Ecuația unei tangente la un grafic care trece printr-un punct. Ecuația unei tangente la graficul unei funcții – Knowledge Hypermarket

Instrucțiuni

Determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul M.
Curba reprezentând graficul funcției y = f(x) este continuă într-o anumită vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.

Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.

Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a” în ea.

Luați ecuația tangentei generale, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a), și înlocuiți valorile găsite a, f(a), f "(a) în ea. ca rezultat, soluția graficului va fi găsită și tangentă.

Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceasta, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatelor punctului dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.

Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții

Pe scena modernă dezvoltarea educației, una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea de creativitate la studenți poate fi dezvoltată numai dacă aceștia sunt implicați sistematic în bazele activităților de cercetare. Fundația pentru ca elevii să-și folosească puterile, abilitățile și talentele creative este formată de cunoștințe și abilități cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pentru fiecare subiect al cursului de matematică școlară este de o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al unui sistem atent gândit al acestora. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.

Să luăm în considerare o tehnică pentru a-i învăța pe elevi cum să scrie o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangentei se rezumă la necesitatea de a selecta dintr-o mulțime (mănunchi, familie) de linii pe acelea care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. În acest caz, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:

a) un punct situat pe planul xOy (creion central de linii);
b) coeficient unghiular (fascicul paralel de drepte).

În acest sens, la studierea temei „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de probleme:

1) probleme pe o tangentă dată de punctul prin care trece;
2) probleme pe o tangentă dată de panta acesteia.

Instruirea în rezolvarea problemelor tangente a fost realizată folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangentei se notează cu litera a (în loc de x0) și, prin urmare, ecuația tangentei ia forma

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(comparați cu y = f(x 0) + f „(x 0)(x – x 0)). Această tehnică metodologică, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă rapid și ușor unde sunt scrise coordonatele punctului curent în ecuația tangentei generale și unde sunt punctele de contact.

Algoritm pentru alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y = f(x)

1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2. Găsiți f(a).
3. Aflați f „(x) și f „(a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f "(a) în ecuația tangentă generală y = f(a) = f "(a)(x – a).

Acest algoritm poate fi compilat pe baza identificării independente a operațiunilor de către studenți și a secvenței implementării lor.

Practica a arătat că soluție secvențială fiecare dintre sarcinile cheie cu ajutorul unui algoritm vă permite să dezvoltați abilitățile de a scrie o ecuație a unei tangente la graficul unei funcții în etape, iar pașii algoritmului servesc drept puncte de referință pentru acțiuni. Această abordare corespunde teoriei formării treptate a acțiunilor mentale dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.

În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:

• tangenta trece printr-un punct situat pe curbă (problema 1);
• tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).

Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul M(3; – 2).

Soluţie. Punctul M(3; – 2) este un punct tangent, deoarece

1. a = 3 – abscisa punctului tangent.
2. f(3) = – 2.
3. f „(x) = x 2 – 4, f „(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ecuația tangentei.

Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = – x 2 – 4x + 2 care trece prin punctul M(– 3; 6).

Soluţie. Punctul M(– 3; 6) nu este un punct tangent, deoarece f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f „(x) = – 2x – 4, f „(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ecuația tangentei.

Tangenta trece prin punctul M(– 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Dacă a = – 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.

Dacă a = – 2, atunci ecuația tangentei are forma y = 6.

În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:

• tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
• tangenta trece la un anumit unghi fata de dreapta data (problema 4).

Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = x 3 – 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y = 9x + 1.

1. a – abscisa punctului tangent.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f „(x) = 3x 2 – 6x, f „(a) = 3a 2 – 6a.

Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiția de paralelism). Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm ecuația 3a 2 – 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = – 1, a = 3 (Fig. 3). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – ecuația tangentei;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – ecuația tangentei.

Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 – 3x + 1, trecând cu un unghi de 45° la dreapta y = 0 (Fig. 4).

Soluţie. Din condiția f „(a) = tan 45° găsim a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisa punctului tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f „(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ecuația tangentei.

Este ușor de demonstrat că rezolvarea oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două probleme ca exemplu.

1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 – 5x – 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola în punctul cu abscisa 3 (Fig. 5).

Soluţie. Deoarece abscisa punctului tangent este dată, prima parte a soluției este redusă la problema cheie 1.

