Ecuația oscilațiilor armonice. Ecuația oscilațiilor armonice și semnificația ei în studiul naturii proceselor oscilatorii

Fundamentele teoriei lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic

Câmp electric vortex

Din Legea lui Faraday ξ=dФ/dt urmează că orice o modificare a fluxului de inducție magnetică cuplată la circuit duce la apariția unei forțe electromotoare de inducție și, ca urmare, apare un curent de inducție. Prin urmare, apariția emf. inducția electromagnetică este posibilă și într-un circuit fix situat într-un câmp magnetic alternativ. Cu toate acestea, emf. în orice circuit apare numai atunci când forțe externe acționează asupra purtătorilor de curent din acesta - forțe de origine neelectrostatică (vezi § 97). Prin urmare, se pune întrebarea cu privire la natura forțelor străine în acest caz.

Experiența arată că aceste forțe străine nu sunt asociate nici cu procesele termice, nici cu procesele chimice din circuit; Apariția lor nu poate fi explicată nici de forțele Lorentz, deoarece acestea nu acționează asupra unor acuzații imobile. Maxwell a emis ipoteza că orice câmp magnetic alternativ excită un câmp electric în spațiul înconjurător, care

și este cauza curentului de inducție în circuit. După ideile lui Maxwell, circuitul în care apare emf joacă un rol secundar, fiind un fel de unic „dispozitiv” care detectează acest câmp.

prima ecuație Maxwell susține că modificările câmpului electric generează un câmp magnetic vortex.

A doua ecuație Maxwell exprimă legea lui Faraday a inducției electromagnetice: EMF în orice circuit închis este egală cu rata de schimbare (adică, derivata în timp) a fluxului magnetic. Dar EMF este egal cu componenta tangențială a vectorului intensității câmpului electric E, înmulțită cu lungimea circuitului. Pentru a merge la rotor, ca în prima ecuație Maxwell, este suficient să împărțiți EMF la aria circuitului și să-l lăsați pe acesta din urmă să meargă la zero, adică să luați un mic circuit care acoperă punctul considerat din spațiu (Fig. 9, c). Apoi, în partea dreaptă a ecuației nu va mai exista un flux, ci o inducție magnetică, deoarece fluxul este egal cu inducția înmulțită cu aria circuitului.
Deci, obținem: rotE = - dB/dt.
Astfel, câmpul electric vortex este generat de modificările câmpului magnetic, care este prezentat în Fig. 9c și este reprezentată prin formula tocmai dată.
A treia și a patra ecuație Maxwell se ocupă de taxe și de câmpurile generate de acestea. Ele se bazează pe teorema Gauss, care afirmă că fluxul vectorului de inducție electrică prin orice suprafață închisă este egal cu sarcina din interiorul acestei suprafețe.

O întreagă știință se bazează pe ecuațiile lui Maxwell - electrodinamica, care permite strict metode matematice rezolva multe probleme practice utile. Este posibil să se calculeze, de exemplu, câmpul de radiație al diferitelor antene atât în ​​spațiul liber, cât și în apropierea suprafeței Pământului sau în apropierea corpului unui avion, de exemplu, un avion sau o rachetă. Electrodinamica vă permite să calculați proiectarea ghidurilor de undă și a rezonatoarelor cu cavitate - dispozitive utilizate la frecvențe foarte înalte de unde centimetrice și milimetrice, unde liniile de transmisie convenționale și circuitele oscilatoare nu mai sunt potrivite. Fără electrodinamică, ar fi imposibil să se dezvolte radarul, comunicațiile radio spațiale, tehnologia antenei și multe alte ramuri ale ingineriei radio moderne.

Curent de polarizare

SHIFT CURRENT, o cantitate proporțională cu viteza de schimbare a unui câmp electric alternativ într-un dielectric sau vid. Denumirea „curent” se datorează faptului că curentul de deplasare, ca și curentul de conducție, generează un câmp magnetic.

