Ecuație după formula lui Cramer. Ecuatii lineare
Să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute
Folosind determinanți de ordinul trei, soluția unui astfel de sistem poate fi scrisă în aceeași formă ca și pentru un sistem de două ecuații, i.e.
(2.4)
dacă 0. Aici
Este regula lui Cramer soluții ale sistemului de trei ecuatii lineare cu trei necunoscute.
Exemplul 2.3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:
Soluţie . Aflarea determinantului matricei principale a sistemului
Deoarece 0, atunci pentru a găsi o soluție la sistem, puteți aplica regula lui Cramer, dar mai întâi calculați încă trei determinanți:
Examinare:
Prin urmare, soluția este găsită corect.
Regulile lui Cramer derivate pentru sisteme liniare Ordinul 2 și 3, sugerează că aceleași reguli pot fi formulate pentru sistemele liniare de orice ordin. Chiar are loc
Teorema lui Cramer. Sistem pătratic de ecuații liniare cu un determinant diferit de zero al matricei principale a sistemului (0) are una și o singură soluție, iar această soluție se calculează prin formule
(2.5)
Unde – determinant principal al matricei, i – determinant matriceal, derivat din principal, înlocuitoricoloana coloana membrii liberi.
Rețineți că dacă =0, atunci regula lui Cramer nu este aplicabilă. Aceasta înseamnă că sistemul fie nu are deloc soluții, fie are infinite de soluții.
După ce am formulat teorema lui Cramer, se pune în mod firesc întrebarea de a calcula determinanții de ordin superior.
2.4. determinanți de ordinul al n-lea
Minor suplimentar M ij element A ij se numeste determinant obtinut din data prin stergere i-a linia și j-a coloană. Adunarea algebrică A ij element A ij se numește minorul acestui element, luat cu semnul (–1) i + j, adică A ij = (–1) i + j M ij .
De exemplu, să găsim minore și complemente algebrice ale elementelor A 23 și A 31 de factori determinanți
Primim
Folosind conceptul de complement algebric, putem formula teorema expansiunii determinanten-a ordinea după rând sau coloană.
Teorema 2.1. Determinant de matriceAeste egală cu suma produselor tuturor elementelor unui rând (sau coloane) și a complementelor lor algebrice:
(2.6)
Această teoremă stă la baza uneia dintre principalele metode de calculare a determinanților, așa-numitele. metoda de reducere a comenzii. Ca urmare a extinderii determinantului n ordinul a treia din orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n–1) al-lea ordin. Pentru a avea mai puțini astfel de determinanți, este indicat să alegeți rândul sau coloana care are cele mai multe zerouri. În practică, formula de expansiune pentru determinant este de obicei scrisă ca:
acestea. adaosurile algebrice sunt scrise explicit în termeni de minori.
Exemple 2.4. Calculați determinanții extinzându-i mai întâi în orice rând sau coloană. De obicei, în astfel de cazuri, alegeți coloana sau rândul care are cele mai multe zerouri. Rândul sau coloana selectată va fi marcată cu o săgeată.
2.5. Proprietățile de bază ale determinanților
Extinderea determinantului în orice rând sau coloană, obținem n determinanți ( n–1) al-lea ordin. Apoi fiecare dintre acești determinanți ( n–1)-al-lea ordin poate fi, de asemenea, descompus într-o sumă de determinanți ( n– 2) ordinul. Continuând acest proces, se poate ajunge la determinanții de ordinul I, adică. la elementele matricei al cărei determinant se calculează. Deci, pentru a calcula determinanții de ordinul 2, va trebui să calculați suma a doi termeni, pentru determinanții de ordinul 3 - suma a 6 termeni, pentru determinanții de ordinul 4 - 24 de termeni. Numărul de termeni va crește brusc pe măsură ce ordinea determinantului crește. Aceasta înseamnă că calculul determinanților de ordine foarte mare devine o sarcină destul de laborioasă, dincolo de puterea chiar și a unui computer. Totuși, determinanții pot fi calculați într-un alt mod, folosind proprietățile determinanților.
Proprietatea 1 . Determinantul nu se va schimba dacă rândurile și coloanele sunt schimbate în el, de exemplu. la transpunerea unei matrice:
.