1. a = 3 – abscisa punctului de tangenta a uneia dintre laturi unghi drept.
2. f(3) = 1.
3. f „(x) = 4x – 5, f „(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ecuația primei tangente.

Fie a unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x – 20 a primei tangente avem tg a = 7. Să găsim

Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este egală cu .

Soluția ulterioară se reduce la sarcina cheie 3.

Fie B(c; f(c)) punctul de tangență al celei de-a doua drepte, atunci

1. – abscisa celui de-al doilea punct de tangenta.
2.
3.
4.
– ecuația celei de-a doua tangente.

Notă. Coeficientul unghiular al tangentei poate fi găsit mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = – 1.

2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor

Soluţie. Problema se rezumă la găsirea abscisei punctelor de tangență ale tangentelor comune, adică la rezolvarea problemei cheie 1 în vedere generala, întocmind un sistem de ecuații și soluția lui ulterioară (Fig. 6).

1. Fie a abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Fie c abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției
2.
3. f „(c) = c.
4.

Din moment ce tangentele sunt generale, atunci

Deci y = x + 1 și y = – 3x – 3 sunt tangente comune.

Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este de a pregăti elevii să recunoască în mod independent tipul de problemă cheie atunci când rezolvă probleme mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, prezenta o ipoteză etc.). Astfel de sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să luăm ca exemplu problema ( problema inversa 1) pentru a găsi o funcție din familia tangentelor sale.

3. Pentru ce b și c sunt dreptele y = x și y = – 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?

Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = – 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b)x + c – t 2 , iar ecuația tangentei y = – 2x va lua forma y = (2p + b)x + c – p 2 .

Să compunem și să rezolvăm un sistem de ecuații

Răspuns:

Exemplul 1. Dată o funcție f(X) = 3X 2 + 4X– 5. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X) la punctul grafic cu abscisa X 0 = 1.

Soluţie. Derivata unei functii f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Apoi f(X 0) = f(1) = 2; (X 0) = = 10. Ecuația tangentei are forma:

y = (X 0) (X – X 0) + f(X 0),

y = 10(X – 1) + 2,

y = 10X – 8.

Răspuns. y = 10X – 8.

Exemplul 2. Dată o funcție f(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X), paralel cu linia y = 2X – 11.

Soluţie. Derivata unei functii f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Deoarece tangenta la graficul functiei f(X) la punctul de abscisă X 0 este paralel cu dreapta y = 2X– 11, atunci panta sa este egală cu 2, adică ( X 0) = 2. Să găsim această abscisă din condiția ca 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Această egalitate este valabilă numai atunci când X 0 = 0 și la X 0 = 2. Întrucât în ​​ambele cazuri f(X 0) = 5, apoi drept y = 2X + b atinge graficul funcției fie în punctul (0; 5), fie în punctul (2; 5).

În primul caz, egalitatea numerică 5 = 2×0 + este adevărată b, Unde b= 5, iar în al doilea caz egalitatea numerică 5 = 2×2 + este adevărată b, Unde b = 1.

Deci sunt două tangente y = 2X+ 5 și y = 2X+ 1 la graficul funcției f(X), paralel cu linia y = 2X – 11.

Răspuns. y = 2X + 5, y = 2X + 1.

Exemplul 3. Dată o funcție f(X) = X 2 – 6X+ 7. Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f(X), trecând prin punct A (2; –5).

Soluţie. Deoarece f(2) –5, apoi punctul A nu aparține graficului funcției f(X). Lăsa X 0 - abscisa punctului tangent.

Derivata unei functii f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Apoi f(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. Ecuația tangentei are forma:

y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

De la punctul A aparține tangentei, atunci egalitatea numerică este adevărată

–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,

Unde X 0 = 0 sau X 0 = 4. Aceasta înseamnă că prin punct A puteți desena două tangente la graficul funcției f(X).

Dacă X 0 = 0, atunci ecuația tangentei are forma y = –6X+ 7. Dacă X 0 = 4, atunci ecuația tangentei are forma y = 2X – 9.

Răspuns. y = –6X + 7, y = 2X – 9.

Exemplul 4. Funcții date f(X) = X 2 – 2X+ 2 și g(X) = –X 2 – 3. Să scriem ecuația tangentei comune la graficele acestor funcții.