La construirea teoriei câmpului electromagnetic, J.K. Maxwell a prezentat o ipoteză (confirmată ulterior prin experiment) că câmpul magnetic este creat nu numai de mișcarea sarcinilor (curent de conducere sau pur și simplu curent), ci și de orice schimbare în timp. a câmpului electric.

Conceptul de curent de deplasare a fost introdus de Maxwell pentru a stabili relații cantitative între un câmp electric în schimbare și câmpul magnetic pe care îl provoacă.

În conformitate cu teoria lui Maxwell, într-un circuit de curent alternativ care conține un condensator, un câmp electric alternativ în condensator în fiecare moment de timp creează un astfel de câmp magnetic pe care l-ar crea curentul (numit curent de deplasare) dacă ar curge între plăcile de condensatorul. Din această definiţie rezultă că J cm = J(adică, valorile numerice ale densității curentului de conducere și ale densității curentului de deplasare sunt egale) și, prin urmare, liniile densității curentului de conducție din interiorul conductorului se transformă continuu în linii ale densității curentului de deplasare între plăcile condensator. densitatea curentului de polarizare j cm caracterizează viteza de schimbare a inducției electrice D la timp:

J cm = + ?D/?t.

Curentul de deplasare nu emite căldură Joule, principala sa proprietate fizică este capacitatea de a crea un câmp magnetic în spațiul înconjurător.

Câmpul magnetic vortex este creat de curentul total, a cărui densitate este j, este egală cu suma densității curentului de conducție și a curentului de polarizare?D/?t. De aceea pentru valoare?D /? t a fost introdus numele curent.

Oscilator armonic numit sistem care oscilează, descris printr-o expresie de forma d 2 s / dt 2 + ω 0 2 s \u003d 0 sau

unde cele două puncte de mai sus înseamnă o dublă diferențiere în raport cu timpul. Oscilațiile unui oscilator armonic sunt un exemplu important de mișcare periodică și servesc ca model exact sau aproximativ în multe probleme de fizică clasică și cuantică. Ca exemple de oscilator armonic, pot exista arcuri, pendule fizice și matematice, un circuit oscilator (pentru curenți și tensiuni atât de mici încât elementele circuitului ar putea fi considerate liniare).

Vibrații armonice

Împreună cu mișcările de translație și rotație ale corpurilor în mecanică, mișcările oscilatorii prezintă, de asemenea, un interes considerabil. Se numesc vibrații mecanice mișcări ale corpurilor care se repetă exact (sau aproximativ) la intervale regulate. Legea mișcării unui corp oscilant este dată de unii functie periodica timp X = f (t). Reprezentarea grafică a acestei funcții oferă o reprezentare vizuală a cursului procesului oscilator în timp.

Exemple de sisteme oscilatorii simple sunt o sarcină pe un arc sau un pendul matematic (Fig. 2.1.1).

Oscilațiile mecanice, ca și procesele oscilatorii de orice altă natură fizică, pot fi liberși forţat. Vibrații libere sunt realizate sub influenta forțe interne după ce sistemul a fost scos din echilibru. Oscilațiile unei greutăți pe un arc sau oscilațiile unui pendul sunt oscilații libere. vibrații sub acțiune extern se numesc forţe în schimbare periodică forţat Cel mai simplu tip de proces oscilator sunt simple vibratii armonice , care sunt descrise de ecuație

Frecvența de oscilație f arată câte vibrații se fac în 1 s. unitate de frecventa - hertz(Hz). Frecvența de oscilație f este legată de frecvența ciclică ω și de perioada de oscilație T rapoarte:

dă dependenţa mărimii fluctuante S din timp t; aceasta este ecuația oscilațiilor armonice libere în formă explicită. Cu toate acestea, ecuația oscilațiilor este de obicei înțeleasă ca o înregistrare diferită a acestei ecuații, sub formă diferențială. Pentru certitudine, luăm ecuația (1) sub forma

Diferențiază-l de două ori în funcție de timp:

Se poate observa că este valabilă următoarea relație:

care se numește ecuația oscilațiilor armonice libere (în formă diferențială). Ecuația (1) este o soluție a ecuației diferențiale (2). Deoarece ecuația (2) este o ecuație diferențială de ordinul doi, sunt necesare două condiții inițiale pentru a obține o soluție completă (adică pentru a determina constantele incluse în ecuația (1) Ași j0); de exemplu, poziția și viteza unui sistem oscilator la t = 0.