Această proprietate indică egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Cu alte cuvinte, orice afirmație despre coloanele unui determinant este adevărată pentru rândurile sale și invers.
Proprietatea 2 . Determinantul își schimbă semnul când două rânduri (coloane) sunt schimbate.
Consecinţă . Dacă determinantul are două rânduri (coloane) identice, atunci este egal cu zero.
Proprietatea 3 . Factorul comun al tuturor elementelor din orice rând (coloană) poate fi scos din semnul determinantului.
De exemplu,
Consecinţă . Dacă toate elementele unui rând (coloană) a determinantului sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.
Proprietatea 4 . Determinantul nu se va schimba dacă elementele unui rând (coloană) sunt adăugate elementelor altui rând (coloană) înmulțite cu un număr.
De exemplu,
Proprietatea 5 . Determinantul produsului matricei este egal cu produsul determinanților matricei:
Metoda lui Cramer sau așa-numita regulă a lui Cramer este o modalitate de a căuta cantități necunoscute din sistemele de ecuații. Poate fi folosit doar dacă numărul de valori pe care le căutați este echivalent cu numărul ecuații algebriceîn sistem, adică matricea principală formată din sistem trebuie să fie pătrată și să nu conțină zero rânduri și, de asemenea, dacă determinantul său nu trebuie să fie zero.
Teorema 1
teorema lui Cramer Dacă determinantul principal $D$ al matricei principale, compilat pe baza coeficienților ecuațiilor, nu este egal cu zero, atunci sistemul de ecuații este consistent și are o soluție unică. Rezolvarea unui astfel de sistem se calculează folosind așa-numitele formule Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Ce este metoda Cramer
Esența metodei Cramer este următoarea:
- Pentru a găsi o soluție la sistem prin metoda lui Cramer, în primul rând, calculăm determinantul principal al matricei $D$. Când determinantul calculat al matricei principale, atunci când este calculat prin metoda Cramer, s-a dovedit a fi egal cu zero, atunci sistemul nu are o singură soluție sau are un număr infinit de soluții. În acest caz, pentru a găsi un răspuns general sau de bază pentru sistem, se recomandă aplicarea metodei Gauss.
- Apoi trebuie să înlocuiți ultima coloană matricea principală pe coloana termenilor liberi și calculați determinantul $D_1$.
- Repetați același lucru pentru toate coloanele, obținând determinanții de la $D_1$ la $D_n$, unde $n$ este numărul coloanei din dreapta.
- După ce toți determinanții lui $D_1$...$D_n$ sunt găsiți, variabilele necunoscute pot fi calculate folosind formula $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Tehnici de calcul al determinantului unei matrice
Pentru a calcula determinantul unei matrice cu o dimensiune mai mare de 2 cu 2, se pot folosi mai multe metode:
- Regula triunghiurilor, sau regula lui Sarrus, asemănătoare cu aceeași regulă. Esența metodei triunghiului este că atunci când se calculează determinantul produsului tuturor numerelor conectate în figură printr-o linie roșie din dreapta, acestea sunt scrise cu semnul plus și toate numerele conectate într-un mod similar în figura de pe stânga - cu semnul minus. Ambele reguli sunt potrivite pentru matrice 3 x 3. În cazul regulii Sarrus, matricea în sine este mai întâi rescrisă, iar lângă ea, prima și a doua coloană sunt rescrise din nou. Diagonalele sunt trasate prin matrice și aceste coloane suplimentare, elementele matricei situate pe diagonala principală sau paralele cu aceasta sunt scrise cu semnul plus, iar elementele situate pe diagonala secundară sau paralelă cu aceasta sunt scrise cu semnul minus.
Figura 1. Regula triunghiurilor pentru calcularea determinantului pentru metoda Cramer
- Cu o metodă cunoscută sub numele de metoda Gaussiană, această metodă este uneori denumită și reducerea determinantă. În acest caz, matricea este transformată și adusă într-o formă triunghiulară, apoi toate numerele de pe diagonala principală sunt înmulțite. Trebuie amintit că, într-o astfel de căutare a unui determinant, nu se poate înmulți sau împărți rânduri sau coloane după numere fără a le scoate ca factor sau divizor. În cazul căutării unui determinant, este posibilă doar scăderea și adăugarea rândurilor și coloanelor între ele, înmulțind în prealabil rândul scăzut cu un factor diferit de zero. De asemenea, cu fiecare permutare a rândurilor sau coloanelor matricei, ar trebui să ne amintim nevoia de a schimba semnul final al matricei.
