Metoda multiplicatorilor Lagrange. Sensul economic al multiplicatorilor Lagrange

Descrierea metodei

Unde .

Motivație

Următoarea justificare a metodei multiplicatorului Lagrange nu este dovada sa riguroasă. Conține raționament euristic care ajută la înțelegerea semnificației geometrice a metodei.

carcasă 2D

Linii de nivel și curbă.

Să fie necesar să se găsească extremul unei funcții a două variabile în condiția dată de ecuație . Vom presupune că toate funcțiile sunt diferențiabile continuu și ecuația dată definește o curbă netedă S la suprafata. Apoi problema se reduce la găsirea extremului funcției f pe curbă S. Vom presupune și asta S nu trece prin punctele unde gradientul f se transformă în 0.

Desenați în plan liniile de nivel ale funcției f(adică curbe). Din considerente geometrice se poate observa că extremul funcției f pe curbă S pot exista doar puncte în care tangentele la S iar linia de nivel corespunzătoare sunt aceleași. Într-adevăr, dacă curba S traversează linia de nivel fîntr-un punct transversal (adică la un unghi diferit de zero), apoi deplasându-se de-a lungul curbei S din punct de vedere putem ajunge pe amândouă la liniile de nivel corespunzătoare valorii mai mari f, și mai mici. Prin urmare, un astfel de punct nu poate fi un punct extremum.

Astfel, condiția necesară pentru extremum în cazul nostru va fi coincidența tangentelor. Pentru a o scrie sub formă analitică, rețineți că este echivalentă cu paralelismul gradienților funcțiilor fși ψ în acest punct, deoarece vectorul gradient este perpendicular pe tangenta la linia de nivel. Această condiție este exprimată în următoarea formă:

unde λ este un număr diferit de zero, care este multiplicatorul Lagrange.

Luați în considerare acum Funcția Lagrangeîn funcție de și λ :

O condiție necesară pentru extremul său este gradientul zero. În conformitate cu regulile de diferențiere, se scrie ca

Am obținut un sistem ale cărui prime două ecuații sunt echivalente cu condiția necesară extremul local(1), iar al treilea - la ecuație . Din el puteți găsi. În acest caz, deoarece în caz contrar gradientul funcției f dispare la un moment dat , ceea ce contrazice presupunerile noastre. Trebuie remarcat faptul că punctele găsite în acest fel pot să nu fie punctele extreme condiționale dorite - condiția considerată este necesară, dar nu suficientă. Găsirea unui extremum condiționat folosind o funcție auxiliară Lși formează baza metodei multiplicatorului Lagrange aplicată aici pentru cel mai simplu caz al două variabile. Rezultă că raționamentul de mai sus poate fi generalizat în cazul unui număr arbitrar de variabile și ecuații care specifică condițiile.

Pe baza metodei multiplicatorilor Lagrange, se pot demonstra și unele condiții suficiente pentru un extremum condiționat, care necesită o analiză a derivatelor secunde ale funcției Lagrange.

Aplicație

• Metoda multiplicatorilor Lagrange este folosită în rezolvarea problemelor nu programare liniară apărute în multe domenii (de exemplu, în economie).
• Metoda principală pentru rezolvarea problemei de optimizare a calității codificării datelor audio și video pentru un anumit bitrate mediu (optimizarea distorsiunii - engleză. Optimizarea ratei-distorsiuni).

Vezi si

Legături

• Zorich V. A. Analiza matematică. Partea 1. - ed. al 2-lea, rev. si suplimentare - M.: FAZIS, 1997.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce sunt „multiplicatorii Lagrange” în alte dicționare:

Multiplicatori de Lagrange- factori suplimentari care transformă funcția obiectivă a problemei extreme a programării convexe (în special, programarea liniară) atunci când aceasta este rezolvată prin una dintre metodele clasice prin metoda rezolvării factorilor ... ... Dicţionar economic şi matematic

Multiplicatori de Lagrange- Factori suplimentari care transformă funcția obiectivă a problemei extreme a programării convexe (în special, programarea liniară) atunci când aceasta este rezolvată prin una dintre metodele clasice prin metoda rezolvării factorilor (metoda Lagrange). ... ... Manualul Traducătorului Tehnic