Adăugarea oscilațiilor armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență. bate

Să aibă loc două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență

Ecuația oscilației rezultate va avea forma

Verificăm acest lucru prin adăugarea ecuațiilor sistemului (4.1)

Aplicând teorema sumei cosinusului și efectuând transformări algebrice:

Se pot găsi astfel de mărimi A și φ0 care satisfac ecuațiile

Considerând (4.3) ca două ecuații cu două necunoscute A și φ0, găsim prin pătrarea și adunarea lor, apoi împărțind a doua la prima:

Înlocuind (4.3) în (4.2), obținem:

Sau, în sfârșit, folosind teorema sumei cosinusului, avem:

Corpul, participând la două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență, efectuează și o oscilație armonică în aceeași direcție și cu aceeași frecvență cu oscilațiile însumate. Amplitudinea oscilației rezultate depinde de diferența de fază (φ2-φ1) a oscilațiilor netezite.

În funcție de diferența de fază (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, ...), atunci A= A1+A2, adică amplitudinea oscilației rezultate A este egală cu suma amplitudinilor adăugate. oscilații;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), atunci A= |A1-A2|, adică amplitudinea oscilației rezultate este egală cu diferența în amplitudinile oscilaţiilor adăugate

Modificările periodice ale amplitudinii oscilațiilor care apar atunci când se adaugă două oscilații armonice cu frecvențe apropiate se numesc bătăi.

Fie că două oscilații diferă puțin ca frecvență. Atunci amplitudinile oscilațiilor adăugate sunt egale cu A, iar frecvențele sunt egale cu ω și ω + Δω, iar Δω este mult mai mică decât ω. Alegem punctul de referință astfel încât fazele inițiale ale ambelor oscilații să fie egale cu zero:

Să rezolvăm sistemul

Soluție de sistem:

Oscilația rezultată poate fi considerată armonică cu frecvența ω, amplitudinea A, care variază în funcție de următoarele lege periodică:

Frecvența de schimbare a lui A este de două ori mai mare decât frecvența de schimbare a cosinusului. Frecvența bătăilor este egală cu diferența dintre frecvențele oscilațiilor adăugate: ωb = Δω

Perioada de bataie:

Determinarea frecvenței tonului (sunetul unei anumite înălțimi de bătaie prin referință și vibrațiile măsurate este metoda cea mai utilizată pentru compararea valorii măsurate cu referința. Metoda bătăii este utilizată pentru a ajusta instrumente muzicale, analiza auzului etc.

Informații similare.

Ecuația undelor armonice

Ecuația de oscilație armonică stabilește dependența coordonatei corpului de timp

Graficul cosinus are o valoare maximă în momentul inițial, iar graficul sinus are o valoare zero în momentul inițial. Dacă începem să investigăm oscilația din poziția de echilibru, atunci oscilația va repeta sinusoida. Dacă începem să luăm în considerare oscilația din poziția abaterii maxime, atunci oscilația va descrie cosinusul. Sau o astfel de oscilație poate fi descrisă prin formula sinusului cu o fază inițială.

Modificarea vitezei și a accelerației în timpul oscilației armonice

Nu numai coordonatele corpului se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului. Dar asemenea cantități precum forța, viteza și accelerația se modifică în mod similar. Forța și accelerația sunt maxime atunci când corpul oscilant se află în pozițiile extreme în care deplasarea este maximă și sunt egale cu zero când corpul trece prin poziția de echilibru. Viteza, dimpotrivă, în pozițiile extreme este egală cu zero, iar atunci când corpul trece de poziția de echilibru, atinge valoarea maximă.