- Când rezolvați SLAE lui Cramer cu 4 necunoscute, cel mai bine este să folosiți metoda Gauss pentru a căuta și găsi determinanți sau determina determinant prin căutarea minorilor.
Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda lui Cramer
Aplicam metoda Cramer pentru un sistem de 2 ecuatii si doua marimi cerute:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Să-l afișăm într-o formă extinsă pentru comoditate:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Aflați determinantul matricei principale, numit și determinant principal al sistemului:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Dacă determinantul principal nu este egal cu zero, atunci pentru a rezolva slough prin metoda Cramer, este necesar să se calculeze încă doi determinanți din două matrice cu coloanele matricei principale înlocuite cu un rând de membri liberi:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Acum să găsim necunoscutele $x_1$ și $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Exemplul 1
Metoda lui Cramer pentru rezolvarea unui SLAE cu o matrice principală de ordinul 3 (3 x 3) și trei cele dorite.
Rezolvați sistemul de ecuații:
$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Calculăm principalul determinant al matricei folosind regula de mai sus de la paragraful numărul 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64
Și acum alți trei factori determinanți:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 USD
Să găsim valorile necesare:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind matricea inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.
metoda lui Cramer.
Metoda lui Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ( SLAU).
Formule pe exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer
Referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. : 
Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor: 
Și 
.
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:
referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia: 
Să facem o acțiune similară, înlocuind a doua coloană în primul determinant: 
Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
Și .
Răspuns: 
Cometariu: Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.
Cometariu: Dacă se dovedește că și este imposibil de împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul are fie infinite de soluții, fie nicio soluție.
Exemplul 2(un număr infinit de soluții):
Rezolvați sistemul de ecuații:
referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului: 
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției. 
Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Deci a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație de relație între variabile.
Am obținut că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate de egalitate.
Decizie comună va fi scris astfel: 
Soluțiile particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x din această ecuație de relație. 
etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:
Exemplul 3(fără soluții, sistemul este inconsecvent):
Rezolvați sistemul de ecuații:
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului: 
Nu poți folosi formulele lui Cramer. Să rezolvăm acest sistem prin metoda substituției 
A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este valabilă pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii
Metode KramerȘi gaussian una dintre cele mai populare soluții SLAU. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi ne ocupăm de soluția prin metoda Cramer. La urma urmei, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer este o abilitate foarte utilă.
Sisteme de ecuații algebrice liniare
Sistemul de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:
Valoare setată X , la care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluția sistemului, A Și b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat mental sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) în SLAE, iar manipulările școlare simple sunt indispensabile aici. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE prin metoda lui Cramer!
Deci, lasă sistemul să fie n ecuatii cu n necunoscut.
Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice
Aici A este matricea principală a sistemului, X Și B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și membri liberi.
Soluție SLAE prin metoda lui Cramer
Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda Cramer.
Conform metodei Cramer, soluția se găsește prin formulele:
Aici delta este determinantul matricei principale și delta x n-a - determinantul obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de membri liberi.
Acesta este scopul metodei lui Cramer. Înlocuind valorile găsite cu formulele de mai sus X în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă fi mai ușor să înțelegeți ideea, iată un exemplu. solutie detaliata SLAE prin metoda lui Cramer:
Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină exersare, vei începe să treci SLOW-uri ca nucile. Mai mult decât atât, acum nu este absolut necesar să studiezi cu atenție un caiet, rezolvând calcule greoaie și scriind pe tijă. Este ușor de rezolvat SLAE prin metoda Cramer online, doar prin înlocuirea coeficienților în forma finită. încercați calculator online soluțiile prin metoda Cramer pot fi, de exemplu, pe acest site.
Și dacă sistemul s-a dovedit a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să apelați la autorii noștri pentru ajutor, de exemplu, la. Dacă există cel puțin 100 de necunoscute în sistem, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!
