Variabile aleatorii: discrete și continue.

Când se efectuează un experiment stochastic, se formează un spațiu de evenimente elementare - posibilele rezultate ale acestui experiment. Se crede că pe acest spațiu al evenimentelor elementare valoare aleatorie X, dacă se stabilește o lege (regulă) conform căreia un număr este asociat cu fiecare eveniment elementar. Astfel, o variabilă aleatorie X poate fi considerată ca o funcție dată pe spațiul evenimentelor elementare.

■ Variabilă aleatorie- o valoare care la fiecare test ia o anumită valoare numerică (nu se știe în prealabil care), în funcție de cauze aleatorii care nu pot fi luate în considerare în prealabil. Valorile aleatoare sunt notate cu litere mari ale alfabetului latin și cu posibile valori variabilă aleatorie- mic. Deci, atunci când arunci un zar, are loc un eveniment asociat cu numărul x, unde x este numărul de puncte scăzute. Numărul de puncte este o variabilă aleatorie, iar numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 sunt valorile posibile ale acestei valori. Distanța pe care va zbura proiectilul atunci când este tras din pistol este, de asemenea, o variabilă aleatorie (depinde de setarea vederii, puterea și direcția vântului, temperatura și alți factori), iar valorile posibile ale acestei valori aparțin unui anumit interval (a; b).

■ Variabilă discretă aleatorie- o variabilă aleatorie care ia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatorii discrete poate fi finit sau infinit.

■ Variabilă continuă aleatorie- o variabilă aleatorie care poate lua toate valorile dintr-un anumit interval finit sau infinit. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

De exemplu, numărul de puncte scăzute la aruncarea zarurilor, scorul testului sunt variabile aleatorii discrete; distanța pe care o zboară proiectilul când trage de la pistol, eroarea la măsurarea indicatorului timpului de stăpânire a materialului educațional, înălțimea și greutatea unei persoane sunt variabile aleatorii continue.

Legea distribuției unei variabile aleatorii- corespondența dintre valorile posibile ale variabilei aleatorii și probabilitățile acestora, adică fiecare valoare posibilă x i este asociată cu probabilitatea p i, cu care variabila aleatoare poate lua această valoare. Legea distribuției unei variabile aleatorii poate fi specificată într-un tabel (sub formă de tabel), analitic (sub formă de formulă) și fitic.

Fie o variabilă discretă aleatorie X să ia valori x 1, x 2,…, x n cu probabilitățile p 1, p 2,…, p n, respectiv, adică P (X = x 1) = p 1, P (X = x 2) = p 2,…, P (X = x n) = p n. La stabilirea legii de distribuție a acestei cantități într-o manieră tabelară, primul rând al tabelului conține valorile posibile x 1, x 2, ..., x n, iar al doilea - probabilitățile lor

X	x 1	x 2	…	x n
p	p 1	p 2	…	p n

Ca rezultat al testului, variabila discretă aleatoare X preia una și numai una dintre valorile posibile, prin urmare evenimentele X = x 1, X = x 2, ..., X = xn formează un grup complet de perechi incompatibile și, prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente este egală cu una, adică p 1 + p 2 + ... + p n = 1.

Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete. Poligon de distribuție (poligon).

După cum știți, o variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt desemnate prin litere mari ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - prin literele minuscule corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatorii sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

O variabilă aleatorie discretă este o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete se numește o funcție care conectează valorile unei variabile aleatorii cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată într-unul din următoarele moduri.

1. Legea distribuției poate fi dată de tabel:

unde λ> 0, k = 0, 1, 2,….

c) folosind funcția de distribuție F (x), care determină pentru fiecare valoare a x probabilitatea ca o variabilă aleatorie X să ia o valoare mai mică decât x, adică F (x) = P (X< x).

Proprietățile funcției F (x)

3. Legea distribuției poate fi setată grafic - prin poligonul de distribuție (poligon) (vezi sarcina 3).

Rețineți că, pentru a rezolva unele probleme, nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare față de valoarea sa medie. Numerele de acest fel se numesc caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatorii discrete:

• Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatorii discrete M (X) = Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M (X) = np, pentru distribuția Poisson M (X) = λ
• Dispersia unei variabile aleatorii discrete D (X) = M 2 sau D (X) = M (X 2) - 2. Diferența X - M (X) se numește deviația unei variabile aleatoare de la așteptarea sa matematică.
  Pentru distribuția binomială D (X) = npq, pentru distribuția Poisson D (X) = λ
• Deviație standard ( deviație standard) σ (X) = √D (X).

Pentru claritatea prezentării seriei de variații mare importanță au imaginile sale grafice. Seria de variații poate fi reprezentată grafic ca poligon, histogramă și cumulativă.

· Poligonul de distribuție (literalmente - poligonul de distribuție) se numește poligon, care este construit într-un sistem dreptunghiular de coordonate. Valoarea caracteristicii este reprezentată pe abscisă, frecvențele corespunzătoare (sau frecvențe relative) - pe ordonată. Punctele (sau) sunt conectate prin segmente de linie dreaptă și obțin un poligon de distribuție. Cel mai adesea, poligoanele sunt utilizate pentru a afișa serii de variații discrete, dar pot fi utilizate și pentru serie de intervale... În acest caz, punctele corespunzătoare punctelor medii ale acestor intervale sunt reprezentate grafic pe axa absciselor.

Pagina 2

Grafic legea distribuției cantitate discretă este dat sub forma așa-numitului poligon de distribuție.

O reprezentare grafică a unei serii de distribuție (vezi Fig. 5) se numește poligon de distribuție.

Pentru a caracteriza legea distribuției unei variabile aleatorii discontinue, sunt adesea folosite o serie (tabel) și un poligon de distribuție.

Pentru a-l reprezenta într-un sistem de coordonate dreptunghiular, punctele (Y Pi) (x - i Pa) sunt construite și conectate prin segmente de linie. Poligonul de distribuție oferă o reprezentare vizuală aproximativă a naturii distribuției unei variabile aleatorii.

Pentru claritate, legea de distribuție a unei variabile aleatorii discrete poate fi, de asemenea, reprezentată grafic, pentru care punctele (x /, p sunt reprezentate grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiulare și apoi conectate prin segmente de linie. Figura rezultată se numește poligon de distribuție.

M (xn; pn) (лс - - valori posibile Xt pi - probabilități corespunzătoare) și conectați-le cu segmente de linie. Forma rezultată se numește poligon de distribuție.

Luați în considerare distribuția probabilității sumei de puncte pe zaruri. Figurile de mai jos arată poligoanele de distribuție pentru cazul unuia, a două și a trei oase.

În acest caz, în loc de poligonul de distribuție al variabilei aleatorii, se construiește o funcție de densitate de distribuție, care se numește funcție de distribuție diferențială și este o lege de distribuție diferențială. În teoria probabilității, densitatea distribuției unei variabile aleatorii x (x Xr) este înțeleasă ca fiind limita raportului probabilității ca valoarea x să cadă în intervalul (x, x - - Ax) la Ax, când Al ; tinde la zero. În plus față de funcția diferențială, pentru a caracteriza distribuția unei variabile aleatorii, se utilizează o funcție de distribuție integrală, care este adesea numită pur și simplu o funcție de distribuție sau o lege de distribuție integrală.

Cu o astfel de construcție, frecvențele relative ale lovirii intervalelor vor fi egale cu suprafețele coloanelor corespunzătoare ale histogramei, la fel cum probabilitățile sunt egale cu suprafețele trapezoidelor curvilinee corespunzătoare. , apoi cu un n suficient de mare și o bună alegere a intervalelor (YJ-I, Uneori, pentru claritate de comparație, un poligon de distribuție este reprezentat grafic prin conectarea succesivă a punctelor medii ale bazelor superioare ale barelor histogramei.

Atașarea t sensuri diferite de la 0 la z, se obțin probabilitățile PQ, P RF - Pn, care sunt reprezentate grafic. Dat fiind p; i11, trasați poligonul distribuției probabilității.

Orice corespondență între valorile sale posibile și probabilitățile lor se numește legea distribuției unei variabile aleatorii discrete. Legea poate fi stabilită sub formă de tabel (serie de distribuție), grafic (poligon de distribuție etc.) și analitic.

Găsirea curbei de distribuție, cu alte cuvinte, stabilirea distribuției variabilei aleatorii în sine, face posibilă investigarea mai profundă a unui fenomen care este departe de a fi exprimat pe deplin de o anumită serie de distribuție specifică. Prezentând în desen atât curba de distribuție aplatizată găsită, cât și poligonul de distribuție construit pe baza populației parțiale, cercetătorul poate vedea clar trăsăturile caracteristice inerente fenomenului studiat. Datorită acestui fapt, analiza statistică întârzie atenția cercetătorului asupra abaterilor datelor observate de la o schimbare regulată a fenomenului, iar cercetătorul se confruntă cu sarcina de a afla motivele acestor abateri.

Apoi, de la mijlocul intervalelor, se trag abscise (la scară) corespunzător numărului de luni cu un debit în acest interval. Capetele acestor abscise sunt conectate pentru a forma un poligon sau poligon de distribuție.

Puncte care dau o reprezentare grafică a legii distribuției unei variabile aleatorii discrete pe planul de coordonate valorile unei mărimi - probabilitatea valorilor, de obicei conectate prin segmente de linie și numite rezultate forma geometrică poligon de distribuție. În fig. 3 din Tabelul 46 (precum și din Figurile 4 și 5) arată doar poligoanele de distribuție.

Conceptul de variabilă aleatorie. Legea distribuției unei variabile aleatorii

Variabilele aleatoare (prescurtate: s.v.) sunt notate cu majuscule latine literele X, Y, Z, ...(sau litere grecești minuscule ξ (xi), η (eta), θ (theta), ψ (psi) etc.) și valorile pe care le iau, respectiv, cu litere mici x 1 , x 2 ,…, la 1 , la 2 , la 3 …

Exemple cu. în. poate servi: 1) X- numărul de puncte care apar la aruncarea unui zar; 2) Y - numărul de fotografii înainte de prima lovitură asupra țintei; 3) Z- timpul de funcționare al dispozitivului etc. (înălțimea persoanei, rata dolarului, numărul de piese defecte din lot, temperatura aerului, câștigul jucătorului, coordonata punctului atunci când îl alegeți aleator, profitul ferm, ...).

Variabila aleatorie XΏ w

X (w), adică X= X (w), wÎ Ώ (sau X = f(w)) (31)

Exemplul 1. Experiența constă în aruncarea unei monede de 2 ori. Pe TES Ώ = (w 1, w 2, w 3, w 4), unde w 1 = AA, w 2 = ГР, w 3 = РГ, w 4 = PP, poate fi luat în considerare cu. în. X- de câte ori apare stema. C. în. X este o funcție a evenimentului elementar w i : X ( w 1 ) = 2, X ( w 2 ) = 1, X ( w 3 ) = 1, X ( w 4 )= 0; X- d. s. în. cu valori x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X (w) S P (A) = P (X< NS).

X- d. s. în.,

x 1, x 2, x 3, ..., x n, ...

p i, Unde i = 1,2,3, ..., n,….

Legea distribuției etc. cu. în. p i = P (X = x i}, i = 1,2,3, ..., n, ...,

cu. în. X X eu. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	p 1	p 2	….	p n	…

De la evenimente (X = x 1), (X = x 2), ..., (X = x n), adică .

(x 1 , p 1 ), (x 2, p 2), ..., (x n, p n) sunt numite poligon(sau poligon) distribuție(vezi fig. 17).

Valoare aleatorie X este discret, dacă există un set finit sau numărabil de numere x 1 , x 2 , ..., x n astfel încât P (X = x i) = p i > 0 (i = 1,2, ...) p 1 + p 2 + p 3 +…= 1 (32)

Suma etc. cu. în. X, luând valori x i cu probabilități p i = P (X = x i), i = 1,2,3, ..., n și așa mai departe. în. Y, luând valori y j cu probabilități p i = P (Y = y j), j = 1,2,3, ..., m, se numește d. S. în. Z = X + Y, luând valori z ij = x i + y j cu probabilități p ij = P (X = x i, Y = y j), pentru toate valorile specificate euși j. Dacă unele sume x i + y j coincid, se adaugă probabilitățile corespunzătoare.

Diferență etc. cu. în. X, luând valori x i cu probabilități p i = P (X = x i), i = 1,2,3, ..., n și așa mai departe. în. Y, luând valori y j cu probabilități p i = P (Y = y j), j = 1,2,3, ..., m, se numește d. S. în. Z = X - Y, luând valori z ij = x i - y j cu probabilități p ij = P (X = x i, Y = y j), pentru toate valorile specificate euși j. Dacă unele diferențe x i - y j coincid, se adaugă probabilitățile corespunzătoare.

După produs etc. cu. în. X, luând valori x i cu probabilități p i = P (X = x i), i = 1,2,3, ..., n și așa mai departe. în. Y, luând valori y j cu probabilități p i = P (Y = y j), j = 1,2,3, ..., m, se numește d. S. în. Z = X × Y, luând valori z ij = x i × y j cu probabilități p ij = P (X = x i, Y = y j), pentru toate valorile specificate euși j. În caz de coincidență a unor produse x i × y j, se adaugă probabilitățile corespunzătoare.

etc. cu. în. cX, c x i p i = P (X = x i).

Evenimentele X și Y (X = x i) = A i și (Y = y j) = B j sunt independente pentru orice i = 1,2, ..., n; j = l, 2, ..., m, adică

P (X = x i; Y = y j) = P (X = x i) × P (Y = y j) (33)

Exemplul 2.În urnă sunt 8 bile, dintre care 5 sunt albe, restul sunt negre. Se scot 3 mingi din ea la întâmplare. Găsiți legea distribuției pentru numărul de bile albe din eșantion.

Experiența este orice punere în aplicare a anumitor condiții și acțiuni în care se observă fenomenul aleator studiat. Experimentele pot fi caracterizate calitativ și cantitativ. Aleatoare este o cantitate care, ca rezultat al experienței, poate lua o valoare sau alta și nu se știe dinainte care.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate (X, Y, Z), iar valorile corespunzătoare (x, y, z)

Variabilele discrete aleatoare se numesc valori aleatorii care iau valori izolate separate una de alta, care pot fi supraestimate. Cantități continue ale căror valori posibile umple continuu un anumit interval. Legea distribuției unei variabile aleatoare este orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale variabilelor aleatoare și probabilitățile corespunzătoare. Seria de distribuție și poligonul. Cea mai simplă formă a legii distribuției pentru o cantitate discretă este o serie de distribuție. Interpretarea grafică a unei serii de distribuție este un poligon de distribuție.

Puteți găsi informații de interes și în motorul de căutare științifică Otvety.Online. Folosiți formularul de căutare:

Mai multe despre subiectul 13. Variabilă discretă aleatorie. Poligon de distribuție. Operații cu variabile aleatorii, exemplu:

1. 13. Variabilă discretă aleatorie și legea distribuției sale. Poligon de distribuție. Operații cu variabile aleatorii. Exemplu.
2. Conceptul de „variabilă aleatorie” și descrierea sa. Variabilă discretă aleatorie și legea distribuției sale (serie). Variabile aleatorii independente. Exemple.
3. 14. Variabile aleatorii, tipurile lor. Legea distribuției probabilității pentru o variabilă discretă aleatorie (DSV). Metode de construire a variabilelor aleatorii (SV).
4. 16. Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii discrete: așteptarea matematică, varianța și abaterea standard.
5. Operații matematice pe variabile aleatorii discrete și exemple de construire a legilor de distribuție pentru KX, X "1, X + K, XV din distribuții date ale variabilelor aleatoare independente X și Y.
6. Conceptul de variabilă aleatorie. Legea discretă a distribuției cazurilor magnitudini. Operații matematice pe caz. cantități.

2.1. Frecventa relativa. Stabilitate relativă a frecvenței

2.2. Limitări ale definiției clasice a probabilității. Probabilitatea statistică

2.3. Probabilități geometrice

2.4. Teorema adăugării probabilității

2.5. Completați grupul de evenimente

2.6. Evenimente opuse

2.7. Principiul imposibilității practice a evenimentelor improbabile

2.8. Produs al evenimentelor. Probabilitate condițională

2.9. Teorema multiplicării probabilității

2.10. Evenimente independente. Teorema multiplicării pentru evenimente independente

2.10. Probabilitatea apariției a cel puțin unui eveniment

Lectura numărul 3 consecințele teoremelor adunării și multiplicării

3.1. Teorema adunării pentru probabilitățile evenimentelor comune

3.2. Formula probabilității totale

3.3. Probabilitatea ipotezelor. Formulele lui Bayes

4. Repetarea testelor

4.1. Formula lui Bernoulli

4.2. Limitează teoremele din schema Bernoulli

4.3. Teoreme locale și integrale ale lui Moivre-Laplace

4.3. Probabilitatea abaterii frecvenței relative de la probabilitatea constantă în teste independente

5. Variabile aleatorii

5.1. Conceptul de variabilă aleatorie. Legea distribuției unei variabile aleatorii

5.2. Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete. Poligon de distribuție

5.3. Distribuție binomială

5.4. Distribuția Poisson

5.5. Distribuția geometrică

5.6. Distribuția hipergeometrică

6. Așteptarea matematică a unei variabile aleatorii discrete

6.1. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatorii discrete

6.2. Așteptarea matematică a unei variabile aleatorii discrete

6.3. Semnificația probabilistică a așteptării matematice

6.4. Proprietăți de așteptare matematică

6.5. Numărul preconizat de apariții ale unui eveniment în studii independente

7. Dispersia unei variabile aleatorii discrete

7.1. Fezabilitatea introducerii unei caracteristici numerice a împrăștierii unei variabile aleatorii

7.2. Abaterea unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică

7.3. Dispersia unei variabile aleatorii discrete

7.4. Formula pentru calcularea varianței

7.5. Proprietăți de dispersie

7.6. Dispersia numărului de apariții ale unui eveniment în studii independente

7.7. Deviație standard

7.8. Abaterea standard a sumei variabilelor aleatoare reciproc independente

7.9. Variabile aleatorii distribuite identic reciproc independente

7.10. Puncte teoretice inițiale și centrale

8. Legea numărului mare

8.1. Observații preliminare

8.2. Inegalitatea lui Chebyshev

8.3. Teorema lui Chebyshev

8.4. Esența teoremei lui Chebyshev

8.5. Importanța teoremei lui Chebyshev pentru practică

8.6. Teorema lui Bernoulli

Funcția de distribuție a probabilității unei variabile aleatorii

9.1. Definiția funcției de distribuție

9.2. Proprietăți ale funcției de distribuție

9.3. Graficul funcției de distribuție

10. Densitatea distribuției probabilității unei variabile aleatoare continue

10.1. Determinarea densității de distribuție

10.2. Probabilitatea de a atinge o variabilă continuă aleatorie într-un interval dat

10.3. Legea distribuției uniforme a probabilităților

11. Distribuție normală

11.1. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue

11.2. Distributie normala

11.3. Curba normală

11.4. Influența parametrilor distribuției normale asupra formei curbei normale

11.5. Probabilitatea de a atinge un anumit interval al unei variabile aleatoare normale

11.6. Calculul probabilității unei abateri date

11.7. Regula celor trei Sigma

11.8. Conceptul teoremei lui Lyapunov. Formularea teoremei limitei centrale

11.9. Estimarea abaterii distribuției teoretice față de cea normală. Asimetrie și curtoză

11.10. Funcția unui argument aleatoriu și distribuția acestuia

11.11. Așteptarea matematică a unei funcții a unui singur argument aleatoriu

11.12. O funcție a două argumente aleatorii. Distribuția sumei termenilor independenți. Stabilitatea distribuției normale

11.13. Distribuție Chi-pătrat

11.14. Distribuția t studentului

11.15. Distribuție Fischer - Snedecor f

12. Distribuție exponențială

12.1. Determinarea distribuției exponențiale

12.2. Probabilitatea de a atinge un interval dat al unei variabile aleatorii distribuite exponențial

§ 3. Caracteristicile numerice ale distribuției exponențiale

12.4. Funcția de fiabilitate

12.5. Legea exponențială a fiabilității

12.6. Proprietatea caracteristică a legii exponențiale a fiabilității

5.2. Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete. Poligon de distribuție

La prima vedere, poate părea că, pentru a specifica o variabilă discretă aleatorie, este suficient să enumerați toate valorile sale posibile. În realitate, acest lucru nu este cazul: variabilele aleatorii pot avea aceleași liste de valori posibile, dar probabilitățile lor sunt diferite. Prin urmare, pentru a specifica o variabilă discretă aleatorie, nu este suficient să enumerați toate valorile sale posibile, trebuie să indicați și probabilitățile acestora.

Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete apelați corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora; poate fi setat tabular, analitic (sub formă de formulă) și grafic.

Definiție. Orice regulă (tabel, funcție, grafic) care vă permite să găsiți probabilitățile evenimentelor arbitrare A S (S- -algebră a evenimentelor din spațiu ), în special, indicând probabilitățile valorilor individuale ale unei variabile aleatorii sau ale unui set al acestor valori, se numește legea distribuției unei variabile aleatorii(sau pur și simplu: distribuție). Despre s.v. ei spun că „respectă legea de distribuție dată”.

Lasa NS- d.s.v., care ia valori NS 1 , NS 2 , …, X n, ... (setul acestor valori este finit sau numărabil) cu o oarecare probabilitate p eu, Unde eu = 1,2,…, n, ... Legea distribuției d.s.v. este convenabil să setați folosind formula p eu = P{X = X eu)Unde eu = 1,2,…, n, ..., Care determină probabilitatea ca, ca urmare a experimentului de r.v. NS va prelua X eu... Pentru d.s.v. NS legea distribuției poate fi dată în formă tabele de distribuție:

				X n
				R n

În setarea tabelară a legii de distribuție pentru o variabilă discretă aleatorie, primul rând al tabelului conține valori posibile, iar al doilea - probabilitățile acestora. se numește un astfel de tabel aproape de distribuție.

Având în vedere că într-un test o variabilă aleatorie ia o singură valoare posibilă, concluzionăm că evenimentele X = X 1 , X = X 2 , ..., X = X n formează un grup complet; prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente, adică suma probabilităților celui de-al doilea rând al tabelului este egală cu unu, adică.

Dacă setul de valori posibile X este infinit (numărabil), apoi seria R 1 + R 2 + ... converge și suma sa este egală cu unu.

Exemplu. Există 100 de bilete emise la loteria cu numerar. Se obține o victorie de 50 de ruble. și zece victorii pentru 1 frecare. Găsiți legea distribuției unei variabile aleatorii X- costul unei posibile victorii pentru proprietarul unui bilet de loterie.

Soluţie. Să scriem valorile posibile X: NS 1 = 50, NS 2 = 1, NS 3 = 0. Probabilitățile acestor valori posibile sunt următoarele: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Să scriem legea de distribuție necesară:

Control: 0,01 + 0,1 + 0,89 = 1.

Exemplu.În urnă sunt 8 bile, dintre care 5 sunt albe, restul sunt negre. Se scot 3 mingi din ea la întâmplare. Găsiți legea distribuției pentru numărul de bile albe din eșantion.

Soluţie. Valorile posibile ale r.v. NS- numărul de bile albe din eșantion este NS 1 = 0, NS 2 = 1, NS 3 = 2, NS 4 = 3. Probabilitățile lor, respectiv, vor fi

;
;
.

Scriem legea distribuției sub forma unui tabel.

Controlul:
.

Legea distribuției din d.s.v. poate fi setat grafic dacă valorile posibile ale r.v. sunt reprezentate grafic pe axa absciselor, iar probabilitățile acestor valori sunt reprezentate grafic pe axa ordonatelor. polilinie care conectează punctele ( NS 1 , R 1), (NS 2 , R 2), ... ei sună poligon(sau poligon) distribuție(vezi fig. 5.1).

Orez. 5.1. Poligon de distribuție

Acum este posibil să se dea o definiție mai precisă a d.s.v.

Definiție. Valoare aleatorie X este discret dacă există un set finit sau numărabil de numere NS 1 , NS 2, ... astfel încât P{X = X eu } = p eu > 0 (eu= 1,2, ...) și p 1 + p 2 + R 3 +… = 1.

Să definim operațiile matematice pe r.v. discret.

Definiție.Suma (diferență, produs) d.s.v. NS luând valorile X eu cu probabilități p eu = P{X = X eu }, eu = 1, 2, …, nși d.s.v. Da luând valorile y j cu probabilități p j = P{Da = y j }, j = 1, 2, …, m, numit d.s.v. Z = X + Da (Z = X – Da, Z = X Da) luând valorile z ij = X eu + y j (z ij = X eu – y j , z ij = X eu  y j) cu probabilități p ij = P{X = X eu , Da = y j) pentru toate valorile specificate euși j... În caz de coincidență a unor sume X eu + y j (diferențe X eu – y j, lucrări X eu  y j) se adaugă probabilitățile corespunzătoare.

Definiție.Muncă d.s.c. pe număr cu numit d.s.v. cX luând valorile cuX eu cu probabilități p eu = P{X = X eu }.

Definiție. Doi d.s.v. NSși Da sunt numite independent dacă evenimentele ( X = X eu } = A euși ( Da = y j } = B j independent pentru orice eu = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, adică

În caz contrar, s.v. sunt numite dependent... Mai multe s.v. sunt numiți reciproc independenți dacă legea distribuției oricăreia dintre ele nu depinde de ce valori posibile și-au asumat celelalte cantități.

Să luăm în considerare unele dintre cele mai utilizate legi de distribuție.