Dacă oscilația este descrisă conform legii cosinusului

Dacă oscilația este descrisă conform legii sinusului

Valori maxime de viteză și accelerație

După analizarea ecuațiilor de dependență v(t) și a(t), se poate ghici că valorile maxime ale vitezei și accelerației sunt luate atunci când factorul trigonometric este egal cu 1 sau -1. Determinat prin formula

Modificările unei mărimi sunt descrise folosind legile sinusului sau cosinusului, apoi astfel de oscilații se numesc armonice. Luați în considerare un circuit format dintr-un condensator (care a fost încărcat înainte de a fi inclus în circuit) și un inductor (Fig. 1).

Poza 1.

Ecuația de oscilație armonică poate fi scrisă după cum urmează:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

unde $t$-timp; $q$ taxă, $q_0$-- abaterea maximă a taxei de la valoarea medie (zero) în timpul modificărilor; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza de oscilatie; $(\alpha )_0$ - faza inițială; $(\omega )_0$ - frecvență ciclică. În timpul perioadei, faza se modifică cu $2\pi $.

Tip ecuație:

ecuaţia oscilaţiilor armonice în formă diferențială pentru un circuit oscilator care nu va conține rezistență activă.

Orice fel de oscilații periodice pot fi reprezentate cu acuratețe ca sumă a oscilațiilor armonice, așa-numita serie armonică.

Pentru perioada de oscilație a unui circuit care constă dintr-o bobină și un condensator, obținem formula Thomson:

Dacă diferențiem expresia (1) în funcție de timp, putem obține formula pentru funcția $I(t)$:

Tensiunea pe condensator poate fi găsită ca:

Din formulele (5) și (6) rezultă că puterea curentului este înaintea tensiunii de pe condensator cu $\frac(\pi )(2).$

Oscilațiile armonice pot fi reprezentate atât sub formă de ecuații, funcții și diagrame vectoriale.

Ecuația (1) reprezintă oscilații libere neamortizate.

Ecuația de oscilație amortizată

Modificarea sarcinii ($q$) pe plăcile condensatoarelor din circuit, ținând cont de rezistența (Fig. 2), va fi descrisă printr-o ecuație diferențială de forma:

Figura 2.

Dacă rezistența care face parte din circuitul $R \

unde $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ este frecvența de oscilație ciclică. $\beta =\frac(R)(2L)-$factor de atenuare. Amplitudinea oscilațiilor amortizate este exprimată astfel:

În cazul în care la $t=0$ sarcina condensatorului este egală cu $q=q_0$, nu există curent în circuit, atunci pentru $A_0$ putem scrie:

Faza de oscilație în momentul inițial de timp ($(\alpha )_0$) este egală cu:

Pentru $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ modificarea sarcinii nu este o oscilație, descărcarea condensatorului se numește aperiodic.

Exemplul 1

Exercițiu: Valoarea maximă a taxei este $q_0=10\ C$. Se modifică armonic cu perioada $T= 5 c$. Determinați curentul maxim posibil.

Decizie:

Ca bază pentru rezolvarea problemei, folosim:

Pentru a găsi puterea curentului, expresia (1.1) trebuie diferențiată în funcție de timp:

unde maxima (valoarea amplitudinii) a intensității curentului este expresia:

Din condițiile problemei, cunoaștem valoarea amplitudinii sarcinii ($q_0=10\ Kl$). Ar trebui să găsiți frecvența naturală a oscilațiilor. Să o exprimăm astfel:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

În acest caz, valoarea dorită va fi găsită folosind ecuațiile (1.3) și (1.2) ca:

Deoarece toate mărimile din condițiile problemei sunt prezentate în sistemul SI, vom efectua calculele:

Răspuns:$I_0=12,56\ A.$

Exemplul 2

Exercițiu: Care este perioada de oscilație într-un circuit care conține un inductor $L=1$H și un condensator dacă curentul din circuit se modifică conform legii: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Care este capacitatea condensatorului?