În prima parte am luat în considerare un material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Tuturor celor care au venit pe site prin această pagină, le recomand să citiți prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în cursul rezolvării sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de observații și concluzii foarte importante cu privire la soluție. probleme de matematicăîn general.
Și acum vom analiza regula lui Cramer, precum și soluția unui sistem de ecuații liniare folosind matrice inversă(metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar, aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.
Mai întâi luăm în considerare regula lui Cramer în detaliu pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? - La urma urmelor cel mai simplu sistem poate fi rezolvată prin metoda școlii, prin adăugare de termen!
Faptul este că, chiar dacă uneori, dar există o astfel de sarcină - să rezolvi un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.
In plus, exista sisteme de ecuatii liniare cu doua variabile, pe care este indicat sa le rezolvi exact dupa regula lui Cramer!
Luați în considerare sistemul de ecuații
La primul pas, calculăm determinantul , se numește principalul determinant al sistemului.
metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și
În practică, se pot nota și determinanții de mai sus Literă latină.
Rădăcinile ecuației se găsesc prin formulele:
,
Exemplul 7
Rezolvați un sistem de ecuații liniare 
Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari, în partea dreaptă există zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.
Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți obține cu siguranță fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta doar îngrozitor. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea aici.
Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.
;
;
Răspuns: ,
Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.
Nu sunt necesare comentarii aici, deoarece sarcina este rezolvată conform formulelor gata făcute, totuși, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Fragmentul sarcinii este următorul fragment: „deci sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru nerespectarea teoremei lui Cramer.
Nu va fi de prisos să verificați, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să se obțină numerele care sunt în partea dreaptă.
Exemplul 8
Exprimați-vă răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (exemplu de design fin și răspuns la sfârșitul lecției).
Ne întoarcem la considerarea regulii lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute: 
Găsim principalul determinant al sistemului: 
Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta, trebuie să utilizați metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă trei determinanți: 
, 
, 
Și în sfârșit, răspunsul este calculat prin formulele: 
După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”, coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.
Exemplul 9
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer. 
, astfel încât sistemul are o soluție unică.
Răspuns: 
.
De fapt, nu este nimic special de comentat din nou aici, având în vedere că decizia se ia după formule gata făcute. Dar există câteva note.
Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu există computer la îndemână, facem acest lucru:
1) Poate fi o greșeală în calcule. De îndată ce întâlniți o lovitură „rea”, trebuie să verificați imediat dacă este condiția rescrisă corect. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).
2) Dacă nu au fost găsite erori în urma verificării, atunci cel mai probabil a fost făcută o greșeală de scriere în starea sarcinii. În acest caz, rezolvați cu calm și ATENȚIE sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși întocmește-l pe o copie curată după hotărâre. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să pună un minus pentru orice lucru rău ca. Cum să tratați fracțiile este detaliat în răspunsul pentru Exemplul 8.
Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a-l verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai avantajos este să folosești programul imediat (chiar înainte de a începe soluția), vei vedea imediat pasul intermediar la care ai greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului metoda matricei.
A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu: 
Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant: 
– zerouri sunt puse în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.
Exemplul 10
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (finalizarea eșantionului și răspunsul la sfârșitul lecției).
Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu live în lecția Proprietăți determinante. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.
Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă
Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).
Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți matricea inversă și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi date pe măsură ce explicația progresează.
Exemplul 11
Rezolvați sistemul cu metoda matricei 
Soluţie: Scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde 
Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matricele. După ce principiu scriem elemente în matrice, cred că toată lumea înțelege. Singurul comentariu: dacă unele variabile lipsesc în ecuații, atunci ar trebui puse zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.
Găsim matricea inversă prin formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .
Mai întâi, să ne ocupăm de determinantul:
Aici determinantul este extins cu prima linie.
Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul prin metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin eliminarea necunoscutelor (metoda Gauss).
Acum trebuie să calculați 9 minori și să le scrieți în matricea minorilor 
Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei pe care element dat. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul: 
Adică, un indice dublu indică faptul că elementul se află în primul rând, a treia coloană, în timp ce, de exemplu, elementul este în al treilea rând, a doua coloană