Soluţie. Lăsa X 1 - abscisa punctului de tangenta a dreptei dorite cu graficul functiei f(X), A X 2 - abscisa punctului de tangență al aceleiași drepte cu graficul funcției g(X).

Derivata unei functii f(X) există pentru orice x R . Să o găsim:

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Apoi f(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. Ecuația tangentei are forma:

y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Să găsim derivata funcției g(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

Y = f(x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f"(a). Avem deja folosit acest lucru de mai multe ori De exemplu, în § 33 s-a stabilit că graficul funcției y = sin x (sinusoid) la origine formează un unghi de 45° cu axa x (mai precis, tangenta la graficul de la origine formează un unghi de 45° cu direcția pozitivă a axei x), iar în exemplul 5 § 33 de puncte au fost găsite în programul dat funcții, în care tangenta este paralelă cu axa x. În exemplul 2 din § 33, s-a întocmit o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = x 2 în punctul x = 1 (mai precis, la punctul (1; 1), dar mai des doar valoarea abscisei este indicat, crezând că dacă se cunoaște valoarea abscisei, atunci valoarea ordonatei poate fi găsită din ecuația y = f(x)). În această secțiune vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații tangente la graficul oricărei funcții.

Să fie date funcția y = f(x) și punctul M (a; f(a)) și să se știe, de asemenea, că f"(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la grafic funcţie dată la un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx+m, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și m.

Nu există probleme cu coeficientul unghiular k: știm că k = f "(a). Pentru a calcula valoarea lui m, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f (a)) . Aceasta înseamnă că dacă substituim punctul de coordonate M în ecuația dreptei, obținem egalitatea corectă: f(a) = ka+m, din care aflăm că m = f(a) - ka.
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților kit-ului în ecuația Drept:

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x=a.
Dacă, să zicem,
Înlocuind valorile găsite a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 în ecuația (1), obținem: y = 1+2(x-f), adică y = 2x-1.
Comparați acest rezultat cu cel obținut în exemplul 2 din § 33. Desigur, același lucru s-a întâmplat.
Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y = tan x la origine. Avem: aceasta înseamnă cos x f"(0) = 1. Înlocuind valorile găsite a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 în ecuația (1), obținem: y = x.
De aceea am trasat tangentoidul în § 15 (vezi Fig. 62) prin originea coordonatelor la un unghi de 45° față de axa absciselor.
Când am rezolvat aceste exemple destul de simple, am folosit de fapt un anumit algoritm, care este conținut în formula (1). Să explicăm acest algoritm.

ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFICUL FUNCTIEI y = f(x)

1) Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2) Calculați 1 (a).
3) Aflați f"(x) și calculați f"(a).
4) Înlocuiți numerele găsite a, f(a), (a) în formula (1).

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul x = 1.
Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu

În fig. 126 este reprezentată o hiperbolă, se construiește o linie dreaptă y = 2.
Desenul confirmă calculele de mai sus: într-adevăr, linia dreaptă y = 2 atinge hiperbola în punctul (1; 1).

Răspuns: y = 2- x.
Exemplul 2. Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta y = 4x - 5.
Să clarificăm formularea problemei. Cerința de a „trage o tangentă” înseamnă de obicei „a forma o ecuație pentru tangentă”. Acest lucru este logic, deoarece dacă o persoană a fost capabilă să creeze o ecuație pentru o tangentă, atunci este puțin probabil să aibă dificultăți în a construi pe plan de coordonate linie dreaptă conform ecuației ei.
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont de faptul că în acest exemplu Dar, spre deosebire de exemplul anterior, există o ambiguitate: abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit.
Să începem să gândim așa. Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta y = 4x-5. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei trebuie să fie egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: Astfel, putem găsi valoarea lui a din ecuația f"(a) = 4.
Avem:
Din ecuație Aceasta înseamnă că există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei: una în punctul cu abscisa 2, cealaltă în punctul cu abscisa -2.
Acum puteți urma algoritmul.

Exemplul 3. Din punctul (0; 1) trageți o tangentă la graficul funcției
Să folosim algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei, ținând cont că în acest exemplu, Rețineți că aici, ca și în exemplul 2, abscisa punctului tangentei nu este indicată în mod explicit. Cu toate acestea, urmăm algoritmul.