Decizie:

Din ecuația oscilațiilor curente, care este dată în condițiile problemei:

vedem că $(\omega )_0=20\pi $, prin urmare putem calcula perioada de oscilație folosind formula:

\ \

Conform formulei lui Thomson pentru un circuit care conține un inductor și un condensator, avem:

Să calculăm capacitatea:

Răspuns:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

Am considerat mai multe sisteme complet diferite din punct de vedere fizic și ne-am asigurat că ecuațiile mișcării sunt reduse la aceeași formă

Diferențele dintre sistemele fizice se manifestă doar în diferite definiții ale mărimii iar într-un sens fizic diferit al variabilei X: poate fi o coordonată, unghi, sarcină, curent etc. Rețineți că în acest caz, după cum reiese din însăși structura ecuației (1.18), mărimea are întotdeauna dimensiunea timpului invers.

Ecuația (1.18) descrie așa-numitul vibratii armonice.

Ecuația oscilațiilor armonice (1.18) este liniară ecuație diferențială de ordinul doi (deoarece conține derivata a doua a variabilei X). Liniaritatea ecuației înseamnă că

dacă vreo funcție x(t) este o soluție a acestei ecuații, apoi funcția Cx(t) va fi si solutia lui ( C este o constantă arbitrară);

dacă funcţiile x 1 (t)și x 2 (t) sunt soluții ale acestei ecuații, apoi suma lor x 1 (t) + x 2 (t) va fi, de asemenea, o soluție la aceeași ecuație.

Se demonstrează și o teoremă matematică, conform căreia o ecuație de ordinul doi are două solutii independente. Toate celelalte soluții, conform proprietăților liniarității, pot fi obținute ca combinații liniare ale acestora. Este ușor de verificat prin diferențiere directă că funcțiile independente și satisfac ecuația (1.18). Mijloace, decizie comună această ecuație are forma:

Unde C1,C2 sunt constante arbitrare. Această soluție poate fi prezentată și sub altă formă. Introducem cantitatea

și definiți unghiul ca:

Atunci soluția generală (1.19) se scrie ca

Conform formulelor de trigonometrie, expresia dintre paranteze este

Ajungem in sfarsit la soluţia generală a ecuaţiei oscilaţiilor armonice la fel de:

Valoare nenegativă A numit amplitudinea oscilației, - faza iniţială a oscilaţiei. Întregul argument cosinus - combinația - este numit faza de oscilatie.

Expresiile (1.19) și (1.23) sunt perfect echivalente, așa că putem folosi oricare dintre ele din motive de simplitate. Ambele soluții sunt funcții periodice ale timpului. Într-adevăr, sinusul și cosinusul sunt periodice cu o perioadă . Prin urmare, diferitele stări ale unui sistem care efectuează oscilații armonice se repetă după o perioadă de timp t*, pentru care faza de oscilație primește un increment care este un multiplu al :

De aici rezultă că

Cel mai mic dintre aceste vremuri

numit perioada de oscilatie (Fig. 1.8), a - lui circular (ciclic) frecvență.

Orez. 1.8.

De asemenea, folosesc frecvență ezitare

În consecință, frecvența circulară este egală cu numărul de oscilații per secunde.

Deci, dacă sistemul la timp t caracterizat prin valoarea variabilei x(t), apoi, aceeași valoare, variabila o va avea după o perioadă de timp (Fig. 1.9), adică

Aceeași valoare, desigur, se va repeta după un timp. 2T, ZT etc.

Orez. 1.9. Perioada de oscilație

Soluția generală include două constante arbitrare ( C1, C2 sau A, A), ale căror valori ar trebui determinate de doi condiții inițiale. De obicei (deși nu neapărat) rolul lor este jucat de valorile inițiale ale variabilei x(0)și derivatul său.