Mecanica. 1) Ecuații lagrangiene de primul fel, ecuații diferențiale ale mișcării unui mecanic. sisteme, care sunt date în proiecții pe axe de coordonate dreptunghiulare și conțin așa-numitele. Multiplicatori de Lagrange. Primit de J. Lagrange în 1788. Pentru un sistem holonomic, ...... Enciclopedia fizică

Mecanica obișnuită ecuatii diferentiale Ordinul 2, care descrie mișcarea mecanică. sisteme aflate sub influența forțelor aplicate acestora. L. la. stabilit de J. Gama Lag sub două forme: L. at. Primul fel, sau ecuații în coordonate carteziene cu ...... Enciclopedie matematică

1) în hidromecanică, ecuația pentru mișcarea unui lichid (gaz) în variabilele Lagrange, care sunt coordonatele mediului. Am primit franceza. savantul J. Lagrange (J. Lagrange; c. 1780). De la L. la. legea de mișcare a mediului h c este determinată sub formă de dependențe ... ... Enciclopedia fizică

Metoda multiplicatorului Lagrange, o metodă pentru găsirea extremului condiționat al funcției f(x), unde, în raport cu m constrângeri, i variază de la unu la m. Cuprins 1 Descrierea metodei ... Wikipedia

O funcție utilizată în rezolvarea problemelor pe extremul condiționat funcţiile mai multor variabile şi funcţionale. Cu ajutorul lui L. f. sunt înregistrate conditiile necesare optimitatea în probleme pentru extremul condițional. Nu este nevoie să exprimați doar variabile... Enciclopedie matematică

Metoda de rezolvare a problemelor pentru extremul Condițional; L. m. m. constă în reducerea acestor probleme la probleme pentru un extremum necondiţionat al unei funcţii auxiliare a aşa-numitei. Funcții Lagrange. Pentru problema extremului funcției f (x1, x2,..., xn) pentru ... ...

Variabile, cu ajutorul cărora se construiește funcția Lagrange în studiul problemelor pentru un extremum condiționat. Utilizarea lui L. m. și a funcției Lagrange face posibilă obținerea condițiilor de optimitate necesare într-un mod uniform în probleme pentru un extremum condiționat ... Enciclopedie matematică

1) în hidromecanică, ecuațiile de mișcare ale unui mediu lichid scrise în variabile Lagrange, care sunt coordonatele particulelor mediului. De la L. la. legea de mișcare a particulelor mediului este determinată sub formă de dependențe ale coordonatelor în timp și conform acestora ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

METODA LAGRANGE

Metoda de reducere a unei forme pătratice la o sumă de pătrate, indicată în 1759 de J. Lagrange. Să fie dat

din variabile x 0 , X 1 ,..., x n. cu coeficienţi din teren k caracteristici Se cere aducerea acestei forme la canonice. minte

folosind o transformare liniară nedegenerată a variabilelor. L. m. se compune din următoarele. Putem presupune că nu toți coeficienții formei (1) sunt egali cu zero. Prin urmare, două cazuri sunt posibile.

1) Pentru unii g, diagonala Atunci

unde forma f 1 (x) nu conține o variabilă x g . 2) Dacă toate Dar Acea

unde forma f 2 (x) nu conţine două variabile xgȘi x h . Formele de sub semnele pătrate din (4) sunt liniar independente. Prin aplicarea transformărilor formei (3) și (4), forma (1) după un număr finit de pași se reduce la suma pătratelor formelor liniare liniar independente. Folosind derivate parțiale, formulele (3) și (4) pot fi scrise ca

Lit.: G a n t m a h e r F. R., Teoria Matricilor, ed. a II-a, Moscova, 1966; K ur o sh A. G., Curs de algebră superioară, ed. a XI-a, M., 1975; Alexandrov P. S., Prelegeri despre geometrie analitică..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vedeți ce este „METODA LAGRANGE” în ​​alte dicționare:

Metoda Lagrange- Metoda Lagrange - o metodă de rezolvare a unui număr de clase de probleme de programare matematică prin găsirea unui punct de șa (x *, λ *) al funcției Lagrange, care se realizează prin egalarea la zero a derivatelor parțiale ale acestei funcții în raport cu . .. ... Dicţionar economic şi matematic

Metoda Lagrange- O metodă pentru rezolvarea unui număr de clase de probleme de programare matematică prin găsirea punctului de șa (x*,?*) al funcției Lagrange, care se realizează prin egalarea la zero a derivatelor parțiale ale acestei funcții în raport cu xi și?i . Vezi Lagrangian. )