Prin condiție, tangenta trece prin punctul (0; 1). Înlocuind valorile x = 0, y = 1 în ecuația (2), obținem:
După cum puteți vedea, în acest exemplu, abia la pasul al patrulea al algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului tangent. Înlocuind valoarea a =4 în ecuația (2), obținem:

În fig. 127 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului considerat: este trasat un grafic al funcției

În § 32 am observat că pentru o funcție y = f(x) având o derivată la un punct fix x, egalitatea aproximativă este valabilă:

Pentru comoditatea unui raționament suplimentar, să schimbăm notația: în loc de x vom scrie a, în loc de x, și, în consecință, în loc de x-a. Atunci egalitatea aproximativă scrisă mai sus va lua forma:

Acum uitați-vă la fig. 128. Se trasează o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M (a; f (a)). Punctul x este marcat pe axa x aproape de a. Este clar că f(x) este ordonata graficului funcției în punctul x specificat. Ce este f(a) + f"(a) (x-a)? Aceasta este ordonata tangentei corespunzătoare aceluiași punct x - vezi formula (1). Care este sensul egalității aproximative (3)? Faptul că Pentru a calcula valoarea aproximativă a funcției, luați valoarea ordonată a tangentei.

Exemplul 4. Aflați valoarea aproximativă a expresiei numerice 1,02 7.
Vorbim despre găsirea valorii funcției y = x 7 în punctul x = 1,02. Să folosim formula (3), ținând cont de faptul că în acest exemplu
Ca rezultat obținem:

Dacă folosim un calculator, obținem: 1,02 7 = 1,148685667...
După cum puteți vedea, acuratețea aproximării este destul de acceptabilă.
Răspuns: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul; recomandări metodologice; Lecții integrate

Tangentă este o linie dreaptă care trece printr-un punct de pe curbă și coincide cu acesta în acest punct până la ordinul întâi (Fig. 1).

O altă definiție: aceasta este poziția limită a secantei la Δ X→0.

Explicație: Luați o linie dreaptă care intersectează curba în două puncte: AȘi b(Vezi poza). Aceasta este o secanta. O vom roti în sensul acelor de ceasornic până când va găsi un singur punct comun cu curba. Acest lucru ne va oferi o tangentă.

Definiție strictă a tangentei:

Tangenta la graficul unei functii f, diferentiabil la punct XO, este o dreaptă care trece prin punctul ( XO; f(XO)) și având o pantă f′( XO).

Panta are o linie dreaptă a formei y=kx +b. Coeficient k si este pantă această linie dreaptă.

Coeficientul unghiular este egal cu tangentei unghiului ascuțit format de această dreaptă cu axa absciselor:

k = tan α

Aici unghiul α este unghiul dintre linia dreaptă y=kx +bși direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic) a axei x. Se numeste unghiul de înclinare al unei linii drepte(Fig. 1 și 2).

Dacă unghiul de înclinare este drept y=kx +b acută, atunci panta este un număr pozitiv. Graficul este în creștere (Fig. 1).

Dacă unghiul de înclinare este drept y=kx +b este obtuz, atunci panta este un număr negativ. Graficul este în scădere (Fig. 2).

Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa x, atunci unghiul de înclinare al dreptei este zero. În acest caz, panta dreptei este, de asemenea, zero (deoarece tangenta lui zero este zero). Ecuația dreptei va arăta ca y = b (Fig. 3).

Dacă unghiul de înclinare al unei drepte este de 90º (π/2), adică este perpendicular pe axa absciselor, atunci linia dreaptă este dată de egalitate x =c, Unde c– un număr real (Fig. 4).

Ecuația tangentei la graficul unei funcțiiy = f(X) la un moment dat XO:

Exemplu: Să găsim ecuația tangentă la graficul funcției f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.

Soluție.

Urmăm algoritmul.

1) Punct de atingere XO este egal cu 2. Calculați f(XO):

f(XO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Găsiți f′( X). Pentru a face acest lucru, aplicăm formulele de diferențiere prezentate în secțiunea anterioară. Conform acestor formule, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Mijloace:

f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Acum, folosind valoarea rezultată f′( X), calculati f′( XO):

f′( XO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Deci, avem toate datele necesare: XO = 2, f(XO) = 1, f ′( XO) = 4. Înlocuiți aceste numere în ecuația tangentei și găsiți soluția finală:

y = f(XO) + f′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Răspuns: y = 4x – 7.