Să luăm un exemplu. Fie soluția (1.19) a ecuației oscilațiilor armonice descrie mișcarea unui pendul cu arc. Valorile constantelor arbitrare depind de modul în care am scos pendulul din echilibru. De exemplu, am tras arcul la distanță și a eliberat mingea fără viteza inițială. În acest caz

Înlocuind t = 0în (1.19), găsim valoarea constantei De la 2

Soluția arată astfel:

Viteza sarcinii se găsește prin diferențiere în funcție de timp

Înlocuind aici t = 0, găsiți constanta De la 1:

In cele din urma

Comparând cu (1.23), aflăm că este amplitudinea oscilației, iar faza sa inițială este egală cu zero: .

Acum scoatem pendulul din echilibru într-un alt mod. Hai să lovim sarcina ca să câștige viteza initiala, dar practic nu se schimbă în timpul impactului. Avem apoi alte condiții inițiale:

soluția noastră arată ca

Viteza sarcinii se va modifica conform legii:

Să-l punem aici:

Cel mai simplu tip de vibrații sunt vibratii armonice- fluctuatii in care deplasarea punctului oscilant fata de pozitia de echilibru se modifica in timp dupa legea sinusului sau cosinusului.

Deci, cu o rotire uniformă a mingii în jurul circumferinței, proiecția acesteia (umbra în raze paralele de lumină) realizează o mișcare oscilativă armonică pe un ecran vertical (Fig. 1).

Deplasarea de la poziția de echilibru în timpul vibrațiilor armonice este descrisă de o ecuație (se numește legea cinematică a mișcării armonice) de forma:

unde x - deplasare - o valoare care caracterizează poziția punctului oscilant la momentul t față de poziția de echilibru și măsurată prin distanța de la poziția de echilibru la poziția punctului la un moment dat; A - amplitudinea oscilației - deplasarea maximă a corpului din poziția de echilibru; T - perioada de oscilație - timpul unei oscilații complete; acestea. cea mai scurtă perioadă de timp după care valorile se repetă mărimi fizice caracterizarea oscilației; - faza initiala;

Faza oscilației în timpul t. Faza de oscilație este un argument al unei funcții periodice, care, pentru o amplitudine de oscilație dată, determină în orice moment starea sistemului oscilator (deplasare, viteză, accelerație) a corpului.

Dacă în momentul inițial de timp punctul oscilant este deplasat maxim de la poziția de echilibru, atunci , iar deplasarea punctului din poziția de echilibru se modifică conform legii

Dacă punctul de oscilație la este într-o poziție de echilibru stabil, atunci deplasarea punctului față de poziția de echilibru se modifică conform legii

Valoarea V, reciproca perioadei și egală cu numărul de oscilații complete efectuate în 1 s, se numește frecvența de oscilație:

Dacă în timpul t corpul face N oscilații complete, atunci

valoarea , care arată câte oscilații face corpul în s, se numește frecvență ciclică (circulară)..

Legea cinematică a mișcării armonice poate fi scrisă astfel:

Grafic, dependența deplasării unui punct oscilant în timp este reprezentată de un cosinus (sau sinusoid).

Figura 2, a prezintă dependența de timp a deplasării punctului de oscilare față de poziția de echilibru pentru cazul .

Să aflăm cum se modifică viteza unui punct oscilant în timp. Pentru a face acest lucru, găsim derivata în timp a acestei expresii:

unde este amplitudinea proiecției vitezei pe axa x.

Această formulă arată că, în timpul oscilațiilor armonice, proiecția vitezei corpului pe axa x se modifică și de-a lungul legea armonică cu aceeași frecvență, cu o amplitudine diferită și este înaintea fazei de amestecare cu (Fig. 2b).

Pentru a afla dependența de accelerație, găsim derivata în timp a proiecției vitezei:

unde este amplitudinea proiecției accelerației pe axa x.

Pentru oscilațiile armonice, proiecția accelerației conduce la defazarea cu k (Fig. 2, c).

În mod similar, puteți construi grafice de dependență