„. Prima parte conturează prevederile care sunt minim necesare pentru înțelegerea chimiometriei, iar a doua parte conține faptele pe care trebuie să le cunoașteți pentru o înțelegere mai profundă a metodelor de analiză multivariată. Prezentarea este ilustrată prin exemple realizate într-un caiet de lucru Excel. Matrix.xls care însoțește acest document.

Legăturile către exemple sunt plasate în text ca obiecte Excel. Aceste exemple sunt de natură abstractă, nu sunt legate în niciun fel de sarcini. Chimie analitică. Exemple reale utilizarea algebrei matriceale în chimiometrie este discutată în alte texte dedicate diverselor aplicații chimiometrice.

Majoritatea măsurătorilor efectuate în chimia analitică nu sunt directe dar indirect. Aceasta înseamnă că în experiment, în locul valorii analitului dorit C (concentrația), se obține o altă valoare. X(semnal) legat de, dar nu egal cu C, i.e. X(C) ≠ C. De regulă, tipul de dependență X(C) nu este cunoscut, dar din fericire în chimia analitică majoritatea măsurătorilor sunt proporționale. Aceasta înseamnă că, pe măsură ce concentrația de C în A de ori, semnalul X va crește cu aceeași cantitate., adică. X(A C) = un x(C). În plus, semnalele sunt și aditive, astfel încât semnalul de la o probă care conține două substanțe cu concentrațiile C 1 și C 2 va fi egal cu suma semnalelor de la fiecare componentă, adică. X(C1 + C2) = X(C1)+ X(C2). Proporționalitatea și aditivitatea împreună dau liniaritatea. Pot fi date multe exemple pentru a ilustra principiul liniarității, dar este suficient să menționăm două dintre cele mai izbitoare exemple - cromatografia și spectroscopia. A doua caracteristică inerentă experimentului în chimia analitică este multicanal. Echipamentele analitice moderne măsoară simultan semnalele pentru mai multe canale. De exemplu, intensitatea transmisiei luminii este măsurată pentru mai multe lungimi de undă simultan, adică gamă. Prin urmare, în experiment avem de-a face cu o varietate de semnale X 1 , X 2 ,...., X n care caracterizează ansamblul concentraţiilor C 1 ,C 2 , ..., C m ale substanţelor prezente în sistemul studiat.

Orez. 1 Spectre

Deci, experimentul analitic se caracterizează prin liniaritate și multidimensionalitate. Prin urmare, este convenabil să se considere datele experimentale ca vectori și matrice și să le manipuleze folosind aparatul algebrei matriceale. Productivitatea acestei abordări este ilustrată de exemplul prezentat în , care arată trei spectre luate pentru 200 de lungimi de undă de la 4000 la 4796 cm–1. Primul ( X 1) și al doilea ( X 2) spectrele au fost obținute pentru probe standard în care se cunosc concentrațiile a două substanțe A și B: în prima probă [A] = 0,5, [B] = 0,1, iar în a doua probă [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Ce se poate spune despre o probă nouă, necunoscută, al cărei spectru este indicat X 3 ?

Luați în considerare trei spectre experimentale X 1 , X 2 și X 3 ca trei vectori de dimensiunea 200. Folosind algebra liniară, se poate arăta cu ușurință că X 3 = 0.1 X 1 +0.3 X 2, deci a treia probă conține evident doar substanțele A și B în concentrații [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 și [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19.

1. Informații de bază

1.1 Matrici

Matrice numit tabel dreptunghiular de numere, de exemplu

Orez. 2 Matrice

Matricele sunt notate cu majuscule aldine ( A), și elementele acestora - cu literele mici corespunzătoare cu indici, i.e. A ij . Primul index numerotează rândurile, iar al doilea numără coloanele. În chimiometrie, se obișnuiește să se desemneze valoarea maximă a indexului cu aceeași literă ca și indicele în sine, dar cu majuscule. Prin urmare, matricea A poate fi scris și ca ( A ij , i = 1,..., eu; j = 1,..., J). Pentru exemplul de matrice eu = 4, J= 3 și A 23 = −7.5.

Pereche de numere euși J se numește dimensiunea matricei și se notează ca eu× J. Un exemplu de matrice în chimiometrie este un set de spectre obţinute pentru eu mostre pe J lungimi de undă.

1.2. Cele mai simple operații cu matrici

Matricele pot inmultiti cu numere. În acest caz, fiecare element este înmulțit cu acest număr. De exemplu -

Orez. 3 Înmulțirea unei matrice cu un număr

Două matrice de aceeași dimensiune pot fi în funcție de elemente pliazăși scădea. De exemplu,

Orez. 4 Adăugarea matricei

Ca rezultat al înmulțirii cu un număr și al adunării, se obține o matrice de aceeași dimensiune.

O matrice zero este o matrice formată din zerouri. Este desemnat O. Este evident că A+O = A, A−A = O si 0 A = O.

Matricea poate transpune. În timpul acestei operațiuni, matricea este răsturnată, adică rândurile și coloanele sunt schimbate. Transpunerea este indicată printr-o liniuță, A" sau index A t . Astfel, dacă A = {A ij , i = 1,..., eu; j = 1,...,J), apoi A t = ( A ji , j = 1,...,J; i = 1,..., eu). De exemplu

Orez. 5 Transpunerea matricei

Este evident că ( A t) t = A, (A+B) t = A t+ B t .

1.3. Înmulțirea matricei

Matricele pot multiplica, dar numai dacă au dimensiunile corespunzătoare. De ce este așa va fi clar din definiție. Produs Matrix A, dimensiune eu× K, și matrice B, dimensiune K× J, se numește matrice C, dimensiune eu× J, ale căror elemente sunt numere

Astfel pentru produs AB este necesar ca numărul de coloane din matricea din stânga A a fost egal cu numărul de rânduri din matricea dreaptă B. Exemplu de produs Matrix -

Fig.6 Produsul matricelor

Regula de înmulțire a matricei poate fi formulată după cum urmează. Pentru a găsi un element al unei matrice C stând la intersecție i-a linia și j-a coloană ( c ij) trebuie înmulțit element cu element i--lea rând al primei matrice A pe j-a coloană a celei de-a doua matrice Bși adună toate rezultatele. Deci, în exemplul prezentat, elementul din al treilea rând și din a doua coloană este obținut ca sumă a produselor în funcție de elemente ale celui de-al treilea rând Ași a doua coloană B

Fig.7 Element al produsului matricelor

Produsul matricelor depinde de ordine, i.e. AB ≠ BA, cel putin din motive dimensionale. Se spune că nu este comutativ. Totuși, produsul matricelor este asociativ. Înseamnă că ABC = (AB)C = A(î.Hr). Mai mult, este și distributiv, adică. A(B+C) = AB+AC. Este evident că AO = O.

1.4. Matrici pătrate

Dacă numărul de coloane ale unei matrice este egal cu numărul de rânduri ale acesteia ( eu = J=N), atunci o astfel de matrice se numește pătrat. În această secțiune, vom lua în considerare numai astfel de matrici. Dintre aceste matrici, se pot evidenția matrice cu proprietăți speciale.

Solitar matrice (notat eu si cateodata E) este o matrice în care toate elementele sunt egale cu zero, cu excepția celor diagonale, care sunt egale cu 1, adică.

Evident AI = in absenta = A.

Matricea se numește diagonală, dacă toate elementele sale, cu excepția celor diagonale ( A ii) sunt egale cu zero. De exemplu

Orez. 8 Matrice diagonală

Matrice A numit vârf triunghiular, dacă toate elementele sale situate sub diagonală sunt egale cu zero, i.e. A ij= 0, la i>j. De exemplu

Orez. 9 Matricea triunghiulară superioară

Matricea triunghiulară inferioară este definită în mod similar.

Matrice A numit simetric, dacă A t = A. Cu alte cuvinte A ij = A ji. De exemplu

Orez. 10 Matricea simetrică

Matrice A numit ortogonală, dacă

A t A = AA t = eu.

Matricea se numește normal dacă

1.5. Urmă și determinant

Ca urmare a matrice pătrată A(notat Tr( A) sau Sp( A)) este suma elementelor sale diagonale,

De exemplu,

Orez. 11 Urmă matrice

Este evident că

Sp(α A) = α Sp( A) și

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

Se poate arăta că

Sp( A) = Sp( A t), Sp( eu) = N,

și de asemenea că

Sp( AB) = Sp( BA).

O altă caracteristică importantă a unei matrice pătrate este ea determinant(notat cu det( A)). Definiția determinantului în caz general destul de complicat, așa că vom începe cu cea mai simplă opțiune - matricea A dimensiunea (2×2). Apoi

Pentru o matrice (3×3), determinantul va fi egal cu

În cazul unei matrice ( N× N) determinantul se calculează ca sumă 1 2 3 ... N= N! termeni, fiecare dintre care este egal cu

Indici k 1 , k 2 ,..., k N sunt definite ca toate permutările ordonate posibile r numerele din mulțime (1, 2, ... , N). Calculul determinantului matricei este o procedură complexă, care în practică se realizează folosind programe speciale. De exemplu,

Orez. 12 Determinant de matrice

Notăm doar proprietățile evidente:

det( eu) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Vectori

Dacă matricea are o singură coloană ( J= 1), atunci un astfel de obiect este numit vector. Mai precis, un vector coloană. De exemplu

De exemplu, pot fi luate în considerare și matrici formate dintr-un rând

Acest obiect este, de asemenea, un vector, dar vector rând. Când analizăm datele, este important să înțelegem cu ce vectori avem de-a face - coloane sau rânduri. Deci, spectrul luat pentru o probă poate fi considerat ca un vector rând. Apoi, setul de intensități spectrale la o anumită lungime de undă pentru toate probele ar trebui tratat ca un vector coloană.

Dimensiunea unui vector este numărul elementelor sale.

Este clar că orice vector coloană poate fi transformat într-un vector rând prin transpunere, adică.

În acele cazuri în care forma unui vector nu este specificată în mod specific, ci pur și simplu se spune un vector, atunci ele înseamnă un vector coloană. De asemenea, vom respecta această regulă. Un vector este notat printr-o literă îngroșată directă. Un vector zero este un vector ale cărui elemente sunt egale cu zero. Se notează 0 .

1.7. Cele mai simple operații cu vectori

Vectorii pot fi adunați și înmulțiți cu numere în același mod ca matricele. De exemplu,

Orez. 13 Operații cu vectori

Doi vectori Xși y numit coliniare, dacă există un număr α astfel încât

1.8. Produse ale vectorilor

Doi vectori de aceeași dimensiune N poate fi multiplicat. Să fie doi vectori X = (X 1 , X 2 ,...,X N) t și y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Ghidați de regula înmulțirii „rând cu coloană”, putem face două produse din ele: X t yși X y t . Prima lucrare

numit scalar sau intern. Rezultatul său este un număr. De asemenea, folosește notația ( X,y)= X t y. De exemplu,

Orez. 14 Produs interior (scalar).

A doua lucrare

numit extern. Rezultatul său este o matrice dimensională ( N× N). De exemplu,

Orez. 15 Produs exterior

Se numesc vectori al căror produs scalar este egal cu zero ortogonală.

1.9. Norma vectoriala

Produsul scalar al unui vector cu el însuși se numește pătrat scalar. Această valoare

definește un pătrat lungime vector X. Pentru a indica lungimea (numită și norma vector) se folosește notația

De exemplu,

Orez. 16 Norma vectoriala

Vector lungime unitate (|| X|| = 1) se numește normalizat. vector diferit de zero ( X ≠ 0 ) poate fi normalizat prin împărțirea lui la lungime, adică X = ||X|| (X/||X||) = ||X|| e. Aici e = X/||X|| este un vector normalizat.

Vectorii sunt numiți ortonormali dacă toți sunt normalizați și ortogonali pe perechi.

1.10. Unghiul dintre vectori

Produsul scalar definește și colţφ între doi vectori Xși y

Dacă vectorii sunt ortogonali, atunci cosφ = 0 și φ = π/2, iar dacă sunt coliniari, atunci cosφ = 1 și φ = 0.

1.11. Reprezentarea vectorială a unei matrice

Fiecare matrice A mărimea eu× J poate fi reprezentat ca un set de vectori

Aici fiecare vector A j este j-a coloană și vector rând b i este i- al-lea rând al matricei A

1.12. Vectori dependenți liniar

Vectori de aceeași dimensiune ( N) poate fi adăugat și înmulțit cu un număr, la fel ca matricele. Rezultatul este un vector de aceeași dimensiune. Să fie mai mulți vectori de aceeași dimensiune X 1 , X 2 ,...,X K și același număr de numere α α 1 , α 2 ,...,α K. Vector

y= α 1 X 1 + α 2 X 2 +...+α K X K

numit combinație liniară vectori X k .

Dacă există astfel de numere diferite de zero α k ≠ 0, k = 1,..., K, ce y = 0 , atunci un astfel de set de vectori X k numit dependent liniar. În caz contrar, vectorii sunt numiți liniar independenți. De exemplu, vectori X 1 = (2, 2) t și X 2 = (−1, −1) t sunt dependente liniar, deoarece X 1 +2X 2 = 0

1.13. Rangul matricei

Luați în considerare un set de K vectori X 1 , X 2 ,...,X K dimensiuni N. Rangul acestui sistem de vectori este numărul maxim de vectori liniar independenți. De exemplu, în set

există doar doi vectori liniar independenți, de exemplu X 1 și X 2, deci rangul său este 2.

Evident, dacă există mai mulți vectori în mulțime decât dimensiunea lor ( K>N), atunci ele sunt în mod necesar dependente liniar.

Rangul matricei(notat prin rang( A)) este rangul sistemului de vectori din care este format. Deși orice matrice poate fi reprezentată în două moduri (vectori coloană sau vectori rând), acest lucru nu afectează valoarea rangului, deoarece

1.14. matrice inversă

matrice pătrată A se numeste nedegenerat daca are un unic verso matrice A-1 , determinată de condiții

AA −1 = A −1 A = eu.

Matricea inversă nu există pentru toate matricele. O condiție necesară și suficientă pentru nondegenerare este

det( A) ≠ 0 sau rang( A) = N.

Inversarea matricei este o procedură complexă pentru care există programe speciale. De exemplu,

Orez. 17 Inversarea matricei

Oferim formule pentru cel mai simplu caz - matrice 2 × 2

Dacă matrice Ași B sunt nedegenerate, atunci

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Matricea pseudo-inversa

Dacă matricea A este degenerată și matricea inversă nu există, atunci în unele cazuri se poate folosi pseudo-invers matrice, care este definită ca o astfel de matrice A+ că

AA + A = A.

Matricea pseudo-inversă nu este singura, iar forma sa depinde de metoda de construcție. De exemplu, pentru o matrice dreptunghiulară, puteți utiliza metoda Moore-Penrose.

Dacă numărul de coloane este mai mic decât numărul de rânduri, atunci

A + =(A t A) −1 A t

De exemplu,

Orez. 17a Pseudo inversare matriceală

Dacă numărul de coloane este mai mare decât numărul de rânduri, atunci

A + =A t ( AA t) −1

1.16. Înmulțirea unui vector cu o matrice

Vector X poate fi înmulțit cu o matrice A dimensiunea potrivită. În acest caz, vectorul coloană este înmulțit în dreapta Topor, iar șirul vectorial este în stânga X t A. Dacă dimensiunea vectorului J, și dimensiunea matricei eu× J atunci rezultatul este un vector de dimensiune eu. De exemplu,

Orez. 18 Înmulțirea vector-matrice

Dacă matricea A- pătrat ( eu× eu), apoi vectorul y = Topor are aceeași dimensiune ca X. Este evident că

A(α 1 X 1 + α 2 X 2) = α 1 Topor 1 + α 2 Topor 2 .

Prin urmare, matricele pot fi considerate transformări liniare ale vectorilor. În special X = X, Bou = 0 .

2. Informații suplimentare

2.1. Sisteme de ecuații liniare

Lăsa A- dimensiunea matricei eu× J, A b- vector de dimensiune J. Luați în considerare ecuația

Topor = b

în raport cu vectorul X, dimensiuni eu. În esență, acesta este un sistem de eu ecuatii lineare Cu J necunoscut X 1 ,...,X J. O soluție există dacă și numai dacă

rang( A) = rang( B) = R,

Unde B este matricea dimensiunilor augmentate eu×( J+1) formată din matrice A, căptuşit cu o coloană b, B = (A b). În caz contrar, ecuațiile sunt inconsistente.

Dacă R = eu = J, atunci soluția este unică

X = A −1 b.

Dacă R < eu, atunci există multe soluții diferite care pot fi exprimate în termenii unei combinații liniare J−R vectori. Sistem ecuații omogene Topor = 0 cu o matrice pătrată A (N× N) are o soluție netrivială ( X ≠ 0 ) dacă și numai dacă det( A) = 0. Dacă R= rang( A)<N, apoi sunt N−R soluții liniar independente.

2.2. Forme biliniare și pătratice

Dacă A este o matrice pătrată și Xși y- vectori de dimensiunea corespunzătoare, apoi produsul scalar al formei X t Ay numit biliniar forma definită de matrice A. La X = y expresie X t Topor numit pătratică formă.

2.3. Matrici definite pozitive

matrice pătrată A numit definit pozitiv, dacă pentru orice vector diferit de zero X ≠ 0 ,

X t Topor > 0.

The negativ (X t Topor < 0), nenegativ (X t Topor≥ 0) și nepozitiv (X t Topor≤ 0) anumite matrici.

2.4. Descompunerea Cholesky

Dacă matricea simetrică A este definită pozitivă, atunci există o matrice triunghiulară unică U cu elemente pozitive, pentru care

A = U t U.

De exemplu,

Orez. 19 Descompunerea Cholesky

2.5. descompunere polară

Lăsa A este o matrice pătrată nedegenerată de dimensiune N× N. Apoi există un unic polar reprezentare

A = SR,

Unde S este o matrice simetrică nenegativă și R este o matrice ortogonală. matrici Sși R poate fi definit în mod explicit:

S 2 = AA t sau S = (AA t) ½ și R = S −1 A = (AA t) -½ A.

De exemplu,

Orez. 20 Descompunerea polară

Dacă matricea A este degenerată, atunci descompunerea nu este unică - și anume: Sîncă singur, dar R pot fi multe. Descompunerea polară reprezintă o matrice A ca o combinație compresie/întindere Sși întorcându-se R.

2.6. Vectori proprii și valori proprii

Lăsa A este o matrice pătrată. Vector v numit propriul vector matrici A, dacă

Av = λ v,

unde se numește numărul λ valoare proprie matrici A. Astfel, transformarea pe care o realizează matricea A peste vector v, se reduce la o simplă întindere sau compresie cu un factor λ. Vectorul propriu este determinat până la înmulțire cu constanta α ≠ 0, adică. dacă v este un vector propriu, atunci α v este, de asemenea, un vector propriu.

2.7. Valori proprii

La matrice A, dimensiune ( N× N) nu poate fi mai mare decât N valori proprii. Ei satisfac ecuație caracteristică

det( A − λ eu) = 0,

fiind ecuație algebrică N-a ordine. În special, pentru o matrice 2×2, ecuația caracteristică are forma

De exemplu,

Orez. 21 Valori proprii

Mulțimea valorilor proprii λ 1 ,..., λ N matrici A numit spectru A.

Spectrul are proprietăți diferite. În special

det( A) = λ 1×...×λ N, Sp( A) = λ 1 +...+λ N.

Valorile proprii ale unei matrice arbitrare pot fi numere complexe, dar dacă matricea este simetrică ( A t = A), atunci valorile sale proprii sunt reale.

2.8. Vectori proprii

La matrice A, dimensiune ( N× N) nu poate fi mai mare decât N vectori proprii, fiecare dintre care corespunde propriei valori. Pentru a determina vectorul propriu v n trebuie să rezolvi un sistem de ecuații omogene

(A − λ n eu)v n = 0 .

Are o soluție non-trivială deoarece det( A-λ n eu) = 0.

De exemplu,

Orez. 22 de vectori proprii

Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Un vector propriu al unei matrice pătrate este unul care, atunci când este înmulțit cu o matrice dată, are ca rezultat un vector coliniar. Cu cuvinte simple, atunci când o matrice este înmulțită cu un vector propriu, acesta din urmă rămâne același, dar înmulțit cu un anumit număr.

Definiție

Un vector propriu este un vector diferit de zero V, care, atunci când este înmulțit cu o matrice pătrată M, devine el însuși, mărit cu un număr λ. În notația algebrică, aceasta arată astfel:

M × V = λ × V,

unde λ este o valoare proprie a matricei M.

Să luăm în considerare un exemplu numeric. Pentru confortul scrisului, numerele din matrice vor fi separate prin punct și virgulă. Să presupunem că avem o matrice:

• M = 0; patru;
• 6; 10.

Să-l înmulțim cu un vector coloană:

• V = -2;

Când înmulțim o matrice cu un vector coloană, obținem și un vector coloană. În limbaj matematic strict, formula pentru înmulțirea unei matrice 2 × 2 cu un vector coloană ar arăta astfel:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 înseamnă elementul matricei M, aflat în primul rând și prima coloană, iar M22 este elementul situat în al doilea rând și a doua coloană. Pentru matricea noastră, aceste elemente sunt M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pentru un vector coloană, aceste valori sunt V11 = –2, V21 = 1. Conform acestei formule, obținem următoarele rezultatul produsului unei matrice pătrate de un vector:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Pentru comoditate, scriem vectorul coloană într-un rând. Deci, am înmulțit matricea pătrată cu vectorul (-2; 1), rezultând vectorul (4; -2). Evident, acesta este același vector înmulțit cu λ = -2. Lambda în acest caz denotă o valoare proprie a matricei.

Vectorul propriu al unei matrice este un vector coliniar, adică un obiect care nu își schimbă poziția în spațiu atunci când este înmulțit cu o matrice. Conceptul de coliniaritate în algebra vectorială este similar cu termenul de paralelism în geometrie. În interpretarea geometrică, vectorii coliniari sunt segmente paralele direcționate de lungimi diferite. Din vremea lui Euclid, știm că o singură linie are un număr infinit de drepte paralele cu ea, așa că este logic să presupunem că fiecare matrice are un număr infinit de vectori proprii.

Din exemplul anterior, se poate observa că atât (-8; 4), cât și (16; -8), și (32, -16) pot fi vectori proprii. Toți aceștia sunt vectori coliniari corespunzători valorii proprii λ = -2. Când înmulțim matricea originală cu acești vectori, vom obține totuși un vector, care diferă de original de 2 ori. De aceea, atunci când se rezolvă probleme pentru găsirea unui vector propriu, este necesar să se găsească numai obiecte vectoriale liniar independente. Cel mai adesea, pentru o matrice n × n, există al n-lea număr de vectori proprii. Calculatorul nostru este conceput pentru analiza matricelor pătrate de ordinul doi, astfel încât aproape întotdeauna se vor găsi doi vectori proprii, cu excepția cazului în care acestea coincid.

În exemplul de mai sus, am cunoscut în prealabil vectorul propriu al matricei originale și am determinat vizual numărul lambda. Cu toate acestea, în practică, totul se întâmplă invers: la început există valori proprii și abia apoi vectori proprii.

Algoritm de rezolvare

Să ne uităm din nou la matricea originală M și să încercăm să găsim ambii vectori proprii. Deci matricea arată astfel:

• M = 0; patru;
• 6; 10.

Pentru început, trebuie să determinăm valoarea proprie λ, pentru care trebuie să calculăm determinantul următoarei matrice:

• (0 − λ); patru;
• 6; (10 − λ).

Această matrice obtinut prin scaderea necunoscutului λ din elementele de pe diagonala principala. Determinantul este determinat de formula standard:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Deoarece vectorul nostru nu trebuie să fie zero, luăm ecuația rezultată ca fiind dependentă liniar și echivalăm determinantul nostru detA cu zero.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Să deschidem parantezele și să obținem ecuația caracteristică a matricei:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Acesta este standard ecuație pătratică, care urmează să fie rezolvată în ceea ce privește discriminantul.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Rădăcina discriminantului este sqrt(D) = 14, deci λ1 = -2, λ2 = 12. Acum, pentru fiecare valoare lambda, trebuie să găsim un vector propriu. Să exprimăm coeficienții sistemului pentru λ = -2.

• M − λ × E = 2; patru;
• 6; 12.

În această formulă, E este matricea identității. Pe baza matricei obținute, compunem un sistem de ecuații liniare:

2x + 4y = 6x + 12y

unde x și y sunt elemente ale vectorului propriu.

Să colectăm toate X-urile din stânga și toate Y-urile din dreapta. Evident - 4x = 8y. Împărțiți expresia la - 4 și obțineți x = -2y. Acum putem determina primul vector propriu al matricei luând orice valoare a necunoscutelor (amintiți-vă despre infinitatea de vectori proprii dependenți liniar). Să luăm y = 1, apoi x = -2. Prin urmare, primul vector propriu arată ca V1 = (–2; 1). Reveniți la începutul articolului. Acest obiect vector a fost cu care am înmulțit matricea pentru a demonstra conceptul de vector propriu.

Acum să găsim vectorul propriu pentru λ = 12.

• M - λ × E = -12; patru
• 6; -2.

Să compunem același sistem de ecuații liniare;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Acum să luăm x = 1, deci y = 3. Astfel, al doilea vector propriu arată ca V2 = (1; 3). Când înmulțiți matricea originală cu acest vector, rezultatul va fi întotdeauna același vector înmulțit cu 12. Acest lucru completează algoritmul de soluție. Acum știți cum să definiți manual un vector propriu al unei matrice.

• determinant;
• urmă, adică suma elementelor de pe diagonala principală;
• rang, adică numărul maxim de rânduri/coloane liniar independente.

Programul funcționează conform algoritmului de mai sus, minimizând procesul de soluție. Este important de subliniat că în program lambda este notat cu litera „c”. Să ne uităm la un exemplu numeric.

Exemplu de program

Să încercăm să definim vectori proprii pentru următoarea matrice:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Să introducem aceste valori în celulele calculatorului și să obținem răspunsul în următoarea formă:

• Rangul matricei: 2;
• Determinant de matrice: 18;
• Urmă matrice: 19;
• Calcul vectorului propriu: c 2 − 19,00c + 18,00 (ecuația caracteristică);
• Calcul vectorului propriu: 18 (prima valoare lambda);
• Calcul vectorului propriu: 1 (a doua valoare lambda);
• Sistemul de ecuații al vectorului 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistemul de ecuații vector 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vectorul propriu 1: (1; 1);
• Vectorul propriu 2: (-3,25; 1).

Astfel, am obținut doi vectori proprii liniar independenți.

Concluzie

Algebră liniară și geometrie analitică- materii standard pentru orice boboc de specialitate tehnică. Un numar mare de vectori și matrice este terifiant și este ușor să greșiți în calcule atât de greoaie. Programul nostru va permite elevilor să-și verifice calculele sau să rezolve automat problema găsirii unui vector propriu. Există și alte calculatoare de algebră liniară în catalogul nostru, utilizați-le în studiu sau în muncă.

Definiție 9.3. Vector X numit propriul vector matrici ȘI dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: ȘI X= λ X, adică rezultatul aplicării la X transformare liniară dată de matrice ȘI, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ numit propriul număr matrici ȘI.

Înlocuirea în formule (9.3) x` j = λx j , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

. (9.5)

Acest sistem liniar omogen va avea o soluție netrivială numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obținem o ecuație pentru determinarea valorilor proprii λ numit ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A-λE | = 0, (9.6)

întrucât partea stângă a acesteia este determinantul matricei A-λE. Polinom în raport cu λ | A-λE| numit polinom caracteristic matricele A.

Proprietățile polinomului caracteristic:

1) Polinomul caracteristic al unei transformări liniare nu depinde de alegerea bazei. Dovada. (vezi (9.4)), dar Prin urmare, . Astfel, nu depinde de alegerea bazei. Prin urmare, și | A-λE| nu se modifică la trecerea la o nouă bază.

2) Dacă matricea ȘI transformarea liniară este simetric(acestea. a ij = a ji), apoi toate rădăcinile ecuație caracteristică(9.6) sunt numere reale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

1) Dacă alegem o bază din vectori proprii x 1, x 2, x 3 corespunzătoare valorilor proprii A1, A2, A3 matrici ȘI, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

2) Dacă valorile proprii de transformare ȘI sunt diferiți, atunci vectorii proprii corespunzători acestora sunt liniar independenți.

3) Dacă polinomul caracteristic al matricei ȘI are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea ȘI are o formă diagonală.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei Să facem ecuația caracteristică: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Aflați coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) este vectorul propriu corespunzător λ 1 = -2, atunci

este un sistem colaborativ, dar nedeterminat. Soluția sa poate fi scrisă ca X (1) ={A,0,-A), unde a este orice număr. În special, dacă aveți nevoie de faptul că | X (1) |=1, X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem pentru determinarea coordonatelor celui de-al doilea vector propriu - X (2) ={y1,y2,y3}:

, Unde X (2) ={b,-b,b) sau, cu condiția | X (2) |=1, X (2) =

Pentru λ 3 = 6 găsiți vectorul propriu X (3) ={z1, z2, z3}:

, X (3) ={c,2c,c) sau în versiunea normalizată

x (3) = Se vede că X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Astfel, vectorii proprii ai acestei matrice sunt ortogonali pe perechi.

Cursul 10

Formele pătratice și legătura lor cu matrici simetrice. Proprietăți ale vectorilor proprii și ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică.

Definiție 10.1.formă pătratică variabile reale x 1, x 2,…, x n se numeste un polinom de gradul doi fata de aceste variabile, care nu contine un termen liber si termeni de gradul I.

Exemple de forme pătratice:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Amintiți-vă definiția unei matrice simetrice dată în ultima prelegere:

Definiția 10.2. Matricea pătrată se numește simetric, dacă , adică dacă elementele matricei simetrice față de diagonala principală sunt egale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii ai unei matrice simetrice:

1) Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.

Dovada (pentru n = 2).

Lasă matricea ȘI se pare ca: . Să facem ecuația caracteristică:

(10.2) Aflați discriminantul:

Prin urmare, ecuația are doar rădăcini reale.

2) Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Dovada (pentru n= 2).

Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile.

Matricele de tip diagonal sunt cel mai simplu aranjate. Se pune întrebarea dacă este posibil să se găsească o bază în care matricea unui operator liniar ar avea o formă diagonală. O astfel de bază există.
Să fie dat un spațiu liniar R n și un operator liniar A care acționează în el; în acest caz, operatorul A ia R n în sine, adică A:R n → R n .

Definiție. Un vector diferit de zero este numit vector propriu al operatorului A dacă operatorul A se traduce într-un vector coliniar cu acesta, adică . Numărul λ se numește valoare proprie sau valoare proprie a operatorului A corespunzător vectorului propriu.
Remarcăm câteva proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii.
1. Orice combinație liniară de vectori proprii al operatorului A corespunzător aceleiași valori proprii λ este un vector propriu cu aceeași valoare proprie.
2. Vectori proprii operatorul A cu valori proprii distincte în perechi λ 1 , λ 2 , …, λ m sunt liniar independenți.
3. Dacă valorile proprii λ 1 =λ 2 = λ m = λ, atunci valoarea proprie λ corespunde nu mai mult de m vectori proprii liniar independenți.

Deci, dacă există n vectori proprii liniar independenți corespunzătoare diferitelor valori proprii λ 1 , λ 2 , …, λ n , atunci acestea sunt liniar independente, prin urmare, pot fi luate ca bază a spațiului R n . Să găsim forma matricei operatorului liniar A pe baza vectorilor săi proprii, pentru care acționăm cu operatorul A pe vectorii de bază: apoi .
Astfel, matricea operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii are o formă diagonală, iar valorile proprii ale operatorului A sunt pe diagonală.
Există o altă bază în care matricea are o formă diagonală? Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă.

Teorema. Matricea unui operator liniar A din bază (i = 1..n) are o formă diagonală dacă și numai dacă toți vectorii bazei sunt vectori proprii ai operatorului A.

Regula pentru găsirea valorilor proprii și vectorilor proprii

Fie vectorul , unde x 1 , x 2 , …, x n - coordonatele vectorului relativ la bază și este vectorul propriu al operatorului liniar A corespunzător valorii proprii λ , adică . Această relație poate fi scrisă sub formă de matrice

. (*)

Ecuația (*) poate fi considerată ca o ecuație pentru găsirea , și , adică ne interesează soluții nebanale, deoarece vectorul propriu nu poate fi nul. Se știe că soluțiile non-triviale sistem omogen ecuațiile liniare există dacă și numai dacă det(A - λE) = 0. Astfel, pentru ca λ să fie o valoare proprie a operatorului A este necesar și suficient ca det(A - λE) = 0.
Dacă ecuația (*) este scrisă în detaliu sub formă de coordonate, atunci obținem un sistem de ecuații liniare omogene:

(1)
Unde este matricea operatorului liniar.

Sistemul (1) are o soluție diferită de zero dacă determinantul său D este egal cu zero

Avem o ecuație pentru găsirea valorilor proprii.
Această ecuație se numește ecuație caracteristică, iar partea stângă este numită polinomul caracteristic al matricei (operatorului) A. Dacă polinomul caracteristic nu are rădăcini reale, atunci matricea A nu are vectori proprii și nu poate fi redusă la o formă diagonală.
Fie λ 1 , λ 2 , …, λ n rădăcinile reale ale ecuației caracteristice și pot exista multipli între ele. Înlocuind aceste valori la rândul lor în sistemul (1), găsim vectorii proprii.

Exemplul 12. Operatorul liniar A acţionează în R 3 conform legii , unde x 1 , x 2 , .., x n sunt coordonatele vectorului din bază , , . Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai acestui operator.
Decizie. Construim matricea acestui operator:
.
Compunem un sistem pentru determinarea coordonatelor vectorilor proprii:

Compunem ecuația caracteristică și o rezolvăm:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Înlocuind λ = -1 în sistem, avem:
sau
La fel de , atunci există două variabile dependente și o variabilă liberă.
Fie x 1 o necunoscută liberă, atunci Rezolvăm acest sistem în orice mod și găsim soluția generală a acestui sistem: Sistemul fundamental de soluții constă dintr-o singură soluție, deoarece n - r = 3 - 2 = 1.
Mulțimea vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ = -1 are forma: , unde x 1 este orice număr altul decât zero. Să alegem un vector din această mulțime, de exemplu, setând x 1 = 1: .
Argumentând în mod similar, găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = 3: .
În spațiul R 3 baza constă din trei vectori liniar independenți, dar am obținut doar doi vectori proprii liniar independenți, din care nu se poate forma baza din R 3. În consecință, matricea A a unui operator liniar nu poate fi redusă la o formă diagonală.

Exemplul 13 Dată o matrice .
1. Demonstrați că vectorul este un vector propriu al matricei A. Găsiți valoarea proprie corespunzătoare acestui vector propriu.
2. Găsiți o bază în care matricea A are formă diagonală.
Decizie.
1. Dacă , atunci este un vector propriu

.
Vectorul (1, 8, -1) este un vector propriu. Valoare proprie λ = -1.
Matricea are o formă diagonală în baza constând din vectori proprii. Unul dintre ei este celebru. Hai să găsim restul.
Căutăm vectori proprii din sistem:

Ecuația caracteristică: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Găsiți vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = -3:

Rangul matricei acestui sistem este egal cu doi și este egal cu numărul de necunoscute, prin urmare acest sistem are doar o soluție zero x 1 = x 3 = 0. x 2 aici poate fi orice altceva decât zero, de exemplu, x 2 = 1. Astfel, vectorul (0 ,1,0) este un vector propriu corespunzător lui λ = -3. Sa verificam:
.
Dacă λ = 1, atunci obținem sistemul
Rangul matricei este doi. Tăiați ultima ecuație.
Fie x 3 necunoscuta liberă. Apoi x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Presupunând x 3 = 1, avem (-3,-9,1) - un vector propriu corespunzător valorii proprii λ = 1. Verificați:

.
Deoarece valorile proprii sunt reale și diferite, vectorii corespunzători acestora sunt independenți liniar, deci pot fi luați ca bază în R 3 . Astfel, în bază , , matricea A are forma:
.
Nu orice matrice a unui operator liniar A:R n → R n poate fi redusă la o formă diagonală, deoarece pentru unii operatori liniari pot exista mai puțin de n vectori proprii liniar independenți. Cu toate acestea, dacă matricea este simetrică, atunci exact m vectori liniar independenți corespund rădăcinii ecuației caracteristice a multiplicității m.

Definiție. O matrice simetrică este o matrice pătrată în care elementele care sunt simetrice față de diagonala principală sunt egale, adică în care .
Remarci. 1. Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.
2. Vectorii proprii ai unei matrice simetrice corespunzători diferitelor valori proprii în perechi sunt ortogonali.
Ca una dintre numeroasele aplicații ale aparatului studiat, considerăm problema determinării formei unei curbe de ordinul doi.

www.site vă permite să găsiți. Site-ul face calculul. În câteva secunde, serverul va da soluția corectă. Ecuația caracteristică pentru matrice va fi o expresie algebrică găsită de regula de calcul a determinantului matrici matrici, în timp ce pe diagonala principală vor exista diferențe între valorile elementelor diagonale și ale variabilei. La calcul ecuație caracteristică pentru matrice online, fiecare element matrici vor fi înmulțite cu celelalte elemente corespunzătoare matrici. Găsiți în modul pe net posibil doar pentru pătrat matrici. Găsiți operația ecuație caracteristică pentru matrice online se reduce la calcularea sumei algebrice a produsului elementelor matrici ca urmare a găsirii determinantului matrici, numai în scopul determinării ecuație caracteristică pentru matrice online. Această operație ocupă un loc special în teorie matrici, vă permite să găsiți valori proprii și vectori folosind rădăcini. Găsirea sarcinii ecuație caracteristică pentru matrice online este de a multiplica elemente matrici cu însumarea ulterioară a acestor produse după o anumită regulă. www.site găsește ecuație caracteristică pentru matrice dimensiune dată în mod pe net. calcul ecuație caracteristică pentru matrice online pentru o dimensiune dată, aceasta este găsirea unui polinom cu coeficienți numerici sau simbolici găsiți prin regula de calcul a determinantului matrici- ca suma produselor elementelor corespondente matrici, numai în scopul determinării ecuație caracteristică pentru matrice online. Găsirea unui polinom în raport cu o variabilă pentru un pătrat matrici, ca definitie ecuație caracteristică pentru matrice, comună în teorie matrici. Valoarea rădăcinilor polinomului ecuație caracteristică pentru matrice online folosit pentru a defini vectorii proprii și valorile proprii pentru matrici. Totuşi, dacă determinantul matrici atunci va fi zero ecuația caracteristică a matricei va mai exista, spre deosebire de invers matrici. Pentru a calcula ecuație caracteristică pentru matrice sau caută mai multe deodată matrice ecuații caracteristice, trebuie să petreceți mult timp și efort, în timp ce serverul nostru va găsi ecuație caracteristică pentru matricea online. În acest caz, răspunsul prin constatare ecuație caracteristică pentru matrice online vor fi corecte și cu suficientă acuratețe, chiar dacă numerele la găsirea ecuație caracteristică pentru matrice online va fi irațional. Pe net www.site intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, acesta este ecuație caracteristică pentru matricea online poate fi reprezentat într-o formă simbolică generală la calcul matricea ecuației caracteristice online. Este util să verificați răspunsul obținut atunci când rezolvați problema găsirii ecuație caracteristică pentru matrice online folosind site-ul www.site. La efectuarea operației de calcul a unui polinom - ecuația caracteristică a matricei, este necesar să fim atenți și extrem de concentrați în rezolvarea acestei probleme. La rândul său, site-ul nostru vă va ajuta să vă verificați decizia cu privire la subiect matricea ecuației caracteristice online. Dacă nu aveți timp pentru verificări lungi ale problemelor rezolvate, atunci www.site va fi cu siguranță un instrument convenabil pentru verificare la găsirea și calcularea ecuație caracteristică pentru matrice online.