsit derivate ale funcțiilor:
;
.
Să integrăm (vezi Metode de integrare a rădăcinilor). Efectuarea unei înlocuiri
; ; ; .

.
.

;
.

Răspuns

Exemplul 2

Rezolvați ecuația diferențială prin metoda variației constantelor Lagrange:
(8)

Soluţie

Pasul 1. Rezolvarea ecuației omogene

Rezolvăm o ecuație diferențială omogenă:

(9)
Caut o solutie sub forma . Compunem ecuația caracteristică:

Această ecuație are rădăcini complexe:
.
Sistemul fundamental de soluții corespunzător acestor rădăcini are forma:
(10) .
Decizie comună ecuația omogenă (9):
(11) .

Pasul 2. Variația constantelor - Înlocuirea constantelor cu funcții

Acum variam constantele C 1 și C 2 . Adică, înlocuim constantele din (11) cu funcții:
.
Căutăm o soluție la ecuația inițială (8) sub forma:
(12) .

În plus, cursul soluției este același ca în exemplul 1. Ajungem la următorul sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor și:
(13) :
(14) .
Aici .

Rezolvarea unui sistem de ecuații

Să rezolvăm acest sistem. Să scriem expresiile funcțiilor și:
.
Din tabelul derivatelor găsim:
;
.

Rezolvăm sistemul de ecuații (13-14) prin metoda Cramer. Determinantul matricei sistemului:

.
Prin formulele lui Cramer găsim:
;
.

.
Deoarece , atunci semnul modulului de sub semnul logaritmului poate fi omis. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:
.
Apoi
.

Soluția generală a ecuației inițiale:


.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

privind studiul temei „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții departamentului de contabilitate a formei de corespondență de învățământ (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale liniare

ordinul doi cu constantăcoeficienți

Ecuații diferențiale liniare omogene

Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă

acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație Și
sunt niște numere și funcția
dat la un anumit interval
.

Dacă
pe interval
, atunci ecuația (1) ia forma

, (2)

și a sunat liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .

Luați în considerare funcția complexă

, (3)

Unde
Și
sunt funcții reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală
, și partea imaginară
solutii
luate separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.

Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Dacă este o soluție a ecuației (2), apoi funcția
, Unde CU- o constantă arbitrară, va fi și o soluție a ecuației (2);

Dacă Și sunt soluții ale ecuației (2), apoi funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Și sunt soluții ale ecuației (2), apoi combinația lor liniară
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde Și
sunt constante arbitrare.

Funcții
Și
numit dependent liniar pe interval
dacă există astfel de numere Și
, care nu sunt egale cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea

Dacă egalitatea (4) este valabilă numai când
Și
, apoi funcțiile
Și
numit liniar independent pe interval
.

Exemplul 1 . Funcții
Și
sunt liniar dependente, deoarece
de-a lungul întregii drepte numerice. În acest exemplu
.

Exemplul 2 . Funcții
Și
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea
posibil numai dacă și
, Și
.

Construirea unei soluții generale a unui omogen liniar

ecuații

Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente Și . Combinație liniară a acestor soluții
, Unde Și
sunt constante arbitrare și vor da soluția generală a unei ecuații liniare omogene.

Soluțiile liniar independente ale ecuației (2) vor fi căutate sub forma

, (5)

Unde - un număr. Apoi
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):

sau
.

Deoarece
, Acea
. Deci funcția
va fi o soluție a ecuației (2) dacă va satisface ecuația

. (6)

Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.

Lăsa Și sunt rădăcinile acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.

Lasă rădăcinile Și ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea
poate fi efectuat numai atunci când
, Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

,

Unde Și
sunt constante arbitrare.

Exemplul 3
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi
. Rezolvarea ecuație pătratică, găsiți-i rădăcinile
Și
. Funcții
Și
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma
.

număr complex se numește expresie a formei
, Unde Și sunt numere reale și
se numește unitatea imaginară. Dacă
, apoi numărul
se numește pur imaginar. Dacă
, apoi numărul
este identificat cu un număr real .

Număr se numește partea reală a numărului complex și - partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate:
,
.

Exemplul 4 . Rezolvați o ecuație pătratică
.

Soluţie . Ecuația discriminantă
. Apoi. De asemenea,
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e.
,
, Unde
. Soluțiile ecuației (2) pot fi scrise ca
,
sau
,
. Conform formulelor lui Euler

,
.

Apoi ,. După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție a unei ecuații liniare omogene, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. De la egalitate

poate fi efectuat numai dacă
Și
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

Unde Și
sunt constante arbitrare.

Exemplul 5 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația
este caracteristic pentru diferenţialul dat. O rezolvăm și obținem rădăcini complexe
,
. Funcții
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma.

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică.
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când
Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.

Exemplul 6 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuație caracteristică
are rădăcini egale
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile
Și
. Soluția generală are forma
.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi neomogene cu coeficienți constanți

și partea dreaptă specială

Soluția generală a ecuației liniare neomogene (1) este egală cu suma soluției generale
ecuația omogenă corespunzătoare și orice soluție particulară
ecuație neomogenă:
.

În unele cazuri, o anumită soluție a unei ecuații neomogene poate fi găsită destul de simplu prin forma părții drepte
ecuațiile (1). Să luăm în considerare cazurile în care este posibil.

acestea. partea dreaptă a ecuației neomogene este un polinom de grad m. Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție particulară a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma unui polinom de grad m, adică

Cote
sunt determinate în procesul de găsire a unei anumite soluții.

Dacă
este rădăcina ecuației caracteristice, atunci o anumită soluție a ecuației neomogene trebuie căutată sub forma

Exemplul 7 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația omogenă corespunzătoare pentru ecuația dată este
. Ecuația sa caracteristică
are rădăcini
Și
. Soluția generală a ecuației omogene are forma
.

Deoarece
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene sub forma unei funcții
. Găsiți derivatele acestei funcții
,
și înlocuiți-le în această ecuație:

sau . Echivalează coeficienții la și membri gratuiti:
Hotărând acest sistem, primim
,
. Atunci o anumită soluție a ecuației neomogene are forma
, iar soluția generală a acestei ecuații neomogene va fi suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și soluția particulară a celei neomogene:
.

Fie ecuația neomogenă să aibă forma

Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție particulară a ecuației neomogene ar trebui căutată în formă. Dacă
este rădăcina ecuației de multiplicitate caracteristică k (k=1 sau k=2), atunci în acest caz soluția particulară a ecuației neomogene va avea forma .

Exemplul 8 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare are forma
. rădăcinile sale
,
. În acest caz, soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare se scrie ca
.

Deoarece numărul 3 nu este rădăcina ecuației caracteristice, atunci ar trebui căutată o anumită soluție a ecuației neomogene sub forma
. Să găsim derivate de ordinul întâi și al doilea:,

Înlocuiți în ecuația diferențială:
+ +,
+,.

Echivalează coeficienții la și membri gratuiti:

De aici
,
. Atunci o anumită soluție a acestei ecuații are forma
, și soluția generală

.

Metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare

Metoda de variație a constantelor arbitrare poate fi aplicată oricărei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți, indiferent de forma părții drepte. Această metodă face posibilă găsirea întotdeauna a unei soluții generale a unei ecuații neomogene dacă este cunoscută soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare.

Lăsa
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației (2). Atunci soluția generală a acestei ecuații este
, Unde Și
sunt constante arbitrare. Esența metodei de variație a constantelor arbitrare este că soluția generală a ecuației (1) este căutată sub forma

Unde
Și
- noi caracteristici necunoscute de găsit. Deoarece există două funcții necunoscute, sunt necesare două ecuații care conțin aceste funcții pentru a le găsi. Aceste două ecuații alcătuiesc sistemul

care este un sistem algebric liniar de ecuații în raport cu
Și
. Rezolvând acest sistem, găsim
Și
. Integrând ambele părți ale egalităților obținute, găsim

Și
.

Înlocuind aceste expresii în (9), obținem soluția generală a ecuației liniare neomogene (1).

Exemplul 9 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie. Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare ecuației diferențiale date este
. Rădăcinile sale sunt complexe
,
. Deoarece
Și
, Acea
,
, iar soluția generală a ecuației omogene are forma Apoi se va căuta soluția generală a acestei ecuații neomogene sub forma unde
Și
- funcții necunoscute.

Sistemul de ecuații pentru găsirea acestor funcții necunoscute are forma

Rezolvând acest sistem, găsim
,
. Apoi

,
. Să substituim expresiile obținute în formula soluției generale:

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale obținute prin metoda Lagrange.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți?

Care ecuație diferențială liniară se numește omogenă și care dintre ele se numește neomogenă?

Care sunt proprietățile unei ecuații liniare omogene?

Ce ecuație se numește caracteristică pentru o ecuație diferențială liniară și cum se obține?

În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul diferitelor rădăcini ale ecuației caracteristice?

În ce formă este scrisă soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor egale ale ecuației caracteristice?

În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice?

Cum se scrie soluția generală a unei ecuații liniare neomogene?

În ce formă se caută o anumită soluție a unei ecuații liniare neomogene dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite și nu sunt egale cu zero, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?

În ce formă se caută o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene dacă există un zero printre rădăcinile ecuației caracteristice, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?

Care este esența metodei Lagrange?

Ecuația

unde și sunt funcții continue în interval se numește ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi, funcțiile și sunt coeficienții săi. Dacă în acest interval, atunci ecuația ia forma:

și se numește ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi. Dacă ecuația (**) are aceiași coeficienți și ca și ecuația (*), atunci se numește ecuație omogenă corespunzătoare unei ecuații neomogene (*).

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi

Lăsați ecuația liniară

Și sunt numere reale constante.

Vom căuta o soluție particulară a ecuației sub forma unei funcții , unde este real sau număr complex a fi determinat. Diferențiând față de , obținem:

Înlocuind în ecuația diferențială inițială, obținem:

Prin urmare, ținând cont de faptul că avem:

Această ecuație se numește ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale liniare omogene. Ecuația caracteristică face posibilă și găsirea . Aceasta este o ecuație de gradul doi, deci are două rădăcini. Să le notăm prin și . Sunt posibile trei cazuri:

1) Rădăcinile sunt reale și diferite. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplul 1

2) Rădăcinile sunt reale și egale. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplu2

Ați ajuns pe această pagină în timp ce încercați să rezolvați o problemă într-un examen sau test? Dacă tot nu ați putut trece examenul - data viitoare, aranjați în avans pe site-ul web despre Ajutor online la matematică superioară.

Ecuația caracteristică are forma:

Rezolvarea ecuației caracteristice:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale:

3) Rădăcini complexe. În acest caz, soluția generală a ecuației este:

Exemplul 3

Ecuația caracteristică are forma:

Rezolvarea ecuației caracteristice:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale:

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi neomogene

Să considerăm acum soluția unor tipuri de ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

unde și sunt numere reale constante, este o funcție continuă cunoscută în intervalul . Pentru a găsi soluția generală a unei astfel de ecuații diferențiale, este necesar să se cunoască soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare și soluția particulară. Să luăm în considerare câteva cazuri:

De asemenea, căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale sub forma unui trinom pătrat:

Dacă 0 este o singură rădăcină a ecuației caracteristice, atunci

Dacă 0 este o rădăcină dublă a ecuației caracteristice, atunci

Situația este similară dacă este un polinom de grad arbitrar

Exemplul 4

Rezolvăm ecuația omogenă corespunzătoare.

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației omogene:

Să găsim o soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene:

Înlocuind derivatele găsite în ecuația diferențială inițială, obținem:

Soluția particulară dorită:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale:

Căutăm o soluție particulară sub forma , unde este un coeficient nedeterminat.

Înlocuind și în ecuația diferențială originală, obținem o identitate, din care găsim coeficientul.

Dacă este rădăcina ecuației caracteristice, atunci căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale inițiale sub forma , când este o rădăcină simplă și , când este o rădăcină dublă.

Exemplul 5

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare este:

Să găsim o soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene corespunzătoare:

Soluția generală a ecuației diferențiale:

În acest caz, căutăm o anumită soluție sub forma unui binom trigonometric:

unde și sunt coeficienți nesiguri

Înlocuind și în ecuația diferențială inițială, obținem o identitate, din care găsim coeficienții.

Aceste ecuații determină coeficienții și cu excepția cazului în care (sau când sunt rădăcinile ecuației caracteristice). În acest din urmă caz, căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale sub forma:

Exemplu6

Ecuația caracteristică:

Soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare este:

Să găsim o soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene

Înlocuind în ecuația diferențială inițială, obținem:

Soluția generală a ecuației diferențiale inițiale:

Convergența seriei numerice
Se dă o definiție a convergenței unei serii și se analizează în detaliu problemele pentru studiul convergenței serii numerice - criterii de comparație, criteriul de convergență d'Alembert, criteriul de convergență Cauchy și criteriul de convergență Cauchy integral⁡.

Convergența absolută și condiționată a unei serii
Pagina tratează seria alternante, convergența lor condiționată și absolută, testul de convergență Leibniz pentru serii alternante - conține scurtă teorie pe subiect și un exemplu de rezolvare a problemei.

Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)

Un CLDE de ordinul doi cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left( x \right)$ este o funcție continuă.

Următoarele două afirmații sunt adevărate în ceea ce privește al 2-lea LNDE cu PC.

Să presupunem că o anumită funcție $U$ este o soluție particulară arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este o soluție generală (OR) a ecuației diferențiale liniare omogenă corespunzătoare (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci OR al LHDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.

Dacă partea dreaptă a LIDE de ordinul 2 este suma funcțiilor, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, apoi mai întâi puteți găsi PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ care corespund fiecărei dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrieți LNDE-2 PD ca $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluție LNDE de ordinul 2 cu PC

Evident, forma unuia sau altuia PD $U$ a unui LNDE-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD a LNDE-2 sunt formulate ca următoarele patru reguli.

Regula numărul 1.

Partea dreaptă LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de grad $ n$. Apoi PR $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (NC).

Regula numărul 2.

Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NK.

Regula numărul 3.

Partea din dreapta a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta $ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc prin metoda NDT.

Regula numărul 4.

Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right) $ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcinile ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egale cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NK.

Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului, care fac parte din soluția particulară a ecuației diferențiale neomogene LNDE-2, este necesar:

• înlocuiți PD $U$ scris în vedere generala, în partea stângă a LNDU-2;
• în partea stângă a LNDE-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
• în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
• rezolva sistemul rezultat ecuatii lineare faţă de coeficienţi necunoscuţi.

Exemplul 1

Sarcină: găsiți OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. De asemenea, găsiți PR , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.

Scrieți LODA-2 corespunzătoare: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt reale și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Partea dreaptă a acestui LNDE-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PR-ul acestui LNDE-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NK.

Găsim prima derivată a CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Găsim derivata a doua a CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim functiile $U""$, $U"$ si $U$ in loc de $y""$, $y"$ si $y$ in LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În același timp, deoarece exponentul $e^(3\cdot x) $ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Efectuăm acțiuni în partea stângă a egalității rezultate:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Folosim metoda NC. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ SAU:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Avem un sistem de ecuații:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

O rezolvam. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ este determinat din prima ecuație:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale este: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți:
(1) .
Soluția sa poate fi obținută urmând metoda de reducere a ordinii generale.

Cu toate acestea, este mai ușor să obțineți imediat sistemul fundamental n liniar decizii independente iar pe baza acesteia să ia o decizie generală. În acest caz, întreaga procedură de soluție se reduce la următorii pași.

Căutăm o soluție pentru ecuația (1) sub forma . Primim ecuație caracteristică:
(2) .
Are n rădăcini. Rezolvăm ecuația (2) și găsim rădăcinile acesteia. Atunci ecuația caracteristică (2) poate fi reprezentată sub următoarea formă:
(3) .
Fiecare rădăcină corespunde uneia dintre soluțiile liniar independente ale sistemului fundamental de soluții ale ecuației (1). Atunci soluția generală a ecuației inițiale (1) are forma:
(4) .

Rădăcini adevărate

Luați în considerare rădăcinile reale. Lasă rădăcina să fie singură. Adică, factorul intră în ecuația caracteristică (3) o singură dată. Atunci această rădăcină corespunde soluției
.

Fie o rădăcină multiplă a multiplicității p. Acesta este
. În acest caz, multiplicatorul vine în p ori:
.
Aceste rădăcini multiple (egale) corespund p soluții liniar independente ale ecuației inițiale (1):
; ; ; ...; .

Rădăcini complexe

Luați în considerare rădăcinile complexe. Exprimăm rădăcina complexă în termeni de părți reale și imaginare:
.
Deoarece coeficienții originalului sunt reali, atunci pe lângă rădăcină există o rădăcină conjugată complexă
.

Lăsați rădăcina complexă să fie unică. Atunci perechea de rădăcini corespunde la două soluții liniar independente:
; .

Fie o rădăcină complexă multiplă a multiplicității p. Atunci valoarea complexă conjugată este, de asemenea, rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității p și multiplicatorul intră p ori:
.
Acest 2p rădăcinile corespund 2p soluții liniar independente:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

După sistem fundamental se găsesc soluții liniar independente, dar obținem soluția generală .

Exemple de soluții de probleme

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Soluţie

.
Să-l transformăm:
;
;
.

Luați în considerare rădăcinile acestei ecuații. Am obținut patru rădăcini complexe ale multiplicității 2:
; .
Ele corespund la patru soluții liniar independente ale ecuației originale:
; ; ; .

Avem, de asemenea, trei rădăcini reale ale multiplicității 3:
.
Ele corespund la trei soluții liniar independente:
; ; .

Soluția generală a ecuației inițiale are forma:
.

Răspuns

Exemplul 2

rezolva ecuatia

Soluţie

Caut o solutie sub forma . Compunem ecuația caracteristică:
.
Rezolvăm o ecuație pătratică.
.

Avem două rădăcini complexe:
.
Ele corespund la două soluții liniar independente:
.
Rezolvarea generală a ecuației